Structures algébriques dans des anneaux fonctionnels

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Structures algébriques dans des anneaux fonctionnels

Jérôme Noël

To cite this version:

Jérôme Noël. Structures algébriques dans des anneaux fonctionnels. Mathématiques générales

[math.GM]. Université de Lorraine, 2012. Français. �NNT : 2012LORR0222�. �tel-01749315�

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UNIVERSIT´ E DE LORRAINE, METZ

TH` ESE

pr´ esent´ ee pour obtenir le grade de Docteur en Math´ ematiques

par

J´ erˆ ome NO¨ EL

Structures alg´ ebriques

dans des anneaux fonctionnels

Th` ese dirig´ ee par Raymond Mortini

Soutenue publiquement le 12 octobre 2012, devant le jury compos´ e de :

Directeur : Raymond Mortini - PR Universit´ e de Lorraine Rapporteurs : Eric Amar - PR Universit´ e de Bordeaux 1

Catalin Badea - PR Universit´ e de Lille 1 Examinateurs : Ernst Albrecht - PR Universit´ e de Sarrebruck

Fr´ ed´ eric Bayart - PR Universit´ e de Clermont-Ferrand Moulay-Tahar Benameur - PR Universit´ e de Lorraine

Rudolf Rupp - PR Universit´ e de Nuremberg

A ma femme, ma fille et ma famille. `

Remerciement

Dans un premier temps, je tiens ` a remercier Raymond Mortini pour m’avoir encadr´ e pendant ces trois ann´ ees. De par ses grandes connaissances math´ ematiques, il a su me guider tout au long de ma th` ese et s’est rendu toujours disponible pour r´ epondre ` a mes questions.

Je voudrais remercier Eric Amar et Catalin Badea d’avoir bien voulu rapporter ma th` ese, ainsi que Ernst Albrecht, Fr´ ed´ eric Bayart, Moulay- Tahar Benameur et Rudolf Rupp d’avoir accept´ e de faire partie de mon jury . Je souhaiterais aussi remercier tous les coll` egues et doctorants du LMAM. Je pense plus particuli` erement ` a Alexandre Rey Alcantara qui m’a toujours apport´ e son aide, aussi bien sur un plan scientifique que moral.

Enfin, je voudrais exprimer toute ma gratitude ` a ma famille pour

m’avoir soutenu pendant toutes ces ann´ ees. En particulier, je pense ` a ma

femme, Juliette, qui a dˆ u me supporter et qui a toujours ´ et´ e l` a dans les

moments difficiles.

Table des mati` eres

Introduction . . . . 4

1 Les id´ eaux radicaux finiment engendr´ es dans H

+ C 9 1.1 Quelques d´ efinitions autour de l’alg` ebre H

+ C . . . . 10

1.2 Quelques lemmes utiles . . . . 15

1.3 Id´ eaux radicaux finiment engendr´ es . . . . 21

1.4 R´ esultats sur les g´ en´ erateurs . . . . 35

2 Le rang stable absolu de C(X, τ ) 38 2.1 Introduction . . . . 38

2.2 Dimension de recouvrement . . . . 41

2.3 Notations et d´ efinitions . . . . 42

2.4 Extension d’uplets inversibles . . . . 46

2.5 Le r´ esultat principal . . . . 50

2.6 L’alg` ebre C(K)

. . . . 54

3 Le probl` eme de la couronne g´ en´ eralis´ e 56 3.1 Premiers r´ esultats . . . . 56

3.2 Nombre de g´ en´ erateurs . . . . 57 3.3 Conditions n´ ecessaires respectivement suffisantes pour I = J 58

A Les disques pseudohyperboliques 64

B Les z´ eros m´ elangeant 75

Introduction

Dans cette th` ese, nous nous sommes int´ eress´ es ` a divers probl` emes mettant en oeuvre des structures alg´ ebriques de certains anneaux fonc- tionnels, en particulier dans l’espace H

des fonctions holomorphes born´ ees dans le disque unit´ e, dans l’alg` ebre de Sarason H

+ C et dans C(X, τ ) = { f ∈ C(X) : f ◦ τ = ¯ f } , avec X un espace compact s´ epar´ e et τ une involution topologique sur X.

Plus pr´ ecisement, dans un premier temps, nous avons caract´ eris´ e les id´ eaux radicaux finiment engendr´ es dans H

+ C.

En second lieu, nous avons d´ emontr´ e que le rang stable absolu de C(X, τ ) co¨ıncide avec le rang stable Bass et topologique de cette derni` ere.

En dernier lieu, nous nous sommes int´ eress´ es au probl` eme de la cou- ronne g´ en´ eralis´ e dans H

.

A cela s’est greff´ e deux parties annexes, la premi` ere permettant de mieux comprendre la g´ eom´ etrie pseudohyperbolique et la deuxi` eme appor- tant une g´ en´ eralisation d’une propri´ et´ e de Mortini (dans [Mor12]) sur les z´ eros m´ elangeant.

La structure ´ etant ´ etablie, donnons des d´ etails sur chacune des par- ties.

L’´ etude de la structure des id´ eaux de certaines alg` ebres de fonctions est un probl` eme qui semble provenir du professeur von Renteln lors d’un s´ eminaire sur la th´ eorie des fonctions ` a Karlsruhe dans les ann´ ees 1980 en relation avec les travaux novateurs de Hedenmalm, incluant H

+ C.

Tr` es peu de papiers traitent de la structure des id´ eaux de H

+ C, les principaux ´ etant [GHM87], [GM00] and [GM02]. Ces papiers caract´ erisent la structure des id´ eaux ferm´ es et des id´ eaux premiers ferm´ es de H

+ C.

Un id´ eal premier ´ etant radical, il est naturel de se demander quels sont les id´ eaux radicaux finiment engendr´ es dans H

+ C. Dans l’alg` ebre H

, ce probl` eme avait ´ et´ e r´ esolu par U. Daepp, P. Gorkin and R. Mortini dans [DGM92]. Ils avaient montr´ e que les id´ eaux radicaux finiment engendr´ es de H

sont les id´ eaux engendr´ es par un produit de Blaschke ayant des z´ eros simples. Un r´ esultat similaire dans A( D ) avait ´ et´ e d´ ecouvert dans [Mor86]

`

a la seule diff´ erence que le produit de Blaschke doit ˆ etre fini.

Dans H

+ C, la situation est un peu diff´ erente. Nous avons montr´ e

notamment le th´ eor` eme suivant qui a ´ et´ e publi´ e dans Journal of Functional

Analysis ([MN12]).

Th´ eor` eme. Soit I = (0) un id´ eal radical finiment engendr´ e dans H

+ C. Alors I est un id´ eal principal engendr´ e par un produit d’interpo- lation de Blaschke.

Pour arriver ` a ce r´ esultat, il nous a fallu notamment d´ emontrer les propri´ et´ es suivantes et dans l’ordre suivant.

Th´ eor` eme. Soit I = (0) un id´ eal radical finiment engendr´ e dans H

+ C.

(1) Alors Z (I ) ne rencontre pas la fronti` ere de Shilov M (L

).

(2) Alors Z (I ) est d’int´ erieur vide.

(3) Alors I est engendr´ e par un nombre fini de produits de Carleson- Newman Blaschke.

(4) I est endendr´ e par un nombre fini de produits d’interpolation de Blaschke.

Il restait alors ` a r´ eduire ` a un produit d’interpolation de Blaschke. Mais pour cela, nous sommes pass´ es par une ´ etape interm´ ediaire, c’est-` a-dire deux produits d’interpolation de Blaschke en d´ emontrant un r´ esultat qui existait d´ ej` a dans H

([Tol84]).

Th´ eor` eme. Soit I un id´ eal finiment engendr´ e dans H

+ C conte- nant un produit d’interpolation de Blaschke ϕ. Alors I est engendr´ e par deux produits d’interpolation de Blaschke, ϕ et un autre.

Ces ´ etapes de d´ emonstration ont non seulement permis d’arriver au r´ esultat mais aussi d’obtenir certaines propri´ et´ es sur les g´ en´ erateurs.

Th´ eor` eme. Soit I un id´ eal dans H

+ C.

(1) Si l’ensemble des z´ eros de I ne rencontre pas la fronti` ere de Shilov M (L

), alors I est engendr´ e par des produits de Blaschke.

(2) Si l’ensemble des z´ eros de I ne rencontre pas l’ensemble des points triviaux, alors I est engendr´ e par des produits de Carleson-Newman Blaschke.

(3) Si I est un id´ eal d’ordre 1, alors I est endendr´ e par des produits

d’interpolation de Blaschke.

La deuxi` eme partie est consacr´ ee ` a l’´ etude du rang stable absolue de C(X, τ ), o` u

C(X, τ ) = { f ∈ C(X) : f ◦ τ = ¯ f } ,

avec X un espace compact s´ epar´ e et τ une involution topologique sur X.

Le concept de rang stable a ´ et´ e introduit par H. Bass dans [Bas54] et s’est r´ ev´ el´ e tr` es utile dans la K-th´ eorie alg´ ebrique. Plusieurs notions de rang stable se sont d´ evelopp´ ees autour, notamment le rang stable topologique [Rie83] et le rang stable absolu [MKV88, SV86]. Nous allons porter notre attention plus particuli` erement sur la deuxi` eme notion. Cette derni` ere est encore peu connu. R. Swan and L. Vaserstein avait d´ etermin´ e la rang stable absolu de C(X) et C

(X) dans [SV86]. L’alg` ebre C(X, τ ) est un objet plus g´ en´ eral que C(X) et C

(X). Ainsi en caract´ erisant le rang stable absolu de cette alg` ebre, nous retrouvons les cas particuliers. De plus, l’alg` ebre C(X, τ ) joue un rˆ ole fondamental dans la th´ eorie des alg` ebres r´ eelles de fonctions comme on peut le voir dans le livre de Kulkarni et Limaye ([KL92]). Dans un r´ ecent article [MR11b], il a ´ et´ e montr´ e que

bsr C(X, τ ) = tsr C(X, τ ) = max

2

, dim E + 1,

o` u E est l’ensemble des points fixes de τ et dim X la dimension de recouvrement de X. Apr` es avoir obtenu le lemme d’extension suivant : Lemme. Soient X un espace compact s´ epar´ e, 0 < ε ≤ 1, et M un sous- ensemble ferm´ e τ -invariant de X. Supposons que m = bsr C(X, τ ) < ∞ . Soit f un m-uplet dans C(X, τ ) tel que

|f | > ε > 0 sur M.

Alors f |

admet une extension inversible F ∈ U

(C(X, τ )) tel que

|f − F | < 6ε et |F | > ε.

Nous sommes arriv´ es au fait que Th´ eor` eme.

asr C(X, τ ) = bsr C(X, τ ) = tsr C(X, τ ) avec deux approches diff´ erentes et ceci fut publi´ e dans [MN11].

Enfin la troisi` eme partie est consacr´ ee au probl` eme de la couronne g´ en´ eralis´ e.

Le c´ el` ebre th´ eor` eme de la couronne de Carleson nous dit que D est dense dans M(H

), o` u D est vu comme les ´ evaluations en z ∈ D. Une formulation

´ equivalente nous dit que l’id´ eal I = I (f

, ..., f

) = {

j=1

g

f

: g

∈ H

}

est ´ egal ` a H

si et seulement si

j=1

| f

| ≥ δ > 0 dans D . Introduisons l’id´ eal

J = J(f

, . . . , f

) = { f ∈ H

: ∃ C > 0, | f | ≤ C

| f

| dans D} . On a clairement I ⊆ J et le th´ eor` eme de la couronne nous dit que 1 ∈ J ⇔ 1 ∈ I.

Le probl` eme est alors de se demander si l’on a toujours la I -forme qui est

´ egal ` a la J -forme. En fait, ce n’est pas le cas. Un exemple de Rao montre que l’inclusion I ⊆ J peut ˆ etre propre. En effet, si B et C sont deux produits de Blaschke sans z´ eros en commun avec inf

( | B(z) | + | C(z) | ) = 0 alors BC ∈ J (B

, C

) mais BC / ∈ I(B

, C

).

Dans le cas de deux g´ en´ erateurs, Gorkin, Mortini et Nicolau ont ob- tenu des conditions n´ ecessaires et suffisantes. En effet, ils ont montr´ e le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme. Supposons que f

,f

∈ H

n’ont pas de facteurs en commun. Soient I = I (f

, f

) et J = J(f

, f

). Alors les assertions suivantes sont ´ equivalentes.

(1) I = J ;

(2) ord(I, m) = 1 pour tout m ∈ Z(I) ;

(3) I contient un produit d’interpolation de Blaschke ; (4) J contient un produit d’interpolation de Blaschke ;

(5) | f

(z) |

+ (1 − | z |

) | f

(z) | + | f

(z) |

+ (1 − | z |

) | f

(z) | ≥ δ > 0 pour tout z ∈ D .

Pour n ≥ 3 g´ en´ erateurs, Mortini (dans [Mor12]) a obtenu soit des conditions n´ ecessaires, soit des conditions suffisantes. J’ai, ` a mon tour, obtenu deux conditions suffisantes :

- La premi` ere pour une certaine classe d’id´ eaux ; Proposition. Pour N ≥ 3, consid´ erons l’id´ eal

I = I

⎛

⎝

j=1

B

, (

N

B

)C

, ...,

C

⎞

⎠ ,

o` u B

et C

sont des produits d’interpolation de Blaschke tels que

(i) Z

(B

) ⊂ Z

(C

) pour tout i ∈ { 1, ..., N − 2 } ,

(ii) B

et C

n’ont pas de z´ eros en commun dans D pour j = k + 1, alors I = J .

- La deuxi` eme pour les id´ eaux d’ordre N .

Proposition. Soient N ≥ 2 et I un id´ eal d’ordre N , il est donc de la forme

I = I (A

, . . . , A

) avec pour i ∈ { 1, ..., N − 1 }

A

= C

B

, A

=

B

, A

= C

et B

des produits d’interpolation de Blaschke et C

des produits de Carleson-Newman Blaschke d’ordre j. Supposons que

A

A

est born´ ee sur Z

(B

) pour tout i ∈ { 1, ..., N − 1 } et k ∈ { i + 1, ..., N } ,

alors I = J .

Chapitre 1

Les id´ eaux radicaux finiment engendr´ es dans H ^∞ + C

Soit A un anneau commutatif unitaire.

Rappelons qu’un id´ eal P est dit premier si pour tout ´ el´ ement f, g ∈ A, la condition f g ∈ P implique que f soit dans P ou g soit dans P.

Soit I un id´ eal de A. Le radical de I est d´ efini par rad(I ) = { x ∈ A : ∃ n ∈ N , x

∈ I } .

On a bien ´ evidemment l’inclusion I ⊆ rad(I). On dit alors qu’un id´ eal I est radical si l’inclusion pr´ ec´ edente est en fait une ´ egalit´ e, et de mani` ere

´ equivalente, cela revient ` a caract´ eriser les id´ eaux qui v´ erifient la condition suivante :

S’il existe n ∈ N tel que x

∈ I , alors x ∈ I.

Un id´ eal premier est donc radical et en fait on peut montrer facilement que

rad(I) =

J⊃I J

premier

J.

Nous allons nous int´ eresser ici aux id´ eaux radicaux finiment engendr´ es de

l’algr` ebre de Sarason H

+ C, alg` ebre qui sera introduite plus tard. Comme

il n’existe pas d’id´ eaux premiers finiment engendr´ es dans H

+C ([Gor86]),

nous ne pouvons pas en d´ eduire directement certaines classes d’id´ eaux radi-

caux finiment engendr´ es de H

+ C. Nous allons introduire quelques outils

qui nous seront utiles par la suite.

1.1. QUELQUES D ´ EFINITIONS AUTOUR DE L’ALG ` EBRE H

+ C

1.1 Quelques d´ efinitions autour de l’alg` ebre H ^∞ + C

Soit (A, || . || ) une alg` ebre de Banach complexe commutative unitaire.

On note M(A) l’ensemble des caract` eres de A, c’est-` a-dire l’ensemble des morphismes d’alg` ebres non nuls de A dans C . Cet ensemble est appel´ e le spectre de A ou l’espace des id´ eaux maximaux de A. Nous pouvons en effet carat´ eriser les id´ eaux maximaux d’une alg` ebre de Banach par le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 1.1 ([Gar81, p. 177]). Soit m un caract` ere non nul de l’alg` ebre de Banach unitaire A. Alors m est une forme lin´ eaire continue de norme 1.

De plus, on a une bijection entre l’ensemble M (A) des caract` eres de A avec l’ensemble des id´ eaux maximaux.

On munit M(A) de la topologie faible ´ etoile, appel´ ee la topologie de Gelfand . Introduisons l’application

f ˆ : M (A) → C , m → m(f ).

Alors l’homomorphisme

G : A → C(M(A)), f → f ˆ

s’appelle le transform´ ee de Gelfand. Grˆ ace ` a cette transform´ ee et le th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on peut caract´ eriser les ´ el´ ements inversibles de l’alg` ebre A de la mani` ere suivante :

f ∈ A

⇔ ∀ m ∈ M (A), f ˆ (m) = 0.

D´ efinition 1.1. L’alg` ebre de Banach A est appel´ ee une alg` ebre uniforme si la transform´ ee de Gelfand est une isom´ etrie, c’est-` a-dire si

∀ f ∈ A, || f ˆ || = || f || .

Rappelons une caract´ erisation des alg` ebres uniformes.

Th´ eor` eme 1.2 ([Gar81, p. 179]). La transform´ ee de Gelfand est une isom´ etrie si et seulement si pour tout f dans A, on a

|| f

|| = || f ||

.

On en d´ eduit que lorsque A est une alg` ebre uniforme, l’image de la

transform´ ee de Gelfand est isom´ etriquement isomorphe ` a A et nous pouvons

identifier f avec ˆ f . De plus, A peut ˆ etre vue comme une alg` ebre uniforme

ferm´ ee de fonctions continues de M (A). Rappelons aussi la d´ efinition de la

fronti` ere de Shilov.

1.1. QUELQUES D ´ EFINITIONS AUTOUR DE L’ALG ` EBRE H

+ C

D´ efinition 1.2. Un sous-ensemble K ferm´ e de M(A) est appel´ e une fronti` ere pour A si pour tout f dans A

|| f || = sup

m∈K

| f(m) | .

Th´ eor` eme 1.3 ([Gar81, p. 182]). Il existe une plus petite fronti` ere ferm´ ee qui est contenue dans toute les fronti` eres ferm´ ees pour A et cette fronti` ere s’appelle la fronti` ere de Shilov de A.

Soit H

l’alg` ebre uniforme de toutes les fonctions holomorphes born´ ees dans le disque unit´ e D . Soit L

, l’alg` ebre des fonctions mesurables au sens de Lebesgue essentiellement born´ ees sur le cercle unit´ e T = ∂D.

Puisqu’une fonction f ∈ H

a une limite non tangentielle f

presque partout sur la fronti` ere T et que f

∈ L

, nous regardons H

comme l’alg` ebre des fonctions de ϕ ∈ L

qui ont des coefficients de Fourier c

(ϕ) =

0

ϕ(t)e

dt nuls pour tout entier n < 0. H

est alors une sous-alg` ebre ferm´ ee de L

. Nous allons nous int´ eresser aux alg` ebres situ´ ees entre H

et L

et ` a une en particulier, H

+ C, o` u C d´ enote l’ensemble des fonctions continues sur T ` a valeurs complexes. Le spectre et la fronti` ere de Shilov de ces alg` ebres sont caract´ eris´ es par le th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 1.4 ([Gar81, p. 365]). Si A est une sous-alg` ebre ferm´ ee de L

contenant H

, alors M (A) peut ˆ etre identifi´ e ` a un sous-ensemble ferm´ e de M(H

) qui contient M (L

), et M(L

) peut ˆ etre identifi´ e ` a la fronti` ere de Shilov de A.

Celle qui va nous int´ eresser est la suivante.

Th´ eor` eme 1.5 ([Gar81, p. 366]). La plus petite sous-alg` ebre ferm´ ee de L

contenant strictement H

est appel´ ee l’alg` ebre de Sarason et co¨ıncide avec l’ensemble H

+ C. De plus, H

+ C co¨ıncide avec l’alg` ebre ferm´ ee engendr´ ee par H

et z ¯ et

M(H

+ C) = M (H

) \ D .

Notons X = M (L

). Nous pouvons donc identifier X avec la fronti` ere de Shilov de H

+ C (ou de H

). Rappelons des propri´ et´ es topologiques de X et M(H

+ C).

Proposition 1.6 ([Gam84, p. 18]). L’espace X est extrˆ emement disconnexe, c’est-` a-dire que le fermeture de tout ouvert U de X est aussi un ouvert.

Proposition 1.7 ([Hof88, Hof67]). L’espace M(H

+ C) est un espace connexe.

La fonction caract´ eristique de E ⊆ X est not´ ee par χ

. Comme X

est extrˆ emement disconnexe, χ

est continue sur X si et seulement si E

1.1. QUELQUES D ´ EFINITIONS AUTOUR DE L’ALG ` EBRE H

+ C

est un ouvert-ferm´ e. Comme nous pouvons identifier L

avec C(X) par la transform´ ee de Gelfand, χ

= ˆ f pour un certain f ∈ L

. Or comme χ

E

= χ

, on en d´ eduit que f

= f et ainsi f = χ

pour un ensemble mesurable S de T . D’o` u

χ

= χ

.

Th´ eor` eme 1.8 ([Gar81, p. 193]). Soit A une alg` ebre uniforme sur un espace compact s´ epar´ e Y et soit m ∈ M(A). Alors il existe une mesure de Borel positive μ sur Y telle que μ(Y ) = 1 et

∀ f ∈ A, m(f ) =

Y

f dμ.

De plus, si A est une alg` ebre logmodulaire sur Y , c’est-` a-dire si log | A

| = { log | f | : f ∈ A

} est dense dans l’espace C

(Y ) des fonctions continues r´ eelles sur Y , alors μ est unique.

On appelle cette mesure μ la mesure repr´ esentative de m. Puisque H

est une alg` ebre logmodulaire sur X, chaque m ∈ M (H

) a une unique mesure repr´ esentative μ

sur X. Et donc chaque fonction f ∈ L

= C(X) a une extension continue canonique ` a M (H

) donn´ ee par

f (m) =

supp m

f dμ

,

o` u supp m est le support de la mesure repr´ esentative μ

pour un m ∈ M (H

). En particulier, la fonction χ

∈ C(X) admet une extension continue canonique ` a M (H

), donc ` a M (H

+ C), donn´ ee par

∀ m ∈ M (H

+ C), χ

(m) =

suppm

χ

dμ

.

Ainsi l’extension χ

est ` a valeur dans [0, 1] et v´ erifie

χ

(m) = 0 ⇔ supp m ∩ E = ∅ χ

(m) = 1 ⇔ supp m ⊆ E .

Il est bien connu que χ

n’est pas dans H

+ C mais nous allons donner une preuve simple de ce r´ esultat.

Proposition 1.9. Soit E un ensemble non-vide et propre de X. Alors χ

n’appartient pas ` a H

+ C.

D´ emonstration. Supposons que χ

soit dans H

+ C, c’est-` a-dire que χ

∈ H

+ C pour un ensemble S mesurable dans T et tel que χ

= χ

. Comme χ

S

= χ

, on a aussi

χ

= χ

= χ

S

= χ

= χ

E

.

Or M (H

+ C) est connexe (proposition 1.7), l’´ egalit´ e n’est donc possible

que si χ

≡ 0 ou χ

≡ 1, ce qui est en contradiction avec les hypoth` eses.

1.1. QUELQUES D ´ EFINITIONS AUTOUR DE L’ALG ` EBRE H

+ C

Nous avons aussi besoin de connaˆıtre certaines choses au niveau de la structure analytique de M(H

). Soit A une alg` ebre uniforme.

D´ efinition 1.3. Pour deux points m

, m

dans M(A), on d´ efinit la distance pseudohyperbolique entre m

et m

par

ρ

(m

, m

) = sup {| f (m

) | : f ∈ A, || f || ≤ 1, f (m

) = 0 } . On peut donner une autre expression de ρ

de la fa¸con suivante :

ρ

(m

, m

) = sup { ρ

(f(m

), f (m

)) : f ∈ A, || f || < 1 } , o` u ρ

est la distance pseudohyperbolique sur D d´ efinie par

ρ

(z

, z

) =

z

− z

1 − z ¯

z

.

Dans l’annexe A, on a une caract´ erisation de la fronti` ere de l’union

a∈[0,1]

D

(a, δ) et quelques propri´ et´ es g´ eom´ etriques. Le lemme de Schwarz permet de conclure que la distance pseudohyperbolique sur M (H

) co¨ıncide avec la distance pseudohyperbolique sur D si m

= φ

et m

= φ

, o` u φ

est l’´ evaluation en z. On a clairement ρ

(m

, m

) ≤ 1 et la relation

m

∼ m

si et seulement si ρ

(m

, m

) < 1 est une relation d’´ equivalence sur M (A).

D´ efinitions 1.4. Soit m ∈ M(A).

• La classe d’´ equivalence d’un point m pour la relation d’´ equivalence ci-dessus est appel´ ee la partie de Gleason de m et est not´ ee par

P(m) = { x ∈ M(A) : ρ

(m, x) < 1 } .

• Si P (m) = { m } , alors on appelle m un point trivial. Si P (m) contient au moins deux points, on dit que le point est non trivial et on note G l’ensemble des points non triviaux.

D´ efinitions 1.5.

• Un ensemble I non vide est dit filtrant s’il existe une relation not´ ee

” ≤ ” sur I telle que 1) α ≤ α (r´ eflexive),

2) α ≤ β, β ≤ γ ⇒ α ≤ γ (transitive),

3) ∀ α, β ∈ I, ∃ γ ∈ I tel que α ≤ γ, β ≤ γ .

1.1. QUELQUES D ´ EFINITIONS AUTOUR DE L’ALG ` EBRE H

+ C

Soit X un espace topologique et I un ensemble filtrant.

• Une suite g´ en´ eralis´ ee est une application de I → X, α → x

. On la note (x

)

∈ X

.

• Une suite g´ en´ eralis´ ee (x

)

converge vers x ∈ X si pour tout voisinage N de x, il existe β ∈ I telle que x

∈ N pour tout α > β.

On ´ ecrit : lim

α∈I

x

= x.

• Une suite g´ en´ eralis´ ee (x

)

a x ∈ X comme valeur d’adh´ erence si pour tout voisinage N de x, pour tout β ∈ I , il existe α > β tel que x

∈ N.

• Soient (x

)

et (y

)

deux suites g´ en´ eralis´ ees. La suite g´ en´ eralis´ ee (x

)

est une sous-suite g´ en´ eralis´ ee de (y

)

s’il existe une ap- plication F : I → J telle que

1) x

= y

, α ∈ I ,

2) ∀ β ∈ J , ∃ α

∈ I tel que F (α) > β si α > α

. Proposition 1.10. On a les propositions suivantes :

1) Soit A ⊆ X. Alors x ∈ A si et seulement si il existe une suite g´ en´ eralis´ ee (x

)

telle que lim

α

x

= x.

2) Un point x ∈ X est une valeur d’adh´ erence de (x

)

si et seulement si il existe une sous-suite g´ en´ eralis´ ee de (x

) qui converge vers x.

Hoffman [Hof67] montre dans H

que pour toute partie de Gleason P(m) il existe une application continue L

: D → P (m) avec L

(0) = m telle que pour tout f ∈ H

, l’application f ◦ L

est analytique sur D . Cette application s’appelle l’application de Hoffman associ´ ee ` a m. Si (z

) est une suite g´ en´ eralis´ ee dans D convergeant vers m, alors l’application de Hoffman est donn´ ee par

L

(z) = lim

α

z + z

1 + ¯ z

z

dans M (H

)

. Lorsque m est un point trivial, l’application de Hoffman est juste l’application constante. Lorsque m est un point non trivial, l’applica- tion L

est une bijection.

D´ efinitions 1.6. Soit f ∈ A, o` u A = H

ou A = H

+ C.

• Alors on d´ efinit l’ensemble des z´ eros de f dans M(A) par

Z

(f) = { m ∈ M (A) : f (m) = 0 } .

1.2. QUELQUES LEMMES UTILES

• Si m ∈ Z

(f ), alors n ∈ N est appel´ e l’ordre du z´ ero m de f si la fonction analytique f ◦ L

a un z´ ero d’ordre n en 0, o` u L

est l’application de Hoffman associ´ ee ` a m. On note n = ord(f, m).

• Si f ◦ L

est la fonction nulle, c’est-` a-dire f s’annule identiquement sur la partie de Gleason P (m), alors on pose ord(f, m) = ∞ . On note Z

(f ) l’ensemble des z´ eros d’ordre infini de f .

• Si m / ∈ Z

(f), alors on pose ord(f, m) = 0.

Par la suite, si il n’y a pas d’ambiguit´ e dans quelle alg` ebre on se situe, on notera pour f ∈ A, Z(f) et Z

(f ) au lieu de Z

(f ) et Z

(f ).

D´ efinitions 1.7. Soit I un id´ eal dans A.

• On note Z

(I) =

f∈I

Z

(f) l’ensemble des z´ eros de I dans A et Z

(I ) =

f∈I

Z

(f ) l’ensemble des z´ eros d’ordre infini de I dans A.

• Si m ∈ M(A), on d´ efinit ord(I, m) = min { ord(f, m) : f ∈ I } .

• Enfin, I est appel´ e un id´ eal d’ordre N ∈ N

∪ {∞} si sup { ord(I, m) : m ∈ M (A) } = N.

On note N = ord I.

Nous allons maintenant introduire quelques lemmes qui nous servirons pour la cararct´ erisation des id´ eaux radicaux de type fini de H

+ C.

1.2 Quelques lemmes utiles

Nous devons introduire les notions de produit de Blaschke et de produit d’interpolation de Blaschke.

D´ efinitions 1.8. Soit (a

)

une suite dans D v´ erifiant

n∈N

1 −| a

| < ∞ . Une suite dans D qui v´ erifie cette condition s’appelle une suite de Blaschke.

• Alors le produit de Blaschke associ´ e ` a la suite (a

)

est la fonction d´ efinie par

B(z) =

| a

| a

a

− z

1 − ¯ a

z .

1.2. QUELQUES LEMMES UTILES

• Si (a

)

est une suite d’interpolation, c’est-` a-dire si pour toute suite (w

)

born´ ee de C il existe une fonction f ∈ H

telle f (a

) = w

pour tout n ∈ N , alors le produit de Blaschke associ´ e ` a la suite (a

)

est appel´ e un produit d’interpolation de Blaschke.

• Un produit fini de produits d’interpolation de Baschke s’appelle un produit de Carleson-Newman Blaschke .

Rappelons alors un r´ esultat de Axler.

Lemme 1.11 ([Axl77]). Soit g ∈ L

. Alors il existe un produit de Blaschke B et une fonction h ∈ H

+ C tel que g =

.

En d’autres mots, toute fonction de L

peut ˆ etre multipli´ ee par un produit de Blaschke afin d’obtenir une fonction dans H

+ C. Par la suite, pour all´ eger les notations, les z´ eros d’un produit d’interpolation de Blaschke b dans H

+ C seront not´ es par Z (b). Rappelons une propri´ et´ e des z´ eros d’un produit d’interpolation de Blaschke dans H

+ C.

Lemme 1.12 ([Hof88]). Si b est un produit d’interpolation de Blaschke associ´ e ` a (a

)

. Alors Z(b) = { a

: n ∈ N} \ D o` u l’adh´ erence est prise dans M (H

).

Nous allons aussi utiliser fr´ equemment un r´ esultat de Hoffman.

Lemme 1.13 ([Hof67]). Pour tout ouvert non vide U de M(H

+ C), il existe un produit d’interpolation de Blaschke b tel que Z(b) ⊆ U .

D´ emonstration. Soit U un ouvert de M(H

+ C) et x ∈ U . Choisissons un ouvert V de M (H

) tel que

x ∈ V et M(H

+ C) ∩ V ⊆ U.

Par le th´ eor` eme de la couronne, il existe une suite g´ en´ eralis´ ee (z

) dans V ∩ D qui converge vers x. En fait, la suite g´ en´ eralis´ ee (z

) peut ˆ etre choisie comme une sous-suite g´ en´ eralis´ ee d’une certaine suite (z

) de V ∩ D (voir [Hof67, Corollaire p. 85]). Choisissons une sous-suite d’interpolation (z

) de (z

) et posons b le produit d’interpolation associ´ e ` a la suite (z

). Alors on a

Z (b) ⊆ M (H

+ C) ∩ V ⊆ U.

Par la suite, les ensembles de la forme

{ x ∈ M (H

+ C) : τ < | f (x) | < σ }

seront not´ es de mani` ere plus courte { τ < | f | < σ } .

1.2. QUELQUES LEMMES UTILES

Lemme 1.14 ([Mar76]). Soit E un sous-ensemble non vide, propre, ouvert- ferm´ e de X. Alors il existe un produit d’interpolation de Blaschke b

tel que

{ 0 < χ

< 1 } = {| b

| < 1 } . De plus, on a

χ

(x) = 0 ⇔ supp x ⊆ E

et

χ

(x) = 1 ⇔ supp x ⊆ E.

On appelera la fonction b

le produit d’interpolation de Blaschke de Marshall.

Lemme 1.15 ([GM99]). Soient f ∈ H

+C et E un sous-ensemble ouvert- ferm´ e de X. Alors

f χ

∈ H

+ C ⇐⇒ f ≡ 0 sur { 0 < χ

< 1 } . De plus, on a

Z(f) ⊆ Z (f χ

), Z(f )

⊆ Z (f χ

)

, aussi bien que

Z

(f ) ⊆ Z

(f χ

).

Gorkin et Mortini montrent dans [GM02] que pour toute fonction f ∈ H

+ C, nous avons Z(f )

= Z

(f ). Nous avons besoin d’une pe- tite g´ en´ eralisation.

Corollaire 1.16. Soit I un id´ eal finiment engendr´ e de H

+ C.

(1) Alors Z(I )

= Z

(I ).

(2) Il existe des id´ eaux de H

+C pour lesquels l’assertion dans (1) n’a pas lieu.

D´ emonstration.

(1) Supposons que

I = I(f

, . . . , f

) = {

f

g

: g

∈ H

+ C } . Alors

Z(I)

=

Z (f

)

⊆

Z

(f

) = Z

(I ).

Afin de montrer que Z (I)

est dense dans Z

(I ), nous allons nous

baser sur la d´ emonstration du th´ eor` eme 1.5 de [GM02].

1.2. QUELQUES LEMMES UTILES

Soit x ∈ Z

(I ) et U un voisinage de x dans M (H

+C), nous devons montrer que U ∩ Z(I)

= ∅ . Pour cela, montrons qu’il existe un produit d’interpolation de Blaschke b tel que

Z(b) ⊆ U ∩ Z

(I) = U ∩

Z

(f

).

Choissisons un ouvert V contenant x de M (H

) tel que M (H

+ C) ∩ V ⊆ U.

Par le th´ eor` eme de la couronne, il existe une suite g´ en´ eralis´ ee (z

) dans V ∩ D qui converge vers x. La suite g´ en´ eralis´ ee (z

) peut ˆ etre choisie comme une sous-suite g´ en´ eralis´ ee d’une certaine suite (z

) de V ∩ D (voir [Hof67, Corollaire p.85]). Choisissons une sous-suite d’in- terpolation (z

) de (z

) et posons b le produit d’interpolation associ´ e

`

a la suite (z

). Alors Z (b) ⊆ Z

(I ) et donc Z(b) ⊆ U ∩ Z

(I).

Ainsi, en utilisant le r´ esultat de [AG84] ou [GIS84], toutes les puis- sances de b divisent les fonctions f

dans H

+ C. Donc, pour tout j ∈ { 1, . . . , n } , f

≡ 0 sur {| b | < 1 } et par suite

{| b | < 1 } ⊆

Z(f

)

=

⎛

⎝

j=1

Z(f

)

⎞

⎠

◦

= Z(I )

.

On en d´ eduit en particulier que Z(b) ⊆ U ∩ Z(I )

et donc U ∩ Z (I )

= ∅ . (2) Il suffit de prendre un id´ eal maximal M = ker m tel que la partie de Gleason P (m) est r´ eduite au singleton { m } . Il en d´ ecoule par la th´ eorie de Hoffman que Z(M ) = Z

(M ) = { m } mais Z (M )

= ∅ . Rappelons un lemme qui a ´ et´ e prouv´ e ind´ ependamment par K. Izuchi [Izu98] et P. Gorkin [GM00] qui nous servira pour d´ emontrer le lemme 1.18.

Avant cela rappelons la d´ efinition d’une puissance faible d’un produit de Blaschke.

D´ efinition 1.9. Soit b(z) =

n∈N

| a

| a

a

− z

1 − ¯ a

z un produit de Blaschke as- soci´ e ` a la suite (a

)

. Soit (k

)

une suite d’´ el´ ements de N

qui v´ erifie

n≥0

k

(1 − | a

| ) < + ∞ . Alors une puissance faible B de b est donn´ ee par B(z) =

n∈N

| a

| a

a

− z 1 − a ¯

z

.

1.2. QUELQUES LEMMES UTILES

Lemme 1.17. Soit b un produit de Blaschke et (K

) une suite de sous- ensembles ferm´ es de M (H

+ C) tel que pour tout n ∈ N , on a

{| b | < 1 } ∩ K

= ∅ .

Alors il existe une puissance faible B de b s’annulant identiquement sur {| b | < 1 } tel que | B | = 1 sur

n∈N

K

.

Lemme 1.18. Pour un sous-ensemble E non vide, propre, ouvert-ferm´ e de X, soit B

(j = 1, . . . , n) des produits de Blaschke tels que les fonctions B

χ

soient dans H

+ C. Alors

Z(B

)

\ { 0 < χ

< 1 } = ∅ .

De plus, il existe un produit d’interpolation de Blaschke b et un x ∈ Z (b) tels que

{ 0 < χ

< 1 } = {| b | < 1 } ⊆

Z(B

)

et

supp x ⊆ E.

D´ emonstration. Soit b

le produit d’interpolation de Blaschke de Marshall satisfaisant {| b

| < 1 } = { 0 < χ

< 1 } . Par le lemme 1.15, on a

B

χ

∈ H

+ C ⇐⇒ B

≡ 0 sur { 0 < χ

< 1 } . Donc en particulier

{| b

| < 1 } ⊆

Z (B

)

.

En utilisant la preuve de la Proposition 1.4 dans [GM02], on peut montrer en fait que

{| b

| < 1 } ⊆

Z (B

)

.

En effet, de l’inclusion {| b

| < 1 } ⊆ Z(B

)

, on tire que {| b

| < 1 } ⊆ Z (B

) et ainsi

{| b

| < 1 } ∩ Z(B

)

= ∅ . Or Z(B

)

= {| B

| > 0 } =

m∈N^∗

{| B

| ≥

} , donc pour tout m ∈ N

{| b

| < 1 } ∩

{| B

| ≥ 1

m } = ∅ .

1.2. QUELQUES LEMMES UTILES

Ainsi, en utilisant le lemme 1.17, il existe une puissance faible B de b

telle que

| B | = 1 sur

m∈N^∗

{| B

| ≥ 1 m } =

m∈N^∗

{| B

| ≥ 1 m } . Par suite, pour tout j ∈ { 1, . . . , n } ,

| B | = 1 sur

m∈N^∗

{| B

| ≥ 1

m } = {| B

| > 0 } = Z (B

)

= (Z(B

)

)

. Mais puisque B s’annule identiquement sur {| b

| < 1 } , on d´ eduit que

{| b

| < 1 }

j=1

(Z(B

)

)

= ∅ et ainsi

{| b

| < 1 } ⊆

Z (B

)

; c’est-` a-dire

{ 0 < χ

< 1 } ⊆

Z (B

)

.

Puisque M (H

+ C) est connexe (proposition 1.7), ∅ et M (H

+ C) sont les seuls ensembles ouverts-ferm´ es dans M(H

+ C) et par suite

U :=

Z(B

)

\ { 0 < χ

< 1 } = ∅ . Montrons que U rencontre { χ

= 0 }

et { χ

= 1 }

.

Remarquons d’abord que ces deux ensembles sont non vides. En ef- fet, on a la d´ ecomposition suivante

M (H

+ C) = { χ

= 1 } ∪ { χ

= 0 } ∪ { 0 < χ

< 1 } . Donc comme

( { 0 < χ

< 1 } )

=

˚ { 0 < χ

< 1 }

=

˚ { χ

= 0 } ∪ { χ

= 1 }

= { χ

= 0 }

∪ { χ

= 1 }

puisque les ensembles sont disjoints, on en d´ eduit que

M (H

+ C) = { χ

= 1 }

∪ { χ

= 0 }

∪ { 0 < χ

< 1 } .

1.3. ID ´ EAUX RADICAUX FINIMENT ENGENDR ´ ES

Or on sait que { 0 < χ

< 1 } ∩ X = ∅ (d’apr` es [GM99]), donc { χ

= 0 }

= { x ∈ M (H

+ C) : supp x ⊆ E

}

⊇ E

= ∅

puisque E est un sous-ensemble propre de X. De mˆ eme, { χ

= 1 }

⊇ E = ∅ . Supposons par exemple que

U ∩ { χ

= 1 }

= ∅ . De la d´ ecomposition pr´ ec´ edente, on d´ eduit que

M(H

+ C) = { χ

= 1 }

{ χ

= 0 }

∪

Z(B

)

.

On obtient alors une d´ ecomposition de M (H

+ C) en deux ouverts, non vides, disjoints qui est un espace connexe. On aboutit donc a une contradic- tion. Donc

U ∩ { χ

= 1 }

= ∅ .

On peut montrer de mˆ eme que U ∩ { χ

= 0 }

= ∅ en rempla¸cant E par E

et en utilisant le fait que { χ

= 1 } = { χ

= 0 } .

Puisque l’ensemble des points non triviaux G dans M (H

+ C) est dense dans M(H

+ C), il existe un point x qui est dans (U ∩ { χ

= 0 }

) ∩ G.

De nouveau par la proposition 1.4 de [GM02], il existe un produit d’interpolation de Blaschke b avec x ∈ Z(b) tel que

{| b | < 1 } ⊆

Z (B

)

.

On a aussi par construction supp x ⊆ E.

1.3 Id´ eaux radicaux finiment engendr´ es

Soit A une alg` ebre uniforme. Si pour tout j ∈ { 1, . . . , n } , f

∈ A, alors I = I(f

, . . . , f

) =

g

f

: g

∈ A

est l’id´ eal dans A engendr´ e par les fonctions f

. En particulier, I(f) est l’id´ eal principal f A.

Nous allons dans un premier temps d´ emontrer que les z´ eros d’un id´ eal

radical finiment engendr´ e de H

+ C ne peut pas rencontrer la fronti` ere de