Un théorème limite pour fonctionnelles de clusters sur champs aléatoires stationnaires.

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Submitted on 17 Jun 2018

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Un théorème limite pour fonctionnelles de clusters sur champs aléatoires stationnaires.

José Gómez

To cite this version:

José Gómez. Un théorème limite pour fonctionnelles de clusters sur champs aléatoires stationnaires..

50èmes Journées de Statistique, May 2018, Paris Saclay, France. �hal-01817304�

Un th´ eor` eme limite pour fonctionnelles de clusters sur champs al´ eatoires stationnaires.

Jos´ e G. G´ omez 28 mai 2018

Laboratoire de Math´ ematiques Nicolas Oresme - LMNO, UMR CNRS 6139, Normandie Universit´ e, UNICAEN, 14000 Caen, France.

jose3g@gmail.com

R´ esum´ e. Dans cette note, nous fournissons un th´ eor` eme de la limite centrale pour les lois fini-dimensionnelles des processus empiriques de fonctionnelles de clusters qui agissent sur les champs al´ eatoires stationnaires. La praticit´ e et l’applicabilit´ e du r´ esultat d´ epend principalement d’un terme de d´ ependance T que nous simplifions ` a l’aide de conditions connues de d´ ependance faible.

Mots-cl´ es. Th´ eor` eme de la limite centrale, fonctionnelle de cluster, d´ ependance faible, valeurs extrˆ emes, m´ ethode de Lindeberg.

Abstract. In this note, we provide a central limit theorem for the finite dimensional marginal distributions of empirical processes of cluster functionals which act on the sta- tionary random fields. The practicality and applicability of the result depends mainly on a dependence term T that we simplify with the help of known conditions of weak dependence.

Keywords. Central limit theorem, cluster functional, weak dependence, extreme values, Lindeberg methode.

1 Introduction

A l’aube des r´ ` ecents d´ eveloppements dans le traitement de grandes masses de donn´ ees via

parallel processing, il est int´ eressant de developer la construction de statistiques en fonction

de blocs de donn´ ees et d’´ etudier leur inf´ erence. D’ailleurs, bien souvent, dans certaines ap-

plications seulement quelques donn´ ees sont pertinentes pour les estimations, sans compter

qu’elles sont g´ en´ eralement cach´ ees dans la grande masse de donn´ ees brutes. Donc, cela

nous am` ene ` a l’id´ ee de penser aux clusters de donn´ ees jug´ ees pertinentes (ou d’extrˆ emes,

dans le contexte de la th´ eorie des valeurs extrˆ emes). Malgr´ e le fait que ce ne soit peut-

ˆ etre pas l’id´ ee la plus naturelle d’un point de vue physique mais math´ ematiquement la

plus simple et pratique, on dit que deux valeurs pertinentes appartiennent ` a deux clusters

diff´ erents s’ils appartiennent ` a deux blocs diff´ erents. De plus, on consid` ere seulement les

cœurs des blocs, o` u le cœur d’un bloc B est d´ efini ici comme le plus petit sous-bloc de B

qui contiendrait toutes les valeurs jug´ ees pertinentes dans le bloc B. Cela nous permet donc de supprimer les donn´ ees inutiles pour notre ´ etude et de consid´ erer des fonctionnelles qui agissent sur les clusters. Dans le contexte de ce travail, nous d´ eveloppons quelques r´ esultats sur le comportement asymptotique de ces fonctionnelles de clusters pour les champs al´ eatoires stationnaires, inspir´ es par les travaux de Drees & Rootz´ en (2010) § 2.1 et G´ omez (2017a).

Pr´ ecis´ ement, notons n := (n

, . . . , n

) et 1 := (1, . . . , 1) ∈ N

. La tendance : n → ∞ signifiera ici que n

→ ∞ pour tout i ∈ [d], en notant [n] := [1 : n] et [k : n] :=

{k, k + 1, . . . , n} ⊂ Z . Afin d’´ eviter les cas non-d´ eg´ en´ er´ es, ´ etant donn´ e un champ al´ eatoire stationnaire X =

X

∈ R

: t ∈ N

, nous d´ efinissons X

:= L

(X

) I

(X

), qui est une normalisation de la variable al´ eatoire X

` a travers une certaine fonction L

: R

−→

R

, telle que

P (X

∈ · | X

∈ A) −→

n→∞

G(·), (1)

o` u G est une fonction de r´ epartition non d´ eg´ en´ er´ ee et A est un sous-ensemble de R

\ {0}, que nous appellerons ici, l’ensemble de pertinence. On notera X

l’ensemble de variables al´ eatoires normalis´ ees X

, associ´ ees au champ X, avec t ∈ Q

i=1

[n

] et n ∈ N

. On divise cet ensemble X

en m

· · · m

sous-blocs ou sous-grilles, tel que pour chaque i ∈ [d], nous prenons m

:= dn

/r

e := max {k ∈ N : k ≤ n

/r

} −→

ni→∞

∞, o` u r

:= r

est une valeur enti` ere telle que r

= o(n

). On d´ efinit alors les d−blocs de X

par

Y

:= (X

)

i=1[(ji−1)ri+1 :jiri]

, (2)

o` u (j

, . . . , j

) ∈ D

:= Q

[m

].

D´ efinition 1 Soit y = (x

)

i=1[ri]

un d−bloc. On d´ efinit le cœur du bloc y (par rapport

`

a l’ensemble de pertinence A) comme suit :

y

=

(x

)

i=1[r_i,I : r_i,S]

, si x

∈ A pour certain t ∈ Q

[r

];

0, sinon;

o` u, pour chaque i ∈ [d], r

et r

sont d´ efinis par :

r

:= min







j

∈ [r

] : x

∈ A, avec (j

, . . . , j

, j

, . . . , j

) ∈ Y

k∈[d]\{i}

[r

]





 ,

r

:= max







j

∈ [r

] : x

∈ A, avec (j

, . . . , j

, j

, . . . , j

) ∈ Y

k∈[d]\{i}

[r

]







.

D´ efinition 2 Soit (E, E ) un sous-espace mesurable de ( R

, B( R

)), pour certain k ≥ 1, tel que 0 ∈ E. Soit B

(E) l’ensemble des blocs (ou grilles) ` a coefficients dans E et de taille l

× l

× · · · × l

, avec l

, . . . , l

∈ N . Consid´ erons maintenant l’ensemble

E

:=

∞

[

l1,...,ld=1

B

(E),

dot´ e de la tribu E

induite par les tribus bor´ eliennes sur B

(E), pour l

, . . . , l

∈ N . On dit que la fonction mesurable f : (E

, E

) −→ ( R , B( R )) est une fonctionnelle de cluster si

f (y) = f (y

), pour tout y ∈ E

, et f (0) = 0. (3) Soit F une classe de fonctionnelles de clusters et soit {Y

: (j

, . . . , j

) ∈ D

} la famille de blocs de taille r

× r

× · · · × r

d´ efinie en (2). Le processus empirique Z

de fonctionnelles de clusters en F , est le processus (Z

(f))

d´ efini par

Z

(f ) := 1

√ nv

X

(j1,...,jd)∈Dn,d

(f(Y

) − E f (Y

)), (4)

o` u n := n

· · · n

et v

:= P (X

∈ A), en notant toujours A l’ensemble de pertinence.

En supposant que les fonctions de covariance existent et que la condition de Lindeberg soit satisfaite pour les variables {f(Y

) : (j

, . . . , j

) ∈ D

}, nous d´ emontrons la convergence des lois fini-dimensionnelles (fidis) du processus (4) vers celles d’un processus Gaussien centr´ e, en utilisant des techniques similaires ` a celles utilis´ ees par Bardet et al. (2007) pour montrer leurs TLCs.

Le reste du document est constitu´ e par deux sections : la Section 2, o` u nous four- nissons les lemmes essentielles pour montrer le TLC pour les fidis du processus empirique (4) ; la Section 3, o` u nous discutons l’applicabilit´ e du TLC en utilisant des arguments de d´ ependance faible, dans le sens de Doukhan & Louhichi (1999), et en mentionnant un exemple assez utile pour l’´ etude des valeurs extrˆ emes de champs al´ eatoires stationnaires.

Si le lecteur est int´ eress´ e, les preuves des r´ esultats mentionn´ es dans cette note sont d´ evelopp´ ees dans le chapitre 5 de la th` ese de doctorat de l’auteur, G´ omez (2017b).

2 R´ esultats

D’abord, on consid` ere les hipoth` eses suivantes :

(Bas) r = (r

, . . . , r

) ∈ N

est tel que r

= o(n

) et r

→ ∞ pour chaque i ∈ [d].

De plus, nv

−→ ∞ et, en notant r := r

· · · r

, rv

−→ 0.

(Lin) E (f(Y

) − E f(Y

))

I

= o(rv

), ∀ > 0 et ∀f ∈ F ;

(Cov) (rv

)

Cov (f (Y

), g(Y

)) −→ c(f, g), ∀f, g ∈ F ; o` u Y

d´ enote un bloc g´ en´ eral de X

, i.e., Y

=

Y

.

D’ailleurs, soient Y

, avec (j

, . . . , j

) ∈ D

, les blocs al´ eatoires d´ efinis en (2).

Alors, pour chaque k−uplet de fonctionnelles de clusters f

= (f

, . . . , f

) et chaque (j

, . . . , j

) ∈ D

, nous d´ efinissons :

W

:= 1

√ nv

(f

(Y

) − E f

(Y

), . . . , f

(Y

) − E f

(Y

)) . (5) Sans perte de g´ en´ eralit´ e et afin de simplifier l’´ ecriture, nous consid´ ererons d = 2 dans la suite de cette section.

Soit maintenant (W

)

une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes centr´ ees qui prennent leurs valeurs dans R

, ind´ ependante de la suite (W

)

d´ efinie en (5), et telle que W

∼ N

(0, Cov(W

)), pour tout (i, j) ∈ D

. On d´ enote par C

l’ensemble des fonctions born´ ees h : R

−→ R , qui ont toutes leurs d´ eriv´ ees partielles continues et born´ ees jusqu’` a l’ordre 3. Alors, for h ∈ C

et n = (n

, n

) ∈ N

, on d´ efinit

∆

:=

E



h



 X

(i,j)∈D_n,2

W



 − h



 X

(i,j)∈D_n,2

W









. (6)

Lemme 1 (Lindeberg sous ind´ ependance) Supposons que les blocs {Y

: (i, j) ∈ D

} soient ind´ ependants et que les vecteurs al´ eatoires (W

)

d´ efinis en (5) satisfassent l’hypoth` ese suivante :

(Lin’) Il existe δ ∈ (0, 1] tel que, pour chaque (i, j) ∈ D

, E kW

k

< ∞, pour tout n ∈ N

et tout k−uplet de fonctionnelles de clusters (f

, . . . , f

) ∈ F

.

Alors, pour tout n ∈ N

,

∆

≤ 6 · kh

k

· kh

k

· A

, o` u A

:= P

(i,j)∈Dn,2

E kW

k

.

Remarque 1 En prenant < 6kh

k

(kh

k

)

et en utilisant de mani` ere appropri´ ee la deuxieme in´ egalit´ e de la preuve du Lemme 1, voire le Chapitre 5 de Gomez (2017b), on pourrait utiliser la condition classique de Lindeberg. En effet, on obtiendrait :

∆

≤ 2 kh

k

B

() + kh

k

a

4

3 + p B

()

, (7)

o` u

B

() = X

(i,j)∈Dn,2

E kW

k

I

, pour > 0, n ∈ N

;

a

= X

(i.j)∈D_n,2

E kW

k

< ∞, pour n ∈ N

.

Remarque 2 Note que les hypoth` eses (Lin) et (Cov) impliquent respectivement que B

() −→

n→∞

0 et a

−→

n→∞

P

i=1

c(f

, f

) < ∞. Donc, si les blocs {Y

: (i, j) ∈ D

} sont ind´ ependants et si les hypoth` eses (Lin) et (Cov) sont satisfaites, alors en utilisant la Remarque 1, les fidis du processus empirique (Z

(f))

de fonctionnelles de clusters con- vergent vers celles d’un processus Gaussien (Z(f ))

centr´ e et de fonction de covariance c.

Dans le cas d´ ependant, nous avons besoin de quelques notations suppl´ ementaires. En effet, soit L

:= {(i, v) : v ∈ [j ]} ⊂ D

, pour (i, j) ∈ D

. Nous notons L

= L

= ∅ pour i ∈ [m

] et j ∈ [m

]. Alors, pour chaque k ∈ N , f

= (f

, . . . , f

) ∈ F

, t ∈ R

et n ∈ N

; on d´ efinit

T

(f

) := X

(j1,j2)∈D_n,2

Cov





 exp(iht, X

(u1,u2)∈D_n,2\(Sj1−1

l=0 L^m_l ²∪L^j_j²

1)

W

i), exp (iht, W

i)







(8)

Lemme 2 (Lindeberg sous d´ ependance) Supposons que les vecteurs (W

)

d´ efinis en (5) satisfassent l’hipoth` ese (Lin’). Pour le cas sp´ ecial des fonctions exponen- tielles complexes h(w) = exp(iht, wi) pour certain t ∈ R

, on obtient pour chaque k ∈ N et chaque k−uplet f

= (f

, . . . , f

) de fonctionnelles de clusters, l’in´ egalit´ e :

∆

≤ T

(f

) + 6ktk

A

, n ∈ N

. Le r´ esultat suivant d´ erive du lemme pr´ ec´ edent et de la Remarque 1.

Th´ eor` eme 1 (TLC de Lindeberg pour fonctionnelles de clusters) Supposons que l’hypoth` ese basique (Bas) et les hypoth` eses de convergence (Lin) et (Cov) soient satisfaites.

Alors, si pour chaque k ∈ N , T

(f

) converge vers z´ ero, lorsque n → ∞, pour tout t ∈ R

et tout k−uplet f

= (f

, . . . , f

) ∈ F

de fonctionnelles de clusters, les fidis du processus empirique (Z

(f))

convergent vers celles d’un processus Gaussien centr´ e (Z (f))

de fonction de covariance c (d´ efnie en (Cov)).

Remarque 3 Le th´ eor` eme pr´ ec´ edent peut ˆ etre reformul´ e pour d = 3 comme suit. Soit S

= {(u, v, w) : u ∈ [i], v ∈ [m

], w ∈ [m

]} ⊆ D

, pour i ∈ [m

], avec la convention S

= ∅. De plus, soient L

= {(i, j, w) : w ∈ [k]}, pour (i, j, k) ∈ D

, et L

= ∅ si i, j ou k est z´ ero. Alors, si (Bas), (Lin), (Cov) sont satisfaites (pour d = 3), et si pour chaque k ∈ N ,

T

(f

) = X

(j1,j2,j3)∈D_n,3

|Cov (exp(iht, V

i), exp (iht, W

i))| (9) converge vers z´ ero, lorsque n → ∞, pour tout t ∈ R

et tout k−uplet f

= (f

, . . . , f

) ∈ F

de fonctionnelles de clusters, o` u

V

:= X

(u1,u2,u3)∈Dn,3\

(

1l∪L^j_j³

1j2

)

W

,

les fidis du processus empirique (Z

(f ))

de fonctionnelles de clusters convergent vers celles d’un processus Gaussien (Z(f ))

centr´ e et de fonction de covariance c.

3 Discussion et Commentaires

Dans le th´ eor` eme pr´ ec´ edent, ` a part les hypoth` eses habituelles de convergence (la condi- tion de Lindeberg et l’existence de la fonction de covariance), il est important d’assurer la convergence vers z´ ero du terme (8) (ou (9) pour le cas d = 3), qui comprend la d´ ependence entre les blocs. Par contre, la mani` ere dont est d´ efini ce terme de d´ ependance est d´ esavantageuse, parce qu’on ne peut pas v´ erifier directement et facilement sa conver- gence vers z´ ero. Cependant, puisque ce terme de d´ ependance est la somme de covariances, on peut alors le borner par le coefficient de m´ elange fort de Rosenblatt (1956) ou bien par les coefficients de d´ ependance faible de Doukhan & Louhichi (1999), avec pour but de construire des conditions plus commodes et faciles ` a prouver dans la pratique.

Dans cet expos´ e, on fournira ces conditions de d´ ependance faible et on illustrera quelques exemples de champs al´ eatoires qui satisfassent ces conditions. De plus, on montrera une application des fonctionnelles de clusters et des processus empiriques de fonctionnelles de clusters, en prouvant la normalit´ e asymptotique de l’iso-extr´ emogramme d´ efini en Gomez (2017b).

Bibliographie

[1] Bardet, J.M., Doukhan, P., Lang, G. & Ragache, N. (2007), Dependent Lindeberg Central Limit Theorem and Some Applications. ESAIM: Prob. and Stat., 12, 154–172.

[2] Doukhan, P. & Louhichi, S. (1999), A new weak dependence condition and applications to moment inequalities. Stochastic Processes and their Applications, 84, 313 – 342.

[3] Doukhan, P. & G´ omez, J.G. (2018), On extreme values in stationary weakly dependent random fields. Soumis ` a Cyclostationary: Theory and Methods V, Lecture Notes in Applied Condition Monitoring, Springer.

[4] Drees, H & Rootz´ en, H. (2010), Limit Theorems for Empirical Processes of Cluster Functionals. The Annals of Statistics, 38, 2145–2186.

[5] G´ omez, J.G. (2017a), Dependent Lindeberg central limit theorem for the fidis of em- pirical processes of cluster functionals. Statistics : A Journal of Theoretical and Applied Statistics. https://doi.org/10.1080/02331888.2018.1470630

[6] G´ omez, J.G. (2017b), Th´ eor` emes limites pour des fonctionnelles de clusters d’extrˆ emes et applications. Th` ese de doctorat de l’Universit´ e de Cergy Pontoise, Soutenue le 13 novembre 2017, Cergy-Pontoise.

[7] Rosenblatt, M. (1956), A central limit theorem and a strong mixing condition. Pro-

ceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 42, 43–47.