TP-LN-TERMSTG-M-CFE-avec correction

Exercice 1 Partie A

On considère la fonction ^f définie sur ^{[0 ;15 ]} par : ^{f x( ) 2ln( x 1) 1} 1. On désigne par ^{f '}la fonction dérivée de ^f sur l’intervalle ^{[0 ;15 ]}. a. Calculer ^{f x'( )} et étudier son signe sur l’intervalle ^{[0 ;15 ]}

b. Etablir le tableau de variation de^f sur l’intervalle ^{[0 ;15 ]}

2. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous ( arrondir au dixième ).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

( )

f x 3,2 4,2 4,6 4,9 5,2 5,8 6,1 6,3

3. Tracer la courbe C représentative de la fonction ^f dans un repère orthonormal ( unité : 1cm ) 4. Soit D la droite d’équation : ^y0,8x. Tracer le droite (D) dans le repère précédent .

Partie B

Une entreprise fabrique des pièces pour avion . on note ^xle nombre de pièces fabriquées par mois ( 0 x 15 ).

Chaque mois , les coûts de production , exprimés en milliers d’euros , sont sonnés par : ^{f x( ) 2 ln( x 1) 1}.

Le prix de vente d’une pièce est 0,8 milliers d’euros .

1. Si l’entreprise vend ^xpièces , déterminer la recette exprimée en milliers d’euros . 2. Vérifier que le bénéfice mensuel est : ^{B x( ) 0,8 x 1 2ln(x1)}.

3. Calculer une valeur approchée de B(3) et B(14), puis préciser pour chacun de ces cas si l’entreprise est bénéficiaire .

4. En justifiant graphiquement la réponse, donner le nombre minimal de pièces qu’il faut fabriquer et vendre pour que l’entreprise soit bénéficiaire .

Exercice 2 : Partie A

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +





'( ) x

g x x

  . b) Montrer que la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +



2) a) Calculer g(1).

b) En déduire le signe de g sur l’intervalle ]0; +



Partie B

On considère la fonctionf définie sur ] 0 ; +



( ) x 1

f x x

  x   . On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,i j ,

).

1)a) Montrer que, pour tout ^xde ] 0 ; +



 x .

b) En déduire, en utilisant le résultat de la dernière question de la partie A, le sens de variation de variation de la fonctionf .

c) Que peut-on en déduire pour le signe de f ?

Montrer que l’équation f x( ) 2 admet une unique solution, notée ,dans l’intervalle [1; 4].

Déterminer un encadrement de , d’amplitude 0,01.

d. Etudier la position relative de C par rapport à la droite D d’équation ^{y x 1}.

e. Tracer C et D dans un repère orthonormé. Retrouver graphiquement la valeur de trouvée précédemment.

Exercice 3

On rappelle que si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si v ne s’annule pas sur I, alors la fonction ^u

v est dérivable sur I et sa fonction dérivée est donnée par la formule :

'

2

' '

u u v v u

v v

   

   On se propose d’étudier la capacité pulmonaire moyenne de l’être humain de 10 à 90 ans.

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [10 ; 90] par 110ln( ) 220

( ) x

f x x

 

On admet que, pour un être humain d’âge x, en années, appartenant à l’intervalle ^{[10 ;90]}, sa capacité pulmonaire moyenne, en litres, peut être modélisée par f (x).

Une représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.

1. Répondre avec la précision permise par la représentation graphique.

a. À quel âge la capacité pulmonaire moyenne est-elle maximale ? Quelle est cette capacité maximale ?

b. À quels âges la capacité pulmonaire moyenne est-elle supérieure ou égale à 5 litres ? 2. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

a. Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 90],

 

2

110 3 ln( )

'( ) x

f x x

  b. Résoudre sur l’intervalle ^{[10 ;90]} l’équation 3−ln(x) = 0.

Donner une valeur arrondie de la solution au dixième.

c. On considère sur l’intervalle ^{[10 ;90]}l’inéquation 3−ln(x) > 0.

Montrer que l’ensemble des solutions de cette inéquation est_{[10; ]e}³ . En déduire le signe de f ′(x) sur l’intervalle ^{[10 ;90]}.

d. Indiquer comment retrouver les résultats de la question 1, donner les valeurs à 10^2 près.

20 30 40 50 60 70 80 90

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

0 10

1

x y

On considère la fonction ^f définie sur l’intervalle ^{[0 ;15 ]} par : ^{f x( ) 2 ln( x 1) 1} 1. a . sur l’intervalle ^{[0 ;15 ]}, ^f est dérivable et on a :

^{'( ) 2 1 2}

1 1

f x  x  x

  . Sur l’intervalle ^{[0 ;15 ]} : x0 donc x 1 0 , on en déduit que ^{f x'( ) 0} .

b. ^{f x'( ) 0} Sur l’intervalle ^{[0 ;15 ]} , donc la fonction ^f est strictement croissante sur ^{[0 ;15 ]}. f(0) 2 ln1 1 1   , car ln1 0 . f(15) 2ln(16) 1 2ln(2 ) 1 8 ln 2   ⁴  

 

2. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

( )

f x 1 2,4 3,2 3,8 4,2 4,6 4,9 5,2 5, 4 5,6 5,8 6 6,1 6,3 6,4 6,5

3. voir graphique

4. Soit(D) la droite d’équation : ^y0,8x . (D) passe par le point ( 0 ; 0) et ( 10 ; 8 ) . Partie B

1. L e prix de vente d’une pièce est 0,8 milliers d’euros . Donc si l’entreprise vend^x pièces, la recette Sera ^0,8x milliers d’euros.

2. Le bénéfice mensuel est calculé en soustrayant de la recette, les coûts de production . ^{B x( )R x( ) f x( ) 0,8 x f x ( )}, ^{B x( ) 0,8 x f x ( ) 0,8 x 1 2ln(x1)}. 3. B(3) 0,8 3 1 2 (3 1) 2, 4 1 2 ln 4 1, 4 4 ln 2    l        1, 4

Donc l’entreprise est déficitaire pour 3 pièces produites vendues.

B(14) 0,8 14 1 2ln14 11, 2 1 2ln14 10, 2 2ln14 4,8          Donc l’entreprise est bénéficiaire pour14 pièces produites vendues.

4. sur le graphique , on constate que sur l’intervalle ^[0;6], la droite (D) est en dessous de la courbe (C f ) . B(6) 0,8 6 1 2ln(6 1) 4,8 1 2 ln 7 3,8 2 ln 7           0,89 0 R x( ) f x( ) 0 ( ^{R x( ) f x( )} ).

Donc l’entreprise dépense plus d’argent qu’elle n’en gagne . Elle est donc déficitaire.

Sur l’intervalle ^{[7 ;15]}, la droite (D) est au dessus de la courbe (C f ) .

B(7) 0,8 7 1 2ln(7 1) 5, 6 1 2 ln 8 4, 6 6ln 2 0, 44 0            : ^{R x( ) f x( ) 0} ( ^{R x( ) f x( )} ) la recette est donc supérieure aux coût de production. Il faut donc fabriquer et vendre un minimum de 7 pièces pour que l’entreprise soit bénéficiaire.

Coût Recette

4,8 Bénéfice

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1

1

x y

x 0 15 '( )

f x + ( )

f x

8ln2+1 1

Exercice 2

1. a g x( )x² 1 lnx , donc

1 2 2 1

'( ) 2 x

g x x

x x

    .

b. Sur l’intervalle ^]0;[ : x0et _2x²_{ 1 0}, donc

2 2 1

'( ) x 0

g x x

   , et par conséquent la fonction ^gest strictement croissante sur ^]0;[.

x 0 1 

'( )

g x + ( )

g x 0

2.a) Calculer g(1). g(1) 1  ² 1 ln1 1 1 0 0   

b) D’après le tableau de variation ^{g x( ) 0} sur ^]0;1[ et ^{g x( ) 0} sur ^]1;[. x 0 1 

( )

g x ^ 0 +

3. a. ln

( ) x 1

f x x

  x   ;

2 2 2 2

1 ln 1 ln 1 ln ( )

'( ) x x x 1 x 1 x x g x

f x x x x x

    

        .

b. Le signe de ^{f x'( )}dépend du signe de ^{g x( )}, puisque x² 0 sur l’intervalle ^]0;[ , Donc on a le tableau de variation en utilisant la tableau de signe de ^{g x( )} sur^]0;[

x 0 1 

( )

g x ^ 0 + '( )

f x ^ 0 + ( )

f x 0

c) la fonction ^f admet un minimum égal à 0 en x1, donc ^{f x( ) 0} sur l’intervalle ^]0;[ . La fonction ^f est strictement croissante sur ^]0;[.elle en particulier sur l’intervalle ^{[1; 4 ]}. Or ^{f(1) 0 2 } et ln 4 2 ln 2 ln 2

(4) 4 1 3 3 2,65 2

4 4 2

f           ,donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation ^{f x( ) 2} admet une solution uniquetel que ^{f( ) 2}  et ^{[1;4 ]}.

En utilisant la calculatrice on obtientf(3,3) 1,9382 2  et f(3, 4) 2, 0401 2  , donc ^3,3  ^{3, 4}.  ^3,36 à 10^2près.

d. Etudier la position relative de C par rapport à la droite D d’équation ^{y x 1}.

Soit ln ln

( ) x 1 ( 1) x

f x y x x

x x

         , étudier la position deC par rapport à (D) revient à étudier le signe de ^{f x( )y} ,c’est-à-dire le signe de lnx

 x . Or x0sur ^]0;[ , donc il faut étudier Le signe de lnx. On sait que lnx0 sur ^]0;1[et lnx0 sur ^]1;[.

D’où lnx0 sur ^]0;1[et lnx0 sur ^]1;[et par conséquent : ^{f x( ) y 0} sur ^]0;1[

et ^{f x( ) y 0}sur ^]1;[ ,c’est-à-dire la courbeC est dessus de la droite (D) sur ^]0;1[ et en dessous de la droite (D) sur ^]1;[.

ln

( ) 0 x 0 ln 0 1

f x y x x

    x      , donc la courbeC et la droite (D) se coupe au point^A(1;0).

2 3  4 5 6

2 3 4 5 6 7

-1

0 1

1

x

Exercice 3

1. On désigne par^f la fonction définie sur l’intervalle [10 ; 90] par 110ln( ) 220

( ) x

f x x

 

a. à l’aide du graphique , la fonction^f admet un maximum égal environ à 5,5 litres , atteint enx20. Par conséquent la capacité pulmonaire moyenne est maximale à 20 ans, elle est de 5,5 litres . b. Résoudre graphiquement l’inéquation ^{f x( )g x( )}, revient à trouver toutes les abscisses des points sur lequelCf se trouve au dessus deCg. Ici la fonction g représente la droite d’équation : ^y5. à l’aide du graphique on lit que ^{f x( ) 5} ,lorsque ^x[14;33] .donc ^S[14;33].

Par conséquent la capacité pulmonaire moyenne est supérieure ou égale à 5 litres lorsque l’âge d’un jeune est entre 14 et 33 ans.

2. soit^{f '}la fonction dérivée de la fonction ^f , cette fonction est dérivable sur l’intervalle ^[10;90]

a. ^{f x( )}est de la forme ( ) ( ) u x

v x , donc '( ) ( )₂ ( ) '( )

'( ) ( )

u x v x u x v x

f x v x

  On pose ^{u x( ) 110ln x220} ; 110

'( )

u x  x et ^{v x( )x} ; ^{v x'( ) 1}

Donc

 

2 2 2 2

110 110ln 220 110 110ln 220 330 110ln 3 ln

'( ) 110

( )

x x x x x

f x x

v x x x x

        

     

 

. b. On résout l’équation ^{f x'( ) 0} sur l’intervalle ^[10;90].

f x'( ) 0  3 lnx 0 lnx   3 0 x e³20,1 [10;90] .

c. On résout l’inéquation ^{f x'( ) 0} sur l’intervalle ^[10;90]. f x'( ) 0  3 lnx 0 lnx  3 x e³. Donc l’ensemble des solutions de cette inéquation est [10; [e³ .

On sait que 3 ln₂

'( ) 110 x

f x x

  

  

  et ¹¹⁰₂ ⁰

x  , donc le signe de ^{f x'( )}dépend du signe de 3 ln x D’après ce qui précède on prouvé que _{3 ln x  0 x e}³, donc _{3 ln x  0 x e}³sur ^[10;90]. d) tableau de variations de^f

x 10 _e³ 90 '( )

f x + 0 ^ ( )

f x 110₃ e

1 4 20 30 3 3 40 50 60 70 80 90 2

3 4 5 6

-1 -2 -3 -4

0 10

1

x y