Exercice 1.
On place 300 € à intérêts composés au taux annuel de 4 % . A l’aide du tableau ci-dessous, répondre aux questions suivantes :
1. Dans la cellule C3, on a entré une formule que l’on a recopié vers le bas cette formule est :
a. =C 2* (1 + $ B $2 / 100) b. =C$2* (1 + B 2 / 100) c. =$ C$2*(1 + $ B $2 / 100)
2. Les intérêts , arrondis au centime d’euro, acquis du bout de 7 ans s’élèvent à :
a. 94,78 b. 379,78 c. 394,78
Exercice 2
Les propriétaires d’un magasin situé en bord de mer souhaitent acheter des planches à voile pour les proposer à la location. Ils doivent acheter deux types de planche à voile :
– des planches, au coût unitaire de 900 €, destinées aux débutants ;
– des planches, au coût unitaire de 2 100 €, destinées aux utilisateurs confirmés.
Les contraintes sont les suivantes :
Ils doivent avoir au moins 4 planches pour débutants et 5 planches pour utilisateurs confirmés.
Pour des raisons de difficulté de stockage, ils ne peuvent acheter au maximum que 17 planches.
Le budget maximum pour l’achat de l’ensemble des planches est de 25 000 €.
On note xle nombre de planches pour débutants et yle nombre de planches pour utilisateurs confirmés achetées par les propriétaires.
1. Justifier que les contraintes d’achat sont caractérisées par le système de la partie A avecxet y entiers.
2. Le magasin peut-il acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés ? Justifier la réponse
3. Les planches pour débutants seront louées 15 € l’heure ; les planches pour utilisateurs confirmés seront louées 20 € l’heure.
On suppose que toutes les planches seront louées.
a. Exprimer, en fonction de xet y le chiffre d’affaire horaire Rdu magasin.
b. Les propriétaires souhaitent déterminer le couple (x;y) qui fournira le chiffre d’affaire horaire maximum. À l’aide d’un tableur, ils obtiennent la feuille de calcul donnée en annexe.
Parmi les formules. suivantes, indiquer celle qui est à saisir dans la cellule B2 afin de compléter le tableau par recopie :
Formule 1 : =15*$A$2+20*$B$1 Formule 2 := 15*A$2+20*$B1 Formule 3 : =15*$A2+20*B$1 c. Donner, parmi les couples (x;y) qui vérifient les contraintes, celui qui correspond au chiffre d’affaire maximum. Quel est ce chiffre d’affaire maximum?
Question 3.b : feuille de calcul
A B C D E F G H
1 y
x 5 6 7 8 9 10 11
2 4 160 180 200 220 240 260 280
3 5 175 195 215 235 255 275 295
4 6 190 210 230 250 270 290 310
5 7 205 225 245 265 285 305 325
6 8 220 240 260 280 300 320 340
7 9 235 255 275 295 315 335 355
8 10 250 270 290 310 330 350 370
9 11 265 285 305 325 345 365 385
10 12 280 300 320 340 360 380 400
Exercice 3
A B C
1 Année n Taux Capital
2 0 4 300
3 1 312
4 2 324,48
5 3 337,4592
6 4 350,957568
7 5 364,995871
8 6 379,595706
9 7 394,779534
10 8 410,570715
On se propose dans cet exercice, d’étudier l’évolution de la consommation d’eau minérale des Français depuis 1970.
Partie A
La feuille de calcul suivante, extraite d’un tableur, donne la consommation moyenne d’eau minérale en en litres par Français sur une année
A B C
1 Consommation ( en litre ) Taux dévolution décennal exprimée en pourcentage 0,1
2 1970 40
3 1980 55 37,5
4 1990 90 63,6
5 2000 149 65,6
1. a. Que signifie le nombre 37,5 obtenu dans la case C3 ?
On attend une explication en français et la justification de ce nombre à l’aide d’un calcul.
b. Quelle formule faut-il écrire dans la case C3 pour compléter la colonne C en recopiant cette formule vers le bas ?
2. a. Calculer le taux d’évolution global de la consommation d’eau minérale entre les armées 1970 et 2000.
b. En déduire que le taux d’évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55 % (à 1 % près).
c. Si l’on fait l’hypothèse que la consommation d’eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55 % au delà de l’an 2000, quelle consommation, à un litre près, peut-on prévoir pour l’année 2010 puis pour l’année 2040 ?
Exercice 4
Un entrepreneur achète a crédit le 01/01/2003 une machine coûtant 500 000 € .
Il rembourse son prêt en 10 anuités en versant 1e 1er janvier de chaque année ( à partir du 01/01/2004 , la somme de 64752,29 qui se décompose en deux parties :
Les intérêt à 5 % sur le capital restant dû l’année précédente ;
L’amortissement du prêt ( le capital remboursé ).
Voici le détail de ces premiers versements donnés à l’aide d’un tableur . 1
A Dates
B Annuités
C Intérêts
D Amortissement
E
Capital restant dû
2 01/01/2003 500 000 ,00
3 01/01/2004 64752,29 25000,00 39752,29 460247,71
4 01/01/2005 64752,29 23012,39 41739,90 418507,81
5 01/01/2006 64752,29 20925,39 43826,90 374680,91
6
Ainsi les intérêts payés le 01/01/2004 représente les 5 % du capital restant dû au 01/01/2003. La somme amortie en 2003 étant la différence entre le montant de l’annuité et les intérêts payés en 2003 .
Toutes les sommes seront données avec deux décimales .
1.Vérifier que les sommes indiquées en C3 et D3 sont correctes . Faire de même avec les sommes indiquées en C4 et D4. Compléter alors la ligne 6 de ce tableau fournie en annexe .
2. Dans la cellule D3a été entrée la formule : "=B3 C3 " qui , par « copier-glisser » a permis de compléter la colonne D .
a. Donner de la même façon , la formule entrée en C3 . b. Que devient cette formule si on la recopie en C4 ?
c. Compléter la formule en E3qui , par « copier glisser » a permis de compléter la colonne E 3. On définit les suites ( )in ; ( )an et( )cn pour n n1 par :
Dates Annuités Intérêts Amortissement Capital restant dû
01/01/ ( 2003+n ) 64752,29 in an cn
Par exemple , i125000 représente les intérêts au 01/01/2004.
Donner les valeurs de i2 ; i3 ; i4 ; a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; c1 ; c2 ; c3 et c4.
4. sachant qu’une de ces suites et une seule est géométrique , déterminer laquelle en précisant votre
méthode .Quelle est la raison de cette suite ? ( on arrondira les calculs à 102près.
5. Déterminer sans calcul et en justifiant , la somme : S a 1 a2a3...a10.
6. A l’aide de la question 4 , justifier l’égalité suivante : S a 1 a2a3...a10795045,80 (1,05 101). Comparer le résultat avec celui de la question 5 . Commenter .
7. Par la méthode de votre choix , déterminer le montant total des intérêts payés par l’entrepreneur . Exercice 5
L'extrait de feuille de calcul ci-dessous donne partiellement le nombre de SMS* interpersonnels émis par téléphone en France lors des années 2001 à 2007. Le format d'affichage sur la plage de cellules B3:H3 est un format numérique à zéro décimale.
(*) Un SMS ou Short Message Service est un message texte, également appelé texto, envoyé d'un téléphone à un autre.
A B C D E F G H
1 Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
2 Nombre de SMS interpersonnels (en
millions) 3234 5877 8410 12712 15023 17546
3 Indice 100 182 260 335 465 543
Source : ARCEP Volumes de la messagerie interpersonnelle 1. a) Calculer le nombre de millions de SMS interpersonnels émis au cours de l'année 2004 (arrondir à l'unité).
b) Calculer l'indice de l'année 2005 (arrondir à l'unité).
2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d'obtenir la plage de cellules C3:H3.
3. Dans cette question les résultats seront arrondis à 1 %.
a) Donner le taux d'évolution du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
b) Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre de SMS interpersonnels émis de l'année 2001 à l'année 2007.
Exercice 6 : . population en France
Le tableau ci-dessous est extrait d’une feuille de calcul d’un tableur.
Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.
0 A B C D E F
1 Population urbaine et rurale en France métropolitaine
2 Population
urbaine en millions
Population rurale en millions
Population totale en millions
Taux de population urbaine en %
Indice de Population urbaine
4 1954 24,5 18,2 42,7 57,4 100
5 1962 29,4 17,1
6 1968 34,8 14,9
7 1975 38,4 14,2
8 1982 39,9 14,5
9 1990 41,9 14,7
10 1999 44,2 14,3
11
12 Source INSEE, recensement de la population
Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.
1. Calculer pour l’année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale.
2. On fixe l’indice de population urbaine à la base 100 en 1954.
Quel est l’indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ?
3. On s’intéresse dans cette question à l’évolution de la population totale.
a. Montrer qu’avec l’arrondi fixé le taux d’évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37 %.
b. En déduire le taux annuel moyen d’augmentation entre 1954 et 1999.
c. Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d’obtenir la plage des cellules D5 : F10.
EXECICE 1
3 2 2
1,04 1 4
C C C 100
. capital précédent : « C2 » On multiplie toujours par 1.04 = 1 + taux : Dans la cellule C3, on a entré une formule que l’on a recopiée vers le bas. Cette formule est : = C * (1 + $B$2/100)2 . « $B$2 » permet de faire référence toujours à la même cellule B2 Rappelons que le symbole $ permet de faire référence toujours à la même cellule :
II-2. Au bout de 7 ans, le capital est de 394.78€ environ : les intérêts sont donc de 394.78 – 300 = 94.78€
Exercice 2
1. on notexle nombre de planches pour débutants etyle nombre de planches pour utilisateurs confirmés achetées pour les propriétaires .Or il doivent avoir au moins 4 planches pour débutants et 5 planches Pour utilisateurs confirmés .Donc : x4et y5.
De plus , ils ne peuvent acheter au maximum que 17 .doncx y 17c’est-à-dire y x 17.
Le budget maximum pour l’achat de l’ensemble des planches est de 25000 €. Donc :900x2100y25000 soit y ( 3/ 7)x250 / 21.
Le système caractérisant les contraintes est donc 45
3 17250 7 21 xy
y x y x
où xet ysont des entiers .
2. On peut remarquer que le point A de coordonnées (6;10) ne se trouve pas dans le domaine non hachuré On a : 6 4 et 10 5 de plus 6 17 11 donc 10 6 17. 3 6 250 28
7 21 3
, donc 10 3 6 250
7 21
L’une des contraintes n’est pas respectées si on prend : x6et y10.
Le magasin ne peut donc pas acheter 6 planches pour débutants et 10 planches pour utilisateurs confirmés.
3. On suppose que toutes les planches seront louées.
a. Soit R le chiffre d’affaire horaire du magasin .
Les planches pour débutants seront louées à 15 € l’heure ; les planches pour utilisateurs confirmés seront louées 20 € l’heure . donc R15x20y.
b Remarque : « $A2 »indique que le calcul sera toujours effectué sur la colonne A, « B$1 » indique que le calcul sera toujours effectué sur la ligne B1.
« $B$1 » indique que le calcul fait référence toujours à la même cellule B1
D’une manière générale le symbole $ permet de faire référence toujours à la même cellule.
« $A » indique que le calcul sera toujours effectué sur la colonne A, et « B$1 » indique que les calculs seront toujours effectués sur la ligne 1.
Lorsque l'on recopie la formule vers la droite, il ne faut pas que la colonne A contenant la valeur de x soit modifiée. Il faut donc mettre un $ devant le A mais il ne faut pas mettre de $ devant le B pour pouvoir changer de y. Lorsque l'on recopie la formule vers le bas, il ne faut pas que la ligne 1 contenant la valeur de y soit modifiée. Il faut donc mettre un $ devant le 1 mais il ne faut pas mettre de $ devant le 2 pour pouvoir changer de x. Il faut donc écrire la formule 3 : =15*$A2+20*B$1.
c. On trace la droite d’équation : 0 15 x20y c’est-à-dire y (3 / 4)x. Fixons la recette R15x20y du magasin 3
4 20
y x R . Le principe pour trouver la recette maximum est le suivant :
Toutes les courbes recettes sont des droites de même coefficient directeur 3 / 4, elle sont donc toutes parallèles entre elles . Pour trouver la recette maximum, il suffit donc d’en tracer une quelconque, et de prendre la parallèle avec la plus grande ordonnée à l’origine qui intercepte le domaine des contraintes . la parallèle la plus « haute » telle que au moins l’un des points de cette droite vérifie les 4 contraintes C’est la droite d’équation 295 15 x20y, et elle passe par le point de coordonnées (9 ;8).
Le point qui correspond au chiffre d’affaire maximum est le point I (9 ;8).
Le chiffre d’affaire maximum est alors : Rmax 15 9 20 8 295 et Rmax 295€.
Par exemple le couple x8et y9 fournit une recette de 300 € mais est hors du domaine des contraintes : 900 8 2100 9 7200 18900 26100 25000 .
Exercice 3
1. Interprétons les données du tableau :
a. Le nombre 37.5 de la case C3 signifie qu’entre les années 1970 et 1980, la consommation d’eau minérale des Français a augmenté d’environ 37,5% (arrondi à 0.1).
En effet, le taux d’évolution est 55 40
100 37,5%
t 40
b. On peut écrire par exemple « 100*( 3B B2)B2». Pour arrondir à 0.1%, on peut même écrire la formule «arrondi(100*( 3B B2)B2;1)».
2. a. Entre les années 1970 et 2000, le taux d’évolution est 149 40
100 272,5%
t 40 , soit une hausse de 272,5%.
b. Le taux d’évolution décennal moyen au cours de ces trois décennies vérifie
(1T)3 1 2, 725 3,725 c’est-à-dire T 3, 7251/ 3 1 0,55 soit 55% arrondi à 0.1%.
c. Pour l’année 2010, on peut prévoir une consommation d’environ 149(1+ 0,55) » 231 litres, et Pour 2040, une consommation d’environ 149 1,55 4 860litres.
Exercice 4 :
1. 3 5
500000 25000
C 100 ; D364752, 29 25000 39752, 29 E3 500000 39752, 29 460247, 71 ;
4 5
460247, 29 23012,39
C 100 ; D4 64752, 29 23012, 29 41739,90 . Donc 1
A Dates
B Annuités
C Intérêts
D Amortissement
E
Capital restant dû
2 01/01/2003 500 000 ,00
3 01/01/2004 64752,29 25000,00 39752,29 460247,71
4 01/01/2005 64752,29 23012,39 41739,90 418507,81
5 01/01/2006 64752,29 20925,39 43826,90 374680,91
6 01/01/2007 64 752,29 18 734,05 46 018,24 328 662,67 2.
a) C3 = E2 ×0,05 ; C4 = E3 ×0,05 b) E3 = E2 – D3
3. i2 23012,39 ; i320925,39 ; i4 18734,05
a139752, 29 ; a2 41739,9 ; a3 43826,90 ; a4 46018, 24. c1460247,71 ; c2 418507,81 ; c3 374680,91 ; c4 328662,67
4. 2 3 4
1 2 3
a 1,05
a a
a a a , donc la suite (an) est une suite géométrique de raison 1,05
5. a1a2...a10 correspond à l’amortissement du prêt, donc d’après l’énoncé, le capital de 500 000 € est remboursé.
6. (an) est une suite géométrique donc on a la formule : 1 2 10 1 1 10 ...
1
a a a a q
q
D’où S10 a1a2...a10 39752, 291 1,051 1,05
10 39752, 290,05 1, 05
10 1
795045 1,05
101
101
S10 500 000€.
7. montant total des intérêts = total des annuités – prêt = 10× 64 752,29 – 500 000 = 147 522,9€.
Exercice 5
1. a) Calcul du nombre de SMS émis en 2004
L'indice en 2004 est égal à 335 par rapport à l'indice 100 en 2001, donc : 2004 3234 335
10834
n 100
Donc le nombre de SMS émis en 2004 est de 10834.
1. b) Calcul de l'indice en 2005
Le nombre de SMS émis en 2005 est de 12712 et de 3234 en 2001, donc : 2005 100 12712 3234 393
i
Donc l'indice en 2005 est égal à 393.
2. L'indice d'une année est égal au quotient du nombre de SMS émis cette même année par le nombre de SMS émis en 2001, puis multiplié par 100.
Il faut "bloquer" la valeur de la cellule B2 pour qu'elle soit présente dans toutes les formules par recopie.
Formule à saisir dans la cellule C3 est := 100* C2/$B2. La formule à rentrer en C3 est 100* 2 / 2C B
Remarque : on peut remplacer la valeur 100 par $B3 dans la formule, mais la valeur 100 est constante.
3. a) Le taux d'évolution t d'une grandeur passant de la valeur x1à x2est donné par 1 2
1
x x
t x
.
Donc, entre 2001 et 2007 : 17546 3234
4, 425
t 3234 . Le taux d'évolution est donc de 443%.
NB : On peut également calculer ce taux en utilisant les indices : on passe de l'indice 100 à l'indice 543, l'indice a donc augmenté de 443 points, ce qui représente une augmentation du nombre de SMS de 443%.
3. b) Soit le taux d'évolution moyen annuel entre 2001 et 2007, qu'on suppose constant lors de chaque évolution. Pour chacune des 6 évolutions, on multiplie chaque année par le coefficient multiplicateur C 1 t. Donc, de 2001 à 2007, on multiplie par
1t
6.Le taux d'évolution global étant égal à C 1 4, 43 5, 43 , on obtient l'équation :
1tm
6 5, 43 1 tm
5, 43
1/ 6tm
5, 43
1/ 6 1 0,326Donc le taux d'évolution moyen annuel est égal à 32,6 %.
Exercice 6
1. En 1962, la population urbaine est de 29,4 millions d'habitants pour une population totale de 29,4 + 17,1 = 46,5 millions d'habitants, soit un taux de population urbaine en France de 29, 4
100 63, 2%
46,5 .
2. On fixe l’indice de population urbaine à la base 100 en 1954.
Entre 1954 et 1962, la population urbaine a augmenté de29, 4 24,5
100 20%
24,5
.
L'indice correspondant à 1962 est donc 100 20 120 .
On pourra faire le calcul directement en appliquant la formule 2 /1 29, 4
100 100 120
24,5
f i
I v
v
De même, entre 1954 et 1982, la population urbaine a augmenté de39, 4 24,5
100 62,8%
24,5
.
L'indice correspondant à 1982 est donc100 62,8 162,8 . ou / 39,9
100 100 162,8
24,5
f f i
i
I v
v
3. a) En 1999, la population globale est de 44,2 + 14,3 = 57,5 millions d'habitants contre 42,7 millions en 1954, ce qui représente une hausse de58,8 42,7
100 37 % 42,7
.
3. b) Entre 1954 et 1999, il s'est écoulé 1999 - 1954 = 45 ans. L'augmentation globale de 37 % correspond à
un coefficient multiplicateur global M de 1,37.
Le coefficient multiplicateur annuel m est alors tel quem45 M soitm M 1/ 45 1,371/ 45 1, 0070, ce qui correspond à une augmentation annuelle de1, 007 1 0, 007 0, 7% .
3. c) La cellule D5 correspond à la somme des valeurs des cellules B5 et C5.
La colonne D permet de calculer la population totale en additionnant les populations urbaine (B) et rurale (C), donc la formule à insérer dans la cellule D5, permettant par recopie vers le bas d’obtenir la plage des cellulesD5 : D10 est D5 : = B5 + C5.
La colonne E permet de calculer le taux de population urbaine en divisant la population urbaine (B) par la population totale (D) et en multipliant par 100 pour l'obtenir en pourcentage, d'où,
la formule à insérer dans la cellule E5, permettant par recopie vers le bas d’obtenir la plage des cellules E5 : E10 est :
B5/D5 *100
ou = B *100/D5.
La colonne F permet de calculer l'augmentation de la population urbaine de l'année n (Bn) par rapport à celui de l'année 1954 ( B4). Pour fixer cette valeur, on utilise le signe $.
La cellule F5 correspond à 29, 4 100 24,5
puisque 24,5 est une valeur fixe car elle correspond à l’indice 100 La formule à insérer dans la cellule F5 , permettant par recopie vers le bas d’obtenir la plage des cellules F5 : F10 est := B5*100 /B$4
.ou = B5 100 /$B$4
A B C D E F
1 Population urbaine et rurale en France métropolitaine 2
3
Population urbaine en millions
Population rurale en millions
Population totale en millions
Taux de population urbaine en %
Indice de Population urbaine
4 1954 24,5 18,2 42,7 57,38 100
5 1962 29,4 17,1 46,5 63,23 120
6 1968 34,8 14,9 49,7 70,02 142,04
7 1975 38,4 14,2 52,6 73 156,73
8 1982 39,9 14,5 54,4 73,35 162,86
9 1990 41,9 14,7 56,6 74,03 171,02
10 1999 44,2 14,3 58,5 75,56 180,41
11
12 Source INSEE, recensement de la population
Exercice 1
Le 1er janvier suivant la date de sa naissance, les grands parents de Katia lui ouvrent un livret d’épargne et déposent un capital de 100 euros. Ils déposent ensuite 100 " sur ce livret tous les 1er janvier suivants.
Ce placement est à intérêts composés au taux annuel de 3 % fixe pour toute la durée du livret d’épargne.
Les intérêts sont versés tous les 1er janvier. On pose C0 100. Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1.On note Cn le capital, exprimé en euros, se trouvant sur le livret le 1er janvier au terme d’un nombre n d’années de placement. On définit ainsi une suite C telle que C0 100et C1203.
1. Justifier que C2 309,09 et que C2 418,36.
2. La suite C peut-elle être arithmétique ? Peut-elle être géométrique ? Justifier chaque réponse.
Le tableau ci-dessous est un extrait d’une feuille de calcul obtenue à l’aide d’un tableur. Il donne notamment les premiers termes de la suite C. Le format d’affichage est un format numérique à deux décimales.
A B C D
1 Valeurs de n Capital se trouvant sur le livret au
terme de n années de placement Intérêts acquis au cours de l’année
Taux
2 0 100 3 0,03
3 1 203 6,09
4 2 309,09 9,27
5 3 418,36 12,55
6 4
7 5
8 6
9 7
10 8
11 9
12 10
13 11
14 12
15 13
16 14
17 15
18 16
19 17
20 18
Donner des formules qui, entrées dans les cellule B3 et C3, permettent par recopie vers le bas d’obtenir la plage de cellules B3 : C20. On admet que, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1,
Cn 100 1 1,03 1,03
21,033... 1,03 n
Montrer que le capital total se trouvant sur le livret de Katia le soir du 1er janvier suivant son seizième anniversaire sera égal à 2 176,16 euros.
Exercice 2
1. Quel était le nombre d’appareils de chauffage au bois vendu en France en 2000 sachant qu’il a augmenté de 5 % entre 2000 et 2001 ?
2. On construit un tableau d’indices en prenant comme base 100 l’année 2001 a. Compléter l’extrait de feuille de calcul reproduit dans l’annexe 2.
On donnera des valeurs décimales arrondies au dixième.
A B C D E F
1 Année 2001 2002 2003 2004 2005
2 Nombre d’appareils de chauffage au bois vendus 273 292 337 360 430
3 Indice 100 157 ,5
b. Quelle formule, à recopier sur la plage D3 :F3, peut-on saisir dans la cellule C3 ?
3. Déterminer le taux d’évolution du nombre d’appareils de chauffage au bois vendu entre les années 2001 et 2005.
4. Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’appareils de chauffage au bois entre 2001 et 2005.
Exercice 3 :
La feuille de calcul ci-dessous présente les indices de référence des loyers mensuels pour les années 2002 à 2006 (base 100 en 2004). Source INSEE
M. Lasserre y a porté le montant des loyers mensuels de l’appartement qu’il loue ; ce montant évolue chaque année en fonction de l’indice de référence.
A B C D E F
1 Année 2002 2003 2004 2005 2006
2 Indice 95,5 97,7 100 105,5
3 Loyer 334,25 341,95 350 359,10 369,25
4 Taux d’évolution annuel en pourcentage
Partie A Questionnaire à Choix Multiples
Pour chaque question, une seule proposition est exacte.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la lettre indiquant la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse est comptée 0 point.
1. L’indice 105,5 en 2006 signifie :
A : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,50 " entre 2004 et 2006.
B : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2002 et 2006.
C : le montant du loyer mensuel a augmenté de 10 % entre 2002 et 2006.
D : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2004 et 2006.
2. Le taux d’évolution du loyer mensuel entre 2002 et 2003 (à 10−2 près) est égal à :
A : + 2,20 % B : + 2,30 % C : + 7,70 % D : + 2,25 %
3. On souhaite compléter la ligne 4 ; quelle formule faut-il entrer dans la cellule C4, pour obtenir, par recopie vers la droite, le taux d’évolution annuel des loyers ?
A : =( $C3 $B3)* 100/ $B3 B : =( C$3 B$3)* 100/C$3 C : = ( C$3 B$3) * 100/ B$3 D : =( C$3 B$3) * B$3 / 100 Partie B
1. Calculer l’indice de référence pour l’année 2005.
2. Calculer le taux moyen annuel d’évolution des loyers mensuels entre 2002 et 2006, arrondi à 10−2 près
Exercice 1
1. Le capital Cn1 correspond au capital Cnauquel on a ajouté les intérêts de l’année et 100 € supplémentaire
A l’année n, on a donc un capital initial Cn : toute l’année, il est placé à 3% d’intérêt, donc à la fin de l’année on dispose d’un capital de 1,03Cn . On dépose ensuite le 1er janvier 100€, donc le nouveau capital est 1,03Cn 100 .On a ainsi C11,03C0100 1,03 100 100 203€ .
De même, C21,03C1100 1,03 203 100 309,09€ . C3 1, 03C2100 1, 03 309, 09 100 418,36€ 2.C1C0 203 100 103 et C2C1309, 09 203 106, 09 . Cette suite n’est pas arithmétique puisque on ne passe pas d’un terme au suivant en ajoutant le même nombre (on ajoute 103 puis 106.09).
Cette suite n’est pas géométrique puisque les rapports d’un terme au précédent ne sont pas les mêmes :
1 2
0 1
203 309,09
2,03 1,52
100 203
C C
C C c’est-à-dire 203242209 100 309,09 30909
3. En B3, la formule à taper est : = B * (1 + $D$2) + 1002 ».ou = B *1,03 + 1002 ou = B2 + 100 + C2 En C3, la formule à taper est : = B × 0,033 . ou B3* $D$2puisque les intérêts obtenus en € au cours de la nième année sont de 3% du capital de la nième année.
4. Admettons que Cn 100 1 1,03 1,03
2... 1,03 n
d’après les résultats sur la somme de termes d’une Suite géométrique, on a donc1 1,03 1,032 ... 1,03 (1,03) 1 11,03 1
n n
Le capital le soir du 1er janvier suivant son 16ième anniversaire est donné par 16 (1,03)17 1 2176,16€
1,03 1
C
.
Exercice 2
1. soit v0le nombre d’appareils vendus en l’année 2000 et v1 le nombre d’appareils vendus en 2001 Entre 2000 et 2001 le taux d’augmentation d’appareils vendus est de 5%. Donc 1 0
0 a
v v
t v
Soit 0 0 0
0
273 273
0,05 1,05 273 260
1,05
v v v
v
.le nombre d’appareils de chauffage au bois vendus en France en 2000 était de 260.
2. 2 /1 2 1
100 292 100 106,96 273
I I
I ; 3/1 3 1
100 337 100 123, 44 273
I I
I ;
4 /1 4 1
100 360 100 131,87 273
I I
I et 5 /1 5 1
100 430 100 157,51 273
I I
I
A B C D E F
1 Année 2001 2002 2003 2004 2005
2 Nombre d’appareils de chauffage au bois vendus 273 292 337 360 430
3 Indice 100 107 123,4 131,9 157 ,5
b. la formule à saisir dans la cellule C3 est $B$3*C2/$B$2 ou 100* C2/$B$2
3. Soit Tgle taux d’évolution du nombre d’appareils au bois vendu entre les années 2001 et 2005
On a : 430 273 157
100 100 100 57,51
273 273
f i
g i
v v
T v
, soit Tg 57,51 %
4. Soit tamle taux d’évolution moyen du nombre d’appareils au bois entre 2001 et 2005.
Soit par la formule du cours on a : 1Tg (1 tam)n, ici n4 et Tg 57,51 %, on obtient donc 1 0,5751 (1 tam)4 1 tam
1,5751
1/ 4 tam
1,5751
1/ 4 1 1,1203 1 0,1203 Donc le taux le taux d’évolution moyen du nombre d’appareils au bois entre 2001 et 2005 est 0,1203 Soit en pourcentage : 12,03 %.
