Il en résulte en particulier que l implication de l axiome (iv) est en fait une équivalence.

(1)

PT 2021/2022

Chapitre 9 : Espaces préhilbertiens réels

Soit E un espace vectoriel sur IR, de dimension finie ou infinie.

I) Produit scalaire

1) définition

On appelle produit scalaire sur E une application

 : E  E ^⎯⎯→ IR

(x,y) ^^⎯⎯→ (x,y) (on note en général (x,y) = (x|y) , ou <x,y> ou x.y ) qui vérifie : (i)  est symétrique, c'est-à-dire  (x,y)  E² , (x|y) = (y|x)

(ii)  est une forme bilinéaire , c'est-à-dire  (x,y,z)  E³ ,    IR , (x+y|z) = (x|z) + (y|z)

(x|y+z) = (x|y) + (x|z) (iii)  x  E , (x|x)  0

(iv)  x  E , (x|x) = 0 x = ^⎯→0

Remarque : Si on montre (i) en premier lieu, il suffit ensuite de prouver la linéarité par rapport à la première variable pour prouver (ii)

Définition: Si E est un espace vectoriel sur IR muni d un produit scalaire (.|.) , on dit que (E, (.|.) ) est un espace préhilbertien réel.

Si de plus E est de dimension finie, on dit que (E, (.|.) ) est un espace euclidien.

Propriété :  x  E , (x|^⎯→0) = 0 preuve :

Il en résulte en particulier que l’implication de l’axiome (iv) est en fait une équivalence.

2) exemples usuels

a) le produit scalaire canonique de IRⁿ

Si ^⎯→u = (x1 , …, xn) et ^⎯→v = (y1 , …, yn) sont deux vecteurs de IRⁿ , on pose (^⎯→u|^⎯→v) =



k=1 n

xk yk

Vérifier que l’on définit bien ainsi un produit scalaire sur IRⁿ , appelé produit scalaire canonique sur IRⁿ

(2)

b) produit scalaire usuel sur C([a,b],IR)

Si f et g sont deux fonctions de l’espace vectoriel des fonctions continues de l’intervalle [a,b] dans IR , on pose

(f |g) = 

a

bf(x)g(x)dx Vérifier que l’on définit bien ainsi un produit scalaire sur C([a,b],IR)

(3)

3) inégalité de Cauchy-Schwarz (version 1)

Théorème : Soit E un espace vectoriel sur IR, (.|.) un produit scalaire sur E.

Alors  (x,y)  E² , (x|y)²  (x|x) (y|y) . De plus, (x|y)² = (x|x) (y|y) x et y liés.

La preuve sera faite dans l’exercice n°1

II) Norme préhilbertienne 1) définition

Si (.|.) est un produit scalaire sur E, alors on pose, pour tout x de E, x (x|x)

On dit que || . || est la norme préhilbertienne (ou norme euclidienne) associée au produit scalaire (.|.).

2) propriétés (i)  x  E, x 0

(ii)  x  E, x = 0  x = ^⎯→0

(iii)  x  E,    IR ;   x  = || x

(iv)  (x,y)  E² , x+y  x + y (inégalité triangulaire) preuves des propriétés: A savoir refaire

(4)

3) inégalité de Cauchy-Schwarz (version 2)

Théorème : Soit E un espace vectoriel sur IR, (.|.) un produit scalaire sur E.

 (x,y)  E² , | (x|y) |  ||x||  ||y|| , avec égalité si et seulement si x et y liés.

4) distance

Définition: Si x et y sont deux vecteurs de E, on définit la distance entre x et y par d(x,y)=x-y 5) identités remarquables avec les normes

Théorème : Soient u et v deux vecteurs de E, espace préhilbertien réel. On a alors :

(i) ||^⎯→u + ^⎯→v||² = ||^⎯→u ||² + ||^⎯→v ||² + 2(^⎯→u|^⎯→v) (ii) ||^⎯→u - ^⎯→v||² = ||^⎯→u||² + ||^⎯→v ||² - 2(^⎯→u|^⎯→v) (iii) (^⎯→u|^⎯→v)=¹

2 ( ||^⎯→u + ^⎯→v||² - ||^⎯→u||² - ||^⎯→v||² ) et (^⎯→u|^⎯→v) = 1

4 (||^⎯→u + ^⎯→v||² - ||^⎯→u - ^⎯→v||²) identités de polarisation (iv) ||^⎯→u + ^⎯→v||² + ||^⎯→u - ^⎯→v||² = 2 (||^⎯→u||² + ||^⎯→v||²) identité du parallélogramme

preuve :A savoir refaire

(5)

III) Orthogonalité

Dans toute la suite, E est un espace vectoriel sur IR, (.|.) est un produit scalaire sur E et ||.|| est la norme préhilbertienne associée.

1) vocabulaire

x et y étant deux vecteurs de E, on dit que :

• x est unitaire si ||x|| = 1

• x et y sont orthogonaux si (x|y) = 0 . On note alors x ⊥ y

{x1 , …, xn} étant une famille de vecteurs de E , on dit que cette famille est :

• orthogonale si  i  j , (xi|xj) = 0

• orthonormale si elle est orthogonale et si de plus tous les vecteurs de cette famille sont unitaires

2) Famille orthogonale et famille libre

Proposition : Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est nécessairement libre preuve : A savoir refaire

(6)

3) théorème de Pythagore

Si x et y sont deux vecteurs de E, alors x et y orthogonaux  ||x + y||² = ||x||² + ||y||² preuve : A savoir refaire

4) Sous espaces vectoriels orthogonaux a) définition

Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E.

On dit que F et G sont orthogonaux si  ^⎯→u  F,  ^⎯→v  G , (^⎯→u|^⎯→v) = 0 On note alors F ⊥ G (ou G ⊥ F)

b) exemple 1

Dans IR³ muni du produit scalaire canonique, montrer que les droites D = Vect{(1,1,2)} et D’=Vect{(1,1,-1)} sont orthogonales.

c) propriété

Proposition : Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E, de bases respectives B et B’. On a alors : F ⊥ G tous les vecteurs de B sont orthogonaux à tous les vecteurs de B’

Cette proposition permet d’éviter les calculs avec des coefficients, par exemple dans l’exemple précédent, pour montrer que D et D’ sont orthogonales, il suffit de montrer que le vecteur (1,1,2) est orthogonal au vecteur (1,1,-1)

preuve :

(7)

5) orthogonal d’un sous espace vectoriel de E a) définition

Soit F un sous espace vectoriel de E. . On appelle orthogonal de F l’ensemble (noté F^⊥) des vecteurs de E qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de F, c'est-à-dire F^⊥ = {x  E ,  y  F , (x|y) = 0}

b) propriétés

Proposition 1 : Soit F un sous espace vectoriel de E. Alors F^⊥ est aussi un sous espace vectoriel de E preuve:

Proposition 2 : Si F est un sous espace vectoriel de E, de base {𝑒_𝑖, 𝑖𝜖𝐼}, et si x E, on a : x F^⊥ i I, (𝒙|𝒆_𝒊)= 0

preuve:

a) exemple

Dans IR³ muni du produit scalaire canonique, déterminer l’orthogonal de la droite vectorielle D = Vect{(1,1,0)}.

Attention, dire que deux sous-espaces vectoriels sont orthogonaux ne signifie pas que l’un est l’orthogonal de l’autre. Penser à l’exemple de deux droites orthogonales dans l’espace.

(8)

6) Bases orthogonales, orthonormales a) définition

Une famille de vecteurs de E est une base orthogonale (respectivement orthonormale) si cette famille est une base et si de plus cette famille est orthogonale (respectivement orthonormale)

Dans le deuxième cas on note en abrégé bon b) exemple

La base canonique de IRⁿ est une base orthonormale pour le produit scalaire canonique 7) Théorème et procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

a) Etude d’un exemple

Dans IR³ muni du produit scalaire canonique, on considère le plan vectoriel P = Vect {^⎯→u1 = (2,1,0), ^⎯→u2 = (1,0,1)}

On cherche une bon {^⎯⎯→e1 , ^⎯⎯→e2 }de P.

b) Théorème

Soit n IN*, et soit



^u₁^,...,^u_n



est une famille libre de vecteurs de E.

Il existe alors une famille orthonormale de vecteurs



e₁,...,e_n



de E telle que Vect



u₁,...,un



=Vect



e₁,...,en



Preuve:

(9)

Remarques :

• La famille



e₁,...,e_n



ainsi construite est unique à condition de préciser que k |[1,n]| ,

(

ukek

)

^⁰

(admis)

• Si F =Vect



u₁,...,u_n



, la matrice de passage de la base



u₁,...,u_n



de F à la base



e₁,...,e_n



est triangulaire supérieure.

c) corollaire

Tout espace euclidien non réduit au vecteur nul admet une base orthonormale.

En effet, ….

(10)

8) calculs dans une base orthonormale

Soit B

{

^e1,…,e_n

}

une bon de E , et soient x x₁e₁ … x_ne_n et y y₁e₁ … y_ne_n deux vecteurs de E.

Alors : (i) i |[1,n]| , xi

(

^x|eⁱ

)

(ii) (x |y)



i 1 n

xiyi (iii ) ||x||



i 1 n

xi 2

preuve:

Expression matricielle : si X et Y sont les matrices colonnes des coordonnées de x et de y dans la base B, alors : (i) (x|y) X^T Y (ii ) ||x||² X^T X

preuve:

9) Matrice d’un endomorphisme dans une base orthonormale

Théorème : Si E est un espace euclidien, si f est un endomorphisme de E, si B est une base orthonormale de E, si 𝐴 = (𝑎_𝑖𝑗)1≤𝑖≤𝑛

1≤𝑗≤𝑛

est la matrice de f dans la base B, alors pour tout i et j entre 1 et n, a_ij

(

^eⁱ^|f

( )

^e^j

)

preuve:

IV) Projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie

1) Supplémentaire orthogonal

Théorème : Si E est un espace préhilbertien réel et si F est un sous espace vectoriel de dimension finie de E, alors F et F^⊥ sont supplémentaires dans E, c'est-à-dire F  F^⊥ = E

preuve:

(11)

Corollaire : Si E est un espace euclidien, dim (F)+dim (F^⊥)=dim(E ) Application : Dans le plan, l’orthogonal d’une droite est une droite

Dans l’espace, l’orthogonal d’une droite est un plan, l’orthogonal d’un plan est une droite.

2) Projection orthogonale

Définition : Si E est un espace préhilbertien réel et si F est un sous espace vectoriel de dimension finie de E, on appelle projection orthogonale sur F la projection sur F parallèlement à F^⊥ . Théorème : Soit F un sous espace vectoriel de dimension finie de E, et p la projection orthogonale sur F.

Si

{

^e¹^,…,e^m

}

est une bon de F, si x est un vecteur de E, alors p(x)



i 1 m

(

^x|eⁱ

)

^ei

preuve :

Corollaire : Inégalité de Bessel

Soit F un sous espace vectoriel de dimension finie de E, et p la projection orthogonale sur F.

Si

{

^e¹^,…,^e^m

}

est une bon de F, si x est un vecteur de E, alors ||p(x)||² ||x||² ,i.e. :



i 1 m

(

^x^|eⁱ

)

² ^||^x^||²^,

preuve :

(12)

Propriété: Si x est un vecteur de E, alors son projeté orthogonal p(x) sur F vérifie x F^⊥. On peut même dire que p(x) est l unique vecteur y de F tel que x F^⊥.

preuve :

3) Méthodes pour déterminer un projeté orthogonal

a) Si on dispose d’une base orthonormée de F Dans ce cas on utilise directement la formule p(x)



i 1 m

(

^x|ei

)

e_i ( où

{

^e1,…,em

}

est une bon de F) Exemple : On se place dans 3 muni du produit scalaire canonique.

Soit F = Vect{(1,0,0),(0,1,0)} et x=(3,-2,1). Déterminer le projeté orthogonal de x sur F.

b) Si on ne dispose pas d’une base orthonormée de F 1 on détermine une base quelconque de F: {f1, …, fn}

2 on décompose p(x) sur cette base p(x)= 1f1+ …+ nfn

3 on écrit les n conditions d orthogonalité : i |[1,n]| , x p(x) ⊥ fi 4 on résout le système de n équations obtenu.

Exemple: Soit E ₂[X] muni du produit scalaire (P|Q) 

1

1 P(t)Q(t)dt Soit la projection orthogonale sur 1[X]. Déterminer

( )

X²

(13)

4) Application: distance d un vecteur à un sous espace vectoriel de dimension finie.

E est un espace préhilbertien réel.

Définition : Si x est un vecteur de E et si F est un sous espace vectoriel de E de dimension finie, on définit la distance de x à F par:

d(x,F)=𝑖𝑛𝑓{ 𝑑(𝑥, 𝑦) , 𝑦 ∈ 𝐹}

(14)

Théorème de la projection orthogonale : Soit x un vecteur de E, soit F un sous espace vectoriel de E de dimension finie, et soit p_F(x) le projeté orthogonal de x sur F. On a alors :

p_F(x) est l’unique vecteur de F vérifiant d(x,F)=d(x,p_F(x)) On a donc d(x,F)=x - pF(x)

preuve :

Exemple : On se place dans 3 muni du produit scalaire canonique.

Soit F = Vect{(1,0,0),(0,1,0)} et x=(3,-2,1). Déterminer la distance de x à F.