Modèle effectif de couche mince rugueuse périodique sur une structure semi-infinie

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Modèle effectif de couche mince rugueuse périodique sur

une structure semi-infinie

Jean-Baptiste Bellet, Gérard Berginc

To cite this version:

Jean-Baptiste Bellet, Gérard Berginc. Modèle effectif de couche mince rugueuse périodique sur une

structure semi-infinie. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, EDP Sciences, 2013,

47 (5), pp.1367-1386. �10.1051/m2an/2013073�. �hal-00719857�

UNE STRUCTURE SEMI-INFINIE

JEAN-BAPTISTEBELLETANDGÉRARDBERGINC

Abstra t. Westudythe ee t of aperiodi rough thinlayerabovea semi-innitemedium, in

abi-dimensionnalHelmholtz ontext. Ee tivetransmission onditionsareformallyderivedusing

homogenizationtypete hniques. Thenthesolutiontotheproblemoftheee tivemediumillumi-

natedbyaplanewaneis omputedusingFourieranalysis. Soistheee tiveGreenfun tion. The

se ondstepisdedi atedtothes atteringproblemfromanembeddedin lusioninthesemi-innite

mediumthatis overedbythe roughlayer. It issolved by theboundaryelement methodinthe

ee tivemedium.Somenumeri alresultsareshown. Tonishwith,theee tivemodelisvalidated

inthe aseofaatlayer,andtheBEM odeis he kedwiththeBornapproximation.

Résumé. Nousétudionsl'eetd'une ou hemin erugueusepériodiquedéposéesurunestru ture

semi-innie,dansle ontexte Helmholtzbi-dimensionnel. Formellement,nousobtenonsdes ondi-

tionsdetransmissionéquivalentesàl'ordre1,pardeste hniquesdetypehomogénéisation.Suivent

alorslarésolutionduproblèmedumilieuee tifé lairéparuneondeplane,etle al uldelafon -

tiondeGreenee tive;letoutparanalysedeFourier.Dansundeuxièmetemps,nous onsidérons

leproblèmededira tionparunobjetpénétrableenfouidanslastru turere ouverteparla ou he

rugueuse.Nous lerésolvons parlaméthodedesélémentsnisdefrontière,danslemilieuee tif.

Desrésultatsnumériquessontprésentés.Enn,lemodèleee tifestvalidédansle asd'une ou he

plate,etl'approximationdeBornestutiliséepourtesterle odedeséquationsintégrales.

1. Introdu tion

En photonique/optique, on onsidèredesstru turesen ou he grandedevant lalongueur d'onde

que nous pouvons appro her par des espa es semi-innis. Ces stru tures ont des fon tionnalités

d'anti-reet; ellessontstru turéesou ontiennent desnanoparti ulespermettantd'augmenterleurs

propriétés. Ellessontsouvent protégéespar une ou he min e detraitement dur.Le dépt de ette

ou heestsouvent omplexe; ette ou hemin eprésenteunesurfa equin'estpaslisse.L'inuen e

de ettestru turationsurfa iqueinvolontairesurlafon tionnalitédelastru turedoitêtreexaminée.

Nousren ontrons unse ond problèmequiestla lusterisation desnanoparti ules quiformentalors

un aggrégat. Déte ter la présen e de es aggrégats est né essaire. Une déte tion non invasive est

parti ulièrement intéressante. On omprend leparallèle ave ladéte tionde ellulesmalignes dans

une stru ture omme la peau. Dans et arti le, on s'atta he à la prise en ompte de l'eet de la

ou he de prote tion danslapropagation desondes, pour unproblème modèle. Ceproblème entre

don dans le adre des problème de dira tion des ondes par des stru tures rugueuses, sujet aux

multiples appli ations : optique, a oustique,radar, et .

Auseindediérentes ommunautés,physique,ingénierie,oumathématiquesappliquées,denom-

breuses méthodes de résolution analytiques et numériques ont vu le jour [7,8,13,16,20,22 24℄.

Certainsauteurssesont égalementintéressésàdesquestionsd'existen eet d'uni ité[6,10℄.Pourle

asde ou hesmin espériodiques, itonsparti ulièrement lesméthodesasymptotiques detypeho-

mogénéisation [1,12℄.L'undesobje tifsde notrearti leestd'appliquer ettete hnique, demanière

formelle, an d'obtenir un modèle ee tif de ou he min e rugueuse périodique re ouvrant une

stru ture semi-innie, supposée anisotrope. L'anisotropie provient éventuellement d'un eet d'ho-

mogénéisation àunetrèspetiteé helle. Onobtient ainsiunproblèmedetype Helmholtzdansdeux

demi-plans,ave àl'interfa e,enguisede ou he,des onditionsdetransmissiondetypeLeontovi h.

Date:16juillet2012:V4.0.

2010Mathemati s Subje tClassi ation. 78A25,78M35,78A45,78M15.

Keywordsand phrases. Ele tromagneti s,Opti s,roughlayer, asymptoti analysis, ee tive transmission on-

ditions, s attering,BoundaryElementMethod.

Ce type de modèle, original de par saprovenan e, entre dansla atégorie desmodèles stratiés

innis.Commedans[4,14,15,18,19℄,l'analysede Fouriertangentielleàl'interfa e onstitueunbon

adred'étude.Eneet,dansledomainespe tral,les al ulssontexpli ites,et leprin ipe d'absorp-

tionlimite permet deposerleproblème onvenablement,en séle tionnantlasolutionphysiquement

réalisable.Cetteméthodepermetle al uldelasolutionduproblèmedelastru tureee tiveé lairée

par une onde plane, ainsi que lafon tion de Green ee tive. On onstate alors, formellement, que

l'eet de la ou heest une perturbation des oe ientsde réexion/transmission deFresnel.

Dansunse ondtemps,nous onsidéronsleproblèmed'unaggrégatenfouidanslastru turesemi-

innie,ave poursour ed'é lairage,uneondeplanedanslemilieuextérieur.Formellement,la ou he

prote tri eestinterprétéeàl'aidedes onditionsde transmissionee tives al uléesaupréalable.Il

s'agitdon d'unproblèmede transmissiondansunobsta le pénétrable, posédanslemilieuee tif,

dont on vient de pré iser le al ul lafon tion de Green, et l'onde qui sepropagerait sans obsta le.

À partir d'une représentation intégrale simple ou he [3,5,21℄, la méthode des éléments nis de

frontière [17,18℄estdon appropriéepourlarésolutionnumérique.Nousené rivonslaformulation.

L'étude présentéedans etarti le onduitàun ode de al ul. Nousprésentonsdon ensuitedes

résultatsnumériquesàtitred'illustration.Dansunpremiertemps,pour desmatériauxdire tement

inspirésdelaphysique.Dansundeuxièmetemps,pourdesparamètresplusa adémiques,autorisant

desvariations de perméabilité.

Enn,nousprésentonsquelquestestsdevalidationde etravail.Con ernantlemodèleee tif,le

asd'une ou heplate estintéressant artousles al uls sontexpli ites. Formellement,lasolution

ee tive oïn ideave lasolution exa teà l'ordre 1.Numériquement, on peut également observer

que l'erreur d'approximation est d'ordre 2. D'autre part, le ode des moments est testé pour un

aggrégat de permittivité, en omparant ave l'approximationde Born.

2. Modèleeffe tif de ou he min e rugueuse périodique

2.1. Modèle rugueux. Un milieu anisotrope rempli le demi-plan inférieur

D ⁻ = {x 2 < 0 }

^{. On}

suppose que e milieu est re ouvert d'une ou he min e périodique

D ^cl

ξ = {(x 1 , x 2 ) : 0 < x 2 <

ξf (x 1 /ξ) }

^{, où}

f > 0

^{est une fon tion} 1-périodique, et

ξ > 0

^{est paramètre désignant la période}

de la ou he et l'ordre de son épaisseur. Le milieu extérieur est

D ⁺

ξ = {x 2 > ξf (x ₁ /ξ) }

^{. Le tout}

onstitue undiéle triquehomogène dans haque partie dudomaine :l'inverse de laperméabilité et

lapermittivitésontrespe tivement :

A _ξ (x) = 1

µ ⁺ 11 _D ⁺

ξ (x) + 1

µ ^cl 11 D ^cl

ξ (x) + A ⁻ 11 D − (x), ε _ξ (x) = ε ⁺ 11 _D ⁺

ξ (x) + ε ^cl 11 D ^cl

ξ (x) + ε ⁻ 11 D − (x),

où

11 _·

^{est la fon tion} indi atri e,

A ⁻

^{est une matri e onstante symétrique dénie positive, et}

µ ⁺ , µ ^cl , ε ⁺ , ε ^cl , ε ⁻ > 0

^{sont des onstantes réelles. Quitte à ee tuer une} renormalisation, nous supposerons que

A ⁻

^{est de la forme}

A ⁻ = s t

t 1



. La ou he est délimitée par les interfa es

γ ₀ = {x 2 = 0 }

^{de normale}

ν = 0 1
T

et

γ _ξ = {(x 1 , ξf (x ₁ /ξ)), x ₁ ∈ R}

^{de normale}

ν _{x 1} =

√ 1

1+f ^′ (x 1 /ξ) ² −f ^′ (x ₁ /ξ) 1
T

au point d'abs isse

x ₁

^.

Nous étudions e milieu en régime basse fréquen e : la pulsation

ω > 0

^{des ondesest supposée}

vérier

ωξ

^petitdevant

1

^.Defaçon équivalente,noussupposeronsque

ξ

^{estpetitdevantlalongueur}

d'onde de ha un desmilieux.

Dans ette première se tion, on supposera que le milieu est é lairé par une onde plane dans la

partie supérieure

D ⁺

ξ

^{du domaine :}

u _inc (x) = e ^{ik + θ·x ˆ}

^{, de nombre d'onde}

k ⁺ = ωpε ⁺ µ ⁺

^{, et d'angle}

d'in iden e

θ = (ˆ ˆ θ ₁ , ˆ θ ₂ )

^ave

θ ˆ ₂ < 0

^et







θ ˆ 



 = 1

^{. Salongueur d'onde est}

λ ⁺ := 2π/k ⁺

^.

Le problème onsidéré i i estl'étudede lapropagation del'onde résultante

u _ξ

^{dansle milieu:}



 

 

 

 

 

 

 

 

1

µ ⁺ ∆u _ξ + ω ² ε ⁺ u _ξ = 0,

^dans

D ⁺

ξ ,

1

µ ^cl ∆u _ξ + ω ² ε ^cl u _ξ = 0,

^dans

D ^cl

ξ ,

∇ · A ⁻ ∇u ξ + ω ² ε ⁻ u = 0,

^dans

D ⁻ ,

[u _ξ ] | _{γ 0} = 0, h

∂ _{ν Aξ} u _ξ i



 γ 0

= 0,

^sur

γ ₀ ,

[u _ξ ] | _{γ ξ} = 0, h

∂ _{ν Aξ} u _ξ i



 γ ξ

= 0,

^sur

γ _ξ ,

(2.1)

où l'on note :

[u] | _{γ 0} = u | _{γ 0} ⁺ − u| _{γ 0} ⁻

^, respe tivement

h

∂ _{ν Aξ} u i



 γ 0

= _µ ¹ + ∂ _{x 2} u | _{γ 0} ⁺ − t 1
∇u| γ ₀ ⁻

^{, le}

saut de

u

^{, resp. de sadérivée onormale, à travers}

γ ₀

^{; et}

[u] | _{γ ξ} = u | _γ ⁺

ξ − u| _γ ⁻

ξ

, resp.

h

∂ _{ν Aξ} u i



 γ ξ

=

1

µ ⁺ ν · ∇u| _γ ⁺

ξ − _µ ¹ cl ν · ∇u| _γ ⁻

ξ

, lesautde

u

^{, resp. de sadérivée onormale, à travers}

γ _ξ

^.

Pour que le problème (2.1) soit bien posé mathématiquement, il faut lui ajouter des onditions

detype onditionsderadiation.Ces onditions,surle omportementdelasolution, séle tionnentla

solutiona eptable physiquement.I i,d'unepart,l'onde réé hie

u _ξ − u inc

^{danslemilieusupérieur}

D ⁺

ξ

^{doit être montante, et l'onde transmise}

u _ξ

^{dans le milieu inférieur}

D ⁻

doit être des endante.

D'autre part, omme dans [19℄, la fon tion de Green risque d'avoir une omposante en ondes de

surfa e qui sepropagent lelongde la ou he min e. Il faudrait onnaître le omportement asymp-

totique de es ondes pour trouver les onditions de radiation orrespondantes. Cette question est

di ile et reste ouverte.

Dans lasuite de ette se tion, nous transformons formellement l'équation (2.1) sous une forme

ee tive, sans sepréo uper des onditions deradiation.

2.2. Cal ul asymptotique formel.

2.2.1. Plan de travail. En suivant la démar he de [1,12℄, nous allons obtenir un développement

asymptotique formelde laformesuivante :

u _ξ (x) = u ₀ (x) + u ^cl,ξ ₀ (x) + ξ 

u ₁ (x) + u ^cl,ξ ₁ (x) 

+ · · ·

^(2.2)

Les termes

u _i

^{sont solution d'un problème de Helmholtz dans le domaine sans la ou he}

D ⁺

ξ

^,

ave des onditionsdesautàl'interfa e

γ 0

^{entreledemi-planinférieur}

D ⁻

etledemi-plansupérieur

D ⁺ = {x 2 > 0 }

^{. Laforme de esproblèmes estlasuivante :}

H [F ₀ , G ₀ ](u) :



 



 



1

µ ⁺ ∆u + ω ² ε ⁺ u = 0,

^dans

D ⁺ ,

∇ · A ⁻ ∇u + ω ² ε ⁻ u = 0,

^dans

D ⁻ ,

[u] = F ₀ ,

^sur

γ ₀ ,

1

µ ⁺ ∂ _{x 2} u | _γ ⁺ ₀ − t 1
∇u| γ ₀ ⁻ = G ₀ ,

^sur

γ ₀ .

Lestermes

u ^cl,ξ _i

^sontdes orre teursde ou helimite.IlssontsolutiondeproblèmesdeHelmholtz posés dansledomaine ave la ou he, ave un se ond membre et des onditions de sautauxinter-

fa es :

H _cl [S, F ₀ , F ₁ , G ₀ , G ₁ ](u)



 

 

 

 

∇ · A ξ ∇u + ω ² ε _ξ u = S,

^dans

D ⁺

ξ ∪ D _ξ ^cl ∪ D ⁻ ,

[u] | γ 0 = F ₀ , h

∂ _{ν Aξ} u i



 γ 0

= G ₀ ,

^sur

γ ₀ ,

[u] | _{γ ξ} = F ₁ , h

∂ _{ν Aξ} u i



 γ ξ

= G ₁ ,

^sur

γ _ξ .

Les orre teurs de ou he limite sont dénis à partir de problèmes dans la bande de périodi ité;

eux- i leur donnent la parti ularité de dé roître exponentiellement dans la dire tion normale à

l'interfa e

γ ₀

^.

Par remiseà l'é helle

y = x/ξ

^{, labande de}périodi itéest

(0, 1) × R

^{et lesinterfa es}

γ ₀

^et

γ _ξ

^ont

pour imagesrespe tives

Γ ₀

^et

Γ ₁

^{. Lesproblèmes de bande en questionont laforme suivante :}

B [F, g ₀ , g ₁ ](Ψ, ψ) :



 

 

 



 

 

 



∇ · A ^Y ∇Ψ = F,

^dans

(0, 1) × R \ Γ 0 ∪ Γ 1 ,

[Ψ] | _{Γ 0} = 0, h

∂ _{ν AY} Ψ i



 Γ 0

= g ₀ ,

^sur

Γ ₀ ,

[Ψ] | Γ 1 = 0, h

∂ _{ν AY} Ψ i



 Γ 1

= g ₁ ,

^sur

Γ ₁ ,

y ₁ 7−→ Ψ(y 1 , ·), 1

-périodique

,

Ψ −→ 0, y 2 → −∞; Ψ −→ ψ, y 2 → +∞,

où les in onnnues sont la fon tion

Ψ

^{et salimite}

ψ

^{. I i,}

A Y (y) = A(x)

^{et les ro hets désignent le}

sautde

Ψ

^{oudesadérivée onormale}

∂ _{ν AY} Ψ(y) = ∇ y Ψ(y) ^T A Y ν _y

^{à traversles} interfa es.Sousdes hypothèseste hniquessurlese ond membre

F

^{, omprenant sa}périodi itéen

y ₁

^{, et la}dé roissan e exponentielle de ses oe ients de Fourier en dehors d'un domaine susamment grand

(0, 1) ×

( −M, M)

^{, alors, sousla onditionde} ompatibilité dessauts

g ₀

^et

g ₁

^:

Z

(0,1)×(−M,M )

F dy +

Z

Γ 0

g ₀ dσ +

Z

Γ 1

g ₁ dσ = 0,

leproblème

B [F, g ₀ , g ₁ ](Ψ, ψ)

^{possède uneuniquesolution}

(Ψ, ψ)

^{; les} onvergen esde

Ψ

^en

+ ∞

^et

−∞

^{sont alors} exponentielles. Ce résultatest démontré rigoureusement dans [12℄ lorsque lemilieu inférieur estisotrope, preuve quenousavonsadaptée dans[9℄pour leproblème i-dessus.

2.2.2. Développement formel. Commençons simplement par appro her

u _ξ

^par

u ₀

^{, solution d'un}

problème sansla ou he :

H [0, 0](u ₀ )

^.

Celà introduit une erreur d'approximation sur les sauts des dérivées normales à travers les in-

terfa es

γ 0

^et

γ _ξ

^{. Pour les orriger, on introduit le premier orre teur de ou he limite}

u ^cl,ξ ₀

^tel

que:

H _cl



O (1) , O (ξ) , O (ξ) ,

 1

µ ⁺ − 1

µ ^cl



ν · ∇u 0 | _{γ 0} ⁺ + O (ξ) ,

 1

µ ^cl − 1

µ ⁺



ν · ∇u 0 | _{γ 0} ⁺ + O (ξ)

 

u ^cl,ξ ₀ 

.

Pour elà, onpose

u ^cl,ξ ₀ (x) = ξ



Ψ 0  x

ξ



− ψ 0 11 D ⁺ (x)



· ∇u 0 | _{γ 0} ⁺ ,

où

(Ψ ₀ , ψ ₀ )

^{estlasolution de}

B



0,

 1

µ ⁺ − 1

µ ^cl



ν,

 1

µ ^cl − 1

µ ⁺



ν



(Ψ ₀ , ψ ₀ ).

^(2.3)

Enappro hant

u _ξ

^par

u ₀ + u ^cl,ξ ₀

^{,on ommetuneerreursurlesautàtravers}

γ ₀

^{.On orrige esaut}

à l'aide du terme suivant

ξu ₁

^{, ave}

u ₁

^{solution d'un problème dans le domaine sans la ou he, de}

type

H [ψ ₀ · ∇u 0 | _{γ 0} ⁺ , G ₁ ](u ₁ )

^{. Lesaut}

G ₁

^{seraxélors deladénitionduterme orre teursuivant.}

L'estimationde

u _ξ

^par

u ₀ + u ^cl,ξ ₀ + ξu ₁

^{donneune erreursurlessauts desdérivéesnormalesainsi}

que dans l'EDP. On introduit alors le se ond orre teur de de ou he limite

u ^cl,ξ ₁

^{pour orriger à}

l'ordre supérieur eserreurs:

H _cl  

− 

2

µ ⁺ 0 

11 _D ⁺

ξ − 

2

µ ^cl 0 

11 D ^cl

ξ − 2r 2s
11 D −

 ∇ y Ψ 0 (x/ξ)∂ x 1 ( ∇u 0 | _{γ 0} ⁺ )

−ω ² (ε ^cl − ε ^{+ µ} _µ ⁺ cl ) u ₀ | _γ ⁺ ₀ 11 _D cl

ξ + O (ξ) ,

O ξ ²
, O ξ ²
,

ξs Ψ ₀ | _{Γ 0} (x/ξ) · ∂ x 1 ( ∇u 0 | _γ ⁺

0 )





 γ 0

+ ξ 

1

µ ⁺ − _µ ¹ cl



ν · ∇u 1 | _γ ⁺

0 − ξG 1 + O ξ ²
,

ξ 

1

µ ^cl − _µ ¹ +



f (x/ξ)ν · 

∂ _x ² _{2 x 1} u ₀ | _γ ⁺

0 ( −k ⁺² − ∂ _x ² ₁ 2 )u ₀ | _γ ⁺

0

 T

+ξ 

1

µ ^cl − _µ ^{1 +} 

ν ₁ Ψ ₀ | Γ 1 − ψ 0
· ∂ x 1 ( ∇u 0 | _{γ 0} ⁺ ) 



 γ 0

+ξ 

1

µ ^cl − _µ ¹ +



ν · ∇u 1 | _{γ 0} ⁺ + O ξ ²
 

ξu ^cl,ξ ₁ 

.

Il sut pour elà deposer

u ^cl,ξ ₁ = ξ n 

Ψ ₀  x

ξ



− ψ 0 11 D ⁺



· ∇u 1 | _γ ⁺

0 +



Ψ ⁽¹⁾ ₁  x

ξ



− ψ ₁ ⁽¹⁾ 11 D ⁺



· ∂ x 1 ( ∇u 0 | _γ ⁺

0 ) 



 γ 0

+



Ψ ⁽²⁾ ₁  x

ξ



− ψ ⁽²⁾ 1 11 D ⁺



· ∂ _x ² _{2 x 1} u ₀ | _γ ⁺

0

( −k ⁺² − ∂ _x ² ₁ ² )u ₀ | _{γ 0} ⁺

!

+ ω ²



ε ^cl − ε ⁺ µ ⁺

µ ^cl

 

Ψ ⁽³⁾ ₁  x

ξ



− ψ 1 ⁽³⁾ 11 D ⁺



u ₀ | _{γ 0} ⁺ o

,

où

(Ψ ⁽¹⁾ ₁ , ψ ₁ ⁽¹⁾ )

^,

(Ψ ⁽²⁾ ₁ , ψ ₁ ⁽²⁾ )

^et

(Ψ ⁽³⁾ ₁ , ψ ⁽³⁾ ₁ )

^{sont solutions} respe tivesde :

B h 

− 

2

µ ⁺ 0 

11 _{y 2 >f (y 1 )} − 

2

µ ^cl 0 

11 _{0<y 2 <f (y 1 )} − 2r 2s
11 y 2 <0

 ∇ y Ψ ₀ ,

s Ψ ₀ | Γ 0 − G ⁽¹⁾ 1 ,

 1

µ ^cl − 1

µ ⁺



ν ₁ Ψ ₀ | Γ 1 − ψ 0

i

(Ψ ⁽¹⁾ ₁ , ψ ₁ ⁽¹⁾ ),

B



0, −G ⁽²⁾ ₁ ,

 1

µ ^cl − 1

µ ⁺



f ν



(Ψ ⁽²⁾ ₁ , ψ ₁ ⁽²⁾ ), B h

−11 0<y 2 <f (y 1 ) , −G ⁽³⁾ ₁ , 0 i

(Ψ ⁽³⁾ ₁ , ψ ₁ ⁽³⁾ ).

Pour assurer l'existen e et l'uni ité de la solution à es problèmes,

G ⁽¹⁾ ₁

^,

G ⁽²⁾ ₁

^et

G ⁽³⁾ ₁

^{sont hoi-}

sis pour satisfaire les onditions de ompatibilité de es équations :

G ⁽¹⁾ ₁ = −s R

Γ 0 Ψ ₀ | Γ 0 dσ +

 1

µ ⁺ − _µ ¹ cl

 R

Γ 1 ν 1 Ψ 0 | _{Γ 1} dσ

^,

G ⁽²⁾ ₁ = 

1

µ ^cl − _µ ¹ +

 R 1

0 f 0 1
T

,

G ⁽³⁾ ₁ = − R 1

0 f

^{. Reste à pré iser le}

hoix dusaut

G ₁

^:

G ₁ = G ⁽¹⁾ ₁ · ∂ x 1 ( ∇u 0 | _γ ⁺

0 ) 



 γ 0

+ G ⁽²⁾ ₁ · ∂ _x ² _{2 x 1} u ₀ | _γ ⁺ ₀

( −k ⁺² − ∂ _x ² ₁ 2 )u ₀ | _{γ 0} ⁺

!

+ ω ²



ε ^cl − ε ⁺ µ ⁺

µ ^cl



G ⁽³⁾ ₁ u ₀ | _γ ⁺

0 ,

= (ϕ ₂ ∂ _x ² ₁ 2 + ϕ ₁ ∂ _x ² _{1 x 2} + ϕ ₀ )u ₀ | _{γ 0} ⁺ ,

ave

ϕ ₀ = ω ² (ε ⁺ − ε ^cl )

Z 1

0

f, ϕ ₂ + 

1

µ ^cl − _µ ¹ +

 R 1

0 f

ϕ 1

!

= G ⁽¹⁾ ₁ .

2.3. Modèle ee tif. Par dé roissan eexponentielle des orre teursde ou he limite

u ^cl,ξ _i

^dansle

développement (2.2) , onpeut appro her

u _ξ

^{, ex eptéà proximitéde la ou he,par}

u _ξ ≈ u 0 + ξu ₁ .

^(2.4)

Comme etteapproximation satisfait:

H [ξψ ₀ · ∇u 0 | _{γ 0} ⁺ , ξ(ϕ ₂ ∂ _x ²

1 2 + ϕ ₁ ∂ _x ² _{1 x 2} + ϕ ₀ )u ₀ | _{γ 0} ⁺ ](u ₀ + ξu ₁ )

^,

on appro he nalement lasolution

u _ξ

^{de (2.1) par}

U

^{, solution d'un problème sans la ou he ave}

onditions de transmissionde typeLeontovi h àtraversl'interfa e

γ ₀

^:



 

 

 

 

1

µ ⁺ ∆U + ω ² ε ⁺ U = 0,

^dans

D ⁺ ,

∇ · A ⁻ ∇U + ω ² ε ⁻ U = 0,

^dans

D ⁻ ,

[U ] = ξψ ₀ · ∇U| _{γ 0} ⁺ ,

^sur

γ ₀ ,

1

µ ⁺ ∂ _{x 2} U | _{γ 0} ⁺ − t 1
∇U| _{γ 0} ⁻ = ξ(ϕ ₂ ∂ _x ²

1 2 + ϕ ₁ ∂ ² _{x 1 x 2} + ϕ ₀ )U | _{γ 0} ⁺ ,

^sur

γ ₀ .

(2.5)

Plus généralement,dans unproblème posé danslemilieu ave la ou he, on rempla e, formelle-

ment,la ou he par les onditions de transmissionee tives quenousvenonsd'obtenir. Ce iestle

as pour leproblème de la ou he é lairée par une ondeplane, pour leproblème d'un point sour e

dans lemilieu inférieur (fon tionde Green), maisaussipour leproblème de dira tionpar unob-

sta le enfouidansle milieu inférieur.Cesont pré isément esmodèles ee tifs résultants quenous

étudions danslesse tions suivantes.

Restent les questions d'existen e et d'uni ité pour le problème ee tif, et surtout la question

di iled'équivalen edumodèleee tifetdumodèleinitial.Pour qu'unproblèmedetype(2.5)soit

bienposé, ilfaut luiajouterdes onditions deradiation.Si ettequestionestenpartierésoluedans

lapro hainese tionàl'aided'unprin iped'absorptionlimite,iln'estpasévidentqueles onditions

de radiation in onnues du problème initial (2.1) soient identiques. De e point de vue, il peut y

avoir a priori non équivalen e des modèles. En parti ulier, les onditions susantes de la se tion

suivantepourassurerl'existen eetl'uni itédelasolutionee tivenesont peut-êtrepassusantes

pour bienposerleproblème initial.

3. Analyse spe trale du modèle effe tif

3.1. Onde in idente plane. On onsidère

U

^{vériant le problème ee tif (2.5) , ave l'onde in-}

idente plane

u _inc (x) = e ^{ik + θ·x ˆ}

^{pour é lairage dansle milieu supérieur. Cette ondition} d'é lairage nousin ite àdé omposer l'onde

U

^souslaforme

U (x) =

( u _inc (x) + u _refl (x), x ∈ D ⁺ ,

u _trans (x), x ∈ D ⁻ ,

où les ondes

u _refl

^et

u _trans

^{seront appelées} respe tivement onde réé hie et onde transmise. Par transformationdeFourierenlavariabletangentielle

x 1

^{,etdevariablespe trale}

ζ

^{,laversionspe trale}

α = 0, β > 0

α > 0, β = 0

α > 0, β = 0

α = 0, β > 0

k

α > 0, β = 0

−k

α > 0, β = 0

α > 0, β > 0

α < 0, β > 0 α > 0, β < 0 α > 0, β > 0

α > 0, β < 0 α < 0, β > 0

α := ℜ( pk ² − ζ ² ), β := ℑ( pk ² − ζ ² )

−k − iR +

k + iR +

Figure 1. Détermination de

pk ² − ζ ² := ⁻ √

k − ζ √ ⁻

k + ζ

^pour

k > 0

^.

duproblème (2.5)estun systèmed'équationsdiérentiellesordinaires en

x ₂

^{ave des onditionsde}

ra ord :



 

 

 

 

 

 

 

 

∂ _x ²

2 2 U (ζ, x ˆ ₂ ) + (k ⁺² − ζ ² ) ˆ U (ζ, x ₂ ) = 0, x ₂ > 0,

∂ _x ²

2 2 U (ζ, x ˆ ₂ ) + 2itζ∂ _{x 2} U (ζ, x ˆ ₂ ) + (ω ² ε ⁻ − sζ ² ) ˆ U (ζ, x ₂ ) = 0, x ₂ < 0,

U (ζ, 0 ˆ ⁺ ) − ˆ U (ζ, 0 ⁻ ) = ξψ 0 · iζ ˆ U(ζ, 0 ⁺ ) ∂ _{x 2} U (ζ, 0 ˆ ⁺ )
T

, x 2 = 0,

1

µ ⁺ ∂ _{x 2} U (ζ, 0 ˆ ⁺ ) − t 1

iζ ˆ U(ζ, 0 ⁻ ) ∂ _{x 2} U (ζ, 0 ˆ ⁻ )
T

= ξ 

(ϕ ₀ − ζ ² ϕ ₂ ) ˆ U (ζ, 0 ⁺ ) + iζϕ ₁ ∂ _{x 2} U (ζ, 0 ˆ ⁺ ) 

x ₂ = 0.

La résolution de e système va faire intervenir des ra ines arrées à dénir proprement. Posons

d = det A ⁻

^,

k ⁻ = ω

q ε ⁻

d

^,

λ ⁺ (ζ) = p

k ⁺² − ζ ²

^et

λ ⁻ (ζ) = √

d p

k ⁻² − ζ ²

^{, où les ra ines arrées}

sontdéterminées ommesuit.Onpose,pour

z 6= 0

^d'argument

− ^π ₂ < arg z < ^3π ₂

^,

⁻ √

z = p|z|e ^{2 i arg z}

^,

et on posepour

k > 0

^,

pk ² − ζ ² = ⁻ √

k − ζ ⁻ √

k + ζ

^{. Cette} détermination (Figure 1) a été hoisie telleque

√ k ² − · ²

^{estanalytiquesur}

C

privédesbran hesde oupe

k + iR ⁺

^et

−k −iR ⁺

^,ettelleque

pour

ζ ∈ R

^,

pk ² − ζ ²

^{estdanslepremier quadrant.Sous esnotations, leséquations}diérentielles signient que lesondesréé hieet transmise sont delaforme :

ˆ

u _refl (ζ, x ₂ ) =α ⁺ (ζ)e ^{iλ + (ζ)x 2} + β ⁺ (ζ)e ^{−iλ + (ζ)x 2} , x ₂ > 0,

ˆ

u _trans (ζ, x ₂ ) =e ^{−itζx 2} 

α ⁻ (ζ)e ^{iλ − (ζ)x 2} + β ⁻ (ζ)e ^{−iλ − (ζ)x 2} 

, x ₂ < 0.

Il reste ainsi à déterminer les quatre in onnues

α ⁺ (ζ)

^,

α ⁻ (ζ)

^,

β ⁺ (ζ)

^,

β ⁻ (ζ)

^{, à partir des deux}

onditions de ra ord. Ce i est un problème sous-déterminé et onrme que le problème (2.5) est

mal posé sil'on ne pré isepasen plusdes onditions deradiation (sur le omportement desondes

u _refl

^et

u _trans

^).

Comme dans[18℄, on lève ette indétermination dans ledomaine spe tralà l'aide d'un prin ipe

d'absorptionlimite.Ainsi,remplaçonsformellementdanslesexpressionspré édemmentobtenuesles

nombresd'onde

k ⁺

^et

k ⁻

^par

k _η ⁺ = k ⁺ +iη

^et

k _η = k ⁻ +iη

^,où

η > 0

^{estunpetitparamètre.Dans e}

as, pour

ζ ∈ R

^{, lesra ines arrées}

λ ⁺ _η (ζ)

^et

λ ⁻ _η (ζ)

^{sontà partie imaginaire}stri tementpositive,et don les omposantesen

e ^{−iλ + η (ζ)x 2}

^et

e ^{iλ − η (ζ)x 2}

^{sontnonbornéesquand}

x 2

^tend respe tivement vers

+ ∞

^et

−∞

^. Physiquement, il est impossible d'avoir de telles omposantes non bornées, et don , on les élimine par la ondition

β _η ⁺ (ζ) = 0

^et

α ⁻ _η (ζ) = 0

^{. Le prin ipe} d'absorption limite onsiste à imposer la même onditionà lalimite

η → 0

^{. Comme}

λ ⁺ _η (ζ)

^et

λ ⁻ _η (ζ)

^tendent respe tivement vers

λ ⁺ (ζ)

^et

λ ⁻ (ζ)

^{, on élimine les} omposantes en

e ^{−iλ + (ζ)x 2}

^et

e ^{iλ − (ζ)x 2}

^{par la ondition :}

β ⁺ (ζ) = 0

et

α ⁻ (ζ) = 0

^{. Notons que e hoix revient à hoisir}

u _refl

^{montante et}

u trans

des endante.

Pour déterminer les deuxdernières in onnues, on traduit sousforme d'un systèmelinéaire

2 × 2

les deux onditions de ra ord :

 1 − iξc 1 (λ ⁺ ) −1

λ ⁺ − iξc 2 (λ ⁺ )µ ⁺ λ ⁻ µ ⁺

 α ⁺

β ⁻



= −2πδ(ζ − k ⁺ θ ˆ ₁ )

 1 − iξc 1 (k ⁺ θ ˆ ₂ )

k ⁺ θ ˆ ₂ − iξc 2 (k ⁺ θ ˆ ₂ )µ ⁺



,

où l'onaposé

c ₁ (λ ⁺ ) = ψ ₀ · ζ λ ⁺
T

,

c ₂ (λ ⁺ ) = ϕ ₂ ζ ² + ϕ ₁ ζλ ⁺ − ϕ 0

^.Le déterminant de esystème s'é rit :

D(ζ) = D ₀ + ξD ₁

^{, ave}

D ₀ (λ ⁺ ) = λ ⁻ µ ⁺ + λ ⁺

^et

D ₁ (λ ⁺ ) = −ic 1 (λ ⁺ )λ ⁻ µ ⁺ − ic 2 (λ ⁺ )µ ⁺

^.

Analysons génériquement e déterminant

D(ζ)

^{, de la forme}

D(ζ, λ ⁺ , λ ⁻ )

^{. En} multipliant par les expressions onjuguées desra ines arrées, on obtient

P (ζ) = D(ζ, λ ⁺ , λ ⁻ )D(ζ, −λ ⁺ , λ ⁻ )D(ζ, λ ⁺ , −λ ⁻ )D(ζ, −λ ⁺ , −λ ⁻ )

qui est un polynme dont les ra ines ontiennent les éventuels zéros de

D

^{. Le polynme}

P

^se

dé omposant sous la forme

P =: P ₁ + iP ₂

^ave

P ₁

^et

P ₂

^{des polynmes à oe ients réels, une}

ondition né essaire pour que

D

^{s'annule en un réel est que le résultant de}

P ₁

^et

P ₂

^{soit nul. Or}

on peut interpréter e résultant omme un polynme en la taille de la ou he

ξ

^{. Ce i montre, au}

moinsformellement,qu'ex eptépeut-êtrepourunnombre ni devaleursde

ξ

^{, le}déterminant

D(ζ)

ne possèdepasde zéros réels.

Ainsi, en ex luant es éventuelles valeurs de

ξ

^{, lesystème possède une unique solution que l'on}

obtient par formules de Cramer :

α ⁺ = 2πR(ζ)δ(ζ − k ⁺ θ ˆ ₁ )

^,

β ⁻ = 2πT (ζ)δ(ζ − k ⁺ θ ˆ ₁ )

^{, où les}

oe ients

R(ζ) = − ^D(ζ,k _D(ζ,λ ^{+ + θ ˆ 2} _,λ ^,λ − ⁻ ) ⁾

^et

T (ζ) = (1 − iξc 1 (λ ⁺ ))R(ζ) + (1 − iξc 1 (k ⁺ θ ˆ ₂ ))

^{sont dits de}

réexion/transmission.

Enn, on remonte àlasolution par transformation deFourier inverse :

u _refl (x) = R(k ⁺ θ ˆ ₁ )e ^{ik + θ ˆ R x} , x ₂ > 0

^ave

θ ˆ _R = ˆ θ ₁ −ˆθ 2

T

,

u _trans (x) = T (k ⁺ θ ˆ ₁ )e ^{ik + θ ˆ 1 x 1} e ^{iθ T x 2} , x ₂ < 0,

^ave

θ _T = −tk ⁺ θ ˆ ₁ − λ ⁻ (k ⁺ θ ˆ ₁ ).

La solution

U

^{du problème onsidéré a don une} dé omposition de type Fresnel, ave des oe- ientsde Fresnel généralisés.L'onde réé hie est plane. En rappelant que l'on hoisit

λ ⁻ (k ⁺ θ ˆ ₁ ) =

√ d

q

k ⁻² − (k ⁺ θ ˆ ₁ ) ²

^{dansle premier quadrant,l'onde transmiseest plane si}

k ⁻² − (k ⁺ θ ˆ ₁ ) ² > 0

^{, et}

elle dé roit exponentiellement sinon.

Développonsformellementen puissan esde

ξ

^lasolution

U

^{de (2.5)quenousvenonsde al uler,}

e qui revient à développer les oe ientsde réexion/transmission :

R(k ⁺ θ ˆ ₁ ) = R ₀ + ξR ₁ + O ξ ²
, T (k ⁺ θ ˆ ₁ ) = R ₀ − 1 + ξ(R 1 − ic 1 ( −k ⁺ θ ˆ ₂ ) − ic 1 (k ⁺ θ ˆ ₂ )),

ave

R ₀ = − D ₀ (k ⁺ θ ˆ ₁ , k ⁺ θ ˆ ₂ , λ ⁻ (k ⁺ θ ˆ ₁ ))

D 0 (k ⁺ θ ˆ 1 , −k ⁺ θ ˆ 2 , λ ⁻ (k ⁺ θ ˆ 1 )) , R ₁ = − D ₁ (k ⁺ θ ˆ ₂ )D ₀ ( −k ⁺ θ ˆ ₂ ) − D 0 (k ⁺ θ ˆ ₂ )D ₁ ( −k ⁺ θ ˆ ₂ )

D 0 (k ⁺ θ ˆ 1 , −k ⁺ θ ˆ 2 , λ ⁻ (k ⁺ θ ˆ 1 )) ² .

Identions, au moins formellement, ave le développement (2.4) de la solution du problème ave

ou he (2.1) .Lestermesd'ordre

0

^{onduisent àlasolution}

u 0

^{du problèmesans ou he.Lestermes}

perturbatifsd'ordre

1

représentent l'eet

u ₁

^{de la ou he rugueuse.}

3.2. Fon tion de Green. De manière analogue aux al uls pré édents, nous allons al uler la

fon tiondeGreen

G

^{asso iéeaumodèleee tif(2.5) ,pourunpointsour e}

y

^{danslemilieuinférieur}

D ⁻

:



 

 

 

 

1

µ ⁺ ∆G( ·, y) + ω ² ε ⁺ G( ·, y) = 0,

^dans

D ⁺ ,

∇ · A ⁻ ∇G(·, y) + ω ² ε ⁻ G( ·, y) = δ y ,

^dans

D ⁻ ,

[G] = ξψ ₀ · ∇G| _{γ 0} ⁺ ,

^sur

γ ₀ ,

1

µ ⁺ ∂ x 2 G | _γ ⁺

0 − t 1
∇G| _γ ⁻

0 = ξ(α 2 ∂ _x ²

1 2 + α 1 ∂ _x ² _{1 x 2} + α 0 )G | _γ ⁺

0 ,

^sur

γ 0 .

(3.1)

La démar he employée est pro he de [14℄. Nous gardons les mêmes notations que pré édemment,

ex eptépourles oe ientsderéexion/transmission.Latradu tionspe traledeséquationsde(3.1)

est lesystèmed'équationsdiérentielles:

( ∂ _x ²

2 2 G(ζ, x ˆ ₂ ) + (k ⁺² − ζ ² ) ˆ G(ζ, x ₂ ) = 0, x ₂ > 0,

∂ _x ²

2 2 G(ζ, x ˆ ₂ ) + 2itζ∂ _{x 2} G(ζ, x ˆ ₂ ) + (ω ² ε ⁻ − sζ ² ) ˆ G(ζ, x ₂ ) = e ^{−iy 1 ζ} δ _{y 2} (x ₂ ), x ₂ < 0,

dont lessolutions sont de laforme:

G(ζ, x ˆ 2 , y) =



 



 



α ⁺ (ζ, y)e ^{iλ + (ζ)x 2} + β ⁺ (ζ, y)e ^{−iλ + (ζ)x 2} , x ₂ > 0,

e ^{−itζx 2} 

α ^−> (ζ, y)e ^{iλ − (ζ)x 2} + β ^−> (ζ, y)e ^{−iλ − (ζ)x 2} 

, 0 > x 2 > y 2 ,

e ^{−itζx 2} 

α ^−< (ζ, y)e ^{iλ − (ζ)x 2} + β ^−< (ζ, y)e ^{−iλ − (ζ)x 2} 

, x ₂ < y ₂ ,

ave des onditions dera ord en

x ₂ = y ₂

^:

 G(ζ, y ˆ 2 +, y) − ˆ G(ζ, y 2 −, y) = 0,

∂ _{x 2} G(ζ, y ˆ ₂ +, y) − ∂ x 2 G(ζ, y ˆ ₂ −, y) = e ^{−iy 1 ζ} .

La fon tion de Green

G

^{est hoisie montante dans le} demi-espa e supérieur

D ⁺

, et des endante dans le demi-espa e inférieur

D ⁻

:

β ⁺ (ζ, y) = 0

^et

α ^−< (ζ, y) = 0

^{. Traduisons les onditions de}

transmissionde (3.1) sousforme de onditionsde ra ord supplémentaires :



 



 



G(ζ, 0 ˆ ⁺ ) − ˆ G(ζ, 0 ⁻ ) = ξψ ₀ · iζ ˆ G(ζ, 0 ⁺ ) ∂ _{x 2} G(ζ, 0 ˆ ⁺ )
T

, x ₂ = 0,

1

µ ⁺ ∂ _{x 2} G(ζ, 0 ˆ ⁺ ) − t 1

iζ ˆ G(ζ, 0 ⁻ ) ∂ _{x 2} G(ζ, 0 ˆ ⁻ )
T

= ξ 

(ϕ ₀ − ζ ² ϕ ₂ ) ˆ G(ζ, 0 ⁺ ) + iζϕ ₁ ∂ _{x 2} G(ζ, 0 ˆ ⁺ ) 

, x ₂ = 0,

Lesquatres onditions dera ord sont équivalentes au systèmelinéaire

4 × 4

^{suivant :}









1 − iξc 1 −1 −1 0

λ ⁺ − iξc 2 µ ⁺ −λ ⁻ µ ⁺ λ ⁻ µ ⁺ 0

0 e ^{iλ − y 2} e ^{−iλ − y 2} −e ^{−iλ − y 2}

0 i( −tζ + λ ⁻ )e ^{iλ − y 2} −i(tζ + λ ⁻ )e ^{−iλ − y 2} i(tζ + λ ⁻ )e ^{−iλ − y 2}

















α ⁺

α ^−>

β ^−>

β ^−<









=









0

0

0

e ^{−i(y 1 ζ−tζy 2 )}









.

Par formules deCramer, onrésout e système, puison trouve:

G(ζ, x ˆ ₂ , y) = − i

2λ ⁻

(e ^{itζy 2} T e ^{−i(λ − y 2 +y 1 ζ)} e ^{iλ + x 2} , x ₂ > 0,

e ^{−itζ(x 2 −y 2 )} 

e ^{i(λ − |x 2 −y 2 |−y 1 ζ)} + Re ^{−i(λ − y 2 +y 1 ζ)} e ^{−iλ − x 2} 

, x ₂ < 0,

où les oe ients dits de transmission/réexion sont :

T = ^2µ _D ^{+ λ −}

^et

R = (1 − iξc 1 )T − 1

^{. Cette}

expression ontientdespseudo-singularitésprovenantdel'annulationdudéterminant

−2iλ ⁻ (ζ)D(ζ)

dusystème:ladivisionpar

λ ⁻

^onduitàdeuxpseudo-ples,en

ζ = ±k ⁻

^{.Notonsl'absen edeples,}

par notre hypothèse de non annulation de

D

^sur

R

. Celà implique que lafon tion de Green

G

^n'a

pas de omposante de type onde de surfa e. Il reste à remonter à la fon tion de Green

G

^par

transformation de Fourier inverse :

G(x, y) =

( G _trans (x, y), x ₂ > 0,

G _sour (x, y) + G _refl (x, y), x ₂ < 0.

Le terme

G _sour

^{provient du terme sour e}

G ˆ _sour (ζ, x ₂ , y) = − _2λ ⁱ − e ^{−itζ(x 2 −y 2 )} e ^{i(λ − |x 2 −y 2 |−y 1 ζ)}

^{. Par}

lareprésentation deSommerfeld [2℄ :

− i

4π

Z

R

√ d

λ ⁻ (ζ) e ^{i(˜ x 1 −˜ y 1 )ζ} e ⁱ

λ−(ζ)

√ d |˜ x 2 −˜ y 2 |

dζ = − i

4 H ₀ ⁽¹⁾ (k ⁻ |˜x − ˜y|), x ˜ 6= ˜y,

onnoteque

G _sour

^{estlafon tionde Greensortanted'un espa elibre,dont lesparamètressont eux}

du milieuinférieur (

A ⁻

^et

ε ⁻

^{) :}

G _sour (x, y) = − i

4 √

d H ₀ ⁽¹⁾ (k ⁻ |A ^∗ x − A ^∗ y |),

^ave

A ^∗ = 1 −t

0 √

d



.

Letermederéexion

G ˆ _refl (ζ, x ₂ , y) = − _2λ ⁱ − e ^{−itζ(x 2 −y 2 )} Re ^{−i(λ − y 2 +y 1 ζ)} e ^{−iλ − x 2}

^{sedé omposeen}

G ˆ _refl =

G ˆ reg + ˆ G imag

^.Lapartie

G ˆ imag = _2λ ⁱ ₋ e ^{−itζ(x 2 −y 2 )} e ^{−i(λ − y 2 +y 1 ζ)} e ^{−iλ − x 2}

^{onduitdansledomainespatial,}

par lareprésentation de Sommerfeld, àune fon tion deGreen de type image :

G _imag (x, y) = i

4 √

d H ₀ ⁽¹⁾ (k ⁻ 

 ¯ A ^∗ x − A ^∗ y 

),

^ave

A ¯ ^∗ = 1 −t

0 − √

d



.

Enn, la partie

G ˆ _reg = − ^i(1−iξc _2λ − ^{1 )T} e ^{−itζ(x 2 −y 2 )} e ^{−i(λ − y 2 +y 1 ζ)} e ^{−iλ − x 2}

^{, et le terme de} transmission

G ˆ _trans (ζ, x ₂ , y) = − _2λ ⁱ − e ^{itζy 2} T e ^{−i(λ − y 2 +y 1 ζ)} e ^{iλ + x 2}

^{ne possèdent pas de} singularité. Leurs versions spatiales peuvent don être obtenues numériquement par inversion rapide de la transformée de

Fourier (IFFT). À noter la dé roissan e exponentielle des transformées de Fourier

G ˆ _reg

^et

G ˆ _trans

pour lesfréquen es

|ζ| > k ⁻

^{; e i permet de les tronquer. Pré isons ennque} l'expressionobtenue pour la fon tion de Green

G

^{permet d'obtenir le al ul de son gradient}

∇G

^{, quitte là en ore à}

ee tuer desIFFT.

Commepour

U

^{,sil'oné rit un}développementen

ξ

^{des oe ientsde}réexion/transmission, on peutidentier,formellement, ave les termesd'un développement detype(2.4) pourlafon tion de

Green du problèmeave ou he (2.1) .Celà permet d'isolerformellement l'eet dela ou he.

4. Modèle effe tif d'aggrégat enfoui

On onsidère un aggrégat (ou objet) enfoui dans la partie inférieure du milieu :

D ⊂ D ⁻

^{, de}

paramètres éle tromagnétiques

ε _D , µ _D > 0

^{, et de normale unitaireextérieure}

ν _x

^(en

x

^{).L'ajout de}

D

^{danslemilieu périodique (2.1) ,setraduit} formellement àl'aidedumodèleee tif (2.5).Il s'agit de résoudre:



 

 

 

 

1

µ ⁺ ∆u + ω ² ε ⁺ u = 0,

^dans

D ⁺ ,

∇ · (A ⁻ 11 _{D − \D} + _µ ¹

D 11 D ) ∇u + ω ² (ε ⁻ 11 _{D − \D} + ε D 11 D )u = 0,

^dans

D ⁻ ,

[u] = ξψ ₀ · ∇u| _γ ⁺ ₀ ,

^sur

γ ₀ ,

1

µ ⁺ ∂ _{x 2} u | _γ ⁺

0 − t 1
∇u| _{γ 0} ⁻ = ξ(ϕ ₂ ∂ _x ²

1 2 + ϕ ₁ ∂ _x ² _{1 x 2} + ϕ ₀ )u | _γ ⁺

0 ,

^sur

γ ₀ ,

(4.1)

lasour e d'énergie onsidérée étant l'onde plane

u inc (x) = e ^{ik + θ·x ˆ}

^{, danslemilieu supérieur}

D ⁺

. Introduisonsquelquesnotations.Lasolutionduproblèmesansobjet(2.5) ,etlafon tiondeGreen

asso iée(3.1)sont en orenotéesrespe tivement

U

^et

G

^{. Lafon tion deGreenasso iéeàl'objetest}

G D (x, y) := − ₄ ⁱ H ₀ ⁽¹⁾ (ω√ε D µ D |x − y|).

^{Les potentiels simple ou he,asso iés aumilieu de fond,et}

à l'objet, sont

Sϕ(x) := R

∂D G(x, y)ϕ(y)dσ(y)

^,

S D ϕ(x) := R

∂D G _D (x, y)ϕ(y)dσ(y)

^{. Enn, posons:}

K ^∗ ϕ(x) := R

∂D ν _x · A ⁻ ∇ x G(x, y)ϕ(y)dσ(y), K ^∗ _D ϕ(x) := R

∂D ν _x · ∇ x G _D (x, y)ϕ(y)dσ(y).

Sous es notations, lasolution

u

^{de (4.1) possède la}représentation intégrale [3,5℄:

u =

( U + Sϕ

^dans

D ⁺ ∪ (D ⁻ \ D),

S D ψ

^dans

D,

où le ouple

(ϕ, ψ) ∈ L ² (∂D) × L ² (∂D)

^{est l'unique solutiondu système}d'équationsintégrales :

 S −S D

I

2 + K ^∗ − _µ ¹ _D ( − ₂ ^I + K ^∗ D )

 ϕ

ψ



=

 −U

−ν x · A ⁻ ∇U



,

^sur

∂D.

Pour al ulernumériquement

u

^{,par laméthodedeséléments nisdefrontière, onrésout laformu-}

lation variationnellede esystème,poséepour

(ϕ, ψ) ∈ H ^−1/2 (∂D) × H ^−1/2 (∂D)

^{, ave lesfon tions}

tests delapremière équation dans

H ^−1/2 (∂D)

^{et elles deladeuxième équation dans}

H ^1/2 (∂D)

^.

Pourladis rétisation,lebord

∂D

^{estappro héparunpolygnedire t}

(x ₀ , . . . , x _N )

^{,et onvenons}

quelesindi essontà omprendremodulo

N + 1

^(parexemple

x _{N +1} = x ₀

^).

H ^−1/2 (∂D)

^{estappro hé}

de façon onforme par l'espa e des fon tions onstantes sur haque mor eau

(x _i , x _i+1 )

^{, dont une}

base est l'ensemble des

κ _i = _|x ¹

i+1 −x i | 11 _{(x i ,x i+1 )}

^,

0 6 i 6 N

^{; enn,}

H ^1/2 (∂D)

^{est appro hé de}

façon onforme par l'espa e des fon tions anes sur haque mor eau

(x _i , x _i+1 )

^{, dont une base}

est l'ensemble des

χ _i = _|x ^{|x−x i+1 |}

i −x i+1 | 11 _{(x i ,x i+1 )} + _|x ^{|x−x i−1 |}

i −x _i−1 | 11 _{(x i−1 ,x i )}

^,

0 6 i 6 N

^{. En} dé omposant les approximations de

ϕ

^et

ψ

^{dans la base des}

κ _i

^:

ϕ ≈ P

i Φ _i κ _i

^,

ψ ≈ P

i Ψ _i κ _i

^{, le système linéaire à}

résoudre numériquement estdon de laforme:

 M[G] −M[G D ]

N ⁺ [A ⁻ ∇ x G] − _µ ¹ _D N ⁻ [ ∇ x G _D ]

 Φ

Ψ



=  −U

−U ^′



,

ave pour

0 6 i, j 6 N

^:

M[g] ij =

Z

(x i ,x i+1 )

κ i (x)

Z

(x j ,x j+1 )

κ j (y)g(x, y)dσ(y)dσ(x),

N ^± [g ^′ ] _ij = ± 1

4 (δ _i,j + δ _i−1,j ) +

Z

(x _i−1 ,x i ,x i+1 )

χ _i (x)

Z

(x j ,x j+1 )

κ _j (y)ν _x · g ^′ (x, y)dσ(y)dσ(x),

U i =

Z

(x i ,x i+1 )

κ _i (x)U (x)dσ(x), U ^′ i =

Z

(x _i−1 ,x i ,x i+1 )

χ _i (x)ν _x · A ⁻ ∇U(x)dσ(x),