Pour n = 6 on a la solution en 19 mouvements ci-dessous

(1)

J133- Mouvements de tours.

Un échiquier de n × n cases contient au départ n tours sur la ligne du bas.

Chaque tour peut se déplacer comme aux échecs, mais son trajet doit être maximal, c’est-à-dire qu’elle ne peut s’arrêter que si elle rencontre un obstacle (le bord ou une autre tour). Il n’y a ni prise ni saut.

Il s’agit d’obtenir en D (n) déplacements les n tours alignées le long d’une diagonale.

Q1. Essayez de minimiser D (n) pour n ϵ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Q2. Si on note M (n) le nombre minimal de mouvements nécessaires pour obtenir les n tours alignées le long d’une diagonale, démontrer que pour tout n ≥ 2 on a

Solution proposée par Michel Lafond

Q1. Voici ce que j’ai obtenu :

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D (n) 1 4 8 12 19 26 32 40 47 56 65

Pour n = 2 on a une solution évidente en 1 mouvement.

Pour n = 3 on a la solution en 4 mouvements ci-dessous :

2 2 2 2

3 3

1 2 3 1 3 1 3 1 1

Pour n = 4 on a la solution en 8 mouvements ci-dessous :

2 2 2 2 4 2 4

1 1 1

1 2 3 4 1 3 4 1 3 4 3 4 3 3

2 2 2

1 1 1

4 4 4

3 3 3

Pour n = 5 on a la solution en 12 mouvements ci-dessous (la position initiale est omise) :

2 2 2 2 2 2

1 1 1 5 1 5

1 3 4 5 1 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 3 4

2 5 2 5 2 2 2 2

1 5 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3

5 5 5

4 4 4 4 4 4

Pour n = 6 on a la solution en 19 mouvements ci-dessous. On a indiqué seulement cinq positions intermédiaires avec le nombre de mouvements nécessaires :

(2)

3 3 4

4 4 3 4 3 4 3

5 5 5 5 2 2

6 6 6 6 6

1 1 1 1

1 2 2 2 5

7 mouvements 10 mouvements 13 mouvements 16 mouvements 19 mouvements

Pour n = 7 on a la solution en 26 mouvements ci-dessous. On a indiqué seulement sept positions intermédiaires avec le nombre de mouvements nécessaires :

4 4 4

5 5 6 5

6 6 3 3

7 7 7

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 1 2 1 2

7 mouvements 11 mouvements 13 mouvements

4 4 4 4

6 6 6 6

3 3 3 3

7 7 7 7

1 1 1

2 2 5 5

1 2 5 5 2

15 mouvements 21 mouvements 24 mouvements 26 mouvements

Pour n = 8 on a la solution en 32 mouvements ci-dessous. On a indiqué huit positions intermédiaires :

5 5 5

6 6 6

7 7 7 4

8 8 8

1 1

2 2

3 3

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 4

7 mouvements 16 mouvements 20 mouvements

5 6

7 6 7 6 7 7

4 4 4 4

8 8 8 8

1 1 1 1

2 5 2 5 5

3 3 3 2 2

6 3

(3)

Pour n = 9 on a la solution en 40 mouvements ci-dessous. On a indiqué huit positions intermédiaires :

5 5 5

6 6 6

7 7 7 5 6 7

8 8 8 4 8 4

9 9 9 9

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 2 3 4 4

7 7

3 3

5 6 7 5 6 5 6 5

4 4 4 4

9 9 9 9

1 1 1 1

8 2 8 8 8

3 3 2 2 2

7 6

Pour n = 10 on a la solution en 47 mouvements indiqués ci-dessous avec les codes XH, XB, XG, XD respectivement pour : X se déplace en haut, X se déplace en bas, X se déplace à gauche, X se déplace à droite.

Le départ est

6H-7G-7H-8G-8H-9G-9H-10G-10H-4H- 4D-4B-3H-3D-3B-2H-2D-2B-1H-1D-

1B-8D-5D-5H-5G-7B-7D-6B-6D-3G- 9G-9B-9D-2B-2G-4D-8B-8G-2B-3D- 3B-7H-4B-2D-2H-4G-7D.

Pour n = 11 on a la solution en 56 mouvements ci-dessous.

6H-7G-7H-8G-8H-9G-9H-10G-10H-11G- 11H-9D-5D-5H-5G-8B-8D-7B-7D-6B- 6D-8H-1H-1D-1B-7D-7H-8G-10H-9B- 9G-8D-8B-2H-2D-2B-3H-3D-3B-4H- 4D-4B-2G-10G-10B-10D-8H-8G-9H-9G- 2B-3B-3G-3H-8H-8D.

Pour n = 12 on a la solution en 65 mouvements ci-dessous.

6H-7G-7H-8G-8H-9G-9H-10G-10H-11G- 11H-12G-12H-10D-5D-5H-5G-9B-9D-8B- 8D-7B-7D-6B-6D-8H-3H-3D-3B-9G- 9H-10G-10H-1H-9D-8B-8D-11G-2G-2H- 2D-9B-9G-9H-7B-7G-7H-7G-11B-11D- 4H-7D-7B-11H-1D-1B-2G-2H-2D-2B- 1G-7H-7G-1B-11D.

Q2.

 Appelons "diagonalisation" l’opération consistant à remplacer un "mur" de m tours par une diagonale de ces mêmes tours, une des tours extrêmes étant inchangée.

2

⇒

2

1 1

3

⇒ 3

⇒ ⇒ ⇒ 2

2 2 3 2 3 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(4)

1 1 1 1 1

4

⇒

4

⇒

4

⇒

3 3

2 2 3 2 4 3 2

1 1 1 1

Les figures ci-dessus montrent qu’on peut diagonaliser un mur de m tours en commençant par faire pivoter m – 1 tours de 90° [ce qui nécessite 2m – 3 mouvements] donc en ramenant le problème à la diagonalisation d’un mur de m – 1 tours.

On peut donc diagonaliser un mur de m tours en 1 + 3 + 5 + --- + (2m – 3) = (m – 1)² mouvements.

Il est important de constater pour la suite, que pour effectuer cette diagonalisation, on n’a besoin que de deux côtés de l’échiquier [en gras sur la figure ci-dessus].

 Pour faire mieux que (n – 1)², voyons comment diagonaliser un mur de n tours en mouvements : Premier cas : le mur a un nombre pair n = 2 m de tours

Etape 1.

On commence par "monter" la moitié droite des tours comme on l’a vu plusieurs fois dans la question Q1 : Ci-dessous l’exemple de n = 10 :

6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5

Cela nécessite 2m – 1 mouvements.

Etape 2.

On "relève" la moitié gauche en effectuant pour les m – 1 premières tours les mouvements successifs H, D, B :

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

1 2 3

(5)

4

1 2 3 4 5 5

Cela nécessite 3 × (m – 1) mouvements.

Etape 3.

On "diagonalise" comme vu au début chacun des deux murs symétriques, dans le sens approprié pour obtenir la diagonale finale.

Cela nécessite 2 × (m – 1)² mouvements.

Au total il a fallu : 2m – 1 + 3 × (m – 1) + 2 × (m – 1)² = 2 m² + m – 2 = mouvements.

Second cas : le mur a un nombre impair n = 2 m + 1 de tours.

On procède comme pour le cas pair :

On relève les m + 1 tours de droite en 2 m + 1 mouvements ; On relève les m tours de gauche en 3 × (m – 1) mouvements ; On diagonalise les deux murs en m² + (m – 1)² mouvements.

Au total il a fallu : 2m + 1 + 3 × (m – 1) + m² + (m – 1)² = 2 m² + 3m – 1 = mouvements. CQFD.

Remarque :

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 4 8 13 19 26 34 43 53 64 76

D (n) 1 4 8 12 19 26 32 40 47 56 65

Les résultats obtenus avec D (n) sont souvent meilleurs que ceux obtenus par la majoration précédente, et cela d’autant plus que n est grand. Cela suggère une amélioration possible du majorant.

Il est possible que pour n grand il y ait un majorant en A × n^k avec k < 2 ou pourquoi pas un majorant en A × n ln (n).