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Submitted on 1 Jan 1981
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Transition rugueuse et localisation pour une singularité linéaire dans un espace à deux ou trois dimensions
M. Vallade, J. Lajzerowicz
To cite this version:
M. Vallade, J. Lajzerowicz. Transition rugueuse et localisation pour une singularité linéaire dans un espace à deux ou trois dimensions. Journal de Physique, 1981, 42 (11), pp.1505-1514.
�10.1051/jphys:0198100420110150500�. �jpa-00209343�
1505
Transition rugueuse et localisation pour une singularité linéaire
dans un espace à deux ou trois dimensions
M. Vallade et J. Lajzerowicz
Laboratoire de Spectrométrie Physique, Université Scientifique et Médicale de Grenoble, Boîte postale n° 53, 38041 Grenoble Cedex, France
(Reçu le 14 mai 1981, accepté le 17 juillet 1981)
Résumé. 2014 Le modèle gaussien continu est utilisé pour décrire les propriétés thermodynamiques de la ligne d’inter-
face dans le modèle d’Ising à deux dimensions ; on retrouve les résultats exacts concernant la transition rugueuse du modèle d’Abraham pour TR ~ Tc On calcule en outre la fonction de corrélation de position des points de l’inter- face et on étudie l’influence d’un champ extérieur uniforme. Le même modèle est étendu au cas d’une singularité
linéaire dans l’espace d = 3 : on montre qu’on peut avoir une transition rugueuse avec une énergie libre possédant
une singularité en exp- (A/TR-T).
Abstract. 2014 The continuous Gaussian approximation is used to describe the thermodynamical properties of an
interfacial line in the two-dimensional Ising model ; the exact results concerning the roughening transition of the Abraham model are recovered for TR ~ Tc. Furthermore the correlation function for the displacements of the
interfacial points is calculated and the influence of a uniform applied field is also studied. The same model is extended to the case of a linear singularity in the three-dimensional space : it is shown that one can get a roughening tran-
sition and the free energy exhibits an essential singularity - exp - (A/TR-T).
J. Physique 42 ( 1981 ) 1505-15 I 4 NOVEMBRE 1981,
Classification
Physics Abstracts
05.50 - 64.60 - 68.48 - 75.60C
1. Introduction. - Le problème de la nature de
l’interface entre les deux phases d’aimantation oppo- sée dans un système d’Ising a été l’objet d’études
récentes [1-3] ; dans le cas bidimensionnel on
démontre [4] que cet interface (ligne) est o diffus » (ou « rugueux »), c’est-à-dire que les fluctuations de
position de la paroi sont très grandes pour toutes
températures T Tc. Au contraire, en dimension 3 l’interface (surface) est localisé à basse température
et ne devient diffus qu’au-dessus d’une température TR T,, [5]. Abraham et al. [6] ont donné une solu-
tion exacte d’un modèle d’Ising ferromagnétique à
d = 2 dans le cas où les conditions aux limites impo-
sent l’existence d’une paroi de domaine ancrée en
deux points de la surface d’un système semi-infini distants d’une longueur s. Ils trouvent que l’interface est diffus sur une largeur variant comme foi. Plus
récemment Abraham [7] a montré que si, dans ce
même modèle, on choisit une interaction d’échange Jo
au voisinage de la surface plus faible que celle du reste du système, il existait une température de
transition rugueuse T R variant entre 0 et Tc selon
la valeur de Jo.
Le but de cet article est de montrer qu’une approche semi-phénoménologique basée sur la fonctionnelle à la Landau-Ginzburg permet de retrouver les résultats
exacts (pour TR Tc); en outre on peut généraliser
facilement les résultats à des formes d’inhomogénéités
variées et étudier l’influence d’un champ extérieur.
Le cas d’une singularité linéaire à d = 3 peut également être abordé par cette méthode.
2. Modèle semi-phénoménologique de la ligne d’inter-
face à deux dimensions. - Nous partons de la descrip-
tion du modèle d’Ising (n = 1, d = 2) à l’approxima-
tion gaussienne continue [8, 9], où la densité d’énergie f
est une fonctionnelle du paramètre d’ordre q(x, y) du type Landau-Ginzburg
(v est une fonction régulière de r¡2).
Quand on impose des conditions aux limites telles que en y = ± oo le paramètre d’ordre 1 ait des
valeurs opposées, on contraint le système à posséder
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198100420110150500
au moins une paroi de domaine. L’énergie libre totale est donnée par l’intégrale fonctionnelle
la sommation sur les chemins q(x, y) étant restreinte
aux fonctions qui satisfont les conditions aux limites.
Dans une approximation de type « champ moyen »
on admet que 5- ,:t F( r¡m) où r¡m est la fonction qui
minimise F. Pour la fonctionnelle (1)
le profil de la paroi est décrit par la fonction g(u) impaire qui tend vers + 1 quand u - + oo ; 03BE est
la longueur de corrélation qui fixe la largeur de la paroi. La « forme » de la paroi, définie comme la
courbe où il = 0, est dans ce cas la droite y = Yo (Yo arbitraire). L’hypothèse principale que nous
allons faire, consiste à admettre que l’on peut décrire les fluctuations de la paroi en supposant que celle-ci reste presque « raide » ; plus précisément on admet
que sa «forme » peut être décrite par une fonction y = Y(x) (non multiforme) dont le rayon de courbure est grand devant 03BE. (Nous ne nous intéresserons
qu’aux températures T Tc de sorte que 03BE reste petit.)
On restreint donc l’intégration (2) aux fonctions
Dans le cas d’un système où les interactions sont
inhomogènes, la fonction v dans (1) dépendra expli-
citement de x et y.
Si v(x, y) reste constant sur les distances grandes devant 03BE, on peut considérer que l’approximation (3)
reste valable, et l’on a :
où
A représente donc la tension de ligne.
On note que les régions où les interactions sont minimales correspondent à des maxima de v( y, x) et
donc à des minima de V(Y, x).
Dans le cas où l’on applique un champ conjugué
du paramètre d’ordre H, on doit ajouter à F un terme
Cette approximation permet ainsi de passer d’un
problème bi-dimensionnel à un problème à une
dimension, l’intégrale fonctionnelle (2) portant main-
tenant sur les fonctions Y(x).
Pour calculer les propriétés thermodynamiques on
va utiliser les résultats bien connus concernant l’inté-
gration fonctionnelle [10] ; en particulier si V (et h)
sont indépendants de x la densité de probabilité pour que Y(x) soit compris entre y et y + dy, avec les
conditions aux limites
est donnée par :
où
9,,(y) et Àn sont les fonctions propres et les valeurs propres de l’équation (analogue à une équation de Schrôdinger) :
on va étudier les solutions de (8) dans quelques cas simples.
2. 1 SYSTÈME HOMOGÈNE SEMI-INFINI. - Imposons
comme conditions aux limites, celles choisies par Abraham (voir Fig. 1) :
correspondant à un ancrage de la paroi sur la surface
aux points y = yo xr 0, x = ± s/2.
Les approximations précédentes restent valables
pour (s12 - x 1) et y > 03BE. Le « potentiel » vu par la
paroi est un puits de potentiel rectangulaire à bords
infinis en Y = 0 et L. Le spectre des valeurs propres
= (7Y L A forme un quasi-continuum à la limite
où Lu oo (A = T/2 A a la dimension d’une lon-
gueur).
1507
Fig. 1. - Modèle d’Ising similaire à celui d’Abraham (Réf. [7])
utilisé aux paragraphes 2 et 3 pour décrire la transition rugueuse à d = 2. Une ligne d’interface est ancrée en x = ± s/2, y - 0.
d représente l’épaisseur sur laquelle les interactions ont une valeur
plus faible dans le modèle du paragraphe 2.2.
[Ising model similar to that of reference [7] used in sections 2 and 3 to describe the roughening transition at d = 2. An interfacial line is pinned at x = ± s/2, y - 0. d is the thickness for which the interactions have a lower value in the model of section 2.2.]
La densité de probabilité donnée par l’équation (6)
se calcule exactement :
On en déduit la valeur moyenne de la position de la paroi et ses fluctuations :
On constate donc que Y(x) a un caractère essentielle- ment brownien, les fluctuations pour 1 x s/2
croissant comme
Ceci est en accord avec les résultats donnés par
°
les solutions exactes pour s - oo [6]. On remarque que notre hypothèse considérant que la paroi est
presque « raide » est cohérente puisque le rayon de courbure tend vers l’infini avec s. Néanmoins la
paroi est « rugueuse » à toutes températures T 7.
Il est aussi possible de calculer exactement la fonction de corrélation de position de la paroi à l’aide du for-
malisme précédent ; on obtient (voir appendice A)
où F est la fonction hypergéométrique.
Quand 1 Xl 1 et lx,l«s/2ona :
La valeur moyenne du paramètre d’ordre 1J(X, y) >
est reliée simplement à la probabilité P4 Y(x) y) :
avec
on constate que (12) est précisément le résultat exact trouvé par Abraham [6] pour x = 0 et s --> oc. Ceci montre bien que les deux modèles appartiennent à
la même classe d’universalité.
Remarquons que pour l’énergie libre Y on a,
d’après (7) :
alors que si la paroi n’était pas ancrée on aurait :
Ces termes (non extensifs en s), proviennent des grandes fluctuations de la paroi et sont les termes
correctifs de nature entropique à l’énergie libre de
création de la paroi - As.
2.2 SYSTÈME SEMI-INFINI INHOMOGÈNE. - Consi- dérons le système précédent mais dans lequel l’inter-
action d’échange a une valeur plus faible au voisinage
de la surface [7] ; V( y) sera alors plus petit près de
cette surface, ce qui correspond donc à une attraction
de la paroi vers la surface. Choisissons l’origine des
«’potentiels » telle que :
(V. et v 1 correspondent aux valeurs de v( y) respecti-
vement pour y d et y > d). L’équation (8) est
facilement résolue dans ce cas et l’on trouve que le spectre possède des niveaux discrets à condition que :
Il est aisé de voir que l’existence de tels états liés
correspond à une localisation de la paroi près de la surface ; en effet si l’on considère la limite où s est très grand, dans la densité de probabilité (Eq. (6)) les
termes en e - i.os/T deviennent prépondérants dans (6)
et (7) pour T TR et :
où go est la fonction propre correspondant au niveau
fondamental ,10 :
avec
d’où l’on déduit pour 1/a > d :
Là encore on retrouve la divergence en 1 t 1- obtenue
par le calcul exact d’Abraham [7], lorsque T tend
vers TR’
On peut calculer la fonction de corrélation pour
s - oo (voir appendice A). On obtient :
On voit ainsi apparaître deux longueurs !x et caractéristiques des corrélations selon x et y respec- tivement :
L’énergie libre par unité de longueur de la paroi
est :
et la chaleur spécifique présente donc une disconti-
nuité à T,.
Lorsque T > TRIe spectre de l’équation (8) est un
continuum et l’on retrouve pour l’essentiel les pro-
priétés du système homogène du paragraphe 2.1.
Il est possible d’étudier le comportement du système lorsque la longueur s est grande mais finie. On obtient pour T R > T des corrections à la loi de probabilité (17)
qui deviennent importantes si Asa - d 1. On passe alors continuement de la loi de probabilité (17) à (9) quand T - TR.
2.3 AUTRES TYPES D’INHOMOGÉNÉITÉS. - Le for- malisme précédent peut être aisément généralisé à
d’autres types de potentiel V(Y). Si l’on considère un
puits rectangulaire de largeur d et de profondeur U
situé à l’intérieur du système, et correspondant par
conséquent à des interactions d’échange affaiblies le
long d’une bande parallèle à l’axe des x, mais éloignée
de la surface, le spectre de l’équation (8) admet alors
toujours au moins un état lié (ceci reste vrai égale-
ment pour des puits plus généraux de « largeurs » d
et tels que V( + dl2) = V(- d/2)). Dans ce cas notre
modèle prévoit donc que la paroi est localisée sur
le défaut pour toutes températures T T, (tout au
moins tant que 03BE « d).
Dans le cas où le potentiel V(Y) est périodique, la paroi est délocalisée puisqu’il existe des «bandes».
On peut noter que c’est A qui joue un rôle sem-
blable à la masse dans l’équation de Schrôdinger
1509
pour un électron ; par analogie on pourra décrire les fluctuations de la paroi comme celles d’un système homogène où A est remplacé par un A effectif (o masse effective ») qui croît avec l’amplitude de V( Y).
En particulier on retrouve une quasi-localisation
si la transparence de la barrière entre les minima de
V( y) devient très petite.
3. Influence d’un champ appliqué. - Revenons au système décrit au paragraphe 2.2 et étudions
l’influence d’un champ uniforme ; il est clair que selon
que h est positif ou négatif, la paroi va être repoussée
vers y = 0 ou y = L. Toutefois, les fluctuations de la
paroi étant différentes si celle-ci est localisée ou non, on s’attend à ce que la réponse au champ extérieur change de nature à TR. Nous allons donc étudier son
comportement dans le plan h, T et en particulier pour t 1 et
le potentiel est représenté sur la figure 2.
e h > 0 : Le spectre de l’équation (8) est étudié dans
l’appendice (B. 1). Les niveaux sont de la forme :
Fig. 2. - Formes du potentiel agissant sur la paroi dans le cas du
modèle décrit figure 1 en présence d’un champ magnétique positif (Fig. 2a) ou négatif (Fig. 2b). 03BBo(h) correspond au niveau localisé
vers y - d quand h - 0 et ço(h) est la fonction propre correspon- dante.
[Shape of the potential acting on a wall for the model described in
figure 1 with the addition of a magnetic field either positive (Fig. 2a)
or negative (Fig. 2b). 03BBo(h) corresponds to a bound level localized
near y - d when h - 0 and (h) is the corresponding eigen- function.]
En particulier le niveau fondamental est de la forme :
A la limite où s - oo, 03BBos passe donc continû- ment de la forme (25a) à (25b). Le changement ayant lieu pour th-1/3 = 1 (voir Fig. 3). La susceptibilité
x - ôF/âh change dans le même temps de
Fig. 3. - Diagramme de phase dans le plan température-champ magnétique. La ligne (1) sépare (approximativement) la région où
la susceptibilité est en t -1 de celle où elle est en h - 1/3. La ligne (2) correspond à Ào(h) = Â*(h) et la ligne (3) correspond à la limite d’existence du niveau lié À-o(h). On montre aussi la courbe où W - 1/s.
[Phase diagram in the temperature-magnetic field space. Line (1)
is the (approximate) boundary between the region where the susceptibility is proportional to 1 t 1 - 1 and that where it is pro-
portional to h- 1/3 . Line (2) corresponds to Ào(h) = À*(h) and
line (3) corresponds to the limit of existence of the bound state
À-o(h). The W = 1/s curve is also shown.]
Ceci illustre bien le fait que pour T > T R la paroi
est un système « critique » dont la susceptibilité est indépendante de la température et diverge quand
h - 0.
2022 h 0 : Le potentiel V( Y) présente alors deux minima en Y = d et Y = L (Fig. 2b). Le spectre des niveaux d’énergie pour L fini est discuté dans l’appen-
dice (B. 2). Pour T > T R et à l’approximation où
les niveaux
forment un quasi-continuum de la forme :
A la limite où s --+ oc, la paroi dont les fluctuations
en champ nul divergent, va se localiser vers Y - L
pour un champ h arbitrairement petit. Il est cependant
intéressant de considérer le cas où s est grand (devant A
et d) mais fini. Il est clair que même dans ce cas, si l’on prend la limite thermodynamique (surface 8 du système infinie) avant la limite h - 0, l’état stable
correspondra à un retournement complet de l’aiman- tation. Ceci correspond à une forme de paroi qui ne
peut en aucun cas être décrite par l’approximation gaussienne (Eqs. (3-4)).
Toutefois il est possible d’examiner les premières étapes du retournement en étudiant les états méta- stables dans lesquels la paroi présente encore une
faible courbure. A l’approximation de « champ
moyen » l’énergie libre vaut :
(on évalue la sommation par la méthode du col en
tenant compte de ce que cp;(Yo) décroît exponentielle-
ment avec ( U - Àn)3/2).
A cette approximation, le profil de la paroi est
donné par :
L’approximation n’est correcte que si les fluctuations
J d Y 2 )- J As sont petites devant Y ), soit
pour
La forme de la paroi est donc parabolique pour des
champs suffisamment faibles tels que la courbure
= d Y/dx reste très petite. Pour des champs plus
élevés la paroi est plus correctement décrite en
remplaçant p ç A 2 dx d Y 2 dx par AL p où £ est la longueurg
de la paroi. Dans ce cas, on retrouve un résultat bien
connu [11] : la paroi prend la forme d’un arc de cercle passant par les points d’ancrage et de rayon Ail h 1
tant que h 2 A/s (où elle a la forme d’un demi-
cercle). Au-delà de cette valeur aucun état métastable
n’existe dans notre description.
Pour T « TR il existe dans le spectre en plus du quasi-continuum (27) un niveau ,1o(h) coïncidant
avec l’état lié 03BBo quand h tend vers zéro et corres- pondant à un état localisé vers la surface.
Si la paroi n’était pas ancrée son énergie libre par unité de longueur vaudrait ,1o(h) pour h > 0 et
03BB1(h) pour h 0 où 03BB,1(h) est le niveau le plus bas du
continuum (27). On en déduirait alors que la dérivée
~h serait alors discontinue (transition du premier
ordre en h = 0 correspondant au retournement brutal de l’aimantation). Du fait de l’ancrage il
existe des états métastables où la paroi reste localisée : l’état 03BB*(h) décrit ci-dessus pour T > T R (Eq. (28))
et l’état Ào(h) correspondant à une localisation au
voisinage immédiat (- d ) de la surface.
Ce dernier a une plus basse énergie tant que
1 h 1 ;S Ta/s. Il est possible de caractériser sa stabilité de la façon suivante [12] : Supposons qu’au voisinage
des points d’ancrage on impose au système d’être
dans l’état go(Y); alors, d’après (6) :
P4 Y(x) = Y) - ~2(y) (31)
La probabilité par unité de longueur selon x pour que la paroi s’évade au-delà de la barrière de potentiel
y > u - Â0 est W = ~ 2 dY dx où dY /d x pe ut
1 hl ) est W [= 0 dx_Y=Y ’ Y/dx peut
être approximé par sa valeur en champ moyen :
On en déduit :
On remarque que W peut s’écrire à l’aide des lon- gueurs de corrélation en champ nul :
Ce que l’on peut interpréter en notant que 1 h I/x Iy
est l’énergie du champ h sur un « noyau » de corré- lation : la paroi ne quittera le voisinage de la surface que si cette énergie est grande devant T. Ce résultat
est à rapprocher des lois décrivant la nucléation au cours des transitions du premier ordre [13].
Il est important de noter toutefois que toute descrip-
tion de la cinétique est absente de notre modèle et que la probabilité W ne décrit pas l’évolution tem-
porelle de la paroi. W-1 est en fait une longueur caractéristique de la stabilité de l’état localisé près
de la surface : si Ws > 1 la probabilité pour que la
paroi se « décroche » devient de l’ordre de 1. Cette
longueur W-1 présente une singularité essentielle en
fonction de h tendant vers l’infini quand h - 0.
Lorsque T T R et ! t3 h 1 1, le niveau Ào(h)
n’existe plus.
Dans ce cas le comportement est semblable à celui décrit pour T > TR : Les fluctuations thermo-
dynamiques sont suffisantes pour initier le mécanisme de décrochement de la paroi.
4. Cas d’une singularité linéaire dans l’espace d = 3.
- Envisageons maintenant le cas d’un modèle n = 2 à d = 3. Il existe des lignes de singularité. Si une telle
