TD1-Exponentielle-TL

LYCEE M.T.B.M DE DAROU MOUSTY ANNEE SCOLAIRE 2009 – 2010 CLASSE DE Tle L DISCIPLINE : MATHEMATIQUES

FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 1 :

Simplifier au maximum l’écriture des réels suivants 2 3 _ln lne e A= − ; B =e3×e2 ; C =(1−2 e)(1+2 e); 2 4 1 1 e e D − − = ; _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = e e e E ln 3 4ln

Exercice 2 : Vérifier, pour tout réel x, les égalités suivantes :

a) (3+2ex)(2−3e−x)=4ex −9e−x ; b) (ex −4)(1+4e−x)=ex −16e−x ; c) _{x x} x x x x e e e e e e + − = + − − − 2 2 1 1

Exercice 3 : Résoudre dans R:

a) ex−6e−x −1=0 ; b) ex −6e−x −1≥0 ; c) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − − − − − 11 6 7 3 3 5 y x y x e e e e

Exercice 4 : On considère la fonction f définie sur R par : _{f x}

_{( )}

= − − .

On note (C) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal

(

)

1. Déterminer la limite de f en −∞ .

2. Etudier le comportement de f en +∞ . (On pourra factoriser f x par

_{( )}

3. a) Justifier la dérivabilité de f sur R et donner l’expression de f xʹ′

_{( )}

4. Dresser le tableau complet des variations de f.

5. a) Montrer que la droite (_{D) d’équation :} y= − − est asymptote à la courbe (C) en −∞ . x 4 b) Etudier la position de (C) par rapport à (D).

6. Tracer la droite (D), puis la courbe (C).

Exercice 5 : Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, J, I). Soit f la fonction définie sur [0 ; + ∞[

par f(x)=x+e1−x et (C) sa représentation graphique 1. Calculer lim f(x)

x→+∞

et lim [f(x) x]

x→+∞ − . En déduire que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera l’équation.

2. Résoudre dans [0 ; + ∞[ : l’équation 1−e1−x =0 et l’inéquation 1−e1−x ≥0

3. Déterminer la dérivée f ʹ′ de la fonction f. En déduire le sens et le tableau de variation de f. 4. Compléter le tableau de valeurs suivant et construire (C). (On calculera f(x) à 10-2 près)

x 0 1 2 3 4 5 6 f(x)

5. Une entreprise peut fabriquer au maximum 600 articles par jour et le coût de production exprimée en

milliers de francs est donnée par : P₍y₎₌ y₊e1−y_{, où y est le nombres de centaines d’articles produits.} L’entreprise vend les articles produits à 1200 F pièces.

a) Montrer que, pour x centaines d’articles vendus, le montant des ventes peut se mettre sous la

forme : V(x)=1,2x

b) Construire dans le précédent repère la droite (D) d’équation y = 1,2x. c) Quelle est la position relative de (C) et (D) ?

d) Déterminer le nombre d’articles à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice.

Problème : Soit f la fonction définie par

2 2 2 ) ( + − = _x x e e x

f et (C f) sa courbe représentative dans un

repère orthonormé ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → → j i O, , (unité 2 cm). 1) - Préciser l'ensemble de définition de f. 2) a) - Déterminer lim f(x) x→−∞ . b) - Montrer que 2 6 2 ) ( + − = _x e x

f puis en déduire lim f(x)

x→+∞ c) - Donner les équations des droites asymptotes à la courbe de f. 3) a) - Déterminer la dérivée de f et son signe.

b) - Etablir le tableau de variation de f. 4) a) - Déterminer a et b réels tels que

2 ) ( + + = _x x e be a x f

b) - Déterminer une primitive de f(x) (on rappelle que la primitive de ) ( ) ( x u x uʹ′ est lnu(x) ) 5) a) - Déterminer les points d'intersection de (C f) avec les axes de coordonnées.

b) - Tracer la courbe représentative de f.

c) - Calculer l’aire en cm2 du domaine délimité par les droites d’équations x = 1 ; x = 4 ; l’axe des abscisse et la courbe représentative (C f).