1.2 Forme cartésienne

Résumé – Vecteurs

1 Vecteurs

1.1 Définitions

Unvecteur~vest une quantité orientée. Un vecteur a les trois caractéristiques suivantes :

Longueur : k~vk

Direction : droite qui supporte le vecteur Sens : le sens de parcourt de la droite support

Même longueur sens et direction

différents

Même longueur, Même direction sens différents

Même direction Même sens Longueur différentes

Deux vecteurs sont égaux quand ils ont la même longueur, la même direction et le même sens.

Note : on peut penser à un vecteur comme à undéplacement qui n’a pas d’origine spécifiée. Tous les vecteurs suivants sont égaux car ils ont la même longueur, la même direction et le même sens.

1.2 Forme cartésienne

La forme cartésienne d’un vecteur~vest la suivante :

~v= (v₁,v2)dansR² ~v= (v₁,v2,v₃)dansR³

Les nombresv1,v₂,v3, etc, sont lescomposantesdu vecteur~v.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

~v=(2,3) v₁=2

v₂=3

1.3 Vecteurs de base

DansR²:~i= (1,0),~j= (0,1)

DansR³:~i= (1,0,0),~j= (0,1,0),~k= (0,0,1)

~i

~j

~i

~j

~k

x z y

Prop

(v₁,v2,v₃) =v1~i+v2~j+v3~k

1.4 Forme polaire

k~vk= longueur de~v θ~v= angle de~v

k~vk

θ~v

~v=k~vk∠θ~v

1.4.1 Forme cartésienne à polaire Si~v= (v₁,v₂),

longueur =k~vk angle =θ~v=arctan

v₂ v₁

k~vk

θ~v

v₁ v2

1.4.2 Forme polaire à cartésienne

Si~v=k~vk∠θ, alors

v₁=k~vkcos(θ), v₂=k~vksin(θ).

1

k~vk

θ~v

k~vkcos(θ_~v)

k~vksin(θ_~v)

1.5 Opérations

1.5.1 Vecteur nul

Le vecteur nul est le vecteur~0^def= (0,0)(ou(0,0,0)dansR³).

1.5.2 Produit par un scalaire

UnScalaireaest un nombre réela∈R. Le produit d’un vecteur

~vpar un scalaireaest défini de la manière suivante : a~v=a(v₁,v₂)^def= (av₁,av2)

Multiplier un vecteur~vpar un scalaireachange sa longueur par un facteura:

~v a~v

Note

−~v= (−1)~v

~v

−~v

1.5.3 Somme de vecteurs

~u+~v= (u₁,u₂) + (v₁,v₂)^def= (u₁+v₁,u₂+v₂)

~u

~v

~v

~u

~u+~v

1.5.4 Différence de vecteurs

~u−~v=~u+ (−1)~v= (u₁,u₂)−(v₁,v₂) = (u₁−v₁,u₂−v₂)

~u

~v

~u−

~v

1.6 Norme

Lanorme d’un vecteur est sa longueur. Si les composantes d’un vecteur sont connues, on calcule sa norme de la manière suivante :

k~vk=k(v₁,v₂)k^def= q

v²₁+v²₂dansR² k~vk=k(v₁,v₂,v3)k^def=

q

v²₁+v²₂+v²₃dansR³ k~vk

v1

v2

Normalisation de~v(même sens et direction, longueur 1)

~v k~vk. Prop

k~ik=k~jk=k~kk=1,k0k=0

ka~vk=|a|k~vk Prop

k~vk²=~v·~v

1.7 Produit scalaire

~u·~v= (u₁,u2)·(v₁,v2)^def=u1v1+u2v2

Prop (Loi des cos)

~u·~v=k~ukk~vkcos(θ) oùθest l’angle entre~uet~v.

~v

~u

θ

Prop

cos(θ) = ~u·~v k~ukk~vk

θ=arccos ~u·~v

k~ukk~vk

1.7.1 Projection

proj(~u,~v) =~u·~v k~vk

~v k~vk

~v proj(~u,~v)

~u

2