Problème : deux applications des intégrales de Wallis Pour tout n ∈ N , on définit l’intégrale de Wallis d’ordre n par

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

Devoir maison n°5 pour lundi 15/11/2021

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Problème : deux applications des intégrales de Wallis Pour tout n ∈ N , on définit l’intégrale de Wallis d’ordre n par

W _n =

Z

2

0 sin ⁿ t dt.

Si (u n ) et (v n ) sont deux suites réelles équivalentes, on note u _n ∼ v _n . On propose dans ce problème deux applications des intégrales de Wallis :

• déterminer la limite lorsque x tend vers + ∞ de

Z x

0 e ^{− t}

dt

• déterminer un équivalent du coefficient binomial ²ⁿ _n .

1 Généralités sur les intégrales de Wallis

1. Démontrer que l’on a aussi W _n =

Z

2

0 cos ⁿ t dt.

2. Formule explicite

(a) Donner la valeur de W 0 et W 1 .

(b) Démontrer que pour tout entier n > 1, on a W _n+1 = n

n + 1 W _{n −} 1 . 3. En déduire par récurrence que pour tout p ∈ N ,

W _2p = (2p)!

(2 ^p p!) ² π 2 . 4. Équivalent

(a) Déterminer un réel a tel que pour tout n > 1, on ait W n − 1 W n = π

an (on pourra montrer que la suite de terme général nW _{n −} 1 W _n est constante).

(b) Démontrer que pour tout n ∈ N , W _n > 0.

(c) Démontrer que pour n > 1, on a W _n+1 6 W _n 6 W _{n −} 1 , en déduire que pour n au voisinage de + ∞ , W _n ∼ W _{n −} 1 .

(d) Démontrer enfin que pour n au voisinage de + ∞ , W _n ∼

r π

bn où b est un réel strictement positif à déterminer.

5. Application : en déduire un équivalent du coefficient binomial ²ⁿ _n à l’aide des intégrales

de Wallis W 2 n

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2 Facultatif : calcul de l’intégrale de Gauss

Soit f la fonction définie sur R par f (x) =

Z x

0 e ^{− t}

dt.

6. Justifier que f est croissante sur R .

7. Soit t > 1. Comparer e ^{− t}

à e ^{− t} , en déduire avec soin que f est majorée sur [1, + ∞ [.

On en déduit par théorème de la limite monotone (pour les fonctions) que f admet une limite finie en + ∞ . On note cette limite

Z + ∞

0 e ^−t

dt, on l’appelle l’intégrale de Gauss.

8. Pour n ∈ N ^∗ , on pose J n =

Z ^√ n

0 1 − t ² n

! n

dt.

Démontrer que J _n = √

n W 2 n +1 , en déduire la limite de J _n . 9. Démontrer que pour n > 1 et pour t ∈ [0 , √ n [, on a :

1 − t ² n

! n

6 e ^{− t}

6 1

1 + ^t _n

ⁿ . 10. En déduire que pour n > 1,

√ n W 2 n +1 6

Z ^√ n

0 e ^−t

dt 6 √

n W 2 n − 2 .

Pour l’inégalité de droite, on pourra effectuer le changement de variable t = √

n tan u . 11. Déterminer enfin la valeur exacte de l’intégrale de Gauss

Z + ∞

0 e ^{− t}

dt.