HAL Id: hal-00756401
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00756401
Preprint submitted on 26 Nov 2012HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Au sujet des intégrales de Wallis : une démonstration
sans récurrence pour les termes d’indice pair
Claire David
To cite this version:
Claire David. Au sujet des intégrales de Wallis : une démonstration sans récurrence pour les termes d’indice pair. 2012. �hal-00756401�
Au sujet des intégrales de Wallis : une
démonstration sans récurrence pour les termes
d’indice pair
Claire David
23 novembre 2012
Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 Laboratoire Jacques Louis Lions - UMR 7598
Boîte courrier 187, 4 place Jussieu, F-75252 Paris cedex 05, France
Résumé
AMS Subject Classification : 00A05, 26A42.
Les intégrales de Wallis, introduites par le mathématicien anglais John Wallis (1616-1703) font partie des grands « classiques » des problèmes de calcul d’intégrales. On rappelle leur expression :
∀ n ∈ IN : In= Z π2 0 cosnt dt , J n = Z π2 0 sinnt dt (1)
Un simple changement de variable montre directement que :
∀ n ∈ IN : In = Jn (2)
La technique « classique » consiste à obtenir une relation de récurrence entre, res-pectivement, In+2 et In, n ∈ IN, Jn+2et Jn, n ∈ IN, à l’aide d’une double intégration
par parties : ∀ n ∈ IN : In+2 = n+ 1 n+ 2 In , Jn+2 = n+ 1 n+ 2Jn (3) Compte tenu de I0 = π
2 et I1 = 1, on en déduit facilement les expressions respectives de I2 p et I2 p+1, p ∈ IN : Z π2 0 cos2 pt dt= 1 × 3 × 5 × . . . × (2p − 1) 2 × 4 × 6 × . . . × (2 p π 2 = (2 p)! 22 p(p!)2 π 2 (4) 1
Z π 2 0 cos2 p+1t dt= 2 × 4 × 6 × . . . × (2 p) 1 × 3 × 5 × . . . × (2 p + 1) = 22 p(p!)2 (2 p + 1)! (5) Il existe toutefois une méthode de calcul direct des termes d’indice pair I2 p, p ∈ IN,
qui ne semble pas exister dans la littérature.
Il suffit de remarquer que, pour tout entier naturel p, on peut écrire, grâce aux formules d’Euler et à la formule du binôme de Newton :
Z π 0 cos2pt dt = Z π 0 ei t+ e− i t 2 2p dt = Z π 0 1 22p 2p X k=0 C2pk ei(2p−k) te− i k tdt = Z π 0 1 22p 2p X k=0 C2pk ei(2p−2k) tdt = Z π 0 1 22pC p 2pdt = π 22pC p 2p (6)
où, pour tout entier k de {0, . . . , 2 p}, Ck
2p est le coefficient binomial
(2 p)! (2 p − k) k!. Compte tenu de Z π 0 cos2pt dt= 2 Z π2 0 cos2pt dt (7) on obtient bien : Z π2 0 cos2pt dt= π 2p+1 C p 2p= π 2p+1 (2 p)! (p!)2 (8) 2
