Polynésie 1995
Dans un lycée, un groupe d'élèves se charge de la distribution de pains au chocolat et de croissants lors de la récréation de dix heures.
Pour pouvoir satisfaire la demande, ils doivent disposer au minimum de 108 pains au chocolat et de 96 croissants.
Deux boulangers proposent pour le même prix:
• l'un le lot A comprenant 12 pains au chocolat et 8 croissants;
• l'autre le lot B composé de 9 pains au chocolat et 12 croissants.
Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B qui doivent être acheter pour satisfaire la demande au moindre coût.
On souhaite d'aider d'un graphique.
Pour cela, on rapporte le plan à un repère orthonormé (unité: graphique = 1cm) et, à l'achat de x lots A et de y lots B, on associe le point de coordonnées (x , y).
1.
Placero le point E associé à l'achat de 13 lots A et de 14 lots B;
o Le point F associé à l'achat de 10 lots A et de 1 lot B.
Les achats associés aux points E et F permettent-ils de satisfaire la demande?
2.
On s'intéresse à la satisfaction de la demande.a: Montrer que, pour que l'achat correspondant au point de coordonnées (x , y) permette de satisfaire la demande, les nombres x et y doivent vérifier le système suivant :
{
2x + 3y 4x + 3y 36243.
b: Colorier ou hachurer la région du plan dans laquelle se trouvent les points dont les coordonnées (x , y) ne sont pas solutions du système :{
x et y > 0 4x + 3y 36 2x + 3y 244.
On cherche à minimiser le coût, c'est à dire le nombre (x + y) de lots achetés. Les points associés à des achats d'un nombre de n lots sont situés sur la droite ∆n d'équation: ∆n : x + y = na: Tracer ∆9 et ∆11.
b: D'après le graphique, peut-on satisfaire la demande en achetant au total seulement 9 lots?
En achetant au total 11 lots? Expliquer les réponses fournies.
c: En utilisant le graphique, déterminer l'achat qui permet de satisfaire la demande au moindre coût.
On ne demande d'expliquer le réponse fournie
Correction : Polynésie 1995
1. Placer les points E et F ne pose aucun problème.
Le point E a pour coordonnées (13 ; 14) et correspondant à l'achat de 13 lots A et 14 lots B.
Le nombre de pains au chocolat est alors : 13*12 + 14*9 = 282 108.
Le nombre de croissants est alors : 13*8 + 14*12 = 272 96 . L'achat associé au point E permet de satisfaire la demande.
En revanche, le point F a pour coordonnées (10 ; 1).
Le nombre de pains au chocolat est alors : 10*12 + 1*9 = 129 108.
Le nombre de croissants est alors : 10*8 + 1*12 = 92 < 96.
Le nombre de croissants n'est pas suffisant pour satisfaire la demande.
L'achat associé au point F ne permet pas de satisfaire la demande.
2. Formons le tableau des contraintes, en appelant x le nombre de lots A et y le nombre de lot B.
Lot A x
Lot B
y Contraintes
Pains au
chocolat 12 9 108
Croissants 8 12 96
Prix p P
Prix Total
= p( x + y )
Les contraintes portant sur x et y sont alors :
12x + 9y 108 8x + 12y 96
Ce système se simplifie et donne:
4x + 3y 36 2x + 3y 24
4. L'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) vérifiant ce système et, de plus les contraintes 5. x 0 et y 0
6. est alors, en considérant les droites : 7. -D1 : " 4x + 3y = 36 "
-D2 : " 2x + 3y = 24 "
-Le point A est le point d'intersection de ces deux droites.
8.
9. Comme le prix des lots A et B est identiques, le coût total, en fonction de x et y est:
COUT TOTAL = p( x + y )
Minimiser le coût total revient donc à minimiser (x + y ). Le nombre (x + y ) est le nombre de lots achetés au total.
a. Droites ∆9 et ∆11.
On remarque que ∆9 a une intersection vide avec l'ensembles des points qui représentent les contraintes portant sur x et y.
Donc, on ne peut pas satisfaire à la demande en achetant 9 lots au total.
On remarque que ∆11 a une intersection non vide avec l'ensembles des points qui repr"sentent les contraintes portant sur x et y.
On peut donc satisfaire à la demande en achetant 11 lots au total.
b. La droite correspondant à un achat au moindre coût est la droite parallèle aux droites ∆9 et ∆11 et passant par le point A appartenant aux droites D1 et D2.
Ce point a pour coordonnées (4 ; 6).
L'achat permettant de satisfaire la demande au moindre coût est donc:
4 lots A 6 lots B
