1.3 Groupes quotients

Chapitre 1

Groupes

1.1 Rappel

1.1.1 Dénitions et Propriétés

Dénition 1.1.1. SoitGun ensemble non vide muni d'une loi de composition interne : une applica- tiong:G×G−→G, pour laquelle on note∀x, y∈G, g(x, y) =x.y ou x>y, x⊥y,. . . ou simplement xy.

On dit que (G, .), ou simplementG, est un groupe si : (i). la loi .est associative, i.e.,∀x, y, z∈G, x.(y.z) = (x.y).z,

(ii). la loi.possède un élément neutre, i.e., ∃e∈G:∀x∈G x.e=e.x=x,

(iii). tout élémentx de Gpossède un symétriquex⁰, i.e., ∀x∈G,∃ x⁰ ∈G:x.x⁰ =x⁰.x=e.

Si de plus la loi . est commutative, i.e.,∀x, y∈G x.y=y.x, on dit que le groupe Gest commutatif ou abélien.

Exemples 1.1.2.

1. (Z,+),(Q^∗, .),(M_n,p(R),+) sont des groupes abéliens.

2. Soit n un entier ≥ 1. Alors, l'ensemble (GLn(R), .) des matrices carrées inversibles d'ordre n à coecients dans R, muni du produit des matrices, est un groupe appelé groupe linéaire. Si n≥2, alors ce groupe est non abélien.

3. (Zn=Z/nZ,+)est un groupe abélien.

4. On note U(n) ={x∈Zn/∃y ∈Zn:xy = 1}, alors U(n) ={x ∈Zn/x∧n= 1} et (U(n), .) est un groupe abélien.

Propriétés 1.1.3. Soit Gun groupe noté multiplicativement. Alors, (i). L'élément neutre de Gest unique.

(ii). Le symétrique de tout élément a de G est unique. On désigne ce symétrique par a⁻¹ et on l'appelle l'inverse dea.

(iii). ∀a∈G,(a⁻¹)⁻¹ =a.

(iv). ∀a∈G,∀m, n∈Z, a^maⁿ=a^m+n et(a^m)ⁿ=a^mn. (v). ∀a, b∈G,(ab)⁻¹ =b⁻¹a⁻¹.

(vi). tout élément adeG est régulier, plus précisément : ∀a, b∈G, l'équationax=b (resp. xa=b) possède une unique solution qui estx=a⁻¹b (resp. x=ba⁻¹).

Remarque 1.1.4. Si Gest un groupe abélien, on note souvent la loi +. Dans ce cas, les propriétés des groupes doivent être traduites à la notation additive. Le tableau suivant illustre les correspondances entre les notations additive et multiplicative :

Groupe Multiplicatif Groupe additif a.b ou ab (Le produit) a+b (La somme) eou 1 (L'élément neutre) 0

a⁻¹ (L'inverse de a) −a (L'opposé dea) aⁿ (Puissance de a) na (Multiple dea)

ab⁻¹ (Quotient) a−b (Diérence)

Table de Cayley. Si (G, .) est un groupe ayant un cardinal assez petit, on construit la table de composition dansG appelée table de Cayley (ou de Pythagore).

Par exemple, la table de Cayley du groupe U(8) ={1,3,5,7} est la table suivante : . 1 3 5 7

1 1 3 5 7

3 3 1 7 5

5 5 7 1 3

7 7 5 3 1

Exercice 1.1.5.

1. Montrer que si G est un groupe ayant un cardinal ni, alors la table de Cayley de G est un carré latin, i.e., chaque élément deGapparait une fois, et une seule, dans chaque ligne (resp.

dans chaque colonne).

2. SoitE ={e, a, b, c, d} muni de la loi de composition interne ∗dénie par la table suivante :

∗ e a b c d

e e a b c d

a a e d b c

b b c e d a

c c d a e b

d d b c a e

Vérier que la table ci-dessus est un carré latin. (E,∗) est-il un groupe ? 1.1.2 Produit Direct de Groupes

Proposition 1.1.6. Si (G₁, .), . . . ,(G_n, .) sont des groupes, alors G₁ × · · · × G_n est muni d'une structure de groupe en posant : ∀(a₁, . . . , a_n),(b₁, . . . , b_n)∈G₁× · · · ×G_n, (a₁, . . . , a_n).(b₁, . . . , b_n) = (a1.b1, . . . , an.bn).

Le groupe G₁ × · · · ×G_n, muni de cette loi, est appelé le groupe produit direct des groupes (G₁, .), . . . et (G_n, .).

Exemple 1.1.7. Le groupe Z2 ×Z2 = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} est le produit direct de Z2 et Z2

appelé groupe de Klein.

1.1.3 Sous-groupes

Dénition 1.1.8. Soit (G, .) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de Get on note HGsi :

(i). H est stable, i.e., ∀x, y∈H, x.y∈H, autrement dit la restriction de la loi.à H est une loi de composition interne

(ii). (H, .) est un groupe.

Proposition 1.1.9. Soit G un groupe et H une partie de G. Alors, on a l'équivalence des trois propositions suivantes :

(i). H est un sous-groupe deG.

(ii). H6=∅, ∀x, y∈H, x.y∈H et ∀x∈H, x⁻¹ ∈H. (iii). H6=∅ et∀x, y∈H,x.y⁻¹∈H.

Exemples 1.1.10.

1. (Z,+) est un sous-groupe de (Q,+)et (Q,+)est un sous- groupe de (R,+).

2. ({−1,1}, .) est un sous-groupe de (Q^∗, .) qui lui même est un sous-groupe de (R^∗, .).

3. Si Gest un groupe, alors {e} et Gsont des sous-groupes deG appelés sous-groupes triviaux deG. Si H est un sous-groupe de G tel que H6=G, on dit que H est un sous-groupe propre deG.

4. Si n∈N, alors nZ est un sous-groupe de Z.

5. Soit m, n∈N. mZ est un sous-groupe de nZ si, et seulement si, n divisem.

6. H={x∈R^∗/x≥1} n'est pas un sous-groupe de(R^∗, .).

Proposition 1.1.11. Soit G un groupe. Si (H_i)i∈I est une famille non vide de sous-groupes de G, alors T

i∈I

Hi est un sous-groupe de G.

Exemple 1.1.12. Soit m et ndeux entiers >0, alors mZ∩nZ= (m∨n)Z.

Remarque 1.1.13. Soit Gun groupe, H etK deux sous-groupes de G. En général, H∪K n'est pas un sous-groupe de G, en eet, en posant G=Z, H = 2Z etK = 3Z, H∪K n'est pas un sous-groupe de G.

Exercice 1.1.14. Soit (G, .) un groupe, H et K deux sous-groupes deG. Montrer que H∪K est un sous-groupe de Gsi, et seulement si, H⊂K ouK ⊂H.

1.1.4 Homomorphismes de groupes

Soit GetG⁰ deux groupes etf :G→G⁰ une application de Gvers G⁰.

Dénition 1.1.15. On dit que f est un homomorphisme de groupes, ou morphisme de groupes, si pour tous x, yéléments de G, f(xy) =f(x)f(y).

Si de plus f est bijective, f est appelé un isomorphisme de groupes. Si G = G⁰, on dit que f est un endomorphisme de G et si en outre f est une bijection, on dit alors que f est un automorphisme deG.

Exemples 1.1.16.

1). L'application f :R^∗ →R^∗, x7→ |x|est un homomorphisme de groupes.

2). Soit G, G⁰ deux groupes et e⁰ l'élément neutre de G⁰. L'application f : G → G⁰, x 7→ e⁰ est un homomorphisme de groupes.

3). Soit G un groupe noté multiplicativement et a ∈ G. L'application ϕ : Z → G, n 7→ aⁿ est un homomorphisme de groupes.

Propriétés 1.1.17. Soit G, G⁰ deux groupes d'éléments neutres respectifs e et e⁰ et f :G→ G⁰ un homomorphisme de groupes. Alors,

(i). f(e) =e⁰ et ∀n∈Z,∀x∈G f(xⁿ) = (f(x))ⁿ.

(ii). Pour tout sous-groupe H de G, l'ensemble f(H) = {f(x)/ x ∈H} est un sous-groupe de G⁰. En particulier,Imf =f(G) est un sous-groupe de G⁰.

(iii). Pour tout sous-groupe H⁰ de G⁰, f⁻¹(H⁰) = {x ∈ G/ f(x) ∈ H⁰} est un sous-groupe de G. En particulier, f⁻¹({e⁰}) ={x ∈G/ f(x) = e⁰} est un sous-groupe de G noté kerf est appelé noyau def.

(iv). f est injective si ,et seulement si, kerf ={e}.

(v). Soit G, G⁰, G⁰⁰trois groupes, f : G → G⁰ et g : G⁰ → G⁰⁰ deux homomorphismes de groupes.

Alorsg◦f est un homomorphisme de groupes.

(vi). Si f est un isomorphisme, alors f⁻¹ est aussi un isomorphisme de groupes. De sorte que si on note Aut(G) l'ensemble de tous les automorphismes de G, alors (Aut(G),◦) est un groupe.

Exemples 1.1.18.

1). On considère l'homomorphisme f :R^∗ →R^∗, x7→ |x|, alors kerf ={−1,1},Imf =R^∗+ et ainsi f n'est ni injectif ni surjectif.

2). Soit (G, .) un groupe. Pour tout a ∈ G, on considère θa : G → G, x 7→ axa⁻¹, θa est un automorphisme de G appelé automorphisme intérieur de G associé à a et l'ensemble noté Int(G) ={θ_a/a∈G}est un sous-groupe de(Aut(G),◦)appelé le groupe des automorphismes intérieurs de G.

1.1.5 Groupe symétrique

Soitnun entier>0. Rappelons que l'ensembleS_ndes bijections deNn={1, . . . , n}vers lui-même est un groupe pour la composition des applications. Ce groupe est appelé groupe symétrique de degré n et ses éléments des permutations deNn.

On représente une permutation σ∈S_n comme suit : σ =

1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)

et pour tout couple de permutations (σ, ϕ), on noteraσϕau lieu de σ◦ϕ. Exemples 1.1.19.

1). La permutation σ =

1 2 3 4 4 1 2 3

de S4 est la permutation de S4 dénie par σ(1) = 4, σ(2) = 1, σ(3) = 2 et σ(4) = 3.

2). On considère les deux permutations σ=

1 2 3 4 4 1 2 3

etϕ=

1 2 3 4 2 3 4 1

de S₄ alors σϕ

est la permutation σϕ=













1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓ 2 3 4 1

↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4













=

1 2 3 4 1 2 3 4

.

Proposition 1.1.20. Le groupe symétrique S_n est d'ordren!. Remarques 1.1.21.

1). L'élément neutre de S_n est id et on note e=id.

2). Les groupes symétriques S1 etS2 sont abéliens. Cependant, le groupe symétrique Sn, avec n≥3, ne l'est pas.

Dénition 1.1.22. Soitnun entier ≥2.

(i). Soit r un entier ≤ n et i₁, i₂, . . . , i_r des éléments de Nn deux à deux distincts. On appelle cycle de longueur r, ou r-cycle, et on note (i1. . .ir) la permutation c de Nn telle que c(i1) =i2, c(i2) =i3, . . . , c(ir−1) =ir, c(ir) =i1 etc(k) =kpour tout k /∈ {i₁, i2, . . . , ir}. (ii). Un cyclec= (ij) de longueur 2s'appelle une transposition et se noteτij ou(ij).

(iii). Deux cyclesc= (i₁...i_r)etc⁰ = (j₁. . . j_s) sont dits disjoints si les deux ensembles{i₁, . . . , i_r} et{j₁, . . . , js}sont disjoints.

Exemple 1.1.23. S3 ={e,(12),(13),(23),(123),(132)}et sa table de Cayley est la table suivante :

e (12) (13) (23) (123) (132) e e (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) e (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) e (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) e (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) e (132) (132) (23) (12) (13) e (123) Proposition 1.1.24. Deux cycles disjoints commutent.

Exemple 1.1.25. Dans S₇, les cycles (123) et (4567) commutent, i.e., (123)(4567) = (4567)(123). Proposition 1.1.26. Soitnun entier≥2. Toute permutationσ deSn, diérente dee, se décompose en produit de cycles disjoints de longueur ≥2.

Exemple 1.1.27. Soit σ=

1 2 3 4 5 3 5 1 2 4

∈S5. Alors, σ = (13)(254).

Corollaire 1.1.28. Si n un entier ≥ 2, alors toute permutation élément de S_n se décompose en produit de transpositions.

Exemples 1.1.29.

1). Soit σ =

1 2 3 4 5 3 5 1 2 4

∈ S5. Alors, σ = (13)(254) = (13)(25)(54) = (13)(24)(25) = (13)(34)(25)(34)(54).

2). Si c= (i1. . . ir)∈Sn, alors c= (i1i2)(i2i3). . .(ir−1ir) = (i1ir)(i1ir−1). . .(i1i2).

Théorème 1.1.30. Soit σ une permutation élément de Sn. Si σ = τ1. . . τr = τ₁⁰. . . τ_s⁰ sont des décompositions deσ en produits de transpositions, alors r et s ont la même parité.

Remarques 1.1.31.

1). Soit c = (i1. . . ir) un cycle élément de Sn, alors c⁻¹ = (ir. . . r1). En particulier, si τ est une transposition, alors τ⁻¹ =τ.

2). la décomposition d'une permutation en produit de transpositions n'est pas unique. Par contre et d'après le théorème précédent, la parité du nombre des transpositions est la même dans toute décomposition. Ainsi, une permutation σ qui se décompose en produit d'un nombre pair de trans- positions est dite une permutation paire alors qu'une permutation qui se décompose en produit d'un nombre impair de transpositions est dite permutation impaire.

Théorème et Dénition 1.1.32. Soitnun entier≥2. L'application:S_n→ {−1,1}, σ7→(σ) = (−1)^k, où k est le nombre de transpositions gurant dans une décomposition de σ en produit de transpositions, est un homomorphisme de groupes surjectif.(σ) est appelé la signature de σ. L'ensemble, noté A_n, des permutations paires dans S_n est un sous-groupe de S_n d'ordre ^n!₂. Le sous-groupeA_n est appelé sous-groupe alterné deS_n.

Exemple 1.1.33. Les permutation e, (123) et (132) sont des permutations paires de S₃, alors que les (12), (13) et (23)sont impaires ainsi A₃={e,(123),(132)}.

Exercice 1.1.34. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On note HK = {hk/h ∈ H etk∈K}.

1. On considère les sous-groupes H ={e,(12)},K ={e,(13)} de S3. Calculer HK et KH.HK est-il un sous-groupe deS3?

2. Montrer queHK est un sous-groupe de Gsi, et seulement si,HK =KH.

1.2 Groupes monogènes, Groupes cycliques

Proposition et Dénition 1.2.1. Soit X une partie d'un groupeG. On appelle sous-groupe en- gendré par X et on note< X > l'intersection de tous les sous-groupes de GcontenantX.

< X > est le plus petit sous-groupe deGcontenantX.

SiHest un sous-groupe deGet siH =< X >, on dit queHest engendré parXouXengendreH. Si X = {a₁, . . . , a_n} est une partie nie non vide de G et H =< X >, on écrit aussi H=< a1, . . . , an>.

Proposition 1.2.2. Soit G un groupe et X une partie non vide de G. Alors, < X > est l'en- semble des produits nis des éléments de X ∪X⁻¹, où X⁻¹ = {x⁻¹/x ∈ X}, i.e., < X >=

{x₁. . . xn/n∈N^∗ et∀i= 1, . . . , n, xi ∈X∪X⁻¹} Exemples 1.2.3.

1. Si X=∅, alors< X >={e}. On a aussiG=< G >.

2. SiX ={a}, alors< a >={aⁿ/ n∈Z} et ainsi, par exemple, le sous-groupe de Zengendré par n estnZ.

3. Soit n et m deux entiers > 0, alors le sous-groupe < n, m > de Z engendré par {n, m} est nZ+mZ=dZ, où d=n∧m.

4. S₃ =<(12),(123)>.

5. Si n≥2, alorsS_n est engendré par les transpositions.

Dénitions 1.2.4. SoitGun groupe.

(i). Si card(G) = n est ni, on dit que G est un groupe ni d'ordre n et on écrit |G|=n ou o(G) =n.

(ii). On dit queG est un groupe monogène s'il existe un élémentade Gtel queG est engendré para, i.e.,G=< a >.

(iii). Si G=< a > et si de plusG est ni, on dit queGest cyclique engendré para. Exemples 1.2.5.

1. Le groupe Zest monogène inni.

2. o(U(n)) =ϕ(n), où ϕest la fonction indicatrice d'Euler.

3. Si n≥2,Zn est un groupe cyclique d'ordren engendré par 1.

Dénition 1.2.6. SoitG un groupe eta un élément deG. On dit quea d'ordre ni s'il existe un entier k >0tel que a^k=e.

Siaest d'ordre ni, on dit queaest d'ordre m, oùm est le plus petit entier>0 tel quea^m =eet on note o(a) =m.

Exemples 1.2.7.

1. Dans un groupe G, le seul élément d'ordre 1 est e.

2. Soit n≥2 et 1∈Zn. On a o(1) =o(Zn) =n.

3. Soit 2∈Z6, alors o(2) = 3.

4. Soit 2∈ U(5), alors o(2) = 4.

5. Soit n ≥ 2. Si c ∈ S_n est un r-cycle, alors o(c) = r. En particulier, si τ ∈ S_n est une transposition, alorso(τ) = 2.

6. Si n∈Z− {0}, alors o(n) est inni.

Proposition 1.2.8. Soit Gun groupe et aun élément de Gd'ordre ni égal à n. (i). Soit k un entier. Alors, a^k=esi, et seulement si, n divisek.

(ii). Les élémentse=a⁰, a¹, . . . , aⁿ⁻¹deGsont distincts deux à deux et< a >={e, a, a², . . . , aⁿ⁻¹}. Corollaire 1.2.9. Si aest un élément d'ordre ni d'un groupe G, alors o(a) =|< a >|.

Exemple 1.2.10. Dans le groupe Z2×Z2, on a o(0,0) = 1, o(1,0) =o(0,1) =o(1,1) = 2 et ainsi Z2×Z2 est un groupe d'ordre4 non cyclique.

Théorème 1.2.11.

(i). Si G=< a >6={e} et H est un sous-groupe de G diérent de {e}, alors H =< a^m > avec m est le plus petit entier strictement positif tel que a^m ∈H et ainsi tout sous-groupe d'un groupe monogène (resp. cyclique) est monogène (resp. cyclique).

(ii). Soit G=< a > un groupe cyclique d'ordren.

(a). Sik est un entier, alorso(a^k) = _k∧nⁿ et ainsia^k engendre Gsi, et seulement si,k∧n= 1. (b). Soitd est un entier >0 tel que d divisen. Alors,

- Il existe un, et un seul, sous-groupe de Gd'ordre det ce sous-groupe est le sous-groupe de Gengendré par a^nd.

- G contient exactement ϕ(d) éléments d'ordre d. Exemples 1.2.12.

1). Les sous-groupes de Z sont de la formenZ, où nest un entier ≥0.

2). Le groupe G=Z12=<1> est cyclique d'ordre 12, alors o(9) = _9∧12¹² = ¹²₃ = 4. Les générateurs de Gsont 1, 5, 7 et11.

3). Le groupe G = Z8 =< 1 > est cyclique d'ordre 8. Les sous-groupes de G sont : G =< 1 >

=< 3 >=< 5 >=< 7 > (d'ordre 8) < 2 >=< 6 > (d'ordre 4), < 4 > (d'ordre 2) et < 0 >

(d'ordre 1).

4). Le groupe G=U(14)est un groupe cyclique d'ordre 6 engendré par 3.

Les sous-groupes de G sont : <1> d'ordre 1, <13 >d'ordre 2 (13 est l'unique élément d'ordre 2), <9 >=< 11 > d'ordre 3 (on a deux éléments d'ordre 3) et G =<3 >=< 5 > (on a deux générateurs de G).

Théorème 1.2.13. Soit G un groupe monogène.

1) Si G est inni, alorsG'Z.

2) Si G est ni d'ordren, alors G'Zn.

Exemple 1.2.14. U(9) est cyclique d'ordre 6 engendré par2 et ainsi U(9)'Z6.

Proposition 1.2.15. Soit G =< a > un groupe monogène, G⁰ un groupe et f : G → G⁰ est un homomorphisme de groupes. Alors,

1). f est déterminé par f(a).

2). Soit x∈G. Si o(x) est ni, alors o(f(x))est ni et dans ce cas, o(f(x)) divise o(x). 3). G⁰ =< f(a)> si, et seulement si, f est surjectif.

4). Si G⁰ =G et Gest cyclique, alors G=< f(a)> si, et seulement si,f est un automorphisme de G.

Exercice 1.2.16. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que si HK est un sous-groupe de G, alors HK=< H∪K >.

Exercice 1.2.17. SoitG,G⁰ deux groupes,f :G→G⁰ un homomorphisme de groupes etX une partie non vide deG. Montrer que si H=< X >, alors f(H) =< f(X)>.

Exercice 1.2.18. SoitG,G⁰ deux groupes et f :G→G⁰ un isomorphisme de groupes. Montrer que : 1. Gest abélien si, et seulement si, G⁰ est abélien.

2. Soit X une partie non vide de G. H =< X > si, et seulement si, f(H) =< f(X) >. En particulier,G=< a > si, et seulement si,G⁰ =< f(a)>.

3. ∀a∈G, o(a) =o(f(a)).

4. Si Gest ni et kest un entier >0, alors GetG⁰ ont le même nombre d'élément d'ordrek.

1.3 Groupes quotients

1.3.1 Classes modulo un sous-groupe

Théorème et Dénition 1.3.1. Soit Gun groupe etH un sous-groupe deG. Alors, (i) Les deux relations binaires suivantes :

a) ∀x, y∈G, xR_gy si, et seulement si,x⁻¹y ∈H b) ∀x, y∈G, xR_dy si, et seulement si,xy⁻¹ ∈H sont des relations d'équivalence sur G.

(ii) La classexg de x modulo R_g (resp. modulo R_d), appelée classe de x modulo H à gauche (resp. classe de x modulo H à droite) est l'ensemblexH ={xh/ h∈H} (resp.Hx={hx/

h ∈ H}. En particulier,e_g =e_d =H. On note (G/H)_g (resp. (G/H)_d) l'ensemble des classes modulo R_g (resp. modulo R_d).

(iii) La translation τ :H → x_g = xH (resp. τ⁰ : H → x_d = Hx), h 7→ xh (resp. h 7→ hx) est une bijection.

(iv) La correspondance dénie de (G/H)_g vers (G/H)_d par : xH 7→ Hx⁻¹ est une bijection. En particulier, (G/H)g et(G/H)dont même cardinal.

Exemples 1.3.2.

1). Si H = G, alors R_g et R_d sont des relations triviales, i.e., ∀x, y ∈ G : xR_gy et xR_dy et ainsi (G/H)_g= (G/H)_d={G}.

2). SiH ={e}, alors deux élémentsxety deGne sont en relation moduloH à gauche (resp. modulo H à droite) que si x=y et ainsi (G/H)_g = (G/H)_d={{x}/ x∈G}.

3). Soit G = S3 et H =< (13) >= {e,(13)}, alors eH = H, (12)H = {(12),(132)} et (23)H = {(23),(123)} sont les classes modulo H à gauche tandis que les classes modulo H à droite sont He=H, H(12) ={(12),(123)} et H(23) ={(23),(132)},

Remarque 1.3.3.

1. Si le groupe G est abélien, alors R_g =R_g.

2. Les classes modulo H à gauche( resp. à droite) forment une partition de G.

Dénition 1.3.4. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On note [G:H] le cardinal

|(G/H)_g|=|(G/H)_d|et on l'appelle indice de H dans G.

Exemple 1.3.5. Si G=S3 et H=<(13)>, alors [G:H] = 3.

Théorème 1.3.6 (Théorème de Lagrange). Si G est un groupe ni et H est un sous-groupe de G, alors |G|= [G:H].|H|.

Corollaire 1.3.7. SiG est un groupe ni, alors l'ordre de tout sous-groupe H de Gdivise l'ordre de G. En particulier, sia∈G, l'ordre dea divise l'ordre de G.

Corollaire 1.3.8. SiGest un groupe ni d'ordrep, oùpest un nombre premier, alorsGest cyclique.

Corollaire 1.3.9. Si G est un groupe ni d'ordren, alors ∀a∈G, aⁿ=e.

Exercice 1.3.10. Montrer que si Gest un groupe d'ordre 4, alors G'Z4 ouG'Z2×Z2. Exercice 1.3.11.

1. Soit n un entier >1 eta∈ Z. Montrer que sia∧n= 1, alors a^ϕ(n) ≡1 (modn) (Théorème d'Euler).

2. En déduire que si pest un nombre premier eta∈Ztel quep-a, alors a^p−1 ≡1 (modp)(Petit Théorème de Fermat).

1.3.2 Sous-groupes distingués

Proposition et Dénition 1.3.12. SoientGun groupe etH un sous-groupe deG. Les propositions suivantes sont équivalentes :

(i). Pour tout x élément deG :xHx⁻¹ ⊂H (ii). Pour toutx élément deG :xHx⁻¹ =H (iii). Pour tout x élément deG :xH=Hx

Un sous-groupeHdeGvériant l'une de ces propriétés équivalentes est appelé sous-groupe distingué (ou normal ou invariant) du groupe Get on note HCG.

Exemples 1.3.13.

1). Si G est un groupe, alors G et{e} sont des sous-groupes distingués de G.

2). Si G est un groupe commutatif, alors tout sous-groupe deG est un sous-groupe distingué de G. 3). Dans S₃, le sous-groupe <(13)>n'est pas distingué tandis que A₃ =<(123)>est distingué.

1.3.3 Groupes quotients

SoientGun groupe etH un sous-groupe distingué deG. Alors,R_g =R_d, pour toutxélément de G,x_g=xH=Hx=x_d et on note x=x_g =x_detG/H = (G/H)_g = (G/H)_d.

La relation R (R=R_g = R_d) est compatible avec la loi du groupe, i.e., ∀a, b, a⁰, b⁰ ∈ G : Si aRa⁰

bRb⁰ alorsabRa⁰b⁰.

Dans ce cas, la correspondance(G/H)×(G/H)→(G/H),(x, y)7→x.y=xy est une application bien dénie et constitue ainsi une loi de composition interne surG/H.

Théorème et Dénition 1.3.14. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. La relation binaire sur G dénie par xRy si x⁻¹y ∈H est une relation d'équivalence surG compatible avec la loi du groupe et appelée relation de congruence modulo H.

L'ensemble quotient, notéG/H, muni de la loix, y∈G/H, x.y =xy, est un groupe appelé groupe quotient de G par H et la surjection canonique s:G→G/H, x7→ x est un homomorphisme de groupes dont le noyau estH (on écrit dans ce cas,x≡y (mod H)pour désigner xRy).

Exemple 1.3.15. On considère G =Z et H =nZ avec n∈ N. Puisque Z est commutatif, le sous -groupe nZ est distingué dansZ. Deux entiers x et y sont en relation modulo nZ si, et seulement si, x−y ∈ nZ, si, et seulement si, n/x−y (ou ∃k ∈ Z : x−y = nk) i.e., x ≡ y (mod n) et ainsi la notation Zn=G/H=Z/nZest justiée.

Proposition 1.3.16. Soit G, G⁰ deux groupes et f :G→G⁰ un homomorphisme de groupes. Alors, kerf est un sous-groupe distingué deG. De plus,x≡y (modkerf) si, et seulement si, f(x) =f(y).

Corollaire 1.3.17. Le sous-groupe alterné An est un sous-groupe distingué de Sn.

Théorème 1.3.18 (Premier théorème d'isomorphisme). Soit f :G→ G⁰ un homomorphisme de groupes. Alors, les groupes G/Ker(f) etIm(f) sont isomorphes (G/kerf 'Imf).

Exemple 1.3.19. En considérant l'homomorphisme de groupes f :C^∗ →C^∗, z 7→ |z|, on a kerf = U ={z∈C^∗/|z|= 1}, Imf =R^∗+ et ainsiC^∗/U 'R^∗+.

Théorème 1.3.20 (Théorème de correspondance). Soient Gun groupe, H un sous-groupe dis- tingué deG. Alors, L'applicationK 7−→K/H dénie une correspondance biunivoque entre l'ensemble des sous groupes (resp. sous-groupes distingués) de G contenant H et les sous-groupes (resp. sous- groupes distingués) de G/H, i.e., T est un sous-groupe (resp. sous groupe distingué) de G/H si, et seulement si, il existe un sous-groupe (resp. sous-groupe distingué) K de G contenant H tel que T =K/H.

Exemple 1.3.21. Les sous-groupes de G = Z12 = Z/12Z sont : G = Z/12Z, 2Z/12Z =< 2 >, 3Z/12Z=<3>,4Z/12Z=<4>, 6Z/12Z=<6> et 12Z/12Z={0}.

Chapitre 2

Anneaux et Corps

2.1 Dénitions et Propriétés élémentaires

Dénitions 2.1.1. SoitAun ensemble muni de deux lois de composition internes+et.. On dit que (A,+, .),ou simplement queA est un anneau si :

(i). (A,+)est un groupe commutatif,

(ii). La loi . est associative, ie.∀a, b, c∈A:a.(b.c) = (a.b).c

(iii). La loi . est distributive par rapport à +, i.e., ∀a, b, c ∈A:a.(b+c) = a.b+a.c et (b+c).a = b.a+c.a.

Si de plus la loi . est commutative, on dit que l'anneau (A,+, .)(ou simplement A) est commu- tatif.

Si un anneau(A,+, .)possède un élément neutre pour la loi ., on dit que l'anneauAest unitaire.

Dans ce cas, on note 1_A ou simplement 1 cet élément et on l'appelle unité de A. On rappelle que l'élément neutre pour l'addition est noté0A ou simplement0.

Proposition 2.1.2. Si a,bet c sont des éléments arbitraires d'un anneauA, alors (i). a.0 = 0.a= 0 (On dit que 0 est un élément absorbant)

(ii). (−a).b=a.(−b) =−(ab) (iii). (−a).(−b) =ab

(iv). a.(b−c) =a.b−a.c et (a−b).c=a.c−b.c (v). Si ab = ba, alors (a+b)ⁿ =

Pn i=1

C_nⁱaⁱbⁿ⁻ⁱ, où n est un entier naturel non nul (Formule du binôme de Newton)

(vi). Si A est unitaire alors l'unité1 est unique et 16= 0 sauf siA={0} auquel cas l'anneau est dit trivial ou nul.

Exemples 2.1.3.

1. (Z,+, .), (Zn,+, .) et (R[X],+, .) sont des anneaux commutatifs unitaires.

2. Si n ≥ 2, l'ensemble M_n(R) des matrices carrées d'ordre n à coecients dans le corps des réels R, muni de l'addition et du produit des matrices, est un anneau unitaire d'élément unité la matrice identité In. Cet anneau est un anneau non commutatif.

3. L'ensemble Z[i] ={a+ib / a, b∈Z} muni de l'addition et de la multiplication habituelles, est un anneau commutatif unitaire appelé anneau des entiers de Gauss.

4. SoientEun ensemble et(A,+, .)un anneau. On considère l'ensemble des applications deE dans A, noté A(E, A), muni des deux opérations suivantes : ∀f, g∈ A(E, A) :f+g est l'application de E dans A dénie par ∀α ∈E : (f+g)(α) =f(α) +g(α); f.g est l'application de E vers A dénie par∀α∈E : (f.g)(α) =f(α).g(α). A(E, A)muni de ces deux opérations est un anneau.

Si A est unitaire (resp. commutatif), alors l'anneau A(E, A) est unitaire (resp. commutatif) d'élément unité l'application constante α7→1_A,∀α∈E.

5. Si A et B sont deux anneaux, alors les opérations suivantes : ∀(a, b),(a⁰, b⁰) ∈A×B : (a, b) + (a⁰, b⁰) = (a+a⁰, b+b⁰)et(a, b).(a⁰, b⁰) = (aa⁰, bb⁰)dénissent sur A×B une structure d'anneaux appelée anneau produit. SiAetB sont unitaires (resp. commutatifs), alors A×B est unitaire (resp. commutatif) d'élément unité (1_A,1_B).

Dans toute la suite, tous les anneaux sont supposés être commutatifs, unitaires et non triviaux.

Dénition 2.1.4. Soit(A,+, .)un anneau (commutatif, unitaire et non trivial). On dit qu'un élément ade Aest inversible dans As'il existe un élément b deA tel que ab= 1(=ba).

Remarques 2.1.5. L'ensemble U(A) des éléments inversibles de A, muni de la multiplication, est un groupe appelé groupe des éléments inversibles deA ou groupe des unités de A. PuisqueA est supposé être commutatif, U(A) est un groupe abélien.

Exemples 2.1.6. U(Z) ={−1,1} et U(Zn) =U(n).

Exercice 2.1.7. Soit n un entier > 1. On munit Zn[i] = {a+bi/a, b ∈ Zn} de + et . dénies de la façon suivante : (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i et(a+bi).(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i (i.e., l'addition et la multiplication dans Cavec une réduction modulon).

1). Vérier que +et.sont des lois de composition internes dans Zn[i]. 2). Montrer que (Zn[i],+, .) est un anneau commutatif unitaire.

Exercice 2.1.8. Soient A₁, . . . , A_n des anneaux commutatifs unitaires et non triviaux. Montrer que U(A1× · · · ×An) =U(A₁)× · · · × U(An).

2.2 Anneaux intègres

Dénition 2.2.1. Soient(A,+, .) un anneau (commutatif, unitaire et non trivial) et a∈A. On dit queaest un diviseur de zéro de As'il existe b∈A− {0} tel que ab= 0.

Dénition 2.2.2. Un anneau (commutatif, unitaire et non trivial)(A,+, .) est dit anneau intègre siA ne possède pas de diviseurs de zéro autre que0.

Exemples 2.2.3.

1. Dans Z4, 2 est un diviseur de zéro et ainsiZ4 n'est pas intégre.

2. Z,Q,R etC sont des anneaux intègres.

3. Zp, où p est un nombre premier, est un anneau intègre.

2.3 Sous-anneau

Dénition 2.3.1. Soit(A,+, .)un anneau et B une partie deA. On dit queB est un sous-anneau de l'anneau (A,+, .) si :

(i). 1_A∈B

(ii). B est stable pour les les deux lois de composition internes +, . et(B,+, .) est un anneau.

Proposition 2.3.2. Soit A un anneau et B une partie de A. B est un sous-anneau de A si, et seulement si :

(i). 1A∈B

(ii). ∀a, b∈B, a−b∈B (iii). ∀a, b∈B, ab∈B Exemples 2.3.3.

1. Z est un sous-anneau deQ.

2. Le seul sous-anneau de Z estZ lui-même.

Remarques 2.3.4.

1. En général, un anneau B contenu dans un anneau A n'est pas nécessairement un sous-anneau de A. L'anneau B ={0,2,4} n'est pas un sous-anneau de Z6 (au sens des anneaux unitaires) car 1∈/ B.

2. Un sous-anneau d'un anneau intègre est intègre.

2.4 Corps

Dénition 2.4.1. Soit(K,+, .)un anneau (commutatif, unitaire et non trivial). On dit que(K,+, .) est un corps si tout élément non nul deK est inversible.

Exemples 2.4.2.

1. Q,R et Csont des corps.

2. Zn est un corps si, et seulement si, nest un nombre premier.

3. Z est un anneau intègre qui n'est pas un corps.

Proposition 2.4.3. Si K est un corps, alors K est intègre et U(K) =K^∗ =K− {0} est un groupe pour la multiplication appelé groupe multiplicatif du corps K.

Dénition 2.4.4. Soit (K,+, .) un corps et L un sous-anneau de (K,+, .). On dit que L est un sous-corps du corps(K,+, .)si (L,+, .) est un corps.

Proposition 2.4.5. Soit (K,+, .) un corps et L une partie de K. L est un sous-corps du corps (K,+, .) si, et seulement si :

(i). L est un sous-anneau deK (ii). Pour tout a∈L− {0}, a⁻¹ ∈L.

Exemples 2.4.6.

1. Qest un sous-corps de Ret R est un sous-corps de C.

2. Qne possède pas de sous-corps propre.

Exercice 2.4.7. Montrer que siA est un anneau intègre ni, alorsA est un corps.

2.5 Idéaux et Homomorphismes

Dénition 2.5.1. Soit (A,+, .) et(B,+, .) deux anneaux (commutatifs, unitaires et non triviaux).

On dit qu'une application f de A dans B est un homomorphisme d'anneaux (ou morphisme d'anneaux) si :

(i). f(x+y) =f(x) +f(y) pour tout(x, y) élément de A² (ii). f(x.y) =f(x).f(y) pour tout(x, y) élément de A² (iii). f(1A) = 1B

On dénit, d'une manière analogue à celle des groupes, les notions d'endomorphisme, d'isomor- phisme et d'automorphisme d'anneaux. Sif est un isomorphisme, on dit queA etB sont isomorphes et on note A'B.

Exemple 2.5.2. L'applicationf :C→C, z7→z est un isomorphisme d'anneaux.

Proposition 2.5.3.

(i). Si f :A → B et g :B → C sont deux homomorphismes d'anneaux, alors la composée g◦f : A→C est un homomorphisme d'anneaux

(ii). Si f :A→B est un isomorphisme, alors f⁻¹ est un isomorphisme deB vers A. (iii). Soit f :A→B un homomorphisme d'anneaux.

SiA⁰ est un sous-anneau deA, alorsf(A⁰)est un sous-anneau deB. En particulier,Imf = f(A) est un sous-anneau de B.

SiB⁰ est un sous-anneau de B, alors f⁻¹(B⁰) est un sous-anneau de A.

Dénition 2.5.4. Soient (A,+, .)un anneau (commutatif, unitaire et non trivial) et I une partie de A. On dit que I est un idéal de l'anneauA si :

(i). I est un sous-groupe du groupe additif(A,+)

(ii). Pour toutaélément de A,aI ⊆I, i.e., ∀a∈A,∀x∈I, alors ax∈I. Un idéal I de Adiérent de A est appelé idéal propre deA.

Proposition 2.5.5. Soient(A,+, .) un anneau etI une partie de A.I est un idéal de l'anneau A si, et seulement si :

(i). I 6=∅

(ii). ∀x, y∈I :x−y∈I (iii). ∀a∈A,∀x∈I :ax∈I.

Exemples 2.5.6.

1. A et {0_A} sont des idéaux de A appelés idéaux triviaux deA.

2. Les idéaux de Z sont de la formenZ.

Propriétés 2.5.7.

(i). Soit I un idéal de A. Alors, I = A si, et seulement si, I possède un élément inversible de A. i.e., I =A si, et seulement si, ∃ u∈ U(A) :u∈I.

(ii). L'intersection d'une famille non vide (I_k)k∈E d'idéaux est un idéal.

(iii). Si I et J sont deux idéaux de A, alors l'ensemble I+J ={i+j / i∈I et j∈J} est un idéal deA appelé idéal somme de I et de J.

Proposition et Dénition 2.5.8. Soit X une partie d'un anneau A. L'idéal de A intersection des idéaux deA contenantX est appelé idéal de A engendré par X et est noté<X>.Cet idéal est aussi le plus petit idéal deA contenantX.

Exemples 2.5.9.

1. <∅>={0} et<{1}>=A.

2. Si x∈A, alors <{x}>=Ax={ax/a∈A} et est noté < x >ou (x).

3. Soient I et J deux idéaux deA. L'idéal de A engendré par I∪J est l'idéal I+J.

4. Soient I, J deux idéaux de A et X ={ab/a∈I et b∈J}. En général, X n'est pas un idéal de A et< X > est l'idéal{

n

P

i=1

aibi/n∈N^∗ et∀i= 1, ..., n:ai ∈I, bi ∈J} noté I.J et appelé idéal produit des deux idéaux I et J.

Dénition 2.5.10. Un idéalI d'un anneauA est dit idéal principal s'il existe un élément xde A tel que I =< x >= (x).

Si dans un anneau intègreA, tout idéal est principal, on dit queAest un anneau principal.

Exemples 2.5.11.

1). {0}=<0>et A=<1>sont des idéaux principaux.

2). Z est un anneau principal.

Proposition 2.5.12. Soient A, B deux anneaux et f :A→B un homomorphisme d'anneaux.

(i). Si J est un idéal deB, alorsf⁻¹(J)est un idéal de A. En particulier, f⁻¹({0}) = kerf est un idéal de A appelé noyau de l'homomorphisme f.

(ii). f est injectif si, et seulement si, kerf ={0}.

Exercice 2.5.13. Soient A, B deux anneaux commutatifs unitaires et f : A → B un morphisme d'anneaux.

1. Donner un exemple d'un idéal I deA tel que f(I)n'est pas un idéal deB.

2. On suppose que f est surjectif. Montrer que siI est idéal deA, alors f(I) est un idéal deB.

2.6 Caractéristique d'un anneau

On dénit la caractéristique d'un anneau (A,+, .)comme étant le plus petit entier n >0tel quen.1_A= 0_Asi un tel entier existe. Sinon (i.e., si∀n∈N^∗,n.1_A6= 0_A), on dit que la caractéristique de l'anneau A est nulle. La caractéristique de l'anneau A est notée car(A).

Exemples 2.6.1.

1. car(Z) = 0.

2. Si n≥2, car(Zn) =n.

Remarques 2.6.2. Soit (A,+, .) un anneau.

1. Dans le groupe commutatif(A,+), si1Aest d'ordre ni, alorscar(A) =◦(1). Sinon,car(A) = 0.

2. car(A)6= 1 (car l'anneau A est non trivial).

3. Si B est un sous-anneau de A, alors car(B) =car(A).

Proposition 2.6.3. Si A est intègre, alors car(A) = 0 ou car(A) est un nombre premier.

En particulier, Si K est un corps, alors car(K) = 0 ou car(K) est un nombre premier.

Exercice 2.6.4.

1. SoientA et B deux anneaux commutatifs unitaires de caractéristiques respectivement m etn. Montrer quecar(A×B) =m∨n.

2. SoitA un anneau intègre ni de caractéristiquep. a). Montrer que p6= 0.

b). Montrer que Apeut être muni d'une structure d'espace vectoriel sur Zp. c). En déduire quecard(A) =pⁿ, où n∈N^∗.

2.7 Anneaux Quotients

Soit Aun anneau et I un idéal deA. Puisque(A,+)est un groupe abélien et (I,+)est un sous- groupe de(A,+), l'ensemble A/I des classes d'équivalence moduloI dénies par la relation :aRbsi a−b∈I, muni de l'addition, est un groupe abélien.

Dans ce groupe, on dénit la multiplication de la façon suivante :∀a=a+I, b=b+I ∈A/I :a.b= ab=ab+I. Cette opération est bien dénie.

En utilisant les propriétés d'anneau de A, on vérie facilement que (A/I,+, .) est un anneau, 0 est l'élément zéro deA/I et1est l'unité de A/I.

L'applications:A→A/I, a7→a=a+I est un homomorphisme d'anneaux. l'anneauA/I est trivial si, et seulement si,I =A.

Dénition 2.7.1. Soit A un anneau et I un idéal de A. L'anneau (A/I,+, .) est appelé l'anneau quotient de l'anneau A par l'idéal I.

L'homomorphisme s:A→A/I, a7→a=a+I est appelé surjection canonique.

Exemple 2.7.2. En considérant A=R[X]etI =<1 +X² >, on aA/I ={P(X)/P(X)∈R[X]}= {a+bX+I/a, b∈R}.

2.8 Théorème d'isomorphisme

Théorème 2.8.1 (Premier théorème d'isomorphisme).

Si f : A → B est un homomorphisme d'anneaux, alors les anneaux A/kerf et Im f sont iso- morphes.

Exemple 2.8.2. Soit f :R[X] →R, P(X)7→ P˜(0). f est un homomorphisme d'anneaux surjectif, kerf =< X > et ainsiR[X]/ < X >'R.

Théorème 2.8.3 (Théorème de correspondance pour les anneaux).

Soit I un idéal d'un anneau A.

(i). L'application B 7→ B/I dénie une correspondance biunivoque entre l'ensemble des sous- anneaux de A contenant I et les sous-anneaux de A/I, i.e., C est un sous-anneau de A/I si, et seulement si, il existe un sous-anneau B deA contenantI tel que C=B/I.

(ii). L'application J 7→J/I dénie une correspondance biunivoque entre l'ensemble des idéaux de A contenant I et l'ensemble des idéaux deA/I, i.e., K est un idéal de A/I si, et seulement si, il existe un idéal J de A contenant I tel que K =J/I.

Exemples 2.8.4.

1. Les idéaux de Z8 =Z/8Z sont Z8, 2Z/8Z, 4Z/8Z et 8Z/8Z={0}.

2. Si nest un entier >1, alors le seul sous-anneau (unitaire et non trivial) de Zn estZn.

2.9 Idéaux Premiers et idéaux maximaux

Dénition 2.9.1. Soit pun idéal de A. On dit quep est un idéal premier deA si : (i). p6=A

(ii). ∀a, b∈A:siab∈p, alors a∈pou b∈p.

Théorème 2.9.2. Soit p un idéal de A. p est un idéal premier deA si, et seulement si,A/p est un anneau intègre.

Dénition 2.9.3. Soit mun idéal deA. On dit que mest un idéal maximal deA si : (i). m6=A

(ii). Il n'existe aucun idéal propre deA contenantmautre quem, i.e., siI est un idéal deAtel que m⊂I, alors I =mou I =A.

Théorème 2.9.4. Soitmun idéal deA. Alors,mest un idéal maximal deAsi, et seulement si,A/m est un corps.

Corollaire 2.9.5. Tout idéal maximal est premier Exemples 2.9.6.

1. Dans l'anneau Z, si pest un nombre premier, alorspZest un idéal maximal (et alors premier).

2. Dans Z, L'idéal (0) est premier mais non maximal.

Exercice 2.9.7. SoientA un anneau commutatif unitaire, I, J deux idéaux de A,p un idéal premier de A,mun idéal maximal deA.

1. Montrer que si IJ ⊂p, alors I ⊂p ouJ ⊂pet que si I∩J ⊂p, alors I =pou J =p. 2. En déduire que le seul idéal premier de Aqui contientm² est l'idéal m.

Exercice 2.9.8. Soient A, B deux anneaux commutatifs unitaires et f : A → B un morphisme d'anneaux.

1. Montrer que si pest un idéal premier de B, alors f⁻¹(p) est un idéal premier deB.

2. Donner un exemple d'un idéal mmaximal de B tel quef⁻¹(m) n'est pas un idéal maximal de A.

2.10 Corps des fractions d'un anneau intègre

Soit A un anneau intègre.

Théorème et Dénition 2.10.1. Il existe un corps K et un homomorphisme injectif f :A → K tels queK ={f(a)(f(b))⁻¹/a∈A, b∈A− {0}}.

De plus, siK⁰ est un corps etg:A→K⁰un homomorphisme injectif tels queK⁰ ={g(a)(g(b))⁻¹/a∈ A, b∈A− {0}}, alorsK 'K⁰.

Le corpsK, unique à un isomorphisme près, est appelé le corps des fractions de l'anneau intègre A et est notéFr(A).

Remarques 2.10.2.

1. Soit f :A → F r(A) l'homomorphisme injectif déni par f(a) = (a,1). Pour tout x = (a, b)∈ F r(A), on a x = (a, b) = (a,1)(1, b) = f(a)(f(b))⁻¹ (= f(a)f(b)) d'où l'appellation : corps des fractions de l'anneau intègre A.

2. Puisque A'f(A), on peut identier l'élémentadeA avec son imagef(a) = (a,1)et remplacer f(A) par A; on peut alors considérer A comme un sous-anneau de F r(A) et écrire l'élément x= (a, b) =f(a)(f(b))⁻¹ deF r(A) sous la forme ^a_b.

Exemple 2.10.3. F r(Z) =Q.

Exercice 2.10.4. déterminer le corps des fractions de l'anneauZ[√ 5].

Chapitre 3

Divisibilité dans un Anneau Principal

Le long de ce chapitre,A est un anneau intègre.

3.1 Divisibilité dans un Anneau intègre

3.1.1 Déntions et propriétés

Dénitions 3.1.1. Soientaetb deux éléments deA.

(i). On dit queadiviseb(oubest un multiple dea) et on notea/b s'il existe un élémentc deA tel que b=ac.

(ii). On dit queb est un associé de adansA et on note a∼b s'il existe un élément u de U(A) tel queb=ua.

Exemples 3.1.2.

1. Dans Z, n/kn, oùk∈Z.

2. Dans Z[i],1 +i/2. 3. Dans Z[√

2], 2 +√ 2-3.

4. Dans Z, n∼m si, et seulement si, m=nou m=−n. 5. Dans Z[i],1 +i∼1−i.

6. u∼1_A si, et seulement si, u∈ U(A). Remarques 3.1.3.

1. La relation de divisibilité dénie dansAest une relation de pré-ordre (i.e., réexive et transitive) mais, non symétrique.

2. La relation ∼dénie sur A par a∼b sib est associé à a dans A est une relation d'équivalence et ainsi on dit que aet b sont associés dans A.

Proposition 3.1.4. Soienta etb deux éléments de A. (i). a/b si, et seulement si, (b)⊂(a).

(ii). u∈ U(A) si, et seulement si, ∀a∈A:u/a.

(iii). Les éléments de la forme ua, où u∈ U(A), divisent a. (iv). a/b etb/a si, et seulement si, a∼b.

3.1.2 Eléments irréductibles et éléments premiers Dénitions 3.1.5. Soitp un élément deA.

(i). On dit que p est irréductible si p est non nul, non inversible et les seuls diviseurs de p sont les éléments inversibles et les associés de p; i.e., p 6= 0, p /∈ U(A) et si a/p alors a∈ U(A) ou a=up, avec u∈ U(A).

(ii). On dit que p est premier sip est non nul, non inversible et si p divise un produit de termes alors p divise l'un des facteurs de ce produit ; i.e., p /∈ U(A), p6= 0 et sip/ab alorsp/aou p/b.

Remarque 3.1.6. Soitp un élément deA.p est irréductible (resp. premier) dans Asi, et seulement si,∀u∈ U(A), upest irréductible (resp. premier) dans A.

Proposition 3.1.7. Soit p un élément deA.

1. p est premier dans A si, et seulement si,p est non nul et l'idéal(p) est premier.

2. Si p est premier, alorsp est irréductible.

Exemple 3.1.8. En général, un élément irréductible n'est pas nécessairement premier : Soit A = Z[i√

3] ={a+ib√

3/a, b∈Z} (noté aussi Z[√

−3]). On a 2 est un élément irréductible de A, mais 2 n'est pas premier dans A.

3.1.3 P.G.C.D et P.P.C.M

Dénition 3.1.9. Soient a et b deux éléments de A. Un élément d de A est appelé plus grand commun diviseur (pgcd) de aetbsi :

i). d/aetd/b

ii). Sid⁰ est un élément de Atel que d⁰/aetd⁰/b, alors d⁰/d. Remarques 3.1.10.

1. En général, deux éléments d'un anneau intègre n'ont pas nécessairement un pgcd.

2. Si deux éléments aetbdeA admettent un pgcd, alors ce pgcd est unique à un facteur inversible près, i.e., si dest un pgcd de aet b et δ∈A tel que d∼δ, alors δ est aussi un pgcd de a etb, aussi, sid etδ sont des pgcd dea etb, alors d∼δ.

Par abus de notation, on noted=pgcd(a,b) ou simplementd=a∧b. 3. On dit que deux éléments aet b sont premiers entre eux sipgcd(a, b) = 1.

D'une manière analogue au plus grand commun diviseur, on dénit un plus petit commun multiple (ppcm) de deux éléments aetbde A.

Dénition 3.1.11. Un élémentm de A est appelé plus petit commun multiple de aetbsi : i). a/metb/m

ii). Sim⁰ est un élément deA tel que a/m⁰ etb/m⁰ alorsm/m⁰

Simest un plus petit commun multiple deaetb, par abus de notation, on notem=ppcm(a,b) ou simplementm=a∨b.

Exercice 3.1.12. Montrer que les éléments9et3(2 +i√

5)de l'anneauA=Z[i√

5] ={a+ib√

5/a, b∈ Z} n'ont pas de pgcd dansA.

Exercice 3.1.13. Soient a, b∈A− {0}. Sim=a∨betab=mdalorsd=a∧b.

3.2 Divisibilité dans un Anneau principal

3.2.1 Eléments irréductibles

Lemme 3.2.1. Dans un anneauAprincipal, si p∈Aest irréductible, alors (p) est un idéal maximal.

Proposition 3.2.2.

(i). Dans un anneau principal, un élément p est irréductible si, et seulement si,p est premier.

(ii). Dans un anneau principal, tout idéal premier non nul de A est maximal.

Remarque 3.2.3. Dans un anneau principal, les notions d'éléments premiers et d'éléments irréduc- tibles coincident.

Exemple 3.2.4. DansZ, les notions d'éléments premiers et d'éléments irréductibles coincident (car Z est un anneau principal). Ces éléments irréductibles (premiers) sont les entiers relatifs p tels que

|p|est un entier naturel premier.

3.2.2 P.G.C.D et P.P.C.M dans un anneau principal

Lemme 3.2.5. Si aet b sont deux éléments d'un anneau principal A, alors, (i). il existe un élément dde A tel que (a) + (b) = (d).

(ii). il existe un élément m de A tel que (a)∩(b) = (m).

Proposition 3.2.6. Si aet b sont deux éléments non nuls d'un anneau principal A, alors, (i). d=a∧b si, et seulement si, (a) + (b) = (d), avec d∈A.

(ii). m=a∨b si, et seulement si, (a)∩(b) = (m), avecm∈A.

Théorème 3.2.7 (Théorème de Bezout). Soient aet bdeux éléments de A.a etb sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe u et v, deux éléments de A, tels que au+bv= 1.

3.2.3 Un anneau principal est factoriel

Lemme 3.2.8. SiAest un anneau principal, alors A vérie la condition de chaine ascendante, i.e., si (a₁)⊂(a₂)⊂(a₃)⊂...est une suite d'idéaux deA, alors il existeN ∈Ntel que∀n≥N,(a_n) = (a_N). Théorème 3.2.9. Tout anneau principal A vérie les deux conditions suivantes :

(i). Tout élément non nul et non inversible a de A s'écrit sous la forme a= p₁...p_r, où p₁, ..., p_r sont des éléments irréductibles de A non nécessairement distincts.

(ii). Si un élément non nul et non inversible a de A possède une autre décomposition de type a = q1...qs où q1, ..., qs sont des éléments irréductibles de A, alorsr =set il existe une permutation σ deSr telle que pi etq_σ(i) sont associés pour tout i∈ {1, ..., r}.

Remarques 3.2.10.

1. La première condition assure l'existence de la décomposition de aen éléments irréductibles et la deuxième assure l'unicité de cette décomposition.

2. Un anneau intègre vériant les deux conditions (i) et (ii) est dit un anneau factoriel ; ainsi, un anneau principal es factoriel.

Exemple 3.2.11. l'anneau Z[i√

5] = {a+ib√

5/a, b ∈ Z} n'est pas principal : soient 9 = 3² et 9 = (2 +i√

5)(2−i√

5)deux décompositions de9 en éléments irréductibles ; 3 et2 +i√

5 ne sont pas associés ainsi que 3 et2−i√

5. 3.2.4 Anneaux Euclidiens

Dénition 3.2.12. On dit queAest un anneau euclidien s'il existe une applicationδ :A−{0} →N telle que Pour tout (a, b) élément de A×(A− {0}), il existeq, r éléments de A tels que a=bq+r avec r= 0 ou δ(r)< δ(b) (q est dit quotient etr est dit reste).

Exemple 3.2.13. Z est un anneau euclidien.

Théorème 3.2.14. Si A est un anneau est euclidien, alors A est principal.

Algorithme 3.2.15 (Algorithme d'Euclide). Soient a et b deux éléments non nuls d'un anneau euclidien A. On appelle Algorithme d'Euclide la méthode de calcul du pgcd de a et b utilisant plusieurs fois la propriété dénissant un anneau euclidien : ∃q₁, r₁ ∈A:a=bq₁+r₁ avec r₁= 0 ou δ(r₁)< δ(b). Sir₁= 0 alorsa∧b=bsinon on applique la même propriété aux éléments bet r1 ainsi

∃ q2, r2∈A:b=r1q2+r2 avec r2 = 0 ouδ(r2)< δ(r1) . . . , on obtient donc : a=bq₁+r₁ avec δ(r₁)< δ(b)

b=r1q2+r2 avec δ(r2)< δ(r1) r₁ =r₂q₃+r₃ avec δ(r₃)< δ(r₂)

...

ri−2 =ri−1qi+ri avec δ(ri)< δ(ri−1) ri−1 =riqi+1+ri+1 avec δ(ri+1)< δ(ri)

Puisque la suiteδ(b)> δ(r1)> δ(r2)> ...est une suite strictement décroissante d'entiers naturels, alors le dernier reste non nulr_n est un pgcd deaetb.

Exercice 3.2.16. On considère l'application δ : Z[i]− {0} → N, a+ib 7→ a²+b². Soit x ∈ Z[i] et y∈Z[i]− {0}.

1). Vérier que xy⁻¹=u+iv, où u, v∈Q.

2). Montrer qu'il existe m, n∈Z tels que|u−m| ≤ ¹₂ et|v−n| ≤ ¹₂. 3). Vérier que x= (m+in)y+ ((u−m) + (v−n)i)y.

4). En posantq =m+in etr = ((u−m) + (v−n)i)y, montrer queZ[i]est euclidien.

5). Donner un élémentd∈Z[i]:<22 + 6i,16−2i >=< d >.

Chapitre 4

Anneau de Polynômes à une Indéterminée

Dans toute la suite, A désigne un anneau commutatif (unitaire et non trivial).

4.1 Construction

4.1.1 Construction et Dénitions Dénitions 4.1.1.

On appelle polynôme à une indéterminée à coecients dans l'anneau A toute suite (a_n)n∈N d'éléments deA n'ayant qu'un nombre ni de termes non nuls.

Les éléments ai non nuls de cette suite sont appelés les coecients du polynôme(an)n∈N. Le coecient non nul correspondant à l'indice le plus grand de cette suite est appelé coecient

dominant du polynôme(a_n)n∈N.

Le coecient a0 est dit coecient constant du polynôme(an)n∈N.

Si le coecient dominant du polynôme (a_n)n∈N est égal à 1, on dit que(a_n)n∈N est un poly- nôme unitaire.

Exemple 4.1.2. Soit (an)n∈N = (1,0,−2,1,0, ...,0, ....) la suite d'éléments de Z dénie par : a0 = 1, a₁ = 0, a₂ =−2, a₃ = 1 et a_n= 0 si n≥4. La suite (a_n)n∈N est un polynôme à une indéterminée à coecients dans l'anneau Z. Les éléments a₀ = 1, a₁ = 0, a₂ =−2, a₃ = 1 sont les coecients du polynôme (an)n∈N; a0 = 1 est le coecient constant de (an)n∈N, a3 = 1 est le coecient dominant de (a_n)n∈N et le polynôme (a_n)n∈N est unitaire (a₃ = 1).

On dénit dans l'ensembleB des polynômes à une indéterminée à coecients dans l'anneauAles deux opérations suivantes :

Addition :∀P = (a_n)n∈N∈B,∀Q= (b_n)n∈N∈B,P+Q= (c_n)n∈N est la suite d'éléments de A dénie par la relation : c_n =a_n+b_n; on aP +Q∈B car P+Q= (c_n)n∈N est une suite n'ayant qu'un nombre ni de termes non nuls.

Produit : ∀P = (a_n)n∈N ∈B,∀Q= (b_n)n∈N∈B :P.Q= (c_n)n∈N avec :c_n = P

i+j=n

a_ib_j ainsi c0 =a0b0, c1 =a0b1+a1b0, ..., ck=a0bk+a1bk−1+...+ak−1b1+akb0, ... et siai = 0 ∀i > n₁ et bj = 0 ∀j > m₁ alors c_k = 0 ∀k > n₁+m1 et ainsi P.Q = (cn)n∈N est une suite n'ayant qu'un nombre ni de termes non nuls, i.e.,P Q∈B

On vérie aisément que l'ensemble B des polynômes à une indéterminée à coecients dans A, muni de l'addition et de la multiplication dénies ci-dessus, est un anneau commutatif unitaire (et non trivial) appelé anneau de polynômes à une indéterminée à coecients dans l'anneau A. Le zéro de B est l'élément(0A,0A, ...) et son unité est l'élément(1A,0A,0A, ...).

A l'aide de l'homomorphisme injectif i:A→ B déni par i(a) = (a,0,0, ...), on peut identier a avec son image i(a), A avec i(A) et considérer A comme un sous-anneau de B. Les éléments de A s'appellent polynômes constants.

Notations 4.1.3 (Notations habituelles).

PosonsX = (0,1,0,0, ...)∈B. On aX² =X.X = (0,0,1,0,0, ...), . . . , X^k = (0, ...,0

| {z }

k fois

,1,0,0, ...)

et ainsi(0, ...,0, a_k,0, ...) = (a_k,0, ...)(0, ...,0,1,0, ...) = (a_k,0, ...)X^k.

Soit P = (a₀, a₁, ..., a_n,0,0, ...) un élément de B. En utilisant l'identication de a avec son image i(a) = (a,0,0, ...), on a P = (a₀,0, ...) + (0, a₁,0, ...) +...+ (0, ...,0, a_n,0, ...) = a₀ + a1X+...+anXⁿ. Ainsi,P =a0+a1X+...+anXⁿ= 0 si, et seulement si,a0 =...=an= 0. Vu la notation utilisée ci-dessus, on désigne l'anneau B parA[X].

Dénition 4.1.4. SoitP(X) =

n

P

i=0

a_iXⁱ =a₀+a₁X+...+a_nXⁿ un polynôme non nul deA[X]. On appelle degré du polynôme P(X), notédegP(X), le plus grand entierktel que a_k est non nul.

SiP(X) est le polynôme nul, on posedegP(X) = −∞ et on convient que ∀n∈N,−∞ ≤n et que

−∞+n=−∞.

Remarque 4.1.5. SoitP(X)∈A[X]. On adegP(X) = 0 si, et seulement si,P(X)est un polynôme constant non nul.

4.1.2 Propriétés

Proposition 4.1.6. Si P(X) et Q(X) sont des polynômes de A[X], alors (i) deg(P(X) +Q(X))≤sup(degP(X),degQ(X)).

(ii) deg(P(X).Q(X))≤degP(X) + degQ(X).

Remarque 4.1.7. L'inégalité (ii) peut être stricte . En eet, considérons P(X) = 2X et Q(X) = 2X+1deux polynômes de(Z/4Z)[X], on aP(X).Q(X) = 2X et ainsidegP(X)Q(X)<degP(X)+

degQ(X).

Proposition 4.1.8. Si A est intègre, alors

(i) A[X]est un anneau intègre (en particulier, si A=K est un corps alorsK[X]est intègre).

(ii) deg(P(X).Q(X)) = degP(X) + degQ(X) ∀P(X), Q(X)∈A[X] (en particulier, siA =K est un corps).

(iii) U(A[X]) =U(A) (en particulier si A=K est un corps, alorsU(K[X]) =K^∗=K− {0}).

4.2 Division euclidienne

Théorème 4.2.1 (Théorème de la division euclidienne). Soit K un corps. Si P(X) et S(X) sont des polynômes de K[X] tels queS(X)6= 0, alors il existe un, et un seul, couple (Q(X), R(X)) élément de (A[X])² tel que : P(X) =Q(X)S(X) +R(X) avecdegR(X)<degS(X).

Exemples 4.2.2.

1. Soient P(X) = 3X⁴+ 2X³ +X² + 5, S(X) = X²+ 3 ∈ R[X], alors il existe un, et un seul, (Q(X), R(X))∈R[X]tel que P(X) =Q(X)S(X) +R(X),(Q(X) = 2X³+ 2X−8 etR(X) = 29−6X).

2. Soient P(X) = 2X⁴ +X² −X+ 1, S(X) = 2X −1 ∈ Z5[X], alors il existe un, et un seul, (Q(X), R(X))∈Z5[X]tel que P(X) =Q(X)S(X) +R(X), (Q(X) = X³+ 3X²+ 2X+ 3 et R(X) = 4).

Théorème 4.2.3. Si K un corps, alors K[X] est un anneau euclidien.

Corollaire 4.2.4. Si K un corps, alors K[X]est un anneau principal.

Proposition 4.2.5. Soit K un corps. Si P(X), Q(X) ∈K[X]− {0}, alors il existe un, et un seul, D(X)∈K[X]unitaire tel que < P(X)>+< Q(X)>=< D(X)>; on dit que D(X) est le pgcd de P(X) et Q(X).

Remarque 4.2.6. Soient K un corps,P(X), Q(X)∈K[X]− {0}. Puisque K[X] est euclidien, on utilise l'algorithme d'Euclide pour déterminer le pgcd de P(X) etQ(X).

Exemple 4.2.7. SoientP(X) = 2X⁴+5X³−5X−2,Q(X) = 2X³−3X²−2X∈Q[X], on aP(X) = (2X³−3X²−2X)(X+4)+14X²+3X−2,2X³−3X²−2X= (14X²+3X−2)(¹₇X−¹²₄₉)+(−⁴⁸₄₉X−²⁴₄₉), 14X²+ 3X−2 = (−⁴⁸₄₉X−²⁴₄₉)(−³⁴³₂₄X+ ⁴⁹₁₂) + 0, ainsiP(X)∧Q(X) =X+¹₂.

4.3 Fonctions polynômes

4.3.1 Dénition et Théorème du reste

Soient (A(A, A),+, .) l'anneau des applications de A dans A et P(X) =

n

P

i=0

a_iXⁱ ∈ A[X]. On considère l'application notéeP˜ :A→A,α7→P˜(α) =

n

P

i=0

aiαⁱ. L'applicationP˜ est appelée fonction polynôme associée au polynôme P(X).

Proposition 4.3.1. l'application ϕ : A[X] → A(A, A), P(X) 7→ P˜ est un homomorphisme d'an- neaux.

Théorème 4.3.2 (Théorème du reste). Soient K un corps, P(X) un polynôme de K[X] etα un élément deK. Alors, il existe un unique polynômeQ(X)∈K[X]tel queP(X) =Q(X)(X−α)+ ˜P(α). 4.3.2 Racine d'un polynôme

Dénition 4.3.3. Soient P(X) ∈ A[X] et α ∈ A. On dit que α est une racine (ou un zéro) de P(X) siP˜(α) = 0.

Proposition 4.3.4. Soient K un corps, P(X) ∈ K[X] et α ∈K. α est une racine de P(X) si, et seulement si, (X−α) diviseP(X).

Proposition 4.3.5. SoitK est un corps. Si P(X)∈K[X]est un polynôme non nul de degrén, alors P(X) a au plus nracines distinctes.

Exercice 4.3.6. On considère l'homomorphismeϕ:K[X]→ A(K, K),P(X)7→P˜, oùKest un corps.

1). Montrer que siK est inni, alorsϕest injectif.

2). On poseK =Zp, oùp est un nombre premier. L'homomorphismeϕest-il injectif ? 4.3.3 Polynôme dérivé

Soit K un corps.

Dénition 4.3.7. Soit P(X) =a₀+a₁X+a₂X²+...+a_nXⁿ un polynôme de K[X]. On appelle polynôme dérivé deP(X) le polynômeP⁰ =a₁+ 2a₂X+...+na_nXⁿ⁻¹.

Proposition 4.3.8. Si P, Qsont deux polynômes de K[X]et a∈K, alors : (i) (P +Q)⁰ =P⁰+Q⁰.

(ii) (P Q)⁰ =P⁰Q+P Q⁰. (iii) (aP)⁰ =aP⁰.

Remarque 4.3.9. Soit K un corps de caracéristique nulle. Si Le polynôme dérivé P⁰ d'un polynôme P ∈K[X]est nul, alorsP est un polynôme constant. Cependant, ce résultat est faux sicarK =p6= 0 (exemple : P =X^p ∈Zp[X], où p est premier, P⁰ =pX^p−1= 0).

On dénit le polynôme dérivé P^(k) d'ordrek deP comme suit : P⁽⁰⁾ =P,P⁽¹⁾=P⁰ etP^(k+1) = (P^(k))⁰ pourk≥2.