A20079. Jouons avec les diviseurs
Soitn un entier strictement plus grand que 1, etd1, d2, . . . , dk ses diviseurs rangés en ordre strictement croissant, ded1 = 1 àdk=n.
On poseD=d1d2+d2d3+. . .+dk−1dk.
Montrer queD < n2 et trouver tous les entiers ntels queDest diviseur de n2.
Solution
Observons que n=didk+1−i, d’où D/n2=P1/(didi+1).
D’autre part la suitedi étant croissante, di ≥iet 1/(didi+1)≤1/(i(i+ 1)) = 1/i−1/(i+ 1).
Par sommation “télescopique”, D/n2≤1−1/k <1.
Si n2/D = d entier, d > 1 est un diviseur de n2, dont d2 est le plus petit diviseur>1.
1/d2≥1/d=D/n2 = 1/(d1d2) +. . .≥1/(d1d2) = 1/d2,
De ce fait, les inégalités sont des égalités ; d = d2 et n n’a pas d’autre diviseur ; nest un nombre premier,d2=n=n2/D=D.
