SÉRIES DE FONCTIONS

SÉRIES DE FONCTIONS

Dans cette séance,k désigneRouC. On fixe en outre un ensemble non-videΩ

3.1. Suite de fonctions, convergence simple

On appellesuite de fonctions surΩ(à valeurs dansk) toute suite(fn)n∈N, où pour chaquen∈N,f_n est une application deΩdansk.

Définition 3.1. — Soient (fn)_n∈N une suite de fonctions sur Ω et f : Ω →k une fonction. On dit que la suite(fn)n∈N converge simplement versf si, pour toutx∈Ω fixé, on a

n→+∞lim fn(x) =f(x).

Exemple 3.2. — Pour tout n∈N, soitfn : [0,1]→R telle quefn(x) =xⁿ. Alors la suite de fonctions(fn)_n∈N converge simplement vers1l_{1}.

3.2. Convergence uniforme

Pour toute fonctionf : Ω→k, on définit kfksup:= sup

x∈Ω

|f(x)| ∈[0,+∞].

Si kfk<+∞, on dit que la fonctionf est bornée.

Définition 3.3. — Soient(fn)n∈Nune suite de fonctions sur Ωà valeurs dansket f : Ω→k une fonction. On dit que la suite(f_n)_n∈Nconverge uniformément versf si

n→+∞lim kfn−fksup= 0.

18 SÉANCE 3. SÉRIES DE FONCTIONS

Remarque 3.4. — On voit aussitôt de la définition que, si la suite de fonctions (f_n)_n∈Nconverge uniformément versf, alors il converge simplement versf. La réci- proque n’est cependant pas vraie. On peut considérer l’exemple 3.2 où fn(x) =xⁿ. On akfn−1l_{1}ksup= 1pour toutn∈N.

Proposition 3.5. — Soient (X, d) un espace métrique non-vide et (fn)n une suite de fonctions sur X à valeurs dansk, qui converge uniformément vers une fonction f :X→k. Soitxun élément deX. Si, pour toutn∈N, la fonction fn est continue en x, alors la fonctionf est continue en xaussi.

Démonstration. — Soit (xn)n∈N une suite dans X qui converge vers x. Pour tout (m, n)∈N², on a

|f(xn)−f(x)|6|f(xn)−fm(xn)|+|fm(xn)−fm(x)|+|fm(x)−f(x)|

62kf−f_mk_sup+|f_m(x_n)−f_m(x)|.

Par passage à la limite quandn→+∞, en utilisant la continuité defmon obtient lim sup

n→+∞

|f(x_n)−f(x)|62kf −f_mk_sup. Par passage à la limite quandm→+∞, on obtient

n→+∞lim |f(xn)−f(x)|= 0.

Proposition 3.6. — Soit (fn)_n∈N une suite de fonction de classe C¹ sur un inter- valle fermé et borné I = [a, b] dansR. On suppose que la suite (f_n⁰(x))n∈N converge uniformément sur I et qu’il existe un élément x₀ ∈ I tel que la suite numérique (fn(x0))_n∈N converge. Alors la suite (fn)_n∈N converge uniformément vers une fonc- tionf de classe C¹ surI, et la suite (f_n⁰)_n∈Nconverge versf⁰.

Démonstration. — Soitg la limite de(f_n⁰)_n∈N. D’après la proposition 3.5, la fonction gest continue surI. En particulier, elle est bornée carIest séquentiellement compact.

SoientM la limite de la suite (f_n(x₀))_n∈Net f :I→kla fonction telle que f(x) =

Z x

x₀

g(t)dt+M.

Commeg est continue, on af⁰=g. En outre, pour toutx∈I on a

|fn(x)−f(x)|=

Z x

x0

f_n⁰(t)−g(t)dt+fn(x0)−M

6|fn(x0)−M|+kf_n⁰ −gksup(b−a).

On en déduit

kf_n−fk_sup6|f_n(x₀)−M|+kf_n⁰ −gk_sup(b−a).

Par passage à la limite quand n→+∞, on obtient que(fn)_n∈N converge uniformé- ment versf.

3.3. Série de fonctions

Définition 3.7. — Soit(f_n)_n∈Nune suite de fonctions sur Ωà valeurs dansk. On appellesérie de fonctionsassociée à(fn)_n∈Nla suite de fonction(Pn

j=0fj)_n∈N, notée P

n∈Nfn. Attention, le symboleP

n∈Nfn désigne une suite de fonction eta priori n’a rien avoir avec la somme infinie. Si cette suite converge simplement (resp. uniformé- ment), on dit que la sérieP

n∈Nfn converge simplement(resp.uniformément), et par abus de notation on utilise la même expression P

n∈Nfn pour désigner la fonction limite, appelée lasomme de la série de fonctions.

Soit (f_n)_n∈N une suite de fonctions sur Ω à valeurs dans k. On dit que la série P

n∈Nfn converge normalement si la série numérique P

n∈Nkfnksup converge. On voit que la convergence normale implique la convergence uniforme, et la convergence uniforme implique la convergence simple.

On déduit des propositions 3.5 et 3.6 les résultats suivants pour les séries de fonc- tions.

Proposition 3.8. — Soient(X, d)un espace métrique etP

n∈Nf_nune série de fonc- tions surX. Soitx∈X. Si chaquefnest continue enxet si la sérieP

n∈Nfnconverge normalement, alors la fonction somme de la série P

n∈Nfn est continue en x.

Proposition 3.9. — Soient I = [a, b] un intervalle fermé et borné etP

n∈Nfn une série de fonctions de classeC¹ sur I. On suppose que

(a) il existe x0∈[a, b]tel que la série numérique P

n∈Nfn(x0)converge, (b) la série de fonctions P

n∈Nf_n⁰ converge normalement.

Alors la série de fonctionsP

n∈Nf_nconverge normalement vers une fonction de classe C¹ sur I, dont la dérivée s’identifie à la somme de la série P

n∈Nf_n⁰.

3.4. Séries de Fourier

Pour toutn∈Z, on désigne pare_n la fonction sur[0,1]à valeurs complexes telle que

en(t) =e^2iπnt.

Proposition 3.10. — L’ensemble(en)_n∈Zest une famille orthonormée dans l’espace préhilbertien C⁰([0,1],C).

Démonstration. — Pour toutn∈Z, on a he_n,e_ni_L2 =

Z 1 0

e^−2iπnte^2iπntdt= Z 1

0

1dt= 1.

Si net msont deux entiers,n6=m, on a hen,emiL² =

Z 1 0

e^−2iπnte^2iπmtdt= Z 1

0

e^2iπ(m−n)tdt=he^2iπ(m−n)t 2iπ(m−n)

i¹

0= 0.

20 SÉANCE 3. SÉRIES DE FONCTIONS

Définition 3.11. — Soitf un élément de C⁰([0,1],C). Pour tout entier n, on dé- signe parcn(f)le nombre complexehen, fiL₂, appelén^ième coefficient de Fourier de f. On désigne parS(f)la suite de fonctions surR

SN(f) :=

N

X

n=−N

cn(f)en, N ∈N, appeléesérie de Fourier de la fonction f.

Par définition, pour tout n∈ Z, cn(.) est une forme linéaire surC⁰([0,1],C). En outre,S_N(.)définit une application linéaire deC⁰([0,1],C)dans lui-même, qui est la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel engendré pare_−N, . . . ,e₀, . . . ,e_N. En outre, par définition on a

cn(f) =c_−n(f).

Remarque 3.12. — Si f est une fonction continue sur[0,1]à valeurs réelles, pour tout entiernon ac_n(f) =c_−n(f). En particulier,c₀(f)est un nombre réel, et pour toutn∈N, n>1

cn(f)e^2iπnt+c−n(f)e^−2iπnt= 2Re(cn(f)) cos(2πnt)−2Im(cn(f)) sin(2πnt).

On note

a_n(f) := 2Re(c_n(f)) = 2 Z 1

0

f(x) cos(2πnx)dx,

bn(f) :=−2Im(cn(f)) = 2 Z 1

0

f(x) sin(2πnx)dx, et

a0(f) :=c0(f) = Z 1

0

f(x)dx.

Ces coefficients sont appeléscoefficients de Fourier réels def. La série de Fourier de f s’écrit comme

a₀(f) + X

n∈N, n>1

a_n(f) cos(2πnt) +b_n(f) sin(2πnt).

Proposition 3.13. — Soit f une fonction de classeC¹ sur [0,1]. Pour toutn∈Z on a

c_n(f⁰) =f(1)−f(0) + 2iπnc_n(f).

Démonstration. — Par définition, on a c_n(f⁰) =

Z 1 0

f⁰(t)e^−2iπntdt= [f(t)e^−2iπnt]¹₀− Z 1

0

f(t)(−2iπn)e^−2iπntdt

=f(1)−f(0) + 2iπncn(f).

Proposition 3.14. — Pour toute fonction f ∈C⁰([0,1],C), on a kfk²_L2>X

n∈Z

|cn(f)|².

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du corollaire 1.17.

Corollaire 3.15 (Théorème de Riemann-Lebesgue). — Pour toute fonction f ∈C⁰([0,1],C), on a

|n|→+∞lim |cn(f)|= 0.

Remarque 3.16. — D’après le corollaire 3.15, on obtient que, pour toute fonction continuef : [0,1]→R, on a

N→+∞lim Z 1

0

f(t) cos(2πN t)dt= lim

N→+∞

Z 1 0

f(t) sin(2πN t)dt= 0.

Par un changement de variables, on obtient que, pour toute fonction continue g : [0,1/2]→R, on a

(3.1) lim

N→+∞

Z 1/2 0

g(y) cos(πN y)dy= lim

N→+∞

Z 1/2 0

g(y) sin(πN y)dy= 0

3.5. Convergence de série de Fourier

Soitf une fonction dansC⁰([0,1],C). On suppose quef(0) =f(1)et On étendf en une fonction 1-périodique surRen mettant

fe(x) =f(x− bxc).

Sur [0,1], on a fe(x) =f(x).

Pour toutN ∈N SN(f)(x) =

N

X

n=−N

cn(f)e^2iπnx=

N

X

n=−N

Z 1 0

f(t)e^2iπn(x−t)dt.

On introduit lenoyau de Dirichlet comme suit : D_N(x) :=

N

X

n=−N

e^2iπnx=e^{−2iπN x}e^2iπ(2N+1)x−1

e^2iπx−1 = e^iπ(2N+1)x−e^{−iπ(2N+1)x}

e^iπx−e^−iπx = sin((2N+ 1)πx) sin(πx) .

Avec cette notation, on a

SN(f)(x) = Z 1

0

f(t)DN(x−t)dt.

La fonction DN est réelle,1-périodique et paire. En outre, on a (3.2)

Z 1 0

DN(t)dt= 1et Z ¹₂

0

DN(t)dt=1 2.

22 SÉANCE 3. SÉRIES DE FONCTIONS

On obtient alors (par la1-périodicité defeetDN) SN(f)(x) =

Z 1 0

fe(t)DN(x−t)dt= Z ¹₂

−¹₂

fe(x−y)DN(y)dy

= Z ¹₂

0

(fe(x+y) +f(xe −y))D_N(y)dy.

(3.3)

Théorème 3.17. — Soit f une fonction dans C⁰([0,1],C) telle que f(0) = f(1).

Soitfela fonction 1-périodique surR telle quefe(x) =f(x) six∈[0,1]. Si x est un élément deRtel que les limites

δ→0+lim

fe(x+δ)−fe(x)

δ et lim

δ→0+

fe(x−δ)−fe(x) δ

existent, alors la suite(SN(f)(x))N∈Nconverge versfe(x).

Démonstration. — D’après les formules (3.2) et (3.3), on a

|SN(f)(x)−fe(x)|=

Z ¹₂

0

(fe(x+y)−f(x) +e fe(x−y)−fe(x))DN(y)dy .

Soitg: ]0,1/2]→Cla fonction définie par

g(y) =f(x+y)−f(x) +f(x−y)−f(x)

y .

Cette fonction s’étend par continuité en une fonction continue sur[0,1/2]. Ainsi

|SN(f)(x)−fe(x)|=

Z 1/2 0

g(y) y

sin(πy)sin((2N+ 1)πy)dy

converge vers0 quand N →+∞(d’après le théorème de Riemann-Lebesgue, voir la formule (3.1)) cary7→g(y)y/sin(πy)s’étend par continuité en une fonction continue sur[0,1/2].

Théorème 3.18. — Soit f une fonction dans C⁰([0,1],C) telle que f(0) = f(1).

Pour toutN ∈N,N >1, soit

MN(f) := 1 N

N−1

X

j=0

Sj(f).

Alors la suite de fonctions (M_N(f))_{N∈N, N>1} converge uniformément sur [0,1] vers f.

Démonstration. — Par définition, on a

M_N(f)(x) = 1 N

N−1

X

j=0

Z 1/2 0

(fe(x−y) +fe(x+y))D_j(y)dy

oùfeest la fonction1-périodique surRqui prolongef. En outre, on a

N−1

X

j=0

Dj(x) =

N−1

X

j=0

e^iπ(2j+1)x−e^{−iπ(2j+1)x}

e^iπx−e^−iπx = e^{2iπN x}+e^{−2iπN x}−2 (e^iπx−e^−iπx)²

=−cos(2πN x)−1

2 sin(πx)² =sin(πN x)² sin(πx)² . SoitF_N le noyau de Féjer, défini comme

FN(x) = 1 N

N−1

X

j=0

Dj(x) = 1 N

sin(πN x)² sin(πx)² .

En prenant f comme la fonction constant 1 on obtient SN(f) = 1 pour tout N et donc

Z 1/2 0

FN(x)dx=1 2. On en déduit

MN(f)(x)−f(x) = Z 1/2

0

(fe(x−y) +fe(x−y)−2fe(x))FN(y)dy.

Soitδ∈[0,1]. On a

|M_N(f)(x)−f(x)|6 Z δ

0

|fe(x−y) +fe(x+y)−2fe(x)|F_N(y)dy

+4kfk_sup N

Z 1/2 δ

sin(πN y)² sin(πy)² dy

6 sup

(a,b)∈[−1,1]²

|a−b|6δ

|f(a)e −fe(b)|+4kfksup

N

Z 1/2 δ

1 sin(πy)²dy.

En prenant les limites quandN →+∞et δ→0+successivement on obtient lim sup

N→+∞

kMN(f)−fksup= 0.

Lemme 3.19. — Pour toute fonctionf ∈C⁰([0,1],C)on a kfk_L26kfk_sup. Démonstration. — Soitf une fonction continue sur[0,1]à valeurs complexes. On a

kfk²_L2 = Z 1

0

|f(t)|²dt6kfk²_sup.

Proposition 3.20. — Soitf une fonction continue sur [0,1]telle que f(0) =f(1).

La suite (SN(f))n∈Nconverge versf par rapport à la normeL².

24 SÉANCE 3. SÉRIES DE FONCTIONS

Démonstration. — Comme MN(f) est dans le sous-espace vectoriel engendré par e_−N, . . . ,e₀, . . . ,e_N, on a (carS_N(f)est la projection orthogonale)

kS_N(f)−fk_L26kM_N(f)−fk_L2 6kM_N(f)−fk_sup.

Par passage à la limite quandN →+∞, d’après la proposition 3.18 on obtient que

N→+∞lim kS_N(f)−fk_L2 = 0.

3.6. Égalité de Parseval

Théorème 3.21. — Soit f une fonction dans C⁰([0,1],C) telle que f(0) = f(1).

L’égalité suivante est vraie : (3.4)

Z 1 0

|f(t)|²dt=X

n∈Z

|cn(f)|².

Démonstration. — Comme kSN(f)−fkL² converge vers 0 quand N → +∞, on obtient que

lim

N→+∞kSNk²_L2=kfk²_L2, d’où le résultat.

Proposition 3.22 (Inégalité de Wirtinger). — Soitf :R→C une fonction de classe C¹ qui est1-périodique. Soit m_f =R1

0 f(x)dx. Alors Z 1

0

|f(x)−mf|²dx6 1 4π²

Z 1 0

|f⁰(x)|²dx.

Démonstration. — Quitte à rajouter une fonction constante à f on peut supposer sans perte de généralité quemf = 0. Commef est de classeC¹et 1-périodique on a

cn(f⁰) = 2iπncn(f).

En outre,c0(f) =mf = 0. L’égalité de Parseval donne alors Z 1

0

|f⁰(x)|²dx= X

n∈Z, n6=0

|2iπnc_n(f)|²>4π² X

n∈Z, n6=0

|c_n(f)|²= 4π² Z 1

0

|f(x)|²dx.