G127. Jouons au loto
Ce problème est proposé par Jean-Luc Piedanna.
Pour remplir une grille de loto de 49 cases, il faut marquer 6 cases. Un joueur adopte cette stratégie : il tire au sort un nombre entre 1 et 49, et élimine le numéro sorti. Il recommence l'opération (sans mémoire, chaque nombre est équiprobable) jusqu'à ce que seules 6 cases restent non éliminées. Il joue alors ces 6 cases restantes. Combien de fois, en moyenne, devra t-il effectuer son opération de tirage au sort pour jouer une grille ?
Préliminaires
Combien de fois faut-il en moyenne jeter un dé à 6 faces pour obtenir le chiffre 6 ? L’intuition nous pousse à répondre 6, mais comme elle est parfois trompeuse en probabilités, nous allons démontrer ce résultat (dans une formulation plus générale).
Considérons un événement e de probabilité x.
La probabilité que l’événement e ne se réalise jamais lors de n-1 expériences successives est
(
1−x)
n−1. La probabilité qu’il se réalise pour la première fois lors de la nième expérience est donc x(
1−x)
n−1.Le nombre moyen d’expériences à effectuer pour que l’événement e se réalise est donc N=
∑
n x. 1(
−x)
n−1.On calcule la somme de cette série par :
( )
( )
1
2
1
2
( ) 1
1 ( ) . 1
1
. 1 . '(1 ) 1
n
n
n
f x x
x
f x n x
x
N n x x x f x x
x x
−
−
= =
−
′
⇒ = =
−
⇒ = − = − = =
∑
∑
∑
Conformément à l’intuition, l’événement e se réalise en moyenne en 1
xexpériences.
Solution
Revenons au problème initial.
Le premier tirage permet d’éliminer une première case.
Dès lors qu’une case est éliminée, un tirage a une probabilité de 48
49 de donner un numéro différent. D’après le résultat étudié en préliminaires, il faut donc en moyenne répéter l’opération 49
48 fois pour pouvoir éliminer une seconde case.
Dès lors que deux cases sont éliminées, il faut, de façon analogue, en moyenne 49
47 tirages pour en éliminer une troisième.
En ainsi de suite, jusqu’à l’élimination de 43 cases.
Le nombre moyen de tirages nécessaires pour pouvoir jouer la grille est donc donné par :
49
7
49 49 49 49 6288597651736443095951
1 99,43106158
48 47 7 n 63245806209101973600
N = n
= + + ++ =
