Étude de l'organisation des réarrangements d'un milieu granulaire sous sollicitations mécaniques

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granulaire sous sollicitations mécaniques

Sébastien Kiesgen de Richter

To cite this version:

Sébastien Kiesgen de Richter. Étude de l’organisation des réarrangements d’un milieu granulaire sous sollicitations mécaniques. Analyse de données, Statistiques et Probabilités [physics.data-an].

Université Européenne de Bretagne, 2009. Français. �tel-00462390�

N° d’ordre : 3952 ANNÉE 2009

THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1

sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne

pour le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1

Mention : Physique

Ecole doctorale : Sciences de la matière

présentée par

Sébastien KIESGEN de RICHTER

préparée à l’unité de recherche IPR UMR 6251 Institut de Physique de Rennes

U.F.R Structure et Propriétés de la Matière

Intitulé de la thèse

Etude de

l’organisation des réarrangements d’un milieu granulaire

sous sollicitations mécaniques

Thèse soutenue à Rennes le 10 Novembre 2009

Philippe GONDRET

Professeur Université Paris Sud Orsay / Rapporteur

Jean Pierre VILOTTE

Professeur Institut de physique du globe de Paris / Rapporteur

Vincent TOURNAT

Chargé de Recherche CNRS Université du Maine / Examinateur

Eric CLEMENT

Professeur Université Pierre et Marie Curie / Président du jury

Renaud DELANNAY

Professeur Université de Rennes 1 / Directeur de thèse

Gérard LE CAËR

Directeur de Recherche CNRS Université de Rennes 1 / Co-directeur de thèse

1

Remerciements

Je tiens `a remercier toute l’´equipe granulaires/ mousses de l’Institut de Physique de Rennes pour la bonne ambiance et les (tr`es) nombreux ´echanges qui ont facilit´e mon travail durant ces trois ann´ees de th`ese. Je souhaite en particulier remercier toutes les personnes qui m’ont aid´e `a relever ce formidable d´efi qui est d’entreprendre une th`ese. Alain, technicien de l’´equipe, pour son implication de tous les instants dans la r´esolution des probl`emes techniques que j’ai pu rencontrer durant mes travaux. Merci `a Renaud, directeur de l’´equipe, pour son soutien depuis mon arriv´ee `a Rennes avant mˆeme que ne commence ma th`ese. Je le remercie pour la confiance qu’il m’a apport´ee et la grande autonomie qu’il m’a laiss´ee dans mon travail tout en ´etant disponible d`es que j’en avais besoin et ce malgr´e des charges administratives tr`es prenantes. Je suis ´egalement tr`es reconnaissant de l’aide que lui et Daniel m’ont apport´ee `a la fin de ces trois ann´ees de th`ese afin que je puisse finir de r´ediger ce manuscrit dans de bonnes conditions. Merci `a Daniel, pour le partage de sa grande exp´erience dans le domaine des milieux granulaires et pour son sens physique hors du commun.

Je tiens `a remercier sinc`erement G´erard pour tout ce qu’il a pu m’apporter au cours de ces trois ann´ees.

Il est et restera la personne qui a marqu´e un tournant dans ma vision de la physique. Sa grande culture, son exp´erience et son excellence scientifique m’ont apport´e ´enorm´ement au quotidien tout au long de ces trois ann´ees. Je le remercie ´egalement pour son soutien dans certains moments tr`es difficiles. Il a toujours su trouver les mots pour me remotiver.

Certains moments auraient encore ´et´e plus difficiles sans la bonne ambiance qu’il r`egne dans la salle des th`esards. Merci `a Jeff, El Hadji, Houda, Julie, Djaoued pour l’ambiance d’entraide qu’ils ont su installer dans cette salle. Tous mes voeux de r´eussite sont ´egalements destin´es `a Duc, Merline et Imen nouveaux th´esards de l’´equipe.

Je souhaite ´egalement remercier les personnes que j’ai pu rencontrer durant les nombreux ´echanges scientifiques qui ont eu lieu durant ma th`ese. Merci en particulier `a V. Zaitsev et V. Tournat pour la riche coop´eration que nous avons entreprise sur l’´etude des pr´ecurseurs d’avalanche.

Ces trois ann´ees de th`ese ont ´egalement ´et´e ponctu´ees de suberbes rencontres et de nouvelles amiti´es.

Merci `a mes amis moniteurs du CIES (Lionel, Ninie, Virg, Carole, Eric) pour les folles soir´ees nous per- mettant de d´ecompresser, `a Cyril pour sa bonne humeur de tous les instants mais ´egalement `a tous les autres th´esards de l’institut.

Tous cela n’aurait ´egalement pas ´et´e possible sans le soutien inconditionnel de mes parents. Je les

remercie pour les efforts et les sacrifices qu’ils ont fait pendant tant d’ann´ees afin de me donner les

moyens de poursuivre de longues ´etudes. Enfin, merci `a ma compagne Julie qui m’a soutenu, support´e... et

r´econfort´e dans les moments difficiles. Elle est le pilier qui a assur´e mon ´equilibre durant ces trois ann´ees.

3

A mon grand p` ere,

”Le vrai point d’honneur n’est pas d’ˆ etre toujours dans le vrai. Il est d’oser, de proposer des id´ ees neuves, et ensuite de les v´ erifier.”

Pierre-Gilles de Gennes

I Introduction ` a l’´ etude des milieux granulaires et ` a leur r´ eponse

`

a une sollicitation 7

Chapitre 1 Qu’est ce qu’un milieu granulaire ? 9

Chapitre 2 Enjeux pratiques, th´ eoriques et motivations 12

2.1 Enjeux industriels et environnementaux . . . . 12

2.2 Enjeux th´ eoriques . . . . 14

2.3 Motivations . . . . 15

Chapitre 3 Etat de l’art sur la r´ eponse d’un milieu granulaire soumis ` a des tapes 17 3.1 Int´ erˆ ets . . . . 17

3.2 Dynamique de compaction et caract´ erisation de l’´ etat asymptotique . . . . 17

3.3 Analogie avec les milieux hors ´ equilibre. Enjeux th´ eoriques. . . . 20

3.3.1 Les syst` emes hors ´ equilibre et les syst` emes vitreux . . . . 20

3.3.2 Propri´ et´ es remarquables des syst` emes hors ´ equilibre . . . . 21

3.3.3 Les milieux granulaires comme milieux hors ´ equilibre . . . . 24

3.4 Ouverture . . . . 28

Chapitre 4 Etat de l’art sur la r´ eponse d’un milieu granulaire soumis ` a une inclinaison 29 4.1 Int´ erˆ ets . . . . 29

4.2 Observations exp´ erimentales. . . . 30

4.2.1 Influences des diff´ erents param` etres sur l’angle maximum de stabilit´ e 31 4.2.2 Dynamique de r´ earrangements avant l’avalanche. . . . . 35

4.3 Approches th´ eoriques . . . . 36

4.3.1 Approche milieu continu : Mod` ele de type ”Granta Gravel” . . . . . 37

4.3.2 Approche de type ´ el´ ements discrets. . . . 39

4.3.3 Comportement critique auto-organis´ e. . . . 41

4.4 Ouverture . . . . 44

4

Table des mati` eres 5

II Etude exp´ erimentale de la dynamique d’un milieu granu-

laire sous inclinaison 45

Chapitre 5 Dispositif exp´ erimental 47

5.1 Montage exp´ erimental . . . . 48

5.1.1 Pr´ esentation du dispositif . . . . 48

5.1.2 Caract´ eristique de la mati` ere granulaire utilis´ ee . . . . 49

5.1.3 Savoir-faire exp´ erimental : de la pr´ eparation de l’assembl´ ee de grains 51 5.2 Mesures optiques . . . . 54

5.2.1 Mat´ eriel utilis´ e . . . . 54

5.2.2 Traitement d’images . . . . 55

5.3 Mesures acoustiques . . . . 57

5.3.1 Mat´ eriel . . . . 57

5.3.2 Principe . . . . 58

Chapitre 6 La route vers l’avalanche : Dynamique des r´ earrangements 60 6.1 Dynamique des r´ earrangements de surface . . . . 60

6.1.1 Observations . . . . 60

6.1.2 R´ esultats des mesures optiques. . . . 63

A l’´ echelle du grain . . . . 63

A l’´ echelle du tas . . . . 66

6.2 Dynamique dans le volume . . . . 81

6.3 Corr´ elations surface-volume . . . . 87

Chapitre 7 Vieillissement et effets m´ emoire 89 7.1 Influence de la pr´ eparation initiale . . . . 89

7.2 Vieillissement du syst` eme sous perturbations cycliques . . . . 91

7.3 Vieillissement dans le volume . . . . 97

7.4 Influence du bruit sur l’´ etat critique . . . . 99

Chapitre 8 Interpr´ etation et mod´ elisation 107 8.1 Dynamique du syst` eme . . . . 107

8.2 Mod` ele de type automate cellulaire . . . . 113

8.3 Quelques pistes vers la compr´ ehension du ph´ enom` ene de pr´ ecurseurs d’avalanche. . . . 129

III Dynamique d’un milieu granulaire soumis ` a des tapes 143

Chapitre 9 Simuler la compaction 146

9.1 Les diff´ erents types de simulations . . . . 146

9.2 La simulation Monte-Carlo utilis´ ee ` a Rennes . . . . 147

9.3 Principe et d´ etail de la simulation . . . . 147

Chapitre 10 Etat stationnaire 153 10.1 Evolution de la compacit´ e. . . . 153

10.2 Caract´ erisation du d´ eplacement des grains. . . . 156

10.2.1 S´ election des mouvements : influence des effets st´ eriques . . . . 157

10.2.2 D´ ependance avec l’altitude du d´ eplacement des grains . . . . 160

10.2.3 Distribution des d´ eplacements . . . . 161

10.2.4 Bilan . . . . 167

Chapitre 11 Caract´ erisation de la dynamique dans l’´ etat stationnaire 168 11.1 Relaxation de la dynamique . . . . 168

11.2 Fonction de corr´ elations ` a 4 points. . . . 173

11.3 Corr´ elations spatiales . . . . 179

11.4 Remarques et conclusions . . . . 184

Conclusion g´ en´ erale et perspectives 185

Annexe A 191

Annexe B 195

Annexe C 199

Annexe D 207

Bibliographie 215

Bibliographie 216

Premi` ere partie

Introduction ` a l’´ etude des milieux granulaires et ` a leur r´ eponse ` a une

sollicitation

7

Chapitre 1

Qu’est ce qu’un milieu granulaire ?

Un milieu granulaire est une assembl´ ee de grains. Ces grains peuvent ˆ etre de formes quelconques (figure 1.1) et constitu´ es de mat´ eriaux divers (figure 1.2).

Figure 1.1 – Exemples de diff´ erentes formes de grains. A gauche, des billes de polyester (forme sph´ erique). Au centre des graines (forme allong´ ee). A droite, des grains de sable (polyh` edres).

Le sable, les c´ er´ eales, les cailloux qui composent le lit des rivi` eres ou bien encore les poussi` eres qui constituent les nuages stellaires sont des exemples vari´ es de ce que l’on appelle un milieu granulaire au sens le plus large du terme. Cette mati` ere divis´ ee est pr´ esente partout dans notre quotidien, notamment dans des domaines industriels tels que celui du bˆ atiment o` u les mat´ eriaux de construction sont constitu´ es de milieux divis´ es (les mat´ eriaux granulaires sont les seconds mat´ eriaux les plus utilis´ es par les industries apr` es l’eau) ou encore dans l’industrie pharmaceutique o` u il est n´ ecessaire de m´ elanger des poudres, souvent de tailles diff´ erentes, pour fabriquer des m´ edicaments.

Cependant, cette d´ efinition du milieu granulaire reste trop large pour le physicien. En effet, les interactions entre les constituants ´ el´ ementaires du tas ne sont, par exemple, pas les mˆ emes si l’on ´ etudie du sable fin mouill´ e ou si l’on ´ etudie un tas de gros cailloux. Dans le premier cas, l’interaction entre les grains est fortement influenc´ ee par la pr´ esence de l’eau, des ponts capillaires peuvent se cr´ eer entre les grains, alors que dans le cas d’un ensemble de cailloux, l’interaction principale est le contact solide. De mˆ eme dans le cas de

9

Figure 1.2 – Exemples de diff´ erents milieux granulaires. A gauche, des cailloux provenant du fond d’une rivi` ere. Au centre, du sable. A droite, des grains de riz.

poudres, des charges locales peuvent apparaitre ` a la surface des grains et des interactions

´

electrostatiques et des forces de Van der Waals peuvent alors ˆ etre pr´ esentes. On voit donc bien que le terme ”milieu granulaire” renvoie, dans le cas le plus g´ en´ eral, ` a un bon nombre de situations physiques diff´ erentes (Figure 1.3).

Figure 1.3 – Exemples de situations o` u interviennent les milieux granulaires. 1) chˆ ateau de sable. 2) avalanche de pierres. 3) tempˆ ete de sable.

D’un point de vue physique, nous appellerons milieu granulaire un milieu dont les constituants ´ el´ ementaires sont plus grands que 100 µm, on parlera de poudre dans le cas contraire. Pour les petits constituants (< 100 µm), l’importance relative d’autres interac- tions que le contact solide augmente, des effets coh´ esifs dus aux interactions ´ electrostatiques, aux forces de Van der Waals et capillaires peuvent apparaitre. De plus, les propri´ et´ es d’une assembl´ ee de grains peuvent fortement varier suivant le milieu dans lequel elle est plong´ ee.

Il convient donc, dans toute ´ etude relative ` a ces milieux, de pr´ eciser la nature du fluide

interstitiel mais aussi les conditions associ´ ees. Par exemple, il a ´ et´ e montr´ e (nous en re-

parlerons dans la suite) que l’humidit´ e de l’air pouvait avoir une grande influence sur le

comportement de ces milieux. Changer l’humidit´ e de l’air peut changer les interactions

entre grains, modifier la coh´ esion et donc changer le comportement global d’une assembl´ ee

de grains. Enfin, l’une des choses fondamentales ` a pr´ eciser pour l’´ etude d’un milieu gra-

nulaire est l’action ext´ erieure ` a laquelle il est soumis et en particulier, l’´ energie qui lui est

apport´ ee. On comprend bien que le comportement d’un tas de sable ` a l’´ equilibre dans le

11 champ de pesanteur n’est pas le mˆ eme que celui d’une avalanche de grains le long d’une surface fortement inclin´ ee ou que celui d’un milieu granulaire emport´ e par le vent. Dans le premier cas, le tas de sable dans le champ de pesanteur peut ˆ etre vu comme un solide, son interface n’est pas plane comme celle d’un liquide. Il forme un cˆ one avec un angle au sommet d’environ 30˚. Dans le cas d’une avalanche de grains le long d’une surface inclin´ ee (´ eboulis de roches, avalanche de sables, ...) le milieu s’´ ecoule, il a un comportement qui se rapproche de celui d’un liquide. Enfin, dans une tempˆ ete de sable, les grains sont em- port´ es par le vent. Ils subissent des collisions puis se d´ eplacent en vol balistique entre deux collisions successives ` a l’image de ce qui se passe dans un gaz de particules. Ces comporte- ments diff´ erents d´ ependent de l’environnement dans lequel baignent ces milieux mais aussi de la sollicitation qui leur est appliqu´ ee. Dans ce travail de th` ese, nous avons utilis´ e des billes de verre sph´ eriques monodisperses dans un environnement ` a humidit´ e contrˆ ol´ ee. Ce choix se justifie d’une part par le fait que la sym´ etrie sph´ erique a pour cons´ equence que seules les trois coordonn´ ees d’espace suffisent ` a caract´ eriser la position d’une bille

. D’autre part, un environnement ` a humidit´ e control´ ee permet de limiter l’influence des interactions

´

electrostatiques et capillaires mentionn´ ees ci-dessus.

1. sauf si la rotation joue un rˆole et brise la sym´etrie sph´erique

Enjeux pratiques, th´ eoriques et motivations

2.1 Enjeux industriels et environnementaux

Comme soulign´ e ci-dessus, les milieux granulaires sont tr` es largement utilis´ es dans l’industrie (bˆ atiment, g´ enie civil, industries chimiques, industries pharmaceutiques, agroa- limentaires, etc... figure 2.1).

Figure 2.1 – Exemples de domaines o` u sont utilis´ es les milieux granulaires. 1) Stockage de grains dans des silos (industries agro-alimentaires). 2) Fabrication des m´ edicaments (industries pharmaceutiques). 3) Fabrication d’ouvrages dans le batiment (b´ etonneuse).

Ces industries sont en quˆ ete constante d’am´ eliorations technologiques relatives ` a l’utili- sation de ces milieux. Elles sont confront´ ees ` a trois probl` emes majeurs. Le premier d’entre eux est la s´ egr´ egation. En effet, il est tr` es difficile de m´ elanger des grains de tailles diff´ erentes. Ceux ci tendent sous une sollicitation (mˆ eme tr` es faible) ` a se s´ eparer spon- tan´ ement en fonction, par exemple,

de leur taille (ce qui explique pourquoi les corn-flakes

1. Il y a d’autres caract´eristiques qui conduisent `a la s´egr´egation tels que la diff´erence de coefficient de

12

2.1. Enjeux industriels et environnementaux 13 sont toujours plus petits au fond du paquet ...). Les grains les plus gros se retrouvent au dessus et les plus petits au dessous. Les m´ ecanismes responsables de ce ph´ enom` ene ne sont pas tous tr` es bien identifi´ es (l’un d’entre eux est le passage des petits grains dans les espaces laiss´ es par les gros.) et sont encore mal compris. Ils sont pourtant d’un int´ erˆ et consid´ erable pour les industriels qui cherchent ` a obtenir des m´ elanges homog` enes et stables vis a vis de sollicitations ext´ erieures (transport de c´ er´ eales, m´ elanges de poudres dans les m´ edicaments, ...). Le second probl` eme est celui du blocage des ´ ecoulements. L’´ ecoulement

`

a travers une tr´ emie d’un milieu granulaire (sable pour le bˆ atiment, c´ er´ eales pour les silos

`

a grains, ...) peut se bloquer ` a tout moment du fait de la formation d’arches. Aucune ´ etude ne permet de dire ` a l’heure actuelle quelle est la g´ eom´ etrie de la tr´ emie (pour des grains de forme et de taille donn´ ees) optimale pour ´ eviter ce probl` eme, ou bien quels sont les param` etres qui sont ` a l’origine de ce blocage (taille critique des grains par rapport ` a la tremie, d´ ebit critique, ...). Ces questions sont pourtant d’un grand int´ erˆ et pratique pour ces industries et des solutions sont n´ ecessaires pour optimiser les moyens de production (la seule solution efficace mais somme toute empirique ` a l’heure actuelle consiste ` a taper tr` es fort sur la tr´ emie pour d´ ebloquer l’´ ecoulement ... ou ` a installer des vibreurs). Enfin, un dernier probl` eme important r´ eside dans l’optimisation du stockage des grains. L’int´ erˆ et des industries est d’en stocker le plus possible dans l’espace le plus petit possible (cela afin de minimiser les coˆ uts de stockage

). L’espace de stockage d´ epend directement de la compa- cit´ e (rapport du volume occup´ e par les grains au volume total occup´ e par l’empilement) et l’une des branches actives de la physique de la mati` ere granulaire est l’´ etude de la compac- tion. Il apparaˆıt qu’un empilement granulaire lˆ ache soumis ` a des sollicitations ext´ erieures a tendance ` a se compacter et donc ` a occuper un volume plus faible. Les m´ ecanismes mis en jeu durant cette phase de compaction sont encore mal compris aussi bien ` a l’´ echelle de l’empilement qu’` a l’´ echelle du grain.

Un des domaines o` u les milieux granulaires sont ´ egalement pr´ esents est la physique de l’environnement. De nombreuses questions sont encore sans r´ eponses. Mais deux grands sujets d’´ etude existent : le premier est l’´ etude des processus d’´ erosion/d´ eposition afin de r´ esoudre les probl` emes d’ensablement (ensablement du Mont Saint Michel par exemple) et de migration des dunes (ensablement de villes dans le d´ esert) afin de g´ erer et de pr´ evenir les risques qui y sont associ´ es. Le second domaine d’activit´ e est celui de la ’pr´ ediction de catastrophes’. En effet la pr´ evention des glissements de terrains, des avalanches, de la stabilit´ e des sols en g´ en´ eral n´ ecessite une bonne compr´ ehension des interactions ` a la fois

`

a l’´ echelle du grain et ` a l’´ echelle du tas. Ces divers exemples montrent bien l’int´ erˆ et de l’´ etude des milieux granulaires mais aussi le grand nombre de questions soulev´ ees par ces milieux qui restent, dans la plupart des cas ouvertes.

frottement par exemple.

2. Par exemple les poudres dans les moteurs de fus´ee

2.2 Enjeux th´ eoriques

Toutes les questions ci-dessus auraient probablement trouv´ e une r´ eponse si les mat´ eriaux granulaires ob´ eissaient ` a une relation simple permettant de pr´ edire le comportement du milieu pour une contrainte donn´ ee et cela ` a toutes les ´ echelles. D’une fa¸con g´ en´ erale, la complexit´ e de ces milieux r´ eside dans le fait, d´ ej` a ´ enonc´ e plus haut, que certaines de leurs propri´ et´ es s’assimilent ` a celles des liquides, et d’autres ` a celles des solides ou des gaz. Ce- pendant cette assembl´ ee de grains n’est ni un solide, ni un liquide, ni mˆ eme un gaz au sens usuel de la classification des ´ etats de la mati` ere. Le tas est compos´ e de grains et l’inter- action entre deux grains est une interaction par contact. Ce contact peut ˆ etre de courte dur´ ee dans le cas de collisions ou persistant avec dans ce cas une composante normale de compression (il n’y a pas de traction sans coh´ esion), et une composante tangentielle de frottement solide. Pourtant la connaissance de l’interaction entre les grains qui constituent un tas ne permet pas de pr´ edire le comportement de ce tas, ` a la diff´ erence de la mati` ere or- dinaire (o` u la connaissance des interactions fondamentales entre constituants ´ el´ ementaires permet de pr´ edire les changements de phases par exemple). La description du frottement par la loi de Coulomb introduit un probl` eme s´ erieux du fait que les forces tangentielles ne sont pas d´ etermin´ ees. En absence de glissement, elles r´ epondent ` a une simple in´ egalit´ e.

Une raison de cet ´ echec est l’absence d’agitation thermique. Dans la mati` ere ordinaire l’agitation thermique est le moteur pour explorer les ´ etats accessibles au syst` eme en accord avec les contraintes qui lui sont appliqu´ ees. Dans un milieu granulaire la temp´ erature ne joue aucun rˆ ole sur les configurations accessibles du tas. Elle ne permet pas de faire passer le tas d’une configuration ` a une autre. Si l’on regarde la r´ epartition des forces dans un milieu granulaire, on se rend compte que certains grains sont bloqu´ es alors que d’autres sont plus libres de se d´ eplacer, des chaˆınes de forces peuvent mˆ eme apparaitre. Bouger un grain qui ”soutient beaucoup de force” peut entrainer la r´ eorganisation du tas sur de longues distances alors que ”bouger un grain qui ne soutient que peu de force” aura des cons´ equences moindres. C’est pourquoi l’interaction de paires entre deux grains ne suffit pas

`

a d´ ecrire les ´ etats accessibles ` a l’ensemble du tas. La pr´ esence de ces h´ et´ erog´ en´ eit´ es, pouvant

se manifester ` a longue distance dans les milieux granulaires, rend difficile, voire empˆ eche

le processus d’homog´ en´ eisation largement utilis´ e en physique du solide, qui consiste ` a

d´ ecrire par des interactions effectives les interactions ` a grande ´ echelle, connaissant celles

qui pr´ evalent ` a une ´ echelle plus petite. Ces mat´ eriaux pr´ esentent une rh´ eologie complexe,

c’est ` a dire qu’il n’existe pas de relation simple multi´ echelles permettant de pr´ edire le

comportement du milieu pour n’importe quelle contrainte. Le plus souvent, les lois de

comportements utilis´ ees sont semi-empiriques (voire empiriques) et pr´ esentent toutes des

champs d’application tr` es restreints. Un grand enjeu th´ eorique r´ eside dans l’´ elaboration

d’une m´ ecanique statistique qui leur soit adapt´ ee [4]. Malgr´ e ces difficult´ es, des ´ etudes

2.3. Motivations 15 men´ ees par ailleurs sur les verres ont montr´ e que ces deux milieux pr´ esentent de fortes analogies. Dans le cas des milieux granulaires, l’agitation thermique ne joue aucun rˆ ole, il faut appliquer un for¸cage ext´ erieur pour les voir s’´ ecouler car l’´ energie thermique de l’ordre de k

.T (k

constante de Boltzmann et T la temp´ erature) est n´ egligeable devant l’ordre de grandeur des ´ energies m´ ecaniques mises en jeu, c’est ` a dire l’´ energie potentielle de pesanteur m.g.z (m : masse des grains, g : constante de pesanteur, z :longueur caract´ eristique associ´ ee aux grains (leur rayon)). Cependant ` a l’image des verres, leur dynamique sous sollicitation est hors ´ equilibre [1, 2, 3]. Afin d’unifier les syst` emes vitreux forc´ es, Liu et Nagel [5]

proposent un diagramme de phase (figure 2.2) o` u la phase ”bloqu´ ee” correspond aux faibles temp´ eratures, aux faibles for¸cages et aux grandes densit´ es(partie color´ ee). Le reste de l’espace correspond ` a la phase d´ ebloqu´ ee (liquide). Les milieux granulaires sont dans le plan ”for¸cage - 1/densit´ e” et les verres sont dans le plan ”temp´ erature - 1/densit´ e”. Ce diagramme de phase soul` eve une question fondamentale : ` a quelle classe d’universalit´ e (au sens des transitions de phases usuelles) appartient le passage de cet ´ etat ”bloqu´ e” (en couleur) ` a l’´ etat liquide ? Existe t-il un volume de coh´ erence et un param` etre critique ? Existe t-il un point critique pour cette transition ? Ces questions sont majeures dans la physique de la mati` ere granulaire.

Figure 2.2 – Diagramme de phase propos´ e par Liu et Nagel [5]. La phase bloqu´ ee(”jammed”) est color´ ee. Ce diagramme propose une unification entre les verres et les milieux granulaires dans le plan ”for¸ cage-temp´ erature”.

2.3 Motivations

L’enjeu de cette th` ese est d’´ etudier la r´ eponse d’un milieu granulaire soumis ` a diff´ erentes

sollicitations (for¸cage), afin d’identifier les param` etres et les facteurs importants qui ca-

ract´ erisent leur r´ eponse. Y-a-t’il un lien entre la r´ eponse d’un milieu granulaire soumis ` a des

s´ eries de tapes et celle d’un milieu soumis ` a un cisaillement ? Existe t’il un comportement g´ en´ eral d´ ependant peu du d´ etail de la sollicitation ? Comment la r´ eponse du milieu se rap- proche t’elle de la r´ eponse d’autres syst` emes physiques ´ egalement complexes hors ´ equilibre tels que les verres, les mat´ eriaux amorphes, ou bien encore les suspensions collo¨ıdales ? Dans le cadre g´ en´ eral des syst` emes complexes, un milieu granulaire est constitu´ e d’´ el´ ements inter- agissant les uns avec les autres (interaction par contact), et cette interaction est de courte port´ ee. A la limite d’un milieu tr` es dilu´ e, les grains se comportent ind´ ependamment les uns des autres, puis plus la densit´ e augmente plus le r´ earrangement d’un grain est suivi du mouvement d’un grand nombre d’autres grains. C’est ` a dire que la longueur de corr´ elation dans le milieu d´ epend de la densit´ e. Quel est l’effet de ces corr´ elations sur la dynamique d’ensemble du milieu ? Dans le cas d’un milieu inclin´ e soumis ` a la gravit´ e, la longueur de corr´ elation augmente avec l’angle d’inclinaison, c’est ` a dire que plus l’angle d’inclinaison est grand, plus le mouvement d’un grain risque d’en entraˆıner d’autres. Dans le cas d’un milieu soumis ` a des tapes le mˆ eme processus est en jeu. Pour qu’un grain bouge, il faut lui lib´ erer de la place, ce qui n´ ec´ essite un mouvement coop´ eratif des grains se situant dans son voisinage. Mon travail de th` ese a consist´ e ` a caract´ eriser la dynamique d’une assembl´ ee de grains soumis ` a des contraintes de deux types (vibrations et inclinaison), et ` a ´ etudier les corr´ elations entre les mouvements des grains (´ echelle locale) et leurs influences sur la dynamique du syst` eme (´ echelle globale). En effet, dans un ´ ecoulement dense dans le champ de pesanteur, on observe g´ en´ eralement une combinaison de cisaillement et de vibrations.

Il est donc d’un grand int´ erˆ et de voir ce qui rapproche et ce qui diff´ erentie les deux types de sollicitations sur un empilement de grains.

3. par exemple lors de l’´ecoulement sur un plan inclin´e `a fond rugueux.

Chapitre 3

Etat de l’art sur la r´ eponse d’un

milieu granulaire soumis ` a des tapes

3.1 Int´ erˆ ets

La r´ eponse d’un milieu granulaire ` a une sollicitation de type ”tapping” est d’un grand int´ erˆ et. En effet, cette sollicitation est particuli` erement utilis´ ee pour ´ etudier les processus de compaction et de s´ egr´ egation. Un milieu divis´ e soumis ` a une perturbation ext´ erieure qui se compacte r´ eduit le volume qu’il occupe dans le r´ ecipient qui le contient. Durant ce processus, la compacit´ e du milieu, φ diminue.

φ =

Volume total de l0empilement

La densification d’un empilement granulaire a deux int´ erˆ ets majeurs. D’une part, la compaction est un processus qui a un int´ erˆ et industriel, par exemple pour r´ eduire le volume de stockage des mat´ eriaux ou bien assurer la stabilit´ e des sols

. D’autre part, la dynamique d’´ evolution d’un milieu granulaire pendant la compaction pr´ esente de nombreuses analogies avec l’´ evolution de syst` emes mod` eles hors ´ equilibre tels que les syst` emes vitreux.

3.2 Dynamique de compaction et caract´ erisation de l’´ etat asymptotique

L’´ equipe du James Frank Institute de Chicago a ´ et´ e pionni` ere dans l’´ etude de la com- paction de billes de verre sous l’effet de sollicitations ext´ erieures (Knight et al. [6], Nowak et al. [7]). A Rennes, deux th` eses, r´ ealis´ ees l’une par Pierre Philippe [9] et l’autre par

1. La compaction joue ´egalement un rˆole dans l’´etude des glissements de terrain. Elle provoque l’´ejection de l’eau pr´esente dans les pores qui se regroupe ensuite dans les zones moins compactes et liquifie le sol.

17

Philippe Ribi` ere [10], ont port´ e sur ce sujet. Les r´ esultats obtenus exp´ erimentalement ou num´ eriquement, en accord avec les r´ esultats de l’´ equipe de Chicago, montrent qu’un en- semble de grains soumis ` a des tapes se compacte lentement (P.Philippe et al. [8], P.Philippe et al. [11], et P. Richard et al. [12]) jusqu’` a atteindre un ´ etat stationnaire (figure 3.1).

Figure 3.1 – Dynamique de compaction exp´ erimentale (gauche) et num´ erique (droite) d’un ensemble de billes de verre soumises ` a des tapes d’intensit´ e Γ. P. Philippe et al.

[8], P. Philippe et al. [11]. Chaque courbe pr´ esente l’´ evolution de la compacit´ e moyenne du pack de grains en fonction du nombre de tapes pour une intensit´ e de tape donn´ ee. La compacit´ e atteint un ´ etat stationnaire d’autant plus rapidement que l’intensit´ e des tapes est importante. Les r´ esultats num´ eriques sont obtenus par un algorithme de dilatation- red´ eposition de type ”Monte-Carlo”(P. Philippe et al., 2001 [11])

Comme le montre la figure 3.2 tir´ ee de P. Ribi` ere et al. [13] relative aux param` etres

exp´ erimentaux contrˆ olant l’´ etat stationnaire, cet ´ etat est ind´ ependant de l’´ etat initial (fi-

gure 3.21)a) et b) et les fluctuations de compacit´ e ne d´ ependent que tr` es peu de la fr´ equence

des tapes (figure 3.22)a) et b)). Cet ´ etat stationnaire est caract´ eris´ e par un seul param` etre

qui est la compacit´ e, il s’apparente ` a un v´ eritable ´ etat thermodynamique.

3.2. Dynamique de compaction et caract´ erisation de l’´ etat asymptotique 19

Figure 3.2 – 1) a) Evolution de la compacit´ e pour une mˆ eme intensit´ e de tapes pour deux ´ etats initiaux diff´ erents (compact et lˆ ache). b) Compacit´ e dans l’´ etat stationnaire en fonction de l’intensit´ e des tapes pour deux ´ etats initiaux diff´ erents

2)a) Evolution de la compacit´ e dans l’´ etat stationnaire en fonction de l’intensit´ e des tapes pour plusieurs fr´ equences d’excitation (Insert : fluctuations de compacit´ e dans l’´ etat stationnaire pour plusieurs fr´ equences d’excitation) b) Fluctuations de compacit´ e dans

l’´ etat stationnaire en fonction de la compacit´ e.

3.3 Analogie avec les milieux hors ´ equilibre. Enjeux th´ eoriques.

3.3.1 Les syst` emes hors ´ equilibre et les syst` emes vitreux

Les verres sont souvent consid´ er´ es comme des mod` eles de syst` emes hors ´ equilibre. Ils ont succit´ e de nombreuses ´ etudes depuis plusieurs dizaines d’ann´ ees et partagent des pro- pri´ et´ es avec les milieux granulaires trait´ es ici. Comme un liquide, un verre est un ensemble d´ esordonn´ e d’atomes ou de mol´ ecules mais celles ci ne bougent pas ou tr` es lentement. Lors de sa pr´ eparation, un verre est tout d’abord un liquide ` a l’´ equilibre ` a une temp´ erature sup´ erieure ` a sa temp´ erature de fusion, T

. Il subit ensuite une trempe qui l’am` ene ` a une temp´ erature inf´ erieure ` a T

. Durant ce refroidissement, les atomes ou les mol´ ecules (par exemple de silice) n’arrivent pas ` a se r´ earranger et ` a trouver un ´ etat d’´ equilibre thermody- namique. Les r´ earrangements s’effectuant sur des temps beaucoup plus longs que le temps de refroidissement (la frustration empˆ eche les particules d’´ evoluer vers la configuration d’´ energie minimale par une simple optimisation des structures locales), le verre reste dans un ´ etat m´ etastable avec une ´ evolution structurale tr` es lente vers l’´ etat d’´ equilibre. Cette transformation du liquide ` a une temp´ erature sup´ erieure ` a T

, en un verre ` a une temp´ erature inf´ erieure ` a T

, qui ne pr´ esente aucun signe de variation d’ordre local (au contraire des transitions de phase usuelles), est appell´ ee transition vitreuse. La temp´ erature de transi- tion vitreuse est d´ efinie comme la temp´ erature ` a laquelle la viscosit´ e du syst` eme atteint 10

poises alors qu’elle est de l’ordre de 0.01 ` a 1 poise pour un liquide. Le syst` eme peut donc voir sa viscosit´ e augmenter sur plus d’une dizaine d’ordres de grandeur. Lors de cette transition, les temps caract´ eristiques ainsi que la viscosit´ e divergent rapidement lorsque la temp´ erature diminue.

La figure 3.3 issue de [14] rapporte l’´ evolution de la viscosit´ e en fonction de

pour diff´ erents syst` emes vitreux. Cette figure montre deux types de comportements : Cette divergence suit une loi d’Arrh´ enius dans le cas de verres forts (droite sur la figure) : τ = τ

.exp(

) et une loi de type Vogel-Fulcher-Tammann dans le cas de verres faibles : τ = τ

.exp(

∞

) (D’Anna et Gremaud [15]). Bon nombre de mat´ eriaux pr´ esentent ”une transition vitreuse” au sens g´ en´ eral du terme, citons par exemple les suspensions collo¨ıdales, les gels, les verres de spin, les polym` eres amorphes, les verres de Coulomb

...

2. Les suspensions collo¨ıdales et les verres sont des syt`emes thermiques et il est aujourd’hui com-

mun´ement accept´e que les transitions vitreuses des collo¨ıdes et des verres structuraux sont du mˆeme type

bien que des param`etres diff´erents contrˆolent la transition : la temp´erature dans le cas des verres et la

densit´e dans le cas des suspensions collo¨ıdales.

3.3. Analogie avec les milieux hors ´ equilibre. Enjeux th´ eoriques. 21

Figure 3.3 – Evolution de la viscosit´ e de diff´ erents mat´ eriaux vitreux en fonction de

. (P.

G. Debenedetti and F. H. Stillinger [14].) Les diff´ erents symboles pr´ esentent l’´ evolution de la viscosit´ e en fonction de la temp´ erature pour diff´ erents verres. Le comportement lin´ eaire caract´ erise les verres ”forts” (SiO

et GeO

) tandis que les autres verres sont dits ”faibles”.

3.3.2 Propri´ et´ es remarquables des syst` emes hors ´ equilibre

Les syst` emes vitreux ´ evoqu´ es ci-dessus pr´ esentent des particularit´ es communes. Le pre- mier comportement qui n’est pas observ´ e dans les syst` emes ` a l’´ equilibre est l’effet m´ emoire.

Le chemin suivi par le syst` eme lors de son ´ evolution d´ epend de son ´ evolution ant´ erieure.

Une seconde caract´ eristique, ` a l’´ echelle locale cette fois, r´ eside dans une distribution non-gaussienne des d´ eplacements. Cette distribution gaussienne pourtant universelle

et si fr´ equemment rencontr´ ee dans les syst` emes ` a l’´ equilibre est prise en d´ efaut dans ces syst` emes vitreux. Par exemple, la figure 3.4 pr´ esente la distribution des d´ eplacements des particules dans une suspension collo¨ıdale obtenue par microscopie confocale. Cette distribution pr´ esente une queue large rendant compte de l’existence de grands ´ ev´ enements.

Ces syst` emes n’´ etant pas ` a l’´ equilibre, la notion de temp´ erature est mal d´ efinie ou du moins doit ˆ etre red´ efinie par rapport au cas des syst` emes ` a l’´ equilibre. Il vaut mieux consid´ erer les fonctions de corr´ elation. Des particularit´ es fondamentales apparaissent sur la relaxation de ces fonctions. L’une des grandeurs appropri´ ees pour l’´ etude de la relaxa- tion d’un syst` eme vitreux est la partie r´ eelle de la partie ”self” du facteur de structure dynamique, aussi appel´ ee fonction de Van Hove.

3. La loi gaussienne est un bassin d’attraction pour les syst`emes non correl´es ou pour des corr´elations

`a courte port´ee (cons´equence du th´eor`eme de la limite centrale).

Figure 3.4 – Distribution des d´ eplacements dans un collo¨ıde. Weeks and Weits [17].

F

(~k, t) = D

f

(~k, t) E

=

* 1 N

Nα

X

j=1

e

+

(3.1) La somme dans l’´ equation 3.1 porte sur les esp` eces du liquide consid´ er´ e et r ~

(t) cor- respond ` a la position de la particule j ` a l’instant t, f

(~k, t) est la valeur instantan´ ee du facteur de structure dynamique et les crochets d´ esignent une moyenne d’ensemble sur les configurations accessibles ` a une temp´ erature donn´ ee.

Figure 3.5 – Evolution de la partie r´ eelle de la fonction de Van Hove pour un liquide de Lennard-Jones pour diff´ erentes temp´ eratures. La temp´ erature diminue de gauche ` a droite :

T

Tg

= 2.1, 2.0, 1.05, 1.0, 0.75, 0.72, 0.61, 0.6, 0.51, 0.5, 0.47, 0.46, 0.435, 0.43. Berthier

et al. [16].

3.3. Analogie avec les milieux hors ´ equilibre. Enjeux th´ eoriques. 23 Cette fonction est repr´ esent´ ee sur la figure 3.5 pour un liquide de Lennard-Jones pour diff´ erentes temp´ eratures. La temp´ erature diminue de gauche ` a droite. Il apparait qu’` a haute temp´ erature (T > T

) la fonction d´ ecroit de fa¸con exponentielle comme dans un liquide

”classique” alors qu’au del` a de la transition vitreuse (T < T

), un ´ epaulement apparait avec un ralentissement de la dynamique. La premi` ere d´ ecroissance correspond ` a la diffusion d’une particule ` a l’int´ erieur de la cage form´ ee par ses voisins (relaxation α) tandis que la seconde relaxation correspond ` a la sortie des particules de cette cage (relaxation β). Le plateau dans ces fonctions de corr´ elation correspond ` a un gel progressif de certains degr´ es de libert´ e.

Figure 3.6 – Fonction de corr´ elation ` a 4 points, χ

(t), dans un m´ elange binaire de type Lennard-Jones. Berthier et al. [18]. La temp´ erature diminue de gauche ` a droite.

g

= 2, 1, 0.75, 0.6, 0.5, 0.47, 0.45, 0.435, 0.43.

L’augmentation des temps de relaxation observ´ ee dans ces syst` emes est ` a relier ` a une augmentation de la corr´ elation et ` a l’existence de ph´ enom` enes coop´ eratifs. La croissance d’une longueur de corr´ elation dynamique n’est pas visible sur les fonctions de corr´ elation statiques, car ce sont des fonctions calcul´ ees au mˆ eme temps. Pour montrer que la dyna- mique devient de plus en plus corr´ el´ ee ou coop´ erative en approchant la transition vitreuse, il est n´ ecessaire d’utiliser des fonctions de corr´ elations ` a 4 points qui sont une mesure directe des fluctuations dynamiques.

χ

(t, ~k) = N

[< Real(f

(~k, t))

> − Real(F

)

(~k, t)] (3.2)

La Figure 3.6 pr´ esente l’´ evolution de χ

(t) (obtenu en moyennant sur les directions et

normes de ~k) dans un m´ elange binaire de type Lennard-Jones pour diff´ erentes temp´ eratures

(la temp´ erature diminue de gauche ` a droite). L’existence d’un maximum de la fonc-

tion, χ

(t), indique une h´ et´ erog´ en´ eit´ e dans la dynamique du syst` eme. L’amplitude de ce

maximum augmente lorsque la temp´ erature diminue, ce qui montre que les longueurs ca-

ract´ eristiques des corr´ elations spatiales augmentent quand la temp´ erature s’approche de la

temp´ erature de transition vitreuse T

.

Nous verrons dans le paragraphe suivant que les milieux granulaires ont nombre de points communs avec ces syst` emes vitreux hors ´ equilibre dans lesquels des effets de frus- tration et de coop´ erativit´ e sont ´ egalement pr´ esents.

3.3.3 Les milieux granulaires comme milieux hors ´ equilibre

P.Philippe et al. [8] ont montr´ e que lors du processus de compaction,

Figure 3.7 – 1)a) Compacit´ e dans l’´ etat stationnaire en fonction de l’intensit´ e des tapes, Γ. b) Evolution du temps de relaxation τ

et du param` etre d’ajustement τ

en fonction de l’intensit´ e des tapes (les droites correspondent ` a des lois d’Arrhenius). τ

est d´ efinie par les auteurs comme le temps n´ ec´ essaire pour qu’un empilement ”oublie” sa configuration initiale. C’est le point de convergence des courbes d’´ evolution de la compacit´ e pour deux empilements de compacit´ es initiales 0.583 et 0.632. 2) Collapse des courbes d’´ evolution de la compacit´ e normalis´ ee χ =

∞−φ₀

en fonction du param` etre (

f

)

. La courbe est une exponentielle ´ etir´ ee.

L’ajustement du taux de croissance de la compacit´ e χ =

∞−φ₀

suit une loi en expo- nentielle ´ etir´ ee, χ = exp( − (

f

)

), issue de la dynamique des verres (Figure 3.7-2)), et le temps caract´ eristique associ´ e, τ

, suit une loi d’Arrhenius caract´ erisant le comportement des verres forts, τ

= τ

exp(

), (Figure 3.7-1)).

Ces r´ esultats vont dans le sens d’une analogie au niveau macroscopique entre la relaxa-

tion lente d’un milieu granulaire soumis ` a des tapes et l’´ evolution de syst` emes vitreux. Le

3.3. Analogie avec les milieux hors ´ equilibre. Enjeux th´ eoriques. 25 param` etre de contrˆ ole qui fixe le temps caract´ eristique de relaxation, τ

, est l’intensit´ e des tapes appliqu´ ees ` a l’empilement qui est ` a rapprocher de la temp´ erature dans le cas de la transition vitreuse.

A. Lefevre et al. [21] ont pouss´ e l’analogie plus loin en sugg´ erant l’existence d’h´ et´ erog´ en´ eit´ es dynamiques durant la phase de compaction via des arguments analytiques. La figure 3.8 pr´ esente l’´ evolution de χ en fonction du temps τ pour diff´ erentes origines des temps t

durant la phase de compaction. On observe une croissance du maximum de χ avec t

mon- trant une augmentation de la longueur caract´ eristique des corr´ elations spatiales durant cette phase.

Figure 3.8 – χ(t, tw) en fonction de τ = t − t

for k = 2π and t

= 6250, 12500, 25000, 50000, 100000 (de bas en haut).

Durant la phase de compaction le syst` eme vieillit et cette ´ evolution est lente. La d´ ecroissance non exponentielle extraite des fonctions de corr´ elation en est la signature et l’existence d’h´ et´ erog´ en´ eit´ es dynamiques est mise en ´ evidence par celle d’un maximum pour les fonctions de corr´ elation ` a 4 points. Le viellissement est ´ egalement l’une des ca- ract´ eristiques des syst` emes hors ´ equilibre.

La figure 3.9a) pr´ esente l’´ etude num´ erique du vieillissement d’un verre de Lennard-Jones pendant une trempe (W. Kob et al. [22]) et la figure 3.9b) pr´ esente l’´ etude exp´ erimentale du vieillissement d’un milieu granulaire satur´ e en eau soumis ` a des tapes (A. Kabla et al.

[23]). La figure a) pr´ esente l’´ evolution du facteur de structure durant la trempe en fonction du temps τ pour diff´ erentes origines des temps t

et la figure b) celle de la fonction de corr´ elation de l’intensit´ e diffus´ ee durant le suivi de l’exp´ erience par diffusion multiple de la lumi` ere pendant la phase de compaction.

Dans les deux cas, la relaxation du syst` eme pr´ esente un vieillissement avec des fonctions

de corr´ elation du second ordre qui suivent des lois en exponentielle ´ etir´ ee. Ces observations

Figure 3.9 – a) Evolution du facteur de structure dans un verre de Lennard Jones pendant une trempe (W. Kob et al. [22]). b) Evolution des corr´ elations de l’intensit´ e diffus´ ee dans une exp´ erience de tapping suivie par diffusion multiple de la lumi` ere (A. Kabla et al. [23]) renforcent l’analogie entre milieux granulaires et syst` emes thermiques hors ´ equilibre tels que les verres.

Cependant cette analogie porte-t- elle uniquement sur les propri´ et´ es macroscopiques ou porte-t-elle aussi sur les propri´ et´ es de diffusion ? S’´ etend-t-elle ` a l’´ echelle microcopique ?

G. Marty et al. [20] ont men´ e une ´ etude exp´ erimentale (Figure 3.10a)) des propri´ et´ es de diffusion et du comportement microscopique d’un milieu granulaire bidimensionnel soumis

`

a un cisaillement quasi-statique.

Les auteurs ont mis en ´ evidence ”un effet cage” dans le mouvement des grains (Figure 3.10b)), qui se manifeste dans l’´ evolution de l’´ ecart quadratique moyen (Figure 3.10c)) par une transition entre un r´ egime sous-diffusif (grain bloqu´ e dans sa cage) et un r´ egime diffusif (grain qui sort de sa cage). La distribution des d´ eplacements pr´ esente en outre un comportement non gaussien (exc` es des grands ´ ev` enements). La taille typique de ces cages est d’environ 0.3 diam` etre de grain.

O. Dauchot et al. [19] ont caract´ eris´ e la dynamique pour cette mˆ eme exp´ erience. La figure 3.11 a) pr´ esente l’´ evolution du facteur de structure pour plusieurs vecteurs d’ondes

~k. F

( ~k

, t) est parfaitement ajust´ ee par une loi en exponentielle ´ etir´ ee. L’h´ et´ erog´ en´ eit´ e dynamique peut ˆ etre l’une des raisons d’une relaxation non exponentielle de la fonction de Van-Hove. Cette hypoth` ese est v´ erifi´ ee sur la figure 3.11 b) o` u χ

(

~k

, t) est trac´ e en fonction de t pour diff´ erentes valeurs de k =

~k

. Cette fonction a une forme analogue a celle trouv´ ee dans les verres et pr´ esente un maximum qui prouve d’une part l’existence d’h´ et´ erog´ en´ eit´ es dynamiques et d’autre part que cette dynamique est corr´ el´ ee sur des temps de l’ordre de grandeur du temps de relaxation de F

(~k, t). La longueur de corr´ elation trouv´ ee est de l’ordre de 6 tailles de grain.

Des exp´ eriences sur des mat´ eriaux granulaires denses au voisinage de la transition de

”jamming” ont ´ egalement ´ et´ e r´ ealis´ ees par G. Caballero et al. [24]. L’ une de ces exp´ eriences

3.3. Analogie avec les milieux hors ´ equilibre. Enjeux th´ eoriques. 27

Figure 3.10 – Etude de la dynamique d’un milieu granulaire bidimensionnel sous cisaille- ment par G. Marty et al. [20]. a) sch´ ema du dispositif exp´ erimental. b) Trajectoire des grains pendant la sollicitation. c) Distribution des d´ eplacements et ´ evolution de l’´ ecart quadratique moyen.

Figure 3.11 – (a) F

( ~k

, t) et (b) χ

( ~k

, t) dans un milieu granulaire bidimensionnel

sous cisaillement. D’apr` es O. Dauchot et al. [19]

consiste ` a ”thermaliser” un empilement granulaire 3 D par l’injection d’ondes sonores (excitation faible qui pr´ esente l’avantage d’´ eviter les effets de bord et la convection tout en travaillant dans la ”phase vitreuse”). Les auteurs ´ etudient la dynamique de compaction et discute, ` a l’image de ce qui est fait dans les syst` emes vitreux thermiques, de la relation entre les propri´ et´ es macroscopiques et microscopiques du syst` eme. Ils montrent, en particulier, que la constante diffusive effective associ´ ees aux fluctuations macroscopique de compacit´ e augmente avec l’intensit´ e des vibrations. Il apparait ´ egalement que la diffusion de la surface libre est pluˆ ot due ` a une r´ earganisation collective macroscopique de l’empilement qu’` a des migrations individuelles de grains. La dynamique microscopique est caract´ eris´ ee par des m´ ethodes de diffusions multiples de la lumi` ere qui permet aux auteurs de remonter au d´ eplacement quadratique moyen des grains dans l’empilement. Ces mesures permettent alors de relier l’´ evolution du coefficient de diffusion effectif macroscopique au d´ eplacement moyen des grains ` a l’´ echelle microscopique. Un model th´ eorique reste cependant encore ` a trouver pour lier ces deux quantit´ es.

3.4 Ouverture

Nous avons vu que l’´ etat stationnaire de compaction est analogue ` a un v´ eritable ´ etat thermodynamique bien d´ efini. Des ´ etudes sugg` erent l’existence de corr´ elation spatiales pendant la compaction. Qu’en est-il dans l’´ etat stationnaire ?. Puisque celui-ci est bien d´ efini, y a t-il une analogie entre l’intensit´ e des tapes dans un ensemble de grains soumis ` a des tapes et la temp´ erature dans un syst` eme vitreux ? C’est l’une des questions ` a laquelle j’ai tent´ e de r´ epondre pendant mon travail de th` ese.

Les milieux granulaires soumis ` a une autre forme de sollicitation partagent-ils des pro-

pri´ et´ es communes ? Existe-t-il un lien entre la transition vitreuse et la transition de jam-

ming d’un empilement de grains inclin´ es ?

Chapitre 4

Etat de l’art sur la r´ eponse d’un milieu granulaire soumis ` a une inclinaison

4.1 Int´ erˆ ets

L’´ etude de la stabilit´ e d’un ensemble de grains soumis ` a la gravit´ e touche de nombreux domaines. L’un d’eux, d´ ej` a cit´ e, est la stabilit´ e des sols (glissement de terrains, compaction des sols, stabilit´ e des constructions sur terrains meubles, etc...). Mais elle en touche bon nombre d’autres tels que la pr´ ediction des catastrophes, la gestion et la prevention des risques d’avalanche, la gestion des infrastructures en terrain vallon´ e, ou bien encore l’´ etude de la g´ eomorphologie.

Figure 4.1 – a) Avalanche de d´ ebris dans un vallon ; Piau Engaly, Pyr´ en´ ees, France. b) Ecoulement (grainflow) de sable au flanc d’une dune. Images tir´ ees de www2.ulg.ac.be/geolsed/processus/processus.htm

29

Figure 4.2 – a) Avalanche sur la plan` ete Mars (source : NASA/JPL-Caltech/Univ. of Arizona). b) Un glissement de terrain catastrophique sur environ 1,5 km dans une vall´ ee tributaire de la rivi` ere Halfway (Canada) (source : Commission g´ eologique du Canada

.

En lien avec le chapitre pr´ ec´ edent, la r´ eponse d’un milieu granulaire ` a une inclinaison peut ˆ etre vue comme une transition de d´ eblocage (unjamming) faisant passer l’assembl´ ee de grains d’un ”´ etat solide” ` a un ”´ etat liquide” o` u les grains s’´ ecoulent. A l’image des ´ etudes men´ ees sur les transitions de phase usuelles, il est important d’identifier (s’il existe...) le pa- ram` etre d’ordre qui contrˆ ole la transition d’un ´ etat solide du tas ` a un ´ etat dit d’´ ecoulement et essayer de la classifier (voir chapitre pr´ ecedent). Les paragraphes suivants pr´ esentent les travaux ant´ erieurs men´ es par de nombreuses ´ equipes afin d’identifier ces param` etres perti- nents.

4.2 Observations exp´ erimentales.

Lors de l’inclinaison d’une assembl´ ee de grains, la composante tangentielle du poids aug- mente ce qui induit un cisaillement sur l’ensemble du tas. Les dispositifs exp´ erimentaux utilis´ es pour ´ etudier ce ph´ enom` ene sont g´ en´ eralement de deux types : les tambours tour- nants et les plans inclin´ es.

Dans la suite, nous nous int´ eresserons d’avantage au d´ eclenchement d’avalanches sur des plans inclin´ es. Ce choix se justifie par le fait que la succession d’avalanches dans un tambour tournant l’am` ene dans un ´ etat stationnaire hors ´ equilibre (o` u les avalanches successives d´ ependent des pr´ ec´ edentes). Les plans inclin´ es sont mieux adapt´ es ` a l’´ etude de la transition de ”jamming” d’une assembl´ ee de grains. La plupart des exp´ eriences consistent ` a incliner un milieu granulaire et ` a observer la dynamique du syst` eme avant que le syst` eme ne se mette ` a s’´ ecouler ` a un angle, appel´ e angle d’avalanche θ

. Apr` es l’avalanche, l’angle du tas a diminu´ e et est appel´ e angle de repos, θ

.

Bien que nous nous placons dans une configuration sur plan inclin´ e, une ´ etude en tam-

4.2. Observations exp´ erimentales. 31

Figure 4.3 – a) Dispositif de type plan inclin´ e. b) Dispositif de type tambour tournant. Ces deux g´ eom´ etries sont les plus classiques pour l’´ etude de la r´ eponse d’un milieu granulaire soumis ` a la gravit´ e.

bour tournant men´ ee par R. Fisher et al. [25, 26] pr´ esente des r´ esultats importants. Les au- teurs observent une transition d’un r´ egime d’avalanches discretes ` a un r´ egime d’´ ecoulement continu en faisant varier le param` etre de contrˆ ole qu’est la vitesse de rotation du tambour.

Cette transition se fait par intermittence avec l’apparition progressive (dans un intervalle de vitesse angulaire donn´ e) d’´ ev` enements associ´ es ` a l’un des r´ egimes dans l’autre r´ egime.

Cette ´ etude souligne l’importance des fluctuations sur la dynamique du syst` eme au voisi- nage de l’angle maximum de stabilit´ e. En particulier, la prise en compte d’une dissipation dependant des fluctuations permet aux auteurs d’expliquer cette transition. Les r´ esultats de cette ´ etude peuvent ˆ etre pertinents pour comprendre le rˆ ole des fluctuations, du ”bruit”

et de la dissipation sur la dynamique d’un tas de grains sous inclinaison avant l’angle d’avalanche.

4.2.1 Influences des diff´ erents param` etres sur l’angle maximum de stabilit´ e

Quelques unes des ´ etudes men´ ees sur la limite de stabilit´ e d’un ensemble de grains rev` elent l’importance de plusieurs param` etres, notamment :

– la fraction volumique. [32, 33]

– le nombre de couches de grains. [31, 32]

– l’humidit´ e. [31]

– la rugosit´ e du fond. [34]

Il apparaˆıt que l’angle d’avalanche augmente avec la fraction volumique initiale de

l’empilement de grains. Les figures 4.4 1) et 2) montrent que les empilements initialement

denses sont plus stables que ceux initialement lˆ aches et donnent lieu ` a des avalanches plus

importantes.

Figure 4.4 – 1) Influence de la fraction volumique initiale sur a) l’angle maximum de sta-

bilit´ e et sur b) la taille des avalanches en fonction du nombre d’avalanches pour diff´ erentes

densit´ es initiales du pack. D’apres P. Evesque et al. [33]. 2) Angle maximum de stabilit´ e,

θ

, et diff´ erence entre l’angle d’avalanche et l’angle de repos, δ, en fonction de la taille

des avalanches pour des empilements initialement lˆ aches (loose packing) et denses (dense

packing). D’apr` es M. A. Aguirre et al. [32].

4.2. Observations exp´ erimentales. 33 Des ´ etudes sur l’influence du nombre de couches de grains et sur celle de la rugosit´ e du fond [31, 34] montrent que (figure 4.5) pour les petites hauteurs (moins de 10 tailles de bille) la stabilit´ e du syst` eme est affect´ ee par la rugosit´ e du fond. Pour des hauteurs plus grandes, l’angle maximum de stabilit´ e ne d´ epend plus de la hauteur. Pour les petites hauteurs, l’angle d’avalanche diminue lorsque le nombre de couches augmente.

Figure 4.5 – 1) Angle d’avalanche (carr´ es) et angle de repos (triangles) en fonction du nombre de couches du pack. symboles pleins : billes de verre. symboles vides : grains en quartz. D’apr` es M. A. Aguirre et al. [31]. 2) Variation de l’angle maximum de stabilit´ e en fonction du nombre de couches du pack (cercles). D’apr` es O. Pouliquen et al. [34].

Enfin, les milieux granulaires sont influenc´ es par l’humidit´ e. En effet, pour de fortes teneurs en eau, des interactions de type ponts liquides ou ´ electrostatiques peuvent ap- paraˆıtre entre les grains donnant lieu ` a des effets coh´ esifs. La figure 4.6 ci-dessous tir´ ee des exp´ eriences de M. A. Aguirre et al. [31] montre que l’angle maximum de stabilit´ e d´ epend de l’humidit´ e. Celui-ci augmente avec l’humidit´ e ` a cause de ces effets coh´ esifs.

La transition ”solide-liquide” lors d’une avalanche d´ epend de la compacit´ e, param` etre

important dans la description des effets coop´ eratifs. Enfin les effets de confinement (nombre

de couches, g´ eom´ etrie, effets des parois) jouent un rˆ ole pr´ epond´ erant au voisinage de la

transition o` u la longueur de corr´ elation augmente. Par exemple, des ´ etudes de S. Courrech

Du Pont et al. [35] et de Boltenhagen et al. [36] montrent que la pr´ esence de parois lat´ erales

augmente la stabilit´ e d’un tas. Des mod` eles qui prennent en compte la redistribution d’une

partie du poids sur les parois par la formation d’arches sont en accord avec ces observations.

Figure 4.6 – Angle d’avalanche en fonction du nombre de couches du pack pour des

syst` emes de degr´ es d’humidit´ e diff´ erents. 70 pour cent pour les carr´ es et 50 pour cent pour

les cercles. D’apr` es M. A. Aguirre et al. [31].

4.2. Observations exp´ erimentales. 35

4.2.2 Dynamique de r´ earrangements avant l’avalanche.

Bretz et al. [27] ainsi que Nerone et al. [28] ont ´ etudi´ e la dynamique d’un mileu gra- nulaire 3D compos´ e de billes de verre, d’un diam` etre de l’ordre du mm, avant l’avalanche.

Ces exp´ eriences consistent ` a incliner un bac rempli de billes de verre ` a des vitesses lentes, de l’ordre du degr´ e par minute (pour ˆ etre dans un r´ egime quasistatique) et ` a suivre la dynamique des r´ earrangements avant l’avalanche.

Figure 4.7 – a) Nombre d’´ ev` enements, N, entre deux avalanches successives en fonction de t =

. D’apr` es Bretz et al. [27]. b) Nombre d’´ ev` enements, n, avant la premi` ere avalanche en fonction de l’angle d’inclinaison. D’apr` es Nerone et al. [28]

Les figures 4.7a) et 4.7b) issues de Bretz et al. [27] et Nerone et al. [28] montrent

l’´ evolution du nombre total de r´ earrangements (cumul´ es) ` a la surface du pack avant une

avalanche. Bretz et al. [27] pr´ esentent l’´ evolution de ce nombre en fonction d’une variable

r´ eduite t =

o` u T est le temps, T c temps auquel l’avalanche se produit et T r le temps

qui marque la fin de l’avalanche pr´ ec´ edente. Bretz et al. [27] ´ etudient ainsi la dynamique

entre deux avalanches successives contrairement ` a Nerone et al. [28] qui ´ etudient la dyna-

mique avant la premi` ere avalanche. Bretz et al. [27] observent une ´ evolution logarithmique

du nombre de r´ earrangements en fonction du temps alors que Nerone et al. [28] observent

une ´ evolution lin´ eaire. La dynamique plus lente du premier cas provient probablement de

l’histoire du syst` eme, celui ci a subi pr´ ealablement une avalanche qui a stabilis´ e le syst` eme

(contrairement au cas de Nerone et al.). Nous montrerons dans la suite que l’histoire du

tas ainsi que sa pr´ eparation ont une grande influence sur la dynamique d’un pack de grains soumis ` a la gravit´ e. Dans les deux cas, les auteurs observent tout d’abord un transitoire o` u les grains dans des positions instables ` a l’´ etat initial se stabilisent et observent un ralentissement du taux de r´ earrangements juste avant l’avalanche.

Nerone et al. [28] montrent (figure 4.8 ) que cette diminution du nombre de r´ earrangements est accompagn´ ee d’une augmentation de leur taille

. Ces r´ earrangements de grande dimen- sion (de l’ordre de grandeur de la taille du pack), non observ´ es par Bretz et al. [27] entre deux avalanches, sont appel´ es ”pr´ ecurseurs d’avalanche” par leurs auteurs et apparaissent de fa¸con quasi-p´ eriodique. Ces auteurs montrent ´ egalement que la pseudo-p´ eriode d´ epend fortement du nombre de couches du pack (lien structure-dynamique) et augmente avec elle jusqu’` a une valeur seuil.

Figure 4.8 – Evolution du nombre de grains rearrang´ es, s, en fonction de l’angle d’incli- naison. D’apr` es Nerone et al. [28].

En ce qui concerne les distributions de la taille des ´ ev` enements, Bretz et al. [27] ob- servent une loi de puissance contrairement ` a Nerone et al. [28] qui observent une coupure pour les grands ´ ev` enements (Figure 4.9).

Nous discuterons dans un prochain chapitre de l’interˆ et et des enjeux de la d´ etermination de ces distributions et de la caract´ erisation de la dynamique du syst` eme avant l’avalanche.

4.3 Approches th´ eoriques

Afin de pr´ edire l’´ etat critique pour lequel l’avalanche a lieu, les approches habituelles sont de trois types : d’abord une approche de type milieu continu en consid´ erant le tas

1. La taille ici correspond au nombre de grains mis en jeu dans l’´ev`enements

4.3. Approches th´ eoriques 37

Figure 4.9 – a) Distribution de la taille des r´ earrangements dans l’exp´ erience de Bretz et al. [27]. b)Distribution de la taille des r´ earrangements dans l’exp´ erience de Nerone et al.

[28].

comme un solide et en tentant de pr´ edire l’avalanche en introduisant des crit` eres de rupture (type Mohr-Coulomb), puis des mod` eles ph´ enom´ enologiques pr´ esentant des comportements critiques auto-organis´ es, enfin en adoptant des m´ ethodes de type dynamique mol´ eculaire ou dynamique des contacts pour simuler le comportement d’une assembl` ee de sph` eres soumises

`

a la gravit´ e.

4.3.1 Approche milieu continu : Mod` ele de type ”Granta Gravel”

P. Evesque [37] s’est inspir´ e du mod` ele de ”Granta Gravel” [38] pour proposer une approche th´ eorique des avalanches de billes avec les hypoth` eses suivantes :

– Les billes sont consid´ er´ ees comme rigides.

– Existence de pertes par frottement solide.

– Pr´ esence de d´ eformations plastiques.

– Effets de dilatance.

L’auteur montre que la taille des avalanches est contrˆ ol´ ee par la diff´ erence entre la densit´ e d de l’empilement et une densit´ e critique d

. Lorsque d = d

, les pertes peuvent ˆ etre dissip´ ees localement et le processus d’avalanche peut pr´ esenter des fluctuations critiques.

Pour d > d

, la th´ eorie pr´ edit des avalanches macroscopiques et une transition du premier ordre.

Dans ce mod` ele, la d´ eformation du milieu granulaire apparaˆıt lorsque la contrainte

appliqu´ ee au milieu d´ epasse un seuil plastique et l’´ energie perdue est alors dissip´ ee par

frottement solide ` a travers un coefficient de friction independant de la compactivit´ e du

mat´ eriau.

Figure 4.10 – Approche de type ”Granta Gravel” pour les avalanches. Les forces p et q sont appliqu´ ees sur la partie inf´ erieure du pack par la partie sup´ erieure de hauteur h.

Le milieu granulaire est suppos´ e homog` ene de densit´ e constante et est inclin´ e d’un angle θ par rapport ` a l’horizontale. Comme indiqu´ e sur la figure 4.10, l’auteur consid` ere un plan (P) parall` ele ` a la surface libre et distant d’une hauteur h de celle-ci. Les forces p et q sont respectivement les forces normales et tangentielles appliqu´ ees par la partie sup´ erieure du pack sur la partie inf´ erieure d´ elimit´ ee par le plan (P). Une perturbation du milieu d´ efinie par

(p, q,

,

) → (p + δp, q + δq,

+ δ

,

+ δ

) (4.1) o` u δp,δq sont des perturbations de p et q qui entrainent une d´ eformation plastique du milieu ` a l’origine d’une variation de volume δ

perpendiculaire au plan (P) et δ

parall` ele

` a (P).

Un crit` ere de stabilit´ e issu de la th´ eorie plastique des milieux isotropes :

δp.δ

+ δq.δ

≤ 0 (4.2)

associ´ e ` a un crit` ere ´ energ´ etique :

p.δ

+ q.δ

= M.p. | δ

| (4.3)

o` u M est le coefficient de frottement solide du milieu, permet de pr´ edire l’existence d’un ´ etat critique (p

, q

= M.p

) pour lequel δ

= 0 ( le volume et la densit´ e d restent constants).

Si M.p > q alors δ

> 0 : le syst` eme se compactifie et la densit´ e d augmente, le milieu arr` ete de se d´ eformer spontan´ ement si l’angle d’inclinaison cesse d’augmenter.

Si M.p < q alors δ

< 0 : le syst` eme se dilate et la densit´ e d d´ ecroit, la d´ eformation

ne peut pas ˆ etre amortie par la dissipation. Une avalanche se d´ eveloppe.