Enonc´e noA325 (Diophante) Un triplet amical
On rappelle que deux nombres entiers m et n sont dits “amicaux” si la somme des diviseurs de m, y compris le nombre m lui-mˆeme, et celle des diviseurs den, y compris le nombre nlui-mˆeme, sont ´egales l’une et l’autre
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am+n. Par extension, on dit que trois nombres entiersp,qetrconstituent un “triplet amical” si les sommes respectives des diviseurs de chacun d’eux, le nombre lui-mˆeme ´etant inclus, sont toutes trois ´egales `a la sommep+q+r.
Trouver un triplet amical dont deux des termes sont multiples de deux entiers amicaux.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Notantσ(k) la somme des diviseurs dek, je me propose de partir de la paire de nombres amicaux (ou amiables) 220 et 284. On a en effet
σ(220) =σ(284) = 504 = 220 + 284.
Sip= 220k, q= 284k, la condition σ(p) =σ(q) exige, pour la propri´et´e de multiplicativit´e de la fonctionσ, queksoit premier avec 55 et 71, quotients de 220 et 284 par leur PGCD 4.
A d´efaut, on n’aurait pasσ(p)/σ(55) =σ(4k) =σ(q)/σ(71).
Pour r, on a alors les conditions σ(r) = 72σ(4k) = 504k+r.
D’o`u la condition pourk (premier avec 5, 11, 71) σ(72σ(4k)−504k) = 72σ(4k).
L’exploration des petites valeurs dekconduit `a la solution k= 9, σ(4k) = 91, 72σ(4k)−504k= 2016,
72σ(4k) = 6552 =σ(1980) =σ(2556) =σ(2016) = 1980 + 2556 + 2016.
Le triplet
(1980, 2556, 2016)
r´epond `a la question.Remarque. 2016 =C642 et 2556 =C722 sont des nombres triangulaires, 1980 = 2C452 le double d’un nombre triangulaire.
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