D1909 – Deux angles supplémentaires
À l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étan t le milieu de AB, prouver que les angles APM et BPC sont supplémentaires.
Solution proposée par Patrick Gordon
Notons a l’angle PAB = PBC, x l'angle APM et y l'angle BPC. La longueur AB sera notée c selon l'usage.
Par la loi des sinus, on a les relations suivantes.
Dans APB :
PA = c sin (B – a) / sin B PB = c sin a / sin B.
En exprimant PM dans AMP et dans BMP :
1) sin a sin (B + x) = sin x sin (B – a) Dans BCP, en remarquant que BC = c / 2 cos B :
2) 2 sin a sin y = sin (a + y) tan B
En développant (1) et en regroupant les termes en sin B et en cos B, on arrive à une autre expression de tan B:
3) 2 sin a sin x = sin (x – a) tan B En rapprochant (2) et (3), il vient :
4) sin (x – a) / sin x = sin (y + a) / sin y.
En développant et en simplifiant, il vient : cot x = – cot y
CQFD
