Master 2 EADM 2012-2013 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 1 Th` eme : Suites arithm´ etico-g´ eom´ etriques
L’exercice propos´e au candidat (Am´erique du Nord 2012)
Un club de sport propose `a ses adh´erents deux types d’abonnements : l’abon- nement de type A qui donne acc`es `a toutes les installations sportives et l’abon- nement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne acc`es au sauna, au hammam et au jacuzzi. Chaque adh´erent doit choisir un des deux abonnements. La premi`ere ann´ee, en 2010, 80% des clients ont choisi l’abonne- ment de type A. On consid`ere ensuite que 30% des adh´erents ayant un abonne- ment de type A changent d’abonnement pour l’ann´ee suivante, tandis que 10%
des adh´erents ayant un abonnement de type B changent d’abonnement pour l’ann´ee suivante.
Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a 0. On note anla proportion des adh´erents ayant un abonnement de type A l’ann´ee 2010 + n. On note bn la proportion des adh´erents ayant un abonnement de type B l’ann´ee 2010 + n. Enfin on note Pn= an bn la matrice traduisant l’´etat probabiliste de l’ann´ee 2010 + n.
1. D´eterminer P0. Repr´esenter cette situation par un graphe probabiliste.
Ecrire la matrice de transition M asoci´´ ee `a cette situation.
2. D´eterminer la matrice P2. En d´eduire la probabilit´e pour qu’en 2012 un adh´erent choisisse l’abonnement de type A.
3. Montrer que pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 0, an+1= 0, 6 an+ 0, 1.
4. Pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 0, on pose un= 4 an− 1.
Montrer que la suite (un) est g´eom´etrique de raison 0, 6. Pr´eciser son premier terme.
5. Pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 0, exprimer unen fonction de n. En d´eduire an en fonction de n.
6. Calculer la limite de la suite an puis interpr´eter concr`etement ce r´esultat.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 2.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exer- cice. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve, proposer une rem´ediation instrument´ee.
2. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des suites arithm´etico-g´eom´etriques.
