Problème : Matrices magiques et semi-magiques.
Dans tout ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à2 et si E désigne un espace vectoriel alors on note E? le dual deE.
On désigne parMn(R)l’ensemble des matrices carrées de taille nà coefficients dansR.
Pour toute matriceA deMn(R), on noteai,j le coefficient de Aen ligneiet colonnej. On écrit alors A= (ai,j).
On noteIn la matrice identité de taille n.
On noteJn la matrice de Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
On note(Ei,j)la base canonique deMn(R)définie par, pour touti, j∈ {1,· · · , n},Ei,j est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en ligneiet colonne j valant 1.
Pour tout matrice A= (ai,j) et tous entiersi, j∈ {1,· · ·, n}, on note
ϕi(A) =
n
X
k=1
ai,k, ψj(A) =
n
X
k=1
ak,j, tr(A) =
n
X
k=1
ak,k etδ(A) =
n
X
k=1
ak,n+1−k.
Ainsi,
− ϕi(A) est la somme des coefficients de lai-ème ligne deA,
− ψj(A) est la somme des coefficients de laj-ème colonne deA,
− tr(A) est la somme des coefficients de la diagonale principale deA,
− δ(A) est la somme des coefficients de la diagonale non principale de A.
On notePn l’ensemble des matricesA de Mn(R) telles que∀i, j∈ {1,· · · , n}, ϕi(A) =ψj(A).
Pour toute matrice Ade Pn, on note σ(A) la valeur commune des quantitésϕi(A) etψj(A).
On noteQn le sous-ensemble dePn des matrices Aqui vérifient tr(A) =δ(A) =σ(A).
Les matrices dePnsont dites semi-magiques et celles de Qn magiques.
Par exemple, A =
8 1 6 3 5 7 4 9 2
est une matrice magique et la matrice B =
1 1 0 0 1 1 1 0 1
est semi- magique mais non-magique.
Partie No1 : Généralités sur les matrices magiques et semi-magiques
Dans cette première partie, on démontre quePn etQn sont des sous-espaces vectoriels de Mn(R).
1. Exemples de matrices magiques et semi-magiques
(a) Vérifier que la matriceAde l’exemple est bien magique et que la matriceB est semi-magique et non-magique.
(b) Déterminer une matrice deQ3, de trace nulle et symétrique dont le coefficient d’indice(1,1) vaut 1.
(c) Déterminer une matrice de Q3, de trace nulle et antisymétrique dont le coefficient d’indice (1,3)vaut 1.
2. Formes linéaires et espaces vectoriels.
(a) Montrer que, pour16i, j 6n, les applicationsϕi,ψj,tretδ sont des formes linéaires sur Mn(R).
Pour 16i6n−1, on pose Φi =ϕi−ϕn etΨi =ψi−ϕn. (b) En déduire que Φi etΨi sont des formes linéaires surMn(R).
(c) Montrer que A∈ Pnsi, et seulement si, ∀i∈ {1,· · · , n−1},Φi(A) = Ψi(A) = 0.
(d) En déduire que Pn est un sous-espace vectoriel de Mn(R).
Pour A∈ Pn, on posef(A) = tr(A)−σ(A) etg(A) =δ(A)−σ(A).
(e) Montrer que f etg sont des formes linéaires sur Pn.
1
(f) Soit A∈ Pn. Montrer queA∈ Qn si, et seulement si,f(A) =g(A) = 0.
(g) En déduire que Qn est un sous-espace vectoriel de Pn.
Partie No2 : Dimensions dans le cas où n= 3 Dans cette seconde partie, on calcule les dimensions deP3 etQ3.
1. Dimension de Q3
(a) Soit A= (ai,j)∈ Q3 et notonsα=a2,2. i. Montrer queσ(A) = 3α.
On pose B=A−αJ3= (bi,j).
ii. Montrer queB ∈ Q3 et vérifie σ(B) = 0.
On noteβ =b1,1 etγ =b3,1.
iii. Exprimer B en fonction deα,β etγ.
iv. En déduire que
A=
β+α −β+γ+α −γ+α
−β−γ+α α β+γ+α γ+α β−γ+α −β+α
.
(b) Vérifier que l’expression précédente deAdonne toutes les matrices de l’espace vectorielQ3. (c) Déterminer la dimension de Q3 et en donner une base.
2. Dimension de P3.
On considère N3, l’ensemble des matrices de A de M3(R) telles que ϕ1(A) = 0 ainsi que l’applicationh qui, à une matriceM ∈ M3(R), associe l’élément
(ϕ1(M), ϕ2(M), ϕ3(M), ψ1(M), ψ2(M), ψ3(M))de R6.
(a) Écrire la matrice de h en rapportant l’espace de départM3(R)à sa base canonique, notée B et l’espace d’arrivée R6 à sa base canonique, notéeC.
(b) Montrer que le rang de cette matrice vaut 5.
(c) En déduire la dimension du noyau deh.
(d) Montrer que P3∩ N3 etVect(J3) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deP3. (e) En déduire la dimension deP3.
Partie No3 : Dimensions dans le cas général
Dans cette troisième partie, on calcule les dimensions dePn etQn dans le cas général.
1. Un Résultat préliminaire.
SoientE un espace vectoriel de dimension finie n, (f1,· · ·, fp) une famille libre deE? formée de pformes linéaires et
H ={x∈E / f1(x) =· · ·=fp(x) = 0}.
Dans cette question, on cherche à prouver queHest un sous-espace vectoriel deEde dimension n−p.
(a) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E.
(b) Pourquoi est-il possible de compléter la famille(f1,· · ·, fp)en une base(f1,· · · , fn)deE?. (c) Soit 16i6n. Montrer que
∃xi ∈E /∀ 16j6n, fj(xi) =δi,j.
Indication : On pourra utiliser l’application ψ:E→Rn qui à un vecteur x de E associe le n-upplet (f1(x),· · ·, fn(x)).
2
(d) Montrer que la famille (x1,· · ·, xn)est une base deE.
(e) Montrer que H= Vect(xp+1,· · ·, xn).
(f) En déduire que dim(H) =n−p.
2. Dans cette question, on calcule la dimension dePn.
(a) Montrer que la famille (ϕ1,· · · , ϕn, ψ1,· · ·, ψn) est une famille liée de Mn(R)?. (b) Montrer que la famille (ϕ1,· · · , ϕn, ψ1,· · ·, ψn−1) est une famille libre deMn(R)?.
Indication : On évaluera en Ek,n et en En,k.
(c) En déduire que (Φ1,· · ·,Φn−1,Ψ1,· · · ,Ψn−1) est une famille libre de Mn(R)?. (d) En déduire la dimension dePn.
3. Dans cette question, on calcule la dimension deQn. (a) Identifier les matrices deP2 et de Q2.
(b) On suppose provisoirement que n>3. Montrer que(f, g) est une famille libre de Pn?. Indication : On utilisera deux matrices particulières A de Pn vérifiant σ(A) = 0.
(c) Déduire de ce qui précède la dimension deQn.
Partie No4 : Matrices semi-magiques inversibles
Dans cette dernière partie, on établit quelques propriétés des matrices semi-magiques et magiques.
1. Montrer queA∈ Pn si, et seulement si, il existe λ∈Rtel que AJn=JnA=λJn. Quel est alors la signification d’un telλ?
2. Montrer que Pn est stable pour le produit matriciel et que, pour A, B ∈ Pn, σ(AB) = σ(A)σ(B).
En est-il de même pourQn? 3. SoitA une matrice dePn.
(a) On suppose que A est inversible. Montrer que σ(A) 6= 0, que A−1 ∈ Pn et queσ(A−1) =
1 σ(A).
(b) Réciproquement, on suppose que σ(A)6= 0. Peut-on conclure queA est inversible ?
* * * FIN DU SUJET * * *
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