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Submitted on 1 Jan 1960
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Calculs sur la capture des muons par les noyaux
G. Goulard, B. Goulard
To cite this version:
G. Goulard, B. Goulard. Calculs sur la capture des muons par les noyaux. J. Phys. Radium, 1960, 21 (5), pp.452-455. �10.1051/jphysrad:01960002105045200�. �jpa-00236306�
CALCULS SUR LA CAPTURE DES MUONS PAR LES NOYAUX Par G. GOULARD et B. GOULARD,
Centre d’Études Nucléaires de Grenoble et Université de Grenoble,
Laboratoire de Physique Nucléaire.
Résumé. 2014 Nous avons établi une formule générale de probabilité de capture du muon négatif
par un noyau en utilisant les tenseurs sphériques. L’approximation non relativiste a été utilisée et les éléments de matrices nucléaires ont été explicitées en prenant un modèle en couche à une
particule. Nous avons appliqué les résultats ainsi trouvés à la probabilité de capture du muon par des noyaux voisins du calcium en vue d’évaluer l’importance relative du couplage de Gamow-
Teller.
Abstract. 2014 We obtain a general formula for the capture probability of a negative muon by
a nucleus, using spherical tensors. The non-relativistic approximation has been used and the nuclear matrix elements were calculated by the choice of an independant particle shell model.
We have applied these results to the capture probability by sonie nuclei near calcium in order to evaluate the ratio of Gamow-Teller to Fermi coupling.
1. Comparaison capture (L-. Capture électro- nique. - Un muon négatif suffisamment ralenti dans la matière peut former un atome mésique
avec un noyau et ensuite être absorbé par le noyau. La réaction de capture du muon
présente de grandes analogies avec la réaction
de capture électronique.
Les différences proviennent du temps de vie
très court de l’atome mésique (seule, la capture K
intervient pour le muon) et de la plus grande
masse du muon (m(1. N 207 me).
Les orbites mésiques sont plus resserrées autour du noyau et le muon sur la couche K’ peut passer
une partie appréciable de son temps de vie à
l’intérieur du noyau. L’absorption nucléaire du
muon mettant en jeu une énergie plus grande qu’en capture électronique, le noyau final peut atteindre de nombreux niveaux excités, aussi
le type d’interaction sera plus difficile à mettre
en évidence qu’en capture électronique.
Le neutrino émis après réaction aura une énergie
d’environ 90 MeV, aussi les différents éléments de matrice « interdits » décroissent beaucoup
moins vite qu’en capture électronique.
C’est pourquoi une formule générale de pro- babilité de transition semble utile à calculer dans le cas de la capture u-. Dans des calculs pré-
liminaires nous avons établi une formule avec
l’approximation non relativiste tenant compte
des termes de Fermi et Gamow-Teller.
2. Formule de probabilité de capture. - La probabilité P de transition par capture entre
un état initial Ii > et un état final If > est donnée par
PF densité des états finaux
g, = constante de Fermi, g2 = constante de Gamow-Teller
rN position des nucléons, rL position des leptons.
Yi, Yf fonctions d’onde initiale et finale du
noyau.
Yv, Yu. fonctions d’onde du neutrino et du muon.
Utilisant les tenseurs sphériques et le théorème de Wigner-Eckhardt (Edmonds, 1955 ; Rose, 1957),
on arrive à la formule
j1 > et li2 > états leptoniques initial et final,
I .
> et l’ > états nucléaires initial et final, 03BE = 0 pour un opérateur scalaire, = 1pour un opérateur vecteur.
TA défini par
3. Application à des noyaux particuliers. - On
utilise le modèle en couches sous sa forme la plus simple, les états du noyau sont considérés comme
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01960002105045200
453
TABLEAU 1
particule puits potentiel rectangulaire infiniment profond.
La probabilité de transition partielle s’écrit
avec C moyenne de la fonction d’onde du muon
sur le volume nucléaire
Jt >2 = partie radiale.
Les valeurs de F2 et G2 sont données dans le tableau 1 (p. 453). -
Nous avons étudié les noyaux de Ca, V, Mn, Cr, Ni déjà considérés par Tolhoek et Luyten (1957). La probabilité de capture par 40 Ca
n’est pas sensible au type d’interaction, la pro- babilité de capture par les corps suivants : 51V, -1 -1 M n, 54Cr, 58Ni et 60Ni y est plus sensible. Prenons
l’exemple du Vanadium.
FIG. 1.
Étant donnée la configuration du 51V, les
3 rotons de la 7
ourront efiectuer une
3 protons de la couche ’l ) pourront efîectuer une
transition de Gamow-Teller permise à la couche
1
t 5.
Ils ne peuvent effectuer la transition de2
Fermi 11 2 - 1f 7/2
par suite du principe de Pauli.Nous effectuons la comparaison des rapports
TABLEAU II
PARTIES RADIALES
q = 1Íc’ Ev énergie du neutrino .
hc
çnt nmezéro de la fonction de Bessel Jl+l2
TABLEAU III
* V-A : Avec constantes de Fermi et Gamow-Feller égales.
** Formule de Primakoff Pc p(1,1) eU
3(, - 8 A - z .
(Y - 0,64 ; 8 = 2,85. Lipman).** Formule de Primakoff P, == P(1,1) 4 1 - 8 2A (y = 0,64 ; 8 = 2,85. Lipman).
*** Les chiffres du haut correspondent à un rayon moyen (1 re hypothèse). Les chiffres du bas correspondent à des
rayons individuels (2e hypothèse).
455
de probabilité de
capture v
Ca etc..., donnés parl’expérience (Sens, 1957, 1959 ; Astbury, 1958)
avec ceux prévus par le calcul en supposant successivement une interaction de Fermi pure,
une interaction de Gamow-Teller pure et un
mélange équivalent des deux interactions:
En prenant un rayon moyen R = ro.A1/3
fermis (ra = 1,4 fermis, A = 54) nous avons
calculé à l’aide de la machine à calculer de l’uni- versité de Grenoble, les parties radiales corres- pondant aux transitions principales 2s -- 2p,
1d 2013 1/, ,1 f - 19, if -1 f pour différentes valeurs de l’énergie du neutrino prises entre 80 et 105 MeV.
Les courbes trouvées sQnt données dans le ta- bleau II.
Nous présentons dans le tableau III les résultats trouvés par le calcul en partant des deux hypo-
thèses suivantes :
- rayon moyen pour les différents noyaux dans l’intégrale radiale (approximation utilisée
par Tolhoek et Luyten) et énergie du neutrino différente pour chaque transition nucléaire (sans
tenir compte de l’effet de structure fine).
- rayon pour chaque noyau, énergie du neu-
trino différente pour chaque transition (toujours
sans tenir compte de l’effet de structure fine).
Tolhoek et Luyten prenant le même modèle nucléaire, un rayon moyen pour les intégrales
radiales aboutissent à une interaction de Gamow- Teiller pure (avec ro = 1,4 fermis).
Nous trouvons des pourcentages d’interaction variables avec le rayon nucléaire choisi et l’énergie
du neutrino émis. L’hypothèse d’un rayon moyen
nous conduit à des constantes de Fermi et Gamow- Teller à peu près égales. L’hypothèse d’un rayon pour chaque noyau conduit à une interaction de Fermi prédominante, résultat douteux.
4. Conclusion. - Nos résultats ne sont encore
que préliminaires car :
- la fonction d’onde du muon lié utilisée est
encore imparfaite, l’effet de taille du noyau
compliquant les calculs.
- La théorie prévoit la présence de termes pseudo scalaires induits (Wolfenstein, 1958; Pri-
makoff 1959) et de magnétisme faible (Gell Mann, 1958). Des calculs plus poussés doivent en tenir compte (Fujii, 1959).
- Le modèle nucléaire à une particule dans
un puits rectangulaire infiniment profond est
manifestement trop grossier. En particulier il est incompatible avec l’émission de neutrons dé- tectés et étudiés depuis une dizaine d’années.
- L’énergie disponible étant élevée, le noyau
peut atteindre de nombreux états excités, aussi,
le nombre important de transitions nucléaires a
tendance à masquer le type d’interaction. C’est ainsi que la formule globale donnée par Prima- koff dès 1955 donne pour l’instant des résultats aussi corrects que nos calculs plus compliqués.
Les résultats de nos calculs ainsi que ceux de Tolhoek et Luyten ne permettent pas de préciser
pour l’instant l’interaction muon-nucléon. Pour
savoir de manière plus définitive si l’on peut
obtenir des renseignements sur l’interaction muon-nucléon à partir de probabilité de capture globale des muons par les noyaux, il sera nécessaire de refaire des calculs en tenant compte de tous les
termes de l’interaction, en prenant une fonction
d’onde du muon exacte et un modèle nucléaire
plus élaboré.
Il sera de toute manière intéressant de pouvoir
isoler des transitions nucléaires particulières, de
manière à pouvoir mettre en évidence un terme de
l’interaction. Dans ces conditions, des formules
détaillées sur les probabilités de transitions par- tielles sont nécessaires.
RÉFÉRENCES [1] ASTBURY (A.) et coll., Proc. Phys. Soc., 1958, 72, 494.
[2] EDMONDS (A. R.), Rapport C. E. R. N., 1955, 55-26.
[3] FUJII (A.), MORITA (M.), Bull. Amer. Phys. Soc., 1959, II, 4, 407.
[4] GELL-MANN (M.), Phys. Rev., 1958, 111, 362.
[5] PRIMAKOFF (H.), Proc. 5th Rochester Conf., 1955, 174.
PRIMAKOFF (H.), Rev. Mod. Phys. 1959, 31, 802.
[6] ROSE (M. E.), Elementary theory of angular momen- tum, 1957.
[7] SENS (J. S.), Phys. Rev., 1957, 107, 1465 ; Phys. Rev., 1959, 113, 679.
[8] TOLHOEK (H. A.), LUYTEN (J. R.), Nuclear Physics, 1957, 3, 679.
[9] WOLFEIVSTEIN (L.), Nuovo Cimento, 1958, 8, 882.
