Feuilletage à feuilles compactes

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Preprint submitted on 12 Jul 2015

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Feuilletage à feuilles compactes

Daniel Barlet

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Daniel Barlet. Feuilletage à feuilles compactes. 2015. �hal-01175721�

Feuilletage ` a feuilles compactes.

Daniel Barlet

. 12/07/15

Abstract. We describe any complex rank n foliation F of a reduced complex spaceM in the case where through each point there exists a compactn−dimensional cycle tangent toF.

AMS Classification 2010. 32 C 25- 32 G 10- 32 L 99.

Key words. Complex Foliation- Cycle tangent to a Foliation-

Contents

1 Introduction. 1

2 Cycle tangent `a un feuilletage. 2

3 D´emonstration du th´eor`eme et de son corollaire. 4

4 R´ef´erences. 7

1 Introduction.

La pr´esente note r´epond `a une question que m’a pos´e Fr´ed´eric Campana et je tiens

`a l’en remercier. La question est d’essayer de d´ecrire un feuilletage complexe de rang n d’une vari´et´e complexe admettant par chaque point une feuille compacte de dimension n. Le r´esultat assez g´en´eral suivant donne un corollaire qui r´epond essentiellement `a la question pos´ee.

∗Barlet Daniel, Institut Elie Cartan UMR 7502

Universit´e de Lorraine, CNRS et Institut Universitaire de France, BP 239 - F - 54506 Vandoeuvre-l`es-Nancy Cedex.France.

e-mail : daniel.barlet@univ-lorraine.fr

Th´eor`eme 1.0.1 Soit M un espace complexe irr´eductible de dimension m, et soit F ⊂ TM un feuilletage ´eventuellement singulier de rang g´en´eriquen. Supposons que par chaque point deM il passe au moins unn−cycle compact irr´eductible (donc non vide) tangent `aF. Alors il existe un ferm´eF deM de(2m−1)−mesure de Hausdorff nulle, une application holomorpheπ :G→M d’un espace complexe irr´eductible G, qui est un isomorphisme au dessus deM \F et une application holomorphe propre, surjective et n−´equidimensionnelle pr: G→Γ sur un espace complexe irr´eductible Γ telle que pour chaque x ∈ M \F la fibre ensembliste pr⁻¹(pr(x)) soit compacte, g´en´eriquement irr´eductible et tangente au feuilletage π⁻¹(F) de G.

Remarque. Comme l’application holomorphepr:G→Γ est ouverte, l’application holomorphe

pr:M \F →Γ

est holomorphe etn−´equidimensionnelle sur un ouvert de Γ. Ses fibres sont g´en´eriquement des ouverts denses dans des sous-ensembles analytiques compacts g´en´eriquement irr´eductibles de dimension n deM qui sont tangents au feuilletage F.

Ce dernier apparaˆıt donc comme un prolongement `a M du fibr´e tangent vertical `a un morphisme n−´equidimensionnel sur un ouvert dense deM.

Le r´esultat plus pr´ecis suivant s’applique en particulier quand M est lisse et F est de rang constant.

Corollaire 1.0.2 Supposons, dans la situation du th´eor`eme, que, de plus, M ad- mette un ouvert non videΩqui soit r´eunion de feuilles compactes connexes de dimen- sion n de F qui ne rencontrent ni le lieu singulier de M ni le sous-ensemble analy- tique singulier deF<sup>1</sup>. Alors il existe un sous-ensemble analytique ferm´eT d’int´erieur vide deΓ tel queG\pr<sup>−1</sup>(T)soit isomorphe via π `a un ouvert dense deM. Dans ce cas, la restriction deπ⁻¹(F)`aG\pr⁻¹(T)s’identifie g´en´eriquement au fibr´e tangent vertical du morphisme propre et n−´equidimensionnel pr :G\pr⁻¹(T)→Γ\T.

2 Cycle tangent ` a un feuilletage.

Pour les pr´ecisions sur les ´ecailles adapt´ees, les graphes multiformes et le lien avec les familles analytiques de cycles on pourra consulter [B.75] ou [B-M 1].

Pour les pr´ecisions sur les classifiants isotropes on pourra consulter [B.75] en atten- dant [B-M 2].

Commen¸cons par la d´efinition d’un cycle tangent `a un feuilletage (l’int´egrabilit´e ne semble mˆeme pas utile ici !).

1c’est-`a-dire le sous-ensemble analytique ferm´e minimal en dehors duquelFest localement libre de rangn.

D´efinition 2.0.1 Soit M un espace complexe r´eduit et soit F un feuilletage complexe (´eventuellement singulier) sur M. Soit X un cycle de M. On dira que X est tangent au feuilletage F si la condition suivante est v´erifi´ee :

• Pour tout ouvert W de M et tout ω ∈Γ(W,Ω¹_M) qui v´erifie < ω, σ >= 0 pour tout σ ∈ Γ(W,F), la restriction de ω `a |X| ∩W est de torsion sur

|X|.

Remarques.

i) On notera que cette notion est locale sur le support |X| du cycle X et qu’il suffit de la v´erifier sur un ouvert non vide de chaque composante irr´eductible du cycle.

ii) Si l’on suppose qu’au voisinage d’un point non singulier x₀ deM le feuilletage est de rang constant ´egal `a n, alors, sous nos hypoth`eses, F est int´egrable au voisinage dex₀ et une condition n´ecessaire et suffisante pour que len−cycle X soit tangent `a F au voisinage de x₀ est que |X| soit contenu au voisinage de x₀ dans la feuille passant par x₀.

Notations. Soient U^′ ⊂⊂ U et B des polydisques relativement compacts de Cⁿ et C^p respectivement et fixons un entier positif k. Nous noterons par ΣU,U^′(k) l’ensemble analytique banachique qui classifie les morphismes

S×U¯ →Sym^k(B)

qui v´erifient la condition d’isotropie sur S×U¯^′, o`u S d´esigne un ensemble analytique banachique. Rappelons que l’on a un hom´eomorphisme holomorphe

Σ_U,U^′(k)→H( ¯U ,Sym^k(B))

et que la condition d’isotropie se traduit par l’holomorphie en s∈S des applications T_mⁱ :S×U^′ →L(Λⁱ(C^p),Λⁱ(Cⁿ))⊗ S^m(C^p) m∈[0, k−1]

donn´ees par les traces des formes diff´erentielles (`a valeurs vectorielles) (s, t)7→ T r_(Xs/U^′)[x^m⊗dxⁱ](t) ∀m∈[0, k−1],∀i≤inf(n, p).

On dispose alors pour toute q−forme holomorphe ω sur un voisinage ouvert W de ¯U ×B¯ d’une application holomorphe

T r_X/U′ : ΣU,U^′(k)→H( ¯U^′,Ω^qCⁿ) = H( ¯U^′,C)⊗Λ^q(Cⁿ)^∗

qui `a X ∈ΣU,U^′(k) associe la q−forme holomorphe donn´ee par la trace de ω pour la projection de X sur U.

Proposition 2.0.2 Soient M un espace complexe r´eduit, F un feuilletage sur M ´eventuellement singulier et que l’on ne suppose pas int´egrable. Soit n un entier et soit Z_Fⁿ le sous-ensemble des n−cycles compacts de M qui sont tangents `a F. Alors Z_Fⁿ est un sous-ensemble analytique ferm´e de Cn(M) l’espace analytique r´eduit desn−cycles compacts de M.

Remarque. On obtient de la mˆeme fa¸con un r´esultat analogue pour l’espace C_n^loc(M), en convenant qu’un sous-ensemble analytique ferm´e de C_n^loc(M) est, par d´efinition, un sous-ensemble ferm´e Y tel que pour toute application holomorphe² f : S → C_n^loc(M) d’un espace complexe r´eduit S, l’image r´eciproque f⁻¹(Y) est analytique dans S. Il en va de mˆeme pour l’espace C_n^f(M) des n−cycles de type fini introduit dans [B.08].

preuve. Elle est cons´equence imm´ediate du lemme local suivant.

Lemme 2.0.3 Soient U^′ ⊂⊂ U et B des polydisques relativement compacts de Cⁿ et C^p respectivement et fixons un entier positif k. Soit W un voisinage ouvert de U¯×B¯ et soit ω une 1−forme holomorphe sur W. Alors le sous-ensemble Z_ω de ΣU,U^′(k) form´e de l’image r´eciproque des X ∈ H( ¯U ,Sym^k(B)) qui v´erifient que la restriction de ω `a |X| soit de torsion est un sous-ensemble analytique banachique ferm´e de ΣU,U^′(k).

preuve. Montrons que Z_ω co¨ıncide avec le lieu des z´eros de l’application suivante:

Soit V l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´es ≤k−1 sur C^p, et soit g₁, . . . , g_Q une base de cet espace vectoriel form´ee de puissances de formes lin´eaires. Posons alors

⊕^Q_q=1 T r_/U′(g_q.ω) : ΣU,U^′(k)→H( ¯U^′,Ω¹Cⁿ⊗C^Q) =H( ¯U^′,C)⊗(Cⁿ)^∗⊗C^Q l’application donn´ee par les traces des formes g_q.ω. Si X s’envoie sur 0 par cette application, consid´erons une forme lin´eaire l sur C^p qui s´epare g´en´eriquement les points des fibres de la projection de |X| sur U. Alors l’annulation des traces sur X des formes l^q.ω, q ∈[0, k−1] entraine l’annulation de ω sur un ouvert dense de |X|. Donc X est bien dans Z_ω. La r´eciproque est ´evidente, puisque la trace d’une forme de torsion sur X est nulle sur U. Il nous suffit alors de montrer que l’application consid´er´ee est holomorphe, ce qui est d´emontr´e dans [B. 75] chapitre

III et aussi dans [B-M 1] ch.IV th. 5.1.4.).

Remarque. Ce lemme est encore vrai pour une q−forme ω holomorphe sur W pour tout q∈[0, n].

3 D´ emonstration du th´ eor` eme et de son corol- laire.

Donnons deux lemmes simples qui seront utiles pour la d´emonstration du th´eor`eme.

Lemme 3.0.1 SoitM etN deux espaces complexes irr:’eductibles de mˆeme dimen- sion. SupposonsN normal et soit π:M →N une application holomorphe injective.

Alorsπ est un plongement ouvert de M dans N.

2Ceci correspond `a la notion de famille analytique introduite dans [B. 75].

Preuve. Montrons que π est ouverte. Comme π est localement propre (et finie), l’´egalit´e des dimensions permet de conclure. La normalit´e deN implique queπ est

un isomorphisme de M sur l’ouvert π(M) de N.

Lemme 3.0.2 Soit M un espace complexe irr´eductible de dimension m et soit F un ferm´e de M qui est de (2m−1)−mesure de Hausdorff nulle. Alors M \F est irr´eductible.

Preuve. Ce r´esultat est cons´equence du lemme 8 de [Bishop] et de ce lemme en dimension complexe 1 qui est un exercice ´el´ementaire (il s’agit de voir qu’un ferm´e totalement discontinu ne disconnecte pas un disque ouvert).

D´emonstration du th´eor`eme. Soit S la r´eunion du lieu non normal de M et du sous-ensemble analytique ferm´e de M en lequel les fibres de F ne sont pas de rang n. Alors pour s ∈ M \S on a unicit´e du n−cycle compact irr´eductible X(x) tangent `aF et passant parx. On a donc une application X :M\S → Cn(M).

Soit ∆ le sous-ensemble analytique ferm´e (voir la proposition 2.0.2) deCn(M) form´e desn−cycles compacts deMtangents `aF et soit (∆ν)ν∈N la famille d´enombrable des composantes irr´eductibles de ∆ dont le cycle g´en´erique est irr´eductible. Notons que l’applicationX d´efinie ci-dessus prend ses valeurs dans∪ν∈N ∆ν. SoitG<sub>ν</sub> ⊂∆ν×M le graphe de la famille tautologique den−cycles compacts deM param´etr´ee par ∆ν. La projection π<sub>ν</sub> :G<sub>ν</sub> →M est alors `a fibres discr`etes au dessus de l’ouvert M \S, puisque nous avons suppos´e que pour chaquex ∈M il existe au moins un n−cycle compact irr´eductible tangent `a F et que pour x ∈ M \S ce cycle est unique et

´egal `a X(x). On en d´eduit l’alternative suivante pour ν ∈ N, et nous noterons N₁ l’ensemble desν ∈N correspondants au cas 1 et N₂ celui correspondants au cas 2 : 1. ou bien l’ouvert G^′_ν := π⁻_ν¹(M \S) est de dimension m := dimCM et la

restriction de π_ν `a G^′_ν est l’inclusion d’un ouvert dans M\S;

2. ou bien l’image F_ν^′ par π_ν de l’ouvert G^′_ν := π_ν⁻¹(M \ S) est une r´eunion d´enombrable de sous-ensembles analytiques localement ferm´es et d’int´erieur vide dansM \S.

En effet, dans le premier cas on a un morphisme injectif d’un espace complexe irr´eductible dans un espace complexe normal de mˆeme dimension, ce qui est n´ecessairement l’inclusion d’un ouvert d’apr`es le lemme 3.0.1; dans le second cas le fait que l’application soit injective montre que localement en haut on a un morphisme propre et in- jectif dans un ouvert. Donc on peut recouvrir G^′_ν par une famille d´enombrable d’ouverts dont l’image par π_ν est un sous-ensemble analytique localement ferm´e et d’int´erieur vide dans M \S. Notons qu’il en r´esulte que chaque F_ν^′ pour ν ∈ N₂ a une (2m−1)−mesure de Hausdorff nulle.

Notons M^′ l’ouvert ∪ν∈N₁ π_ν(G^′_ν) et F := M \M^′. Alors F est ferm´e dans M et l’on a F ⊂ S ∪ ∪_ν∈N2 F_ν^′

. Comme S ainsi que chaque F_ν^′ pour ν ∈ N₂ a une

(2m−1)−mesure de Hausdorff nulle,F a une (2m−1)−mesure de Hausdorff nulle.

Ceci implique que l’ouvertM^′ de M est dense et connexe d’apr`es le lemme 3.0.2.

Montrons maintenant que N₁ a exactement un ´el´ement. Comme on sait que M^′ est connexe et r´eunion des ouverts non vides M_ν := π_ν(G^′_ν) pour ν ∈ N₁, il suffit de montrer que ces ouverts sont deux `a deux disjoints pour conclure. Soit donc x∈M<sub>ν1</sub> ∩M<sub>ν2</sub> o`u l’on supposeν₁ 6=ν₂ avec ν₁, ν₂ dans N₁. Comme M_νi est ouvert pouri= 1,2,M_ν1∩Mν₂ est un voisinage ouvert dexet il existe alors des ouverts non vides dans ∆ν₁ et ∆ν₂ au-dessus desquels les fibres de π_ν1 et π_ν2 sont irr´eductibles et remplissent un ouvert non vide dansM_ν1 ∩M_ν2 contenu dans M \S.

Ceci montre que pourydans un ouvert non vide deM_ν1∩M_ν2 les fibres deπ_ν1 etπ_ν2 en π_ν1(y) et π_ν2(y) (qui sont irr´eductibles et sans multiplicit´es) co¨ıncident comme cycles; on a donc ∆_ν1 = ∆_ν2 c’est-`a-dire ν₁ =ν₂. Contradiction.

Donc N₁ n’a, au plus, qu’un seul ´el´ement et N₁ ne peut ˆetre vide puisque les M_ν^′, ν ∈ N recouvrent M \S. Si ν₁ est l’unique ´el´ement de N₁ on a un isomor- phismeπ_ν1 :G^′_ν

1 ∩π_ν⁻¹

1 (M^′)→ M^′ et une application holomorphe propre surjective etn−´equidimensionnelle pr:G_ν1 →∆ν₁. On conlut la preuve en posant G:=G_ν1, π:=π_ν1, Γ := ∆ν₁ etpr:G→Γ la projection de G_ν1 sur ∆ν₁. . Preuve du corollaire. Soit S la r´eunion du lieu singulier de M et du sous- ensemble analytique ferm´e le long duquelF n’est pas localement libre de rang n. Le sous-ensembleT des points de Γ pour lesquels le cycle correspondant rencontreS ou n’est pas r´eduit est analytique ferm´e (le second ´etant d’int´erieur vide par hypoth`ese).

Comme l’ouvert M \F construit dans le th´eor`eme est dense, il rencontre l’ouvert non vide Ω dont on a suppos´e l’existence dans l’hypoth`ese du corollaire. Au point g´en´erique x de cette intersection, la feuille compacte connexe de F passant par le point x co¨ıncide avec le support du cycle compact irr´eductible pr⁻¹(pr(x)), o`u l’on identifie iciM\F `a son image r´eciproque dansG. Ceci montre que le sous-ensemble analytique ferm´e T de Γ est d’int´erieur vide dans Γ puisque Γ est irr´eductible par d´efinition. Il suffit alors, pour conclure, de constater que la restriction deπ :G→M

`a l’ouvert de Zariski denseG\pr⁻¹(T) est injective, puisque M \S est lisse et que donc le seul sous-ensemble compact connexe passant par un point deM\S tangent

`aF est la feuille compacte connexe deF passant par ce point .

4 R´ ef´ erences.

• [B.75] Barlet, D.Espace analytique r´eduit· · · S´eminaire F.Norguet 1974-1975, L.N. 482 (1975), p.1-158.

• [B.08] Barlet, D. Reparam´etrisation universelle de familles f-analytiques de cycles et th´eor`eme de f-aplatissement g´eom´etrique Comment. Math. Helv. 83 n^o4 (2008) p.869-888.

• [B-M 1] Barlet, D. et Magnusson, J.Cycles analytiques complexes I : th´eor`emes de pr´eparation des cycles, Cours Sp´ecialis´es 22, Soci´et´e Math´ematique de France 2014.

• [B-M 2] Barlet, D. et Magnusson, J. Cycles analytiques complexes II, livre en pr´eparation.

• [Bishop] Bishop, E.Conditions for the analyticity of certain sets, Mich. Math.

J. 11 (1964) p. 289-304.