Coefficients radiatifs et collisionnels pour les niveaux hydrogénoïdes

(1)

HAL Id: jpa-00247823

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00247823

Submitted on 1 Jan 1993

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Coeﬀicients radiatifs et collisionnels pour les niveaux hydrogénoïdes

A. Poquérusse

To cite this version:

A. Poquérusse. Coeﬀicients radiatifs et collisionnels pour les niveaux hydrogénoïdes. Journal de

Physique II, EDP Sciences, 1993, 3 (2), pp.197-208. �10.1051/jp2:1993122�. �jpa-00247823�

(2)

J.

Phys.

II France 3 (1993) 197-208 _FEBRUARY 1993, PAGE 197

Classification

Physics

Abstracts

32.70F 34.80D 34.90

Coefficients radiatifs et collisionnels pour les niveaux

hydrogdnoides

A.

Poqudrusse

Laboratoire pour l'Utilisation des Lasers Intenses (*), Ecole

Polytechnique,

9ll28Palaiseau Cedex, France

(Regu le 16 avril1992, r~visd le 23 octobre 1992, accept~ le 26 octobre 1992)

R4sumd. Prenant la moyenne des dtats de

chaque

nombre

quantique principal

dans [es ions

hydrogdnoides

et supposant maxwelliens [es dlectrotls libres, on

prdsente

des

approximations

commodes pour [es coefficients d'dmission

spontan£e,

de recombinaison radiative _et, si la

charge

n'est pas trop faible, d'excitation et d'ionisation _par choc

dlectronique.

Pour _ces deux demibres, l'Etude d6taillde des _constantes

asymptotiques

de Bethe-Bom complbte [es donn6es

disponibles

sun

[es bas niveaux, af1tl de couvrir _une

large

_gamme de niveaux et de

temp6ratures.

Abstract.

Averaging

states with the _same

principal

quantum ^number ^iri

hydrogenic

ions and

assuming

the free electrons _to be Maxwellian, _we _present convenient fits to the coefficients of spontaneous emission, radiative recombination and, with not too small _a

charge,

excitation and ionization

by

electron

impact.

For the last two processes, the data available _on low levels are

complemented

by a detailed consideration of the

asymptotic

constants of Bethe-Bom, _so _as to

cover a wide range of levels and temperatures.

1. Introduction.

La

compr6hension

de

l'6quilibre

ou de l'6volution des

plasmas d'astrophysique

_ou de laboratoire fait

appel

h _une

description

suffisamment d6tail16e des transferts de

populations 61ectroniques

_entre [es

esp6ces ioniques prdsentes

et, en

particulier

sous

l'angle

du rendement

radiatif _ou de

l'analyse spectrale

du

rayonnement,

entre leurs diff6rents niveaux d'excitation.

Aussi existe-t-il

toujours

un int6rdt _soutenu pour une connaissance

quantitative

des m6canismes

616mentaires,

radiatifs _et

collisionnels, qui

_gouvement les

(changes

de _ces

populations.

Le

prdsent

article _se restreindra _au _cas le

plus simple,

celui des ions

hydrog6noides, qui jouent

par

exemple

un r61e

important

dans [es dtudes _sur l'interaction laser-matibre

[I],

et

envisagera

[es quatre processus suivants _: d6sexcitation par 6mission

spontan6e

_;

(*) Unitd Mixte de Recherche CNRS, Ecole

Polytechnique

_n 100.

(3)

recombinaison

61ectronique

radiative excitation par choc

61ectronique

ionisation par choc

61ectronique.

Ayant

en vue

principalement

[es ions de

charge

_moyenne, oh [es _sources de donn6es _sont

th60riques beaucoup plus qu'exp6rimentales,

_on s'efforcera de rassembler _ce

qui

est _connu des coefficients de _ces

r6actions,

de combler certaines lacunes _et d'aboutir h _une

pr6sentation

concise _et

commode,

_notamment _pour faciliter [es

applications

dans [es modbles de simulation

num6rique.

En

compldment,

_on

rappellera

les relations du bilan d6tail16

qui

foumissent aisdment [es coefficients de ddsexcitation collisionnelle et de recombinaison h trois corps.

Soulignons

_que

chaque

couche _sera traitde

globalement,

sans

distinguer

[es

sous-niveaux,

et que la vitesse des dlectrons libres _sera

toujours supposde

_non relativiste _et ob6issant h _une

distribution de Maxwell.

2. Emission

spontan4e.

Considdrant _en moyenne, ^comme dans toute la

suite,

_un niveau de nombre

quantique principal

n, on ne ddtaille pas [es sous-niveaux de nombre

quantique

azimutal

I

_et l'on admet _un

peuplement proportionnel

h leur

poids statistique

2

I

₊ _I,

ce

qui

est r6alis£ dans [es

plasmas habituels,

ni trop

t6nus,

ni

trop

^froids

(un

>cart dventuel serait sensible _surtout pour

n =

2 dans [es ions

lourds).

Soit donc I'£mission radiative

spontan£e

du niveau p ^au niveau _n

lp

~

n)

de l'ion h _un

£lectron,

ayant le nombre de

charge

nucl£aire Z. Le coefficient d'Einstein

(probabilitd

de transition par unitd de

temps)

est connu

depuis longtemps

dans

l'approximation dipolaire

_non

reiativiste _:

Apn "

~( ~~~ (

gnp iLS~'

,

(I

p R Rp

oh le facteur de Gaunt g~~

(compris

entre

0,7

et

I)

_vaut

[2]

:

g~~ = gr

/

^" ^~ ^~~~^~^~~ ^"~ _F

(~

F(~

,

(2)

n+p p-n

avec :

F=F(I-n, ^-p;1; ^~~ j. ₍₃₎

In -p)~

La fonction

hypergdomdtrique

F

[3]

se r6duit ici h _un

polyn6me

du demier argument. ^La

croissance du nombre de tenures avec n rend n6anmoins

pr6cieux

le

d6veloppement

asymptotique [4] corrig6

par

[5]

_:

g~~ m

0,1728

^~ ^~~(~~~~

0,0496

^~~~~

~~~~ ~"~~~~

+

(4)

In

_n

/p In

_n

/p )

Une autre forrnule utile [6, 7] ^introduit la fonction de Bessel ordinaire [3] et sa ddrivde

IS

~0)

_:

lim

g~,

~ ~~ ⁼ gr

/sJ~ _Is _J] _Is ₎ ₍₅

n~w

(4)

N° 2 COEFFICIENTS DE TRANSITIONS HYDROGtNOiDES 199

Rappelons dgalement

la relation entre la force d'oscillateur

(en absorption) f~~

^et ^le ^facteur ^de

Gaunt

~~~

3 gr

/

_~p

_n~/p

_)~ ^~~~ ^~~~

Dans _un but

pratique,

diverses formules

empiriques d'approximation,

_par

exemple (33)

de

[8],

ont

d6jh

£t6

propos6es,

mais leur encombrement [es rend _souvent d'un int6rdt illusoire.

Afin

d'y rem6dier,

r66crivons la formule

14)

de la

fagon

suivante :

~~~

~~~~~~~

(n/pi21' ^~~~ ~il~+ ~

^~ ^~~~

En

optimisant d'apr~s

[es valeurs

num6riques

exactes

(2)

_une

expression inspir6e

de

(7),

_on

trouve une

approximation g6n6rale unique,

conciliant

pr6cision

et

simplicit£,

valable pour tout n et tout p ~ n

In

et p entiers

naturels)

_:

g(~

= l

0,202

^'~~~ ^~

~~~j ^~'~

^~~ = g~~ ^±

0,2

§b.

(8)

P -'l +

,°5

A titre d'illustration

numdrique,

_A~~ vaut 106

ns~'

_{si Z}

= 7.

3. Recombinaison radiative.

On _suppose ddsormais que les dlectrons libres _sont maxwelliens h la

temp6rature

T _et l'on

emploie

une

temp6rature

^r6duite

U

= kT/Z ^~

Ry

,

(9)

Tableau I.

Coefficient

de recombinaison radiative

R~

du noyau nu de

charge

Z _vers le

niveau _n, _en unitds

(Z/n~ U)10~

^'?

cm~/s,

U dtant la

tempdrature

_en unitds Z~

Ry.

[Rate

coefficient

R~

^for ^radiative recombination from the bare nucleus

having charge

Z _to the

level _n, in units of

(Z/n~U)10~'?cm~/s,

_where _U _is _the

temperature

ⁱⁿ ^units ^of

Z~

Ry.]

logjo

U -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 2 3

n

4,144 13,10 41,43 130,9 4 II,6 232 2 754 3 083 795 727,3

2 9,107 28, 80 91,04 287,1 883, 3 2 282 3 413 2 641 292 490,9

3 14, 15 44, 74 141,4 444, 320 2 903 3 377 2 226 017 377,0

4 19,22 60,78 192,0 599,6 708 3 240 3 195 921 845,5 309,0

5 24, 32 76, 88 242,6 752,5 2 041 3 408 2 991 694 727,2 263,3

7 34,54 109,2 343,9 047 2 560 3 487 2 625 379 573,6 205,2

10 49,92 157,7 494,7 1453 3 050 3 358 2 210 090 441,3 156,2

15 75, 62 238,7 740,9 2 020 3 408 3 017 761 820,1 323, 9 II 3,6

25 127,1 399,9 203 2 780 3 456 2 446 275 562,1 216,5 75, 16

50 255, 8 792,1 2 124 3 441 2 933 674 785,0 328,0 123,1 42,28

100 510,5 494 3 090 3 324 2 146 067 465,8 187,2 68,91 23,46

300 434 3 035 3 352 2 192 093 476, 8 193,8 74,58 26,82 9,038

000 3 097 3 314 2 126 047 453,2 182,8 70,71 26, 35 9,304 3,109

(5)

oh k _est la _constante de Boltzmann _et

Ry

le

Rydberg exprim6

en

6nergie (13,6057

eV,

correspondant

h la

temp6rature

de 157 887

K).

Le coefficient de recombinaison radiative

R~

^du noyau nu vers le niveau _n _se

d6duit,

_en vertu de la micror6versibilit6 et au moyen d'une

int6gration num6rique,

de la section efficace de

photoionisation, qui

est _connue exactement

[4, 9]

dans

l'approximation dipolaire

non

relativiste. Les r6sultats

prdsentds

_en

[10] comportaient

_une sommation infinie _sur les niveaux.

Le tableau I

distingue

ici le coefficient calculd par niveau.

Un

ajustement num6rique

couvrant tout niveau _et _toute

tempdrature

conduit h

l'approxi-

mation suivante _:

2,7

9/

In

+ II ₊

(0,62 n~

+

0,95

_n

0,33

U

j~ Z

~~

l ₊

(0,

003

0,0015/n )

U

~~ ~'~~~

_~ ~~ ~

n

fi

~~ ~

0,124 3,35

n + 50

~

~j

^~

~~' ~~'

'

~

n n + 10 ^~ _n + 52 ^~ ^~ ^' ^~

jio)

La

pr6cision

est meilleure que I §b pour n ~ 26 et U

~

l,

c'est-h-dire l'essentiel du domaine utile. Ceci _reste vrai si l'on

simplifie

_en

supprimant

le _terme

lo,

003

0,0015/n

U. En outre,

quel

_que ^soit n, la

pr6cision

est meilleure que 3 §b si U

~ 81 _sans _ce tenure et pour ^tout U _avec

lui.

En dehors de cette

prdcision d'ajustement,

la

question

des effets relativistes et

multipolaires

a dtd abordde _en

[10] d'apr6s

[es r6sultats de

[I Ii.

Au _vu de _cette

discussion,

_on _peut _par

exemple

estimer que l'erreur totale de

(lo)

_ne

ddpasse

_pas lo §b si Z _~ 80 et kT _~ 50 kev.

4. Excitation _par choc

dlectronique.

4. I SECTION EFFICACE D'EXCITATION.

S'agissant

d'un

prob16me

h trois corps, la situation n'est pas encore aussi bien dtablie que pour [es

phdnom~nes

radiatifs

prdc6dents.

Ecrivons

d'abord la section efficace d'excitation du niveau n au niveau p sous la forme _:

ok ao ^est le rayon de Bohr _et E

l'6nergie cin6tique

de l'61ectron incident.

L'approximation

de

Bethe-Bom

[12-14]

tire

parti

du fait

qu'avec

_une constante

C~~ addquate,

calculable

thdoriquement, e~~z(E)

^tend vers 0

quand

E devient

grand (mais

_non relativiste

I),

_et consiste donc h le

ndgliger.

Si _cette

approximation

est souvent insuffisante _aux

dnergies utiles, qui

sont

trop

basses,

elle constitue

cependant

une intdressante base de

ddpart.

Les _constantes

C~~

^sont

disponibles

notamment pour n ~p ~

II,

_et _en tout dans _une

centaine de _cas

[15-18] (attention

_aux

prdsentations

varides

I).

Par

ailleurs,

_un calcul fondd _sur des

trajectoires classiques

amine le rdsultat

[7, 19, 20]

:

n»I,p-n»I :C~~= "~/n~l -~) _~7-3~). ₍₁₂₎

p p

On obtient aussi

l'analogue

de la formule

(5) [21]

_:

ok I

Is )

est tabuld

[21] jusqu'h

_s

= lo et vaut 1/6 _s pour s tr6s

grand,

ce

qui

_recoupe

(12).

(6)

N° 2 COEFFICIENTS DE TRANSITIONS HYDROGtNOiDES 201

En

ajustant

_aux donn6es

numdriques

_une

expression inspir£e

de

(12),

_on arrive h

l'approximation g6n6rale

suivante _:

C(~

= n l ₊

~'~ ) ^~~ ^2,33 ^~'~ )

^~~

_l,32

+

~'~~ (14)

p P ^~

C(~ reproduit

^C

~~

(plus

exactement

C~~ g~/g(~,

en vue de

remplacer

_{g~~ par}

g(~

^dans ^la ^formule

de

Bethe-Bom)

h I §b

pr~s

dans tous les _cas tabul£s _par

[15-17],

sauf darts les deux _cas- frontihres 7-12

(3 §b)

et surtout 8-11

(7 §b)

ok le calcul de

[17]

_commence manifestement h devenir

douteux,

_comme le

sugg~re

d'ailleurs _une

impr£cision

inhabituelle pour le coefficient du

logarithme

_: 7.227 ₊

4,

contre 7.234 ₊

4,

alors que ^tous ^les ^autres

n'~

_A

_In, _n')

_ont _leurs

quatre

^chiffres exacts. En _ce

qui

conceme

[18],

ok les

C~~

se d6duisent d'un

ajustement

_aux

sections efficaces h haute

dnergie,

ii _vaut mieux comparer directement [es _« de Bethe-Bom

entre 200 et 700 fois

l'6nergie-seuil,

_avec _comme rdsultat un d6saccord de 2 fb pour 20-22

mais inf6rieur h I §b dans [es

cinq

autres cas. Enfin [es limites

(12)

et

(13)

sont

reproduites

h 2 §b

pr~s

et il

s'agit

16 vraisemblablement de

l'imprdcision

maximale de

(14).

Nous n'irons pas

plus

loin sur la section efficace

proprement dite,

_passant directement h _son

exploitation

dans le coefficient

d'excitation,

via les donn6es

numdriques disponibles.

4.2 COEFFICIENT D'EXCITATION. Le coefficient d'excitation X~~ ^est ^une moyenne

(«~~ v)

sur la vitesse _v des Electrons

incidents,

_ce

qui

donne pour une distribution de Maxwell

(m

= masse de

l'dlectron)

X~~ =

~

(kT)~

^~~~ ^~

«~~

^E ^e~ ^~~~~ ^dE

Ii 5)

"~~l euii

Nous utilisons les sections efficaces

[22, 23]

calculdes pour n _~ p ~ 6 par la m6thode de

Coulomb-Bom-Oppenheimer

dans la limite d'une

charge

^Z

infinie,

oh _cette mdthode devient

exacte

(aux

effets relativistes

pr~s).

Afin

d'exploiter

au mieux l'information

numdrique

disponible,

nous

reprdsentons,

_pour

chaque

transition, le

produit

WE

(appe16,

h _un coefficient

prhs,

force de

collision)

_par _une fonction deux fois contin0ment ddrivable

(spline),

de ddrivde seconde _en E nulle _au

seuil, reproduisant

tous [es

points donnds, dgale

h _un

polyn6me cubique

de

l'dnergie

entre deux abscisses donndes consdcutives et, au-deli du demier

point II

5 fois le

seuil), dgale

h la valeur issue de Bethe-Bom

(avec

_g~~ et

C~~ exacts) augmentde

de deux termes

ajustables

cte/E et

cte/E~ Ice

demier

pouvant

^du reste, sans modification

significative

du rdsultat

final,

dtre

remplacd

_par cte

(In E)/E

ou cte/

Qi). _Aprbs l'intdgration thermique (15),

un

ajustement

h §b

pr6s

_pour toute

tempdrature

_se rdv61e

possible

:

~

lp/n ) g(~ _p-

² _~ ² ^{in V} +

D~~

~~~ ~'~~

_~ ~~ ~

lp/n n/p

)~

~~~ U Z~

fi

^~~ ^~~^~ ^~~~~

avec :

~ ^~ ~

1,87

~ ~

3,7

_n

1,9 fi

_~ _~ ^p ⁿ

^2,3

³ ⁶ ⁿ

^1,59

~ ~

n ^'

~ ~ p

~ ~

' p

~

p n

~

p2

n ^'

(17)

D~~

= n

~l

⁺

~'~

) ^~~ ^2,48 ^~' _~ ^~'~ l,85

₊

~'~~

(18)

p p ⁿ

La

prdeision

_est donc de I §b dans les dix _cas _n _~ p ~

6, quel

_que soit

T,

si Z est tr~s

grand (hors

effets

relativistes).

Si _n

~ 4

et/ou

_p

~

5,

elle

risque

de _se

d6grader

s6rieusement h basse

(7)

tempdrature,

mais si U

~

n~~ l'approximation

de Bethe-Bom _est admissible

[24]

et comme

dans _ces conditions

D~~

^est

proche (5

§b d'6cart pour n

grand

et au

pire

27 fb pour

1-6)

de _sa valeur attendue

C~~- 0,5772 (constante

d'Euler _y, cf.

l'exponentielle intdgrale [3]),

on

conserve alors _sons doute _une

prdcision

de

quelques

§b _sur le coefficient d'excitation. On note

d'ailleurs _avec satisfaction que

celui-ci,

tel que foumi par

(16)-(18),

est

toujours positif,

de mdme que

V,

bien que le facteur de _n

fi _puisse

_dtre

_ndgatif.

En

guise

de contr61e

num6rique,

_pour Z

= 7 _et kT

= 200 eV

(soit

U

=

0,3),

la formule

II 6)

donne X~~ ₌

3,965

_x 10~ ^~°

cm~/s.

Afin d'6tudier

l'applicabilitd

de

(16) lorsque

Z est

faible,

_comparons _sur la

figure

I cette formule _aux rdsultats obtenus rdcemment

[25-30]

_par une mdthode

th60rique 6iabor£e,

celle de la matrice R

(on

_a effectud ici la sommation des forces de collision effectives _sur _tous les _sous-

niveaux des deux niveaux _n et p dans le tableau 5 de

[27],

_on _a consid6r6 _comme errond le

signe

de

l'exposant

_aux deux

tempdratures

les

plus

basses pour la transition _« lo- I I

»).

On voit

'

' ',

_{-_}

~

,,~~ *o,,;+%,~

^'

~

~~~

$

~~2 ~~~

~

~~~

l __~_

3 2 O 3 2

3,

² ³ ²

~~~~~°~

'

°OQ.~fi~

__ ^'

"... ,

~ ~

~

^~

~~

~ ~

l I

~

H - - ,

~

Hell ^--

,"

^CVI ^3-4

~

_3-~

,o* NeX

..q-

_~

~ _

'_o_

I

Sl X~V ^~

,-" Ca XX 4-5

/

Fig.

I. Coefficients d'excitation du niveau _n _au niveau p < 6 [25-30]

rapport£s

h la formule (16).

[R-matrix excitation _rate coefficients from level _n _to level p < 6 [25-30]

(gathering

rue effective collision strengths for all sublevels in both levels) divided by ^formula (16), which closely ^fits Coulomb-Bom-

Oppenheimer

results for

high

Z [22, 23]. The temperature ^is

given,

_as U, in units of Z~

Ry.]

(8)

N° 2 COEFFICIENTS DE TRANSITIONS HYDROGENOiDES ₂₀₃

que la

pr6sence

de rdsonances _sur la section efficace peut augmenter consid£rablement le coefficient d'excitation h basse

tempdrature,

mais [es hautes

temp£ratures

montrent en

gdn6ral

le

rapprochement

attendu _avec la formule de Bethe-Bom, sauf pour Z

= I _et p =

5 oh it faudrait _une base d'dtats lids _encore

plus

dtendue pour ne pas surestimer X~~ par

blocage

d'autres voies d'excitation

[26] (Z

=

2 _et p =

5 _est ddlibdrdment absent pour ^cette

raison).

Cet effet de base

tronqu6e joue d6jh

_pour _p

=

4

[30], expliquant

sans doute la curieuse Evolution

avec Z si _n

=

I _ou 2 _; _on peut au demeurant soupgonner

qu'il

n'a pas totalement

disparu

_pour la transition 1-3.

Quoi qu'il

_en

soit,

l'accord est rdalisd h lo _ou 20 §b

prbs

16 comparer h la

prdcision

de lo §b attribude _aux calculs par la matrice

R)

_pour [es transitions

importantes

n - n + I et/ou _p _~

4,

si Z

~ 5 _; _avec [es mdmes Z et p =

4 _ou

5,

_on atteint d'ores et

d£jh

_ces

prdcisions

dans _un domaine de

tempdrature

suffisant pour

beaucoup d'applications:

U ~

0,1.

En attendant des calculs _encore

plus raffinds,

notamment pour dlucider l'dvolution _en

Z,

_on pourra donc

employer

la formule

II 6),

avec en

pratique

une incertitude relative voisine de

I/Z.

Quant

aux effets

relativistes,

le

plus critique

h basse

temp6rature provient

des

d£placements [3 Ii

du seuil

d'excitation, qu'il

faudrait

ponddrer

_par [es forces de collision. En

fait,

_on _peut _se

contenter pour

chaque

niveau excit6 d'une moyenne selon [es

poids statistiques

et obtenir

(5/p~ 4/p~ ^5/n~

+

4/n~)

a

~

Z~/4

_U

comme

principal

tenure correctif h

l'argument

de

l'expo-

nentielle dans

(16),

_a dtant la constante de structure fine. Par

exemple,

_une tol£rance de 10 §b

sur

Xi~

^{si U} ₌

0,1

rend _cette correction

superflue jusqu'h

Z

=

30 _et vraisemblablement _encore utilisable _vers Z

=

60. Par

ailleurs,

l'extension relativiste

[14]

de la formule de Bethe-Bom permet ^d'estimer ^inf6rieur ^h ^{10 §b} ^l'effet ^des hautes

temp6ratures

si kT

~ 50 kev.

5. Ionisation par choc

dlectronique.

5. I SECTION EFFICACE D'IONISATION. Une ddduction forrnelle trks

simple

_va _nous _mener de l'excitation h l'ionisation. Ecrivons la section efficace totale conduisant

n'importe

oh dans _une bande de niveaux trbs excit6s _:

P2 p~

£ _"np

~

"np dP l19)

P =Pi Pi

Remplacer

_p _par un

imaginaire

_pur

iq,

^donnant ^h ^l'61ectron

dject£ I'£nergie ^Z~ Ry/q~,

foumit alors la section efficace d'ionisation du niveau _n _:

(E/Z~ Ry n~~)~^'~~

"n ~

i "n,

IQ

dq 120)

m

En

appliquant II

I

)

dans le cadre de

l'approximation

de Bethe-Bom

(E

- m

),

il _en d6coule

"n ~

j ) _n )

_Ill

) )

+

nj

,

121)

~~

_~

oh _un

d6veloppement

de

G~

^rdsulte de la formule

(4)

:

Gn

-

~ ~)2/3

w

~~4/(~

+ ~~~~

Les valeurs

pr£cises

_pour n

petit

_se calculent par

inIdgration numdrique d'aprbs

le facteur de

(9)

Gaunt l16-libre

[4, 9]

et sont

port6es

dans le tableau II. On

peut

^rassembler tous _ces rdsultats darts _une formule

quasi

exacte :

G~

₌

0,088/n~ 0,0599/n~

₊

0,01536/n~

_±

0,001

§b

(23)

Tableau II. Constantes _pour la section

ejficace

d'ionisation de Bethe-Born

(21).

[Constants

for the Bethe-Bom ionization cross-section

(21)].

n

Gn K~

0,867464 4,4337

2

0,924621 9,107

3

0,945563 13,996

4

0,956614 18,957

5 0,963523

23,956

6

0,968289 28,978

7

0,971796 34,016

8

0,974498 39,063

lo

0,978412 49,180

15 0,983971

74,545

20

0,986979 99,96

30

0,990246 150,88

40

0,992033 201,83

50

0,993183 252,82

60

0,993994 303,80

70

0,994601

80

0,995076

Le tableau II

pr6sente aussi,

_avec _tous leurs chiffres

significatifs,

les valeurs de

K~

_que nous d6duisons h haute

6nergie ljusqu'h ^e'~

fois le

seuil)

de la section efficace de Bom

pour l'atome

d'hydroghne

obtenue dans la formulation

analytique

de

[18],

off

l'intdgrale triple

apparente se r£duit heureusement h _une

int£grale double,

immddiatement pour [es tenures en

d£rivde seconde dons

(2.17)

et h l'aide d'une

int6gration

_par

parties

_pour [es autres.

Signalons qu'atteindre

n ₌ 60 n6cessite de recourir h

l'alg~bre complexe

_en

quadruple prdcision (32ddcimales).

Notre programme

reproduit quasi parfaitement

les «~ de Bom calcu16s

ant£rieurement

jusqu'h

n ₌ 5

[32] (h l'exception pr6s

_que

0,694

_y

remplace 0,671

_pour

n =

5,

dans le tableau 6 _;

accessoirement,

la moyenne

pond6r6e

sur [es sous-niveaux de

n ₌ 4 donne la valeur _exacte

0,325

_au lieu de

0,326).

Une version

prdcddente [33], quoique

moins

prdcise,

est en accord h §b

pr6s

dans la

plupart

des _cas. Pour _n

=

lo et 20

[18] (ok

le calcul

numdrique

semble

sommaire),

l'dcart avoisine lo §b. La

figure

2 _montre _comment _on

s'approche

des constantes

K~, grice

h _une fonction auxiliaire

B~(E)

^ainsi ^d£finie :

La valeur

pr6cise

de

K,

6tait

d6jh

_connue

[34].

Par _contre il faut _noter que

K~,

K~

et

K~,

tels

qu'ils

_se ddduisent par moyenne

pond£r6e

des

D"(ni)

_non

_ajustds

_de

_[35-38],

(10)

N° 2 COEFFICIENTS DE TRANSITIONS HYDROGENOIDES ₂₀₅

20

i

Ry/n~E

Fig.

2. Fonction auxiliaire pour la forrnule (24).

[Auxiliary

function

giving

the Bom ionization cross-section for atomic

hydrogen turough

formula (24).

doivent dtre

augmentds

de In

(n~ )

_pour coi'ncider h mieux que I §b

prbs

avec le tableau

II,

_ce

qui

semble

indiquer

chez _ces _auteurs _une confusion _sur la normalisation de

l'6nergie

dans le

logarithme

de Bethe-Bom

(21).

Par

ailleurs,

on constate _avec _une

plaisante surprise qu'une

m6thode

rustique [19]

foumit

d6jh

les

K~

^{h I §b}

prbs.

Pour _n

grand, K~

se d6duit de la limite

classique (12) (aussi [19, 20])

_:

15

WI

j25) n»I:K~=

j~ ^n.

En

comp16tant

ainsi le tableau

II,

_on obtient _:

K~

₌

5,08

_n

1,53

₊

0,89/n

_±

0,4

§b

(26)

5.2 COEFFICIENT D'IONISATION.-Nous amvons _au coefficient d'ionisation S~ par une

formule

analogue

h

(15),

_avec les sections efficaces

[37, 38]

calcu16es

6galement

_par la

m6thode de

Coulomb-Bom-Oppenheimer

_avec Z infini. Pr6cisons que nous comblons [es

lacunes du tableau I de

[38]

_pour

Q((4 _f, u)

_par la formule _:

(4 f )

m

o,

9742

(1

s)°.285

(2

_p

)-

^'.55

(3

d_)2>265

,

j27)

JOURNAL DEPHYSIQUE li T 3. N'2, FEBRUARY lW3 S

(11)

qui

restitue les trois valeurs donndes et la limite h haute

dnergie (noter

_que la _somme des exposants vaut

I).

L'incertitude ainsi introduite _sur «~ ^ne

ddpasse probablement

_pas I

§b,

comme le

suggbre

la

reproduction

de

(4 s)

_par un

procddd analogue

_:

(4 s)

=

1,043 (1

_s

)~

^°.~~

(2

_s

)~

^°>~~

(3 s)"~~

_± l §b

(28)

Comme _au

paragraphe 4.2,

_avec ici la

justification suppldmentaire

de bien

repr6senter

la

pente

au

seuil,

_nous

exprimons

la force de collision par une fonction

spline cubique

de E, nulle et de d6riv6e seconde nulle _au

seuil,

raccord6e au-deli du demier

point (6

fois le

seuil)

h la

formule de Bethe-Bom

(avec G~

et

K~ exacts) comp16t£e

comme pour l'excitation.

Aprbs

l'int6gration thermique,

_on

_peut

r6aliser _un

ajustement

h 2 §b

prbs

_pour toute

tempdrature

:

n~ I 14 _n

6,8

₊

3,7/n

₊

(5,8 0,94/n )

In

(0,87/n~

₊ _n

fi)

~~ g

Z~

^~~~ n~ U

lo,

98

0,82/n

₊

1,6/n~)/n fi

+

0,9

+

0,31/n

+ n

fi

^~~ ^~~ ^~~

(29)

Ceci vaut pour n ~

5,

mais _comme

l'expression

14 _n

6,8

₊

3,7/n (sauf

_pour _n

=

I)

et le

coefficient du

logarithme

sont corrects h 3 §b

prhs

_pour

Bethe-Bom,

_on _peut s'attendre h _une

pr£cision

^de

quelques

§b pour n ~

4,

du moins tant que la

temp6rature

n'est pas

trop basse,

soit U _~

n~~

pour fixer [es id6es. Ceci _couvre mainte

application pratique,

car si U

~

l/25,

la

population

des ions

hydrogdnoides

_est _en

g6n6ral

tout-h-fait

ndgligeable.

Comme

exemple numdrique

d'utilisation de

(29),

le _cas Z

=

7 _et kT= 200eV

(soit

U

=

0,3)

donne S~ ₌

4,090

_x 10~ ^~°

cm~/s.

Si Z n'est pas

grand,

_une erreur vraisemblable _est

(100/Z)§b

comme dans le _cas de

l'excitation. Ceci est confirms _pour _n

=

I oh [es donn6es

[39, 40] th60riques

_et

exp6rimentales

sur l'ionisation h

partir

de l'6tat fondamental

indiquent

_que

Sj,

h trhs basse

temp6rature,

est inf6rieur h

(29)

dans le

rapport

^I + I/Z

environ,

si Z

~ l

jet

_presque 3 si Z

=

I).

Ce rapport tend bien s0r _vers I

quand

la

temp6rature

augmente. On manque malheureusement de donn6es

analogues

_pour l'ionisation h

partir

d'un niveau excitd. En _ce

qui

_conceme [es effets

relativistes,

[es r6sultats de

[41]

confirment des estimations

comparables

h celles

qui

terminent le

paragraphe

4.2

(avec

_p

infini).

6.

Application

du bilan dktail14.

A

l'dquilibre thermodynamique,

[es _taux de deux r6actions inverses _sort

6gaux.

On obtient ainsi le coefficient de d6sexcitation par choc

61ectronique

Y~~ h

partir

de

(16)

_:

~2

n~~

_P ^~

X~

(30)

y~~ =

jexp

u ^~

P

jn/p) glp

^'~ ^V ~

~~P cm~/s

w

1,68

_x IO ^?

~~~ n/p

)~ Z~

Qb

De mdme le coefficient de recombinaison

dlectronique

I trois corps d6coule de

(29)

_:

2

W~

₌ ⁸

al ) )

^~~~ _exp

)

_S~

6,6

_x 10~ ^~~ n~ ¹⁴ n

/8

+

3,7/n

₊

(5,8 0,94/n

^In

(0, 87/n~

+ n

fi)

~

~~~~

U~~~

Z~ (0,98 0,82/n

₊

1,6/n~)/n fi

+

0,9

₊

0,31/n

+ n

fi

^~~ ^~~

(12)

N° 2 COEFFICIENTS DE TRANSITIONS HYDROGtNOIDES ₂₀₇

7. Conclusion.

Nous _avons examin£ quatre processus essentiels pour

peupler

ou

ddpeupler

[es diffdrents

niveaux des ions

hydrog6noides.

Les constantes de Bethe-Bom relatives h la forme

asymptotique

des sections efficaces de collisions

dlectroniques indlastiques

out fait

l'objet

d'une Etude

approfondie, comp16tant,

_pour [es niveaux trbs

excit6s,

[es r6sultats

disponibles

sur [es sections efficaces des has niveaux. Ceci est mis h

profit

_pour

repr6senter synth£tique-

ment [es coefficients d'excitation et

d'ionisation,

ainsi que celui de recombinaison radiative _et la

probabilit6

d'6mission

sponIan6e,

_sous forme

d'approximations

^h ^la fois

pr6cises,

commodes et 6conomes _en temps ^de ^calcul.

L'emploi

du bilan d£tail16

permet

en outre d'dtendre l'utilit6 de _ces r6sultats h la d6sexcitation _par choc et h la recombinaison

triple.

On peut ^{de la} sorte moddliser facilement la

plupart

des r6actions

importantes,

intemes h l'ion

hydrog£noide

ou le reliant _au noyau nu, dans [es

plasmas optiquement

minces, _aux

temp£ratures

habituellement rencontr£es et sur une

plage

dtendue de

charges

_moyennes ou assez fortes. De

plus,

les formules peuvent 6ventuellement

s'appliquer,

^chez [es ions h

plusieurs £lectrons,

aux niveaux

simplement

excit6s, assez dlevds pour ne voir que la

charge globale

d'un _cmur fixe.

Bibliographie

II BOUSQUET C., GRUMBERG J., LEBOUCHER-DALIMIER E., NGUYEN H., PooutRussE A., J.

Phys.

B At. Mol. Opt. Phys. 23 (1990) 1783.

[2] MCLEAN L., Philos. Mag. 18 (1934) 845.

[3] ABRAMOWITz M., STEGUN I. A., Handbook of mathematical functions (Dover Publ., New York, 1965).

[4] MENzEL D. H., PEKERIS C. L.,

Monthly

Not. R. Astr. Sac. 96 (1935) 77.

[5] BURGESS A., Monthly Not. R. Astr. Sac. 118 (1958) 477.

[6] MENzEL D. H., Nature (London) 218 (1968) 756.

[7] PERCIVAL I. C., RICHARDS D., Adv. At. Mol.

Phys.,

D. R. Bates and B. Bederson Eds. (Academic Press, New York, San Francisco,

London)

II (1975) 1.

[8] BURGESS A., SUMMERS H. P,,

Monthly

Not. R. Astr. Sac. 226 (1987) 257.

[9] KARzAS W. J., LATTER R., Astrophys. J.

Suppl.

6 (1961) 167.

[10] PooutRussE A., J.

Phys.

France 51 (1990) 2073.

[I II KIM Y. S., PRATT R. H.,

Phys.

Rev. A 27 (1983) 2913.

[12] LANDAU L., LIFCHITz E.,

Mdcanique quantique

(Mir, Moscou, 1966).

[13]

MASSEY H. S. W., BURHOP E. H. S., Electronic and ionic

impact

phenomena, vol. I (Clarendon Press, Oxford, 1969).

[14] INOKUTI M., Rev. Mod. Phys. 43 (1971) 297.

[15] KINGSTON A. E., LAUER J. E., Proc.

Phys.

Sac. 87 (1966) 399.

[16] KINGSTON A. E., LAUER J. E., Proc.

Phys.

Sac. 88 (1966) 597.

[17] OMIDVAR K.,

Phys.

Rev. 188 (1969) 140.

[18] MATSUzAWA M.,

Phys.

Rev. A 9 (1974) 241.

[19] JOHNSON L. C.,

Astrophys.

J. 174 (1972) 227.

[20] VRIENS L., SMEETS A. H. M.,

Phys.

Rev. A 22 (1980) 940.

[21] RICHARDS D., J. Phys. B _: At. Mol.

Phys,

6 (1973) 823.

122] GOLDEN L, B., CLARK R. E. H., GOETT S. J., SAMPSON D. H., Astrophys. J.

Suppl.

45 (1981) 603.

123] CLARK R. E. H., SAMPSON D. H., GOETT S. J.,

Astrophys.

J. Suppl. 49 (1982) 545.

[24] PERCIVAL I. C., RICHARDS D.,

Monthly

Not. R. Astr. Sac. 183

(1978)

329.

[25] AGGARWAL K. M., BERRINGTON K. A., BURKE P. G., KINGSTON A. E., PATHAK A., J.

Phys.

B At. Mol. Opt. Phys. 24 (1991) 1385.

(13)

[26] AGGARWAL K. M., BERRINGTON K. A., KINGSTON A. E., PATHAK A., J.

Phys.

B _: At. Mol. Opt.

Phys.

24 (1991) 1757.

[27] AGGARWAL K. M., KINGSTON A. E., J.

Phys.

B _: At. Mol.

Opt. Phys.

24 (1991) 4583.

[28] AGGARWAL K. M., KINGSTON A. E.,

Phys.

Scr. 44 (1991) 517.

[29] AGGARWAL K. M., KINGSTON A. E.,

Phys.

Scr. 46 (1992) 193.

[30] AGGARWAL K. M., KINGSTON A. E., J.

Phys.

B _: At. Mol. Opt.

Phys.

25 (1992) 751.

[31] JOHNSON W. R., Sow G., At. Data Nucl. Data Tables 33 (1985) 405.

[32] OMIDVAR K., Goddard

Space Flight

Center

Report

X-641-68-505 (1968, _non

publid).

[33] OMIDVAR K.,

Phys.

Rev. 140 (1965) A26.

[34] OMIDVAR K.,

Phys.

Rev. 177 (1969) 212.

[35] GOLDEN L. B., SAMPSON D. H., J.

Phys.

B _: At. Mol.

Phys.

10 (1977) 2229.

[36] GOLDEN L. B., SAMPSON D. H., OMIDVAR K., J.

Phys.

^B _: At. Mol.

Phys.

11 (1978) 3235.

[37] MOORES D. L., GOLDEN L. B., SAMPSON D. H., J.

Phys.

B _: At. Mol.

Phys.

13 (1980) 385.

138] GOLDEN L. B., SAMPSON D. H., J.

Phys.

B _: At. Mol. Phys. 13 (1980) 2645.

139] YOUNGER S. M., J. Quant. Spectrosc. Rad. Trans. 26 (1981) 329.

140] BELL K. L., GILBODY H. B., HUGHES J. G., KINGSTON A. E., SMITH F. J., J.

Phys,

Chem.

Ref.

Data 12

(1983)

891.

[41] MOORES D. L., PINDzOLA M. S.,

Phys.

Rev. A 41 (1990) 3603.