Séance de travaux pratiques sur le rendement des lignes
Introduction
Le calcul du rendement des lignes fait intervenir les puissances en début et en fin de ligne. Le calcul de ces dernières fait intervenir les tension et courant en début et en fin de ligne. La première partie du document explique comment ces valeurs sont calculées pour une ligne quelconque (en régime triphasé équilibré), quelle que soit sa longueur.
Une fois cette étape franchie, on définit le rendement d’une ligne électrique haute tension.
Pour poursuivre, on définit la notion de puissance naturelle d’une ligne et de SIL (surge impedance loading), pour terminer par une étude du rendement maximum d’une ligne. Les hypothèses considérées pour l’étude du rendement maximum sont celles de Papazoglou, à savoir tension, courant et facteur de puissance sont considérées comme les variables de la fonction rendement.
Calcul d’une chute de tension en régime triphasé équilibré
En triphasé équilibré, sous les hypothèses décrites dans la séance de travaux pratiques
« RLC », il a été montré que l’étude d’une ligne pouvait se ramener à l’étude d’une seule phase. Le schéma équivalent d’une phase est visible à la figure suivante. Il comporte des impédances longitudinales z [Ω] et transversales y-1[Ω].
Figure 1 Schéma équivalent monophasé d’une ligne électrique La chute de tension le long d’un tronçon de ligne de longueur dx s’écrit :
z dx
y dx
Vx+dVx Vx
zdx I zdx dI I dV
dV V dV V dV
x x
x x
x x x x x
≅ +
=
=
− +
=
) (
)
( Équation 1
De manière similaire : ydx
V
dIx ≅ x Équation 2
On a donc les deux équations
x
x zI
dx
dV = Équation 3
x
x yV
dx
dI = Équation 4
que l’on peut différentier par rapport à x :
dx zdI dx
V
d x x
2 =
2
Équation 5
dx ydV dx
I d x
2 =
2
Équation 6
Introduisant (1) et (2) dans (5) et (6), on obtient
x
x yzV
dx V d 2 =
2
Équation 7
x
x yzI
dx I d 2 =
2
Équation 8
avec en x=0 (au récepteur), Vx =VR et Ix =IR1 En résolvant (7) et (8), on obtient
R
R yzx I
y V z
x yz x
V( )=(cosh ) +( sinh ) Équation 9
R
R yzx I
V x z yz
x y
I( )=( sinh ) +(cosh ) Équation 10
Introduisant :
1 On utilise l’indice R pour désigner le côté récepteur (receiving end) et S pour le côté qui produit de l’énergie (sending end)
la constante de propagationγ = yz Équation 11
l’impédance naturelle (« surge impedance »)
y
Zc= z Équation 12
l’admittance naturelle (« surge impedance »)
z
Yc = y Équation 13
et en considérant une ligne de longueur l, avec une extrémité qui produit de l’énergie (dénotée
« s », en x=l) et une extrémité réceptrice (dénotée « r », en x=0), les équations (9) et (10) deviennent
R C
R
S lV Z l I
V =(coshγ ) +( sinhγ ) Équation 14
R R
c
S Y l V l I
I =( sinhγ) +(coshγ) Équation 15
Sous forme matricielle, cela donne
=
=
R R R
R c
c S
S
I V D C
B A I
V l l
Y
l Z
l I
V
) cosh(
) sinh(
) sinh(
) cosh(
γ γ
γ
γ Équation 16
Ou si l’on recherche les tension et courant au récepteur :
−
= −
S S R
R
I V A C
B A I
V Équation 17
Les équations (16) et (17) sont valables quelle que soit la longueur de la ligne considérée.
En utilisant la notion de quadripôle, les équations (16) et (17) sont équivalentes au schéma
« en pi »2 suivant :
2 Attention à ne pas confondre le schéma équivalent de cette page, valable pour les lignes quelle que soit leur longueur, avec le schéma en pi valable présenté pendant la répète RLC, et valable pour les lignes courtes seulement !!
Où
) sinh(
1 ) cosh(
1 2
) sinh(
l Z
l B
A Y
l Z
B Z
c c
γ γ γ
π π
= −
= −
=
=
Équation 18
Puissance naturelle et Surge Impedance Loading (SIL)
D’après [Aguet1987], on appelle puissance naturelle d’une ligne la puissance que cette ligne supposée de longueur infinie absorberait si on lui appliquait la tension nominale.
On peut donc aussi dire (les « l » se simplifiant), que c’est la puissance transmise par la ligne chargée par son impédance caractéristique, à tension nominale :
c
nat Z
P U
2
= Équation 19
Or, la puissance réactive consommée par une ligne s’écrit
2
2 3
3 LlI ClV
Q= ω − ω Équation 20
L’équation 20 montre que si l’on choisit Zc C
L I
V = ≅ (à la résistance linéique près), alors la ligne ne consomme pas de puissance réactive. Pour le formuler autrement, lorsqu’une ligne fonctionne à sa puissance naturelle- à la résistance linéique près-, (c'est-à-dire si la charge connectée à la ligne est égale à son impédance caractéristique alors qu’elle fonctionne à sa tension nominale), on a la même quantité d’énergie stockée dans les champs magnétique et électrique. Sous ces conditions, la ligne se comporte comme une résistance pure et ne nécessite aucun apport de puissance réactive externe.
Après avoir parlé de « Puissance naturelle », la transition vers le « Surge Impedance Loading » (SIL) est facile. On pourrait traduire « Surge Impedance » par « Impedance transitoire ». Comme son appellation anglaise l’indique, la notion de SIL se rencontre dans les calculs de propagation de surtensions transitoires (voir par exemple [Weedy1998]).
Commençons par définir ce qu’est une « surge impedance » : c’est l’impédance d’une ligne qui aurait la même quantité d’énergie stockée dans les champs magnétique et électrique et qui en même temps serait caractérisée par une absence de pertes joules. Autrement dit,
l’impédance caractéristique Zcd’une telle ligne serait égale à C
L .
Dans la pratique, aux fréquences habituelles, les pertes joules sont présentes et non négligeables. Cependant, quand on aborde des phénomènes à haute fréquence, ou des transitoires dus à la foudre, les pertes sont souvent ignorées [Gönen1988]. On pose alors
C Zc = L
et l’on définit la SIL par « the power delivered by the line to a purely resistive load equal to its surge impedance”:
Zc
SIL U
2
= Équation 21
On utilise souvent la notion de SIL pour comparer les capacités de transports de deux lignes haute tension. Cependant, il faut bien distinguer la notion de puissance naturelle et celle de puissance maximale. La détermination de la puissance maximale qu’une ligne peut transporter est complexe. Elle doit prendre en compte par exemple la stabilité du réseau, les limites thermiques de la ligne, les limites de chute de tension… (Voir paragraphe dédié à ce sujet).
Rendement d’une ligne
En triphasé, si on désigne par U la tension entre phases et V la tension de phase, les puissances complexes [kVA] reçue et injectée s’écrivent respectivement:
3 R *R
R U I
S = Équation 22
3 S *S
S U I
S = Équation 23
Le rendement associé au transport de l’énergie électrique est le rapport entre la puissance active reçue en fin de ligne par les récepteurs [MW] et la puissance active injectée en début de ligne [MW]3. Celui-ci peut donc s’écrire
3 La puissance complexe a pour unité le kVA. Lorsque l’on prend la partie réelle de cette puissance complexe, on parle de puissance active, qui a pour unité le MW. La partie imaginaire de la puissance complexe est dénommée puissance « apparente », elle s’exprime en kVAr (« r » étant l’abréviation de réactif).
( )
) Re(
Re
*
*
S S
R R S
R
I V
I V P
P =
η = Équation 24
En introduisant (16) dans (21) et en posant
°
−
∠
=
°
∠
= φ I I
V V
R
R 0
on obtient une expression du rendement où n’interviennent plus que A, B, C, D, V, I et ∅.
] sin ) Im(
cos ) Re(
cos [ ) Re(
) Re(
cos
* 2 *
* 2
*
2 φ φ φ
η φ
BC BC
A VI BA I
AC V
VI
+ +
+ +
= Équation 25
C’est cette expression qui a servi à Papazoglou [2] pour étudier le rendement maximum des lignes.
Rendement maximum
On peut voir l’expression du rendement (22) comme une fonction des trois variables V, I et cos(phi). Sous ces hypothèses, on obtient le maximum de la fonction rendement en exigeant simultanément [Papazoglou2009]
)) 0 (cos(
0 0
∂ =
∂
∂ =
∂
∂ =
∂
φ η η η
V I
Équation 26
On obtient que le rendement est maximum lorsque à la fois (Condition sur les modules de tension et courant)
) Re(
) Re(
*
*
AC BA I
V =ζ = Équation 27
et (condition sur le déphasage entre courant et tension)
) Re(
* ) Re(
2
) ) Im(
sin(
*
*
*
BA AC
− BC
φ = Équation 28
L’analyse de Papazoglou revient à dire que si à la fois V, I et cos(phi) peuvent varier, on obtient un rendement maximum lorsque l’impédance de la charge que l’on connecte à la ligne satisfait :
) exp( θ
ζ j
Z = Équation 29
Application
Comme dans [Papazoglou2004], on peut chiffrer la puissance qui transite en conditions de rendement maximal, avec les données suivantes : V=345kV, f=60Hz, r=0.04223Ω/km, x=0.4757Ω/km, y=3.4476e-6S/km. On obtient le graphique suivant, où la puissance est exprimée de manière adimensionnelle, en la divisant par la puissance naturelle (voir aussi le fichier « courbes_rendement.m »).
Puissance maximale
La puissance maximale que peut transporter une ligne haute tension est conditionnée par les limites thermiques, les limites de stabilité du réseau, la chute de tension maximale
admissible,…Sa détermination est donc complexe.
Le graphique ci-dessous, extrait du rapport du groupe Cigré JWG B2-C1-19 illustre, pour une longueur de ligne variable, les limites thermiques et liées à une chute de tension maximale.
Figure 2 Illustration des limites thermiques et limites de tension pour une ligne de transport d’énergie La limite de stabilité n’est pas représentée sur la figure précédente, mais elle est expliquée en détails dans le chapitre 4 du manuel de travaux pratiques. La limite de « Minimum Power Transfer Limit » signale qu’au-delà d’une certaine longueur de ligne, les pertes devenant trop conséquentes, il n’est plus intéressant de transporter l’énergie. En effet, en combinant les équations 16 et 25, on montre que, toutes autres choses étant égales, plus la longueur de la liaison est importante, plus faible est le rendement.
Rendement versus P/ |SIL|
L’équation (17) nous donne accès aux courant et tension en début et en fin de ligne.
L’équation (25) nous permet de calculer le rendement d’une liaison. Il est intéressant d’étudier comment, pour une ligne donnée, le rendement d’une ligne peut être amenée à varier.
Soit la ligne suivante : Longueur de 50km, U=150kV,
Conducteur de 298mm², avec R=0.125Ω/km, X=0.424Ω/km, Y=2.94e-6S/km, Imax=943A.
Nous allons tracer la courbe de rendement en fonction du rapport P sur la valeur absolue du SIL. Pour ce faire, nous allons considérer deux hypothèses :
A) la tension aux bornes de la charge est constante et égale à 150kV, le cosphi de la charge étant constant et égal à 0.9, et c’est |Sr| qui est libre de varier.
B) La tension d’alimentation de la charge est libre de varier. Le module de la puissance complexe consommée par la charge est lui constant et égal à 100MVA, avec un cosphi inductif de 0.9. En pratique, il faut toujours vérifier si le champ électrique à la surface du conducteur est acceptable pour une valeur de tension donnée (voir chapitre 6 des notes de travaux pratiques).
Thermal Limit
Voltage Drop Limit
M inimum Power Transfer Limit
Line Length [km]
Sending End Power [MW]
Figure 3 Evolution du rendement d’une ligne de 50km lorsque le rapport P/SIL varie
On peut voir que le rendement maximal est atteint pour un rapport P/|SIL| égal à 0.03 environ, alors que la puissance nominale de la ligne est proche de P/|SIL|=2.7. En pratique, en
Belgique, nombre de lignes sont utilisées en moyenne à environ 60% de leur puissance nominale, ce qui correspond à un rapport P/|SIL| proche de 2. Le graphique précédent montre que cette valeur moyenne de puissance transportée est largement supérieure à la puissance correspondant au rendement maximal. On note également que la variation de rendement atteint de l’ordre de 5% entre un fonctionnement à rendement maximal ou à puissance nominale.
L’étude du rendement maximum doit certainement être complétée par une analyse
économique de la situation. Dans l’exemple qui précède, on voit que lorsque le rendement est maximum, lorsque la puissance transportée par la ligne vaut approximativement 1% de la puissance nominale. Le fonctionnement à rendement maximal n’est pas viable
économiquement.
Références
[Aguet1987] Michel Aguet, Jean-Jacques Morf, « Traité d’Electricité », volume XII, Presses Polytechniques et Universitaires romandes, 1987
[Gönen1988] T. Gönen, « Modern Power System Analysis », John Wiley & Sons
[Papazoglou2009] T. Papazoglou, « Transmission Efficiency Optimization for the Operation of double-circuit Overhead Lines », paper presented in CIGRE AG B.04 meeting in Iraklio, April 3, 2009
[Papazoglou1992]T. Papazoglou, « Review of the Maximum Efficiency of Transmission Lines », IEEE Transactions on Education, vol. 35, N°4, November 1992
[Papazoglou2004]« Maximum efficiency of interconnected transmission lines », IEE Proc.- Gener. Transm. Distrib., Vol. 141, N°4, July 1994
[Weedy1998] B. M. Weedy, « Electric Power Systems », Fourth Edition, John Wiley & Sons
