TD1 : Intégrales de Wallis

(1)

Prépas Troyes PC maths Mr RHARIF

TD 1 Suites PC

N°1 Soit (un)n unesuite réelle telle que :

n  ℕ, unℤ

Montrer que (un)n converge si et seulement si (un)n est stationnaire.

N°2 Soient (a,b)  ² , (un)n, (vn)n deux suites réelles telles que :

nℕ,







 b v

a u

n

n et u_n v_n _n_ ab

Montrer que u_n _n_ a et v_n _n_ b

N°3 Etudier la convergence des suites définies par :

 n  ℕ,

1 n

n sin u_n n₂

  n  ℕ* ,



 

n

1 k n 2

k n

k w n

N°4 Etudier la convergence de la suite (un)n1 définie par :



   



n

1 k

n (n k)(n k 1)

u 1

N°5 On considère les suites (un) et (vn) définies comme

suit :





n

0 k

n k!

u 1 et









n

0 k

n k!

1

! n . n v 1

1. Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

2. On note e la limite commune des suites (un) et (vn) Montrer que e est irrationnel.

N°6 Etudier la convergence des suites définies par :

un=7ⁿ n²2ⁿ , ₂_n _n

n n 2

n 2 n3

3 n v 2



  ₂ ₂

2

n n n(lnn)

n ln n w n



 

0, _n sin 1

n x n

n

  

    

 ^avec 

N°7 Montrer que les suites suivantes sont convergentes et trouver leurs limites :







 _n

0 k

n

0 k n

) 3 k 2 (

) 1 k 3 (

v w_n ⁿ3sinn



 



n

1 k n 2

k 2 n x 1

N°8 Etudier la convergence de la suite suivante :







 



 



n

1 k

n n

1 k u

N°9 Montrer que la suite (un) est convergente si et seulement si les suites (u2n) et (u2n+1) et (u3n) sont convergentes.

N°10 a et b deux réels strictement positifs tels que

a< b.

On définit les suites définis par : u0 = a ; v0 = b

 n ℕ,







 





2 v v u

v u u

n n 1 n

Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers la même limite.

N°11 (moyenne de Césaro)

Soit (un) une suite complexe convergente vers l ℂ. Soit la suite (vn) définie par :

 n ℕ^*,

n u ...

v_n u¹  ⁿ



Montrer que v_n_n_ l

N°12 Etudier la convergence de la suite (un) définie par : u0 0 et  n ℕ,



^u ⁸



6 u_n_₁ 1 _n²

u0 0 et  n ℕ, ₂

n 1

n 1 u

u 2

 



N°13 Etudier la convergence de la suite (un) définie par :











1 1 1 1 1 u

1 u

n 0

 (n radicaux)