Prise en compte de l'endommagement mécanique et chimique dans le cas de surcharges mécaniques et thermiques en fatigue oligocyclique à chaud

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Prise en compte de l’endommagement mécanique et

chimique dans le cas de surcharges mécaniques et

thermiques en fatigue oligocyclique à chaud

Zitouni Azari

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Zitouni Azari. Prise en compte de l’endommagement mécanique et chimique dans le cas de surcharges mécaniques et thermiques en fatigue oligocyclique à chaud. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1985. Français. �NNT : 1985METZ012S�. �tel-01775687�

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B I B L I O Ï H E O U E U N I V E R S I T A I R E D E M E T Z

T H E S E

P r é s e n t é e

à I ' U n i v e r s i t é

d e M E T Z

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR

Es-Sciences

Physiques

par A Z A R I Z i t o u n i

P r i s e e n c o m p t e

d e I ' e n d o m m a g e m e n t

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e n f a t i g u e o i i g 0 c y c l i q u e à c h a u d .

S o u t e n u e l e r 4 M a i 1 9 8 5 E x a m i n a t e u r s : . P r o f e s s e u r G A S C . P r o f e s s e u r M E S M A Q U E . P r o f e s s e u r P L U V I N A G E . M o n s i e u r B E C K E R . M o n s i e u r L E B I E N V E N U I n v i t é s : . M o n s i e u r P O K O R N Y . M o n s i e u r L I E U R A D E . M o n s i e u r T H A U V I N d e v a n t la C o m m i s s i o n d ' e x a m e n E N S M A P o i t i e r s U n i v e r s i t é d e L i l l e U n i v e r s i t é d e M e t z U n i v e r s i t é d e M e t z U n i v e r s i t é d e M e t z

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R E M E R C I E M E N T S

Je nenettci-e tou.t czux clui m'ont gu,Lde zt eneouno,ge da.vu mers nechznclne,t :

Me'saLeuns G. PLUVINAGE, M. LEBIENVENU, Mctnaieun et Ma.dane P?K?RNV, Monsieun BECKER, Me,s Ami,s du Labottatolnz,

Me'saieunt GASC, MESMAQUE, LIEURA?E et THAUVIN, qui m'ont dait L'honneun de pa"nLLcLpe,L au junq.

S O M M A I R E

INTRODUCTION GENERALE

CHAPITRE I : PROPOS/TTON D'UNE NOUYELLE ECRITURE DE LA FONCTTON D'ENDOM MAGEMENT.

T-1) INTRODUCT/ON

I-2) EXEMPLE DE FONCTION D'ENDOMMAGEMENT

I-2.1.) Mesure à partir de dégâts

I - 2 - 1 . 1 . ) M e s u r e à p a r t i r d e / o n g u e u r s d e f i s s u r e s I - 2 - 1 . 2 . ) M e s u r e d e r a y o n d e c a v i t é s 1 - 2 . 2 . ) M e s u r e à p a r t i r d e l ' a t t é r a t i o n d ' u n e p r o p r i é t é I - 2 - 2 . 1 ) M e s u r e à p a r t i r d e I ' é v o l u t i o n d e I ' a m p l i t u d e d e I a d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e I - 2 - 2 . 2 . ) M e s u r e à p a r t i r d u m o d u l e d e Y O U N G I - 2 - 2 . 3 . ) M e s u r e à p a r t i r d e / a r é s i s t a n c e é l e c t r i q u e d u m a t é r i a u l - 2 - 2 . Q M e s u r e r e l a t i v e à I a d e n s i t é I - , E V O L U T I O N D E S D E G A T S A U C O U R S D U C Y C L A G E M E C A N I Q U E 1 - 4 ) R E L A T I O N E N T R E L A L O I D E C O M P O R T E M E N T D ' U N M A T E R I A U E T L ' A P P A R I T I O N D E S D E G A T S P A R L E C O N C E P T D ' E N D O M A -GEMENT I - 4 . 1 . ) A p p r o c h e g é o m é t r i q u e d e K A T C H A N O V 1 4 . 2 . ) C a s d u c o u p / a g e é / a s t i c i t é - e n d o m m a g e m e n t P a g e s 1 5 o o o 6 7 7 B 9 1 0 1 3 1 3 1 4

I-4.3.) Nature tensorjelle de la fonction I-4.4.) Approche thermodynamique I-5) CONCL USION

d ' e n d o m m a g e m e n t

CHAPITRE II : ETUDE EXPERIMENTALE

I I-1) PROCEDES EXPERIMENTAUX

II-2) DETERMINAT/ON DES COURBES DE RESISTANCE A LA FATIGUE OL IGOC YCLIQUE

II-3) CHOIX DES TEMPERATURES ET DES AMPLIT'JDES DE DEFORMATION T O T A L E

II-4) ETUDE METALLURGIQUE

C H A P I T R E I I ] 1 7 22 35 36 3 7 39 44 44

III-1) INTRODUCTION ..ESSAIS A UN OU PLUSIEURS NIVEAUX DE DEFORMATION

III-2) LOI DE CUMULATION DE LA FONCTION D'ENDOMMAGEMENT SANS INIERA C TION

III-, LOI DE CUMULATION DE LA FONCT/ON D'ENDOMMAGEMENT AVEC INTERA CT/ON

III-4) APPROCHE DE MINER

III-4.1.) Loi de MINFR III-4.2.) Discussion

III-4.3.) Conclusjon

III-' APPROCHE DE CHABOCHE

: PR/NCIPAUX MODELES DE LA FONCT/ON D,ENDOMMAGEMENT

ET LEURS APPLICATIONS ₅₃ 55 5 B 59 60 62 65 54 54

I n - 5 . 1 . ) H y p o t h è s e et équations I I I - 5 . 2 . ) Résultats III-5.3.) Modè/e I I I - 5 . 4 . ) Méthode d'identifîcatîon I i l - 5 . 5 . ) Résultats I I I - 5 . 6 . ) E s s a i s à deux niveaux I I I - 5 . 7 . ) Résultats III-5.8.) Discussion

III-6) MODELE DE I.H. ERISMANN I I I - 6 . 1 . ) Hypothèse

I I I - 6 . 2 . ) P o s t u J a t de succession invariable III-6.3.) Processus du dommaqe invariab,le III-6.4) Discussion

III-7) APPROCHE DE S.H. KIM

I I I - 7 . 1 . ) Règles /inéaires d'endommagement I I I - 7 . 2 . ) R e m a r q u e

I I I - 7 . i l Résultats lll-7.4.) Discussion

lll-B) APPROCHE DE Thang BUI-QUOC

I II-8.1.) Fonction d,endommagernent I I I-8. il ldent ification

III-8.il Résultats III-8.4.) Discussion

III-9) CONCL USION

65 6 7 6B 71 72 74 7 7 7B 79 79 79 B O B 1 B9 B9 90 92 93 94 94 99 99 101 102

CHAPITRE IV : PROPOSTTION D'UNE MODELISA ÏION

LOI D'ENDOMMAGEMENT ET

IV-I) INTRODUCTION : CHOIX DE LA DEFORMATION PLASTIQUE COMME DEFINISSANT LA FONCIION D'ENDOM-P A R A M E T R E

MAGEMENT

lV- 1.1.) Evolution structurale

IV-1.2) Relation de MANSON-COFFIN

IV-à PROPOSITION D'UNE LOI D'ENDOMMAGEMENT BASEE sUR L'AMPLITUDE DE DEFORMATION PLASTIQUE

IV-2.1.) Introduction

IV-?.U Essai à un seu/ niveau Iv-z.il Essai à deux niveau IV-2.4.) Essai à trois niveaux IV-2.il Conclusion

IV-3) MODELISATION : EXTENSION DU MODELE DE MARQUIS DANS LE C A S D ' U N M A T E R I A U Q U I S ' A D O U C I T

IV-3.1) lntroduction lV-3.2.) Surface de charge

IV-3.3.) Matériaux standards généralisés

IV-3.4.) Etude d'un modè-le non standard à écrouissage cinématique et isotrop

IV-3.5.) Discussion

IV-4) CONCL USION

CHAPITRE V : INFLUENCE DE L'ENYIRONNEMENT SUR L,AMORCAGE

104 103 106 106 1 0 7 1 1 2 1 1 7 1 1 8 1 1 9 1 1 9 1 2 0 1 2 3 140 104 105 1 2 7 1 3 8

FISSURES EN FATIGUE OLIGOCYCLIQUE

v-1) TNTRODUCTTON

DES

142

V - 2 ) CARACTER/SIIQUES DE L'OXYDATION DES ACIERS V-2.1.) Introduction à l,oxydation du fer

V-2.2.) Loi de cinétique d,oxydation V-2.3.) Interaction métal-oxyde

V-2.4) Cinétique d,oxydation des aciers

V-3) INFLUENCE DES CHARGEMENTS EXTERIE'JRS ET DE L'ECROUI5SAGE V - 4 ) I N F L U E N C E DE L'OXYDATION SUR LEs ESSAIS DE FATIGUE

O L I G O C Y C L I Q U E A HAIJTE TEMPERATURE V - 4 . 1 . ) Introduction

v - 4 . 2 - ) Défînition de /'amorçage en fatigue à haute température

1 4 3 143 144 146 1 4 6 148 Y-5) CONCLUS/ON

V-6) ETUDE DE L'OXYDATION DE L'ACIER V-6.1.) Appareîllage utilisé

V-6.2.) Essais isothermes sans chargernent V-6.3.) Essai de l,oxydation de I'acier NF

NF 20 m é c a n i q u e extérieur 2 O à I ' a i r p r é a l a b l e m e n t écroui 149 1 4 9 1 4 9 1 5 1 1 5 1 1 5 2 152 1 7 2 1 7 6

par cyclage mécanique

V-6.4.) Aspect métailurgigue de la pénétration de l,oxyde V-7) CONCLUSION

Y-B) PROPOSITION D'UN MODELE TENANT COMPTE DE L'EPAISSEUR DE L ' O X Y D E P R E C E D A N T L E D E B U T DIJ CYCLAGE

V - 8 . 1 ) Modèie

V-B.D Evolution de la longueur de fissure et de ,l'épaisseur de l,oxyde au cours du cyc/age mécanigue

V-8.3.) Conc/usion 1 5 7 1 6 3 1 7 0 1 7 1 1 7 1

V - g ) D E T E R M I N A T I O N D U N O M B R E D E C Y C L E S D ' A M O R C A G E 1 7 6 V - 9 . 1 . ) A p a r t î r d e J ' i n t e r s e c t i o n d e I a c o u r b e d o n n a n t I ' é v o l u t i o n d e l a

Iongueur de fissure avec la courbe représentant Ia pénétration de

!'oxyde en fonctio n du nombre de cycles 176 V - g . 2 . ) A p a r t i r d e I a c o u r b e d ' é n e r g i e d ' a c t i v a t i o n e n f o n c t i o n d e I a c h a r g e 1 7 7 v - 9 . 3 . ) R é s u m é 1 7 9 V - l O E T U D E D I J S T A D E 1 1 8 1

v-11) DlscussloN

184

v_la coNclusroN

186

CONCLUSION GENERALE BTBLIOGR APHIE I B B 191

m " ' c t< X

Y

V

Di

n i

N n

Oepo A e o .' t I

' u

a *

R

n

, . 0

E

E .

d i

d o g o

L E X I Q U E

P r o p r i é t é s Dég â ts F o n c t i o n d ' e n d o m m a g e m e n t N o m b r e d e c y c l e s e f f e c t u é s a u c y c l e i N o m b r e d e c y c l e s à r u P t u r e A m p l i t u d e d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e a u c y c l e s t a b i l i s é A m p l i t u d e d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e a u c y c l e i C o n s t a n t e d u m a t é r i a u D u r é e d e v i e L i m i t e d ' e n d u r a n c e a d d i m e n s i o n n e l 1 e a p p l i q u é e L i m i t e d 'e n d u r a n c e a d d ' i m e n s i o n n e l I e u l t i m e C o n s t a n t e d u m a t é r i a u R a y o n d e c a v ' i t é R a y o n ' i ni ti al d ' une cav i té M o d u l e d ' é l a s t i c i t é I o r s d u p r e m i e r c h a r g e m e n t M o d u l e d ' é l a s t i c i t é a p r è s c h a q u e d é c h a r g e D e n s i t é v o l u m i q u e a u c y c l e i D e n s i t é v o l u m i q u e i n i t i a l e C o n t r a i n t e a p p a r e n t e C o n t r a i n t e e f f e c t ' i v e

e

t.l

_e

À e t u

D é f o r m a t i o n é l a s t i q u e E n e r g i e é 1 a s t i q u e C o e f f i c i e n t d e l a m é 0 p é r a t e u r d u q u a t r i è m e O r d r e E n e r g i e I i b r e O p ê r a t e u r d u q u a t r i è m e O r d r e E n t r o p i e ' i n t e r n e s p é c i f i q u e F o r c e s g é n é r a 1 i s é e s V i t e s s e P o t e n t i e l d e R é s ' i s t a n c e P o t e n t i e l d e d i s s i p a t i o n E n e r g i e i n t e r n e s p ê c i f i q u e p a r U n i t é d e M a s s e E n t r o p i e s p é c ' i f i q u e T e m p é r a t u r e a b s o l u e F l u x d e c h a l e u r M a s s e v o 1 u m i q u e G r a d i e n t d e l a T r a n s f o r m a t i o n t o t a l e G r a d i e n t d e l a T r a n s f o r m a t i o n é l a s t i q u e G r a d i e n t d e l a Ï r a n s f o r m a t i o n p l a s t i q u e T e n s e u r _{d e d é f o r m a t i o n d e G R E E N} P a r a m è t r e _{i n t e r n e c a r a c t é r i s a n t l ' é t a t d ' é c r o u i s s a g e d u} m a t é r i a u ^ S

At

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0 * ( a ) e

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\:, q p F E P ^ e 0 . 1

1T 0 1

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o u

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A

( e ' ' / I I

D

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R 1 a â o n d a d N T e n s e u r d e K I R C H 0 F F D i s s i p a t i o n i n t r i n s è q u e s p é c i f i q u e D i s s i p a t i o n t h e r m i q u e D é v i a t e u r d e d é f o r m a t j o n é l a s t i q u e C o n t r a i n t e u l t ' i m e L i m i t e d ' e n d u r a n c e L i m i t e d ' e n d u r a n c e i n i t i a l e A i r e t o t a l e p o u r l a c o u r b e n i v e a u d e s o l I i c i t a t i o n I n v a r i a n t s é l é m e n t a i r e s D é v i a t e u r d e c o n t r a i n t e V i t e s s e d e d é f o r m a t i o n p 1 a s t i q u e c u m u l é e C o e f f i c i e n t d e d i f f u s i o n E n e r g i e d ' a c t ' i v a t i o n C o n s t a n t e d e s g a z p a r f a i t s Temps L o n g u e u r d e f i s s u r e L o n g u e u r d e f i s s u r e ' i n i ti al e C o e f f i c i e n t d ' é c r o u ' i s s a g e V i t e s s e d e f i s s u r a t i o n

^ m T N a N_p - - s Arr --e cy V a r i a t i o n d e m a s s e T e m p é r a t u r e N o m b r e d e c y c l e d ' a m o r ç a g e N o m b r e d e c y c l e d e p r o p a g a t i o n A m p l i t u d e d e c o n t r a i n t e a u c y c l e s t a b i I i s é A m p l i t u d e d e c o n t r a ' i n t e é l a s t i q u e c y c l i q u e

r

-INTRODUCTION

GENERALE

La résistance à la fatigue oligecyclique et son évolution en fonction de la température sont deux principales caractéristiques mécaniques qui inter-viennent dans le dimensionnement des pièces mécaniques. La rupture est

alors lraboutissement dtune succession de phénomènes physiques que les modes d'approches mécaniques classent en deux catégories :

- la naissance drune f issure microscopique, - la progression lente ou rapide de cette f issure.

L'étude de la durée de vie en fatigue drun matériau peut se faire par lruti-lisation de la théorie de lrendommagement associé éthymologiquement à la notion de dégâts.

CHABOCHE [

" ] propose une loi d'endommagement non linéaire basée sur la mesure de I'amplitude de la déformation plastique selon la relation :

r /

D = r - (A€!9 ) _{Ae pr} tt au cours du cyclage mécanique. ae -^ et Âe-._po pi représentent Itamplitude de déformation plastique eu cycle stabilisé et au nième cycle.

m est une constante du matériau._c

Initialement, PALMGREN et MINER I r ] avaient supposéngue le dommage noté D est une fonction linéaire de la fraction de vie B = + avec

t t R

N R n .

D - _{I *:} où n, et NO représentent respectivement pour un niveau de i = r " R

sollicitation donné le nombre de cycles effectué et le nombre de cycles à ruPture.

2

-Drautres

auteurs,

tels BUI-{uoc

_{I I ] .t POLHEMUS}

_{[ + ] formulenr ceme}

évolution

de lrendommagement

par la relation suivante

:

B U r c u o C I l ] '

( ^ r

_{- r)}

t / . P O L H E M U S [ + ] , D = r - ( r - B ) - ' â avec : â : constante du matériau g : durée de vie Y u : l i m i t e d r e n d u r a n c e u l t i m e a d d i m e n t i o n n e l l e y : limite drendurance addimentionnelle

Tous ces auteurs proposent un endommagement global sans préciser lrinfluence particulière de lrenvironnement dans le processus de fatigue.

Dans cette étude, nous évoquerons lrinteraction entre fatigue et oxydation. En effet, il est souhaitable pour tout matériau susceptible drêtre sollicité mécaniquement à haute température de prendre en compte la présence droxy-gène dans le milieu environnant.

P l u s i e u r s _{a u t e u r s I s ] , I o ] , I z ] o n t c h e r c h é à r e l i e r l a s u s c e p t i b i l i t é d u} matériau à sroxyder au cours des essais en fatigue en distinguant dans le pre cessus de ruine par fatigue deux stades : lramorçage et la propagation d'une ou plusieurs fissures. Ils ont en outre tenté dridentifier les paramètres expérimerr

taux _{de nature physicechimique dont ltinfluence est primordiale sur les} deux stades envisagés.

D =

B

( Y / " , ) 8

3

-L. REMY et J. RENCHET I S ] e partir de résultats expérimentaux et d'hypothèses simplificatrices ont proposé un modèle drendommagement assi-milé à la propagation drune fissure initiale unique stinitiant dès le début du cyclage.

Lrinteraction entre fatigue et oxydation a été prise en compte par la simple superposition drune contribution mécanique et drune contribution chimique due à la présence droxygène dans le milieu environnant à la croissance dtune fissure.

La première contribution traduit lravance de la fissure au cours du cyclage, due à son ouverture sous ilinfluence de la contrainte cyclique appliquée, la seconde contribution est due à la rupture de la pellicule d'oxyde se formant à chaque cycle en fond de fissure.

Le processus d'endommagement est donc supposé prendre naissance à partir de deux phénomènes qui se développent simultanément au cours de la durée d e v i e d u m a t é r i a u .

Deux approches différentes ont été entreprises pour l'étude de I'endommage ment en fatigue :

- p l u s i e u r s a u t e u r s I t

_{] , I r ] ,}

_{I l ]}

_{' l + ]}

t r a i t e n t

l r é v o l u t i o n d e

l r e n d o r n

-magement

dans

son espect

global dont la quantif

ication srobtient

par le suivi

de l'évolution

drun paramètre

drorigine

mécanique

ou physicechimique.

- une autre étude sépare lrendommagement global en deux parties I S ] t

a) - un endommagement b) - un endommagement au cyclage mécanique, à Itoxydation.

dû

dû

4

-Il est à remarquer que le terme de dommage est associé éthymologiquement à la notion de dégât de nature microscopique ou macroscopique. La nature des dégâts à prendre en compte est très controversée ; il en est de même des mesures physiques utilisées pour les quantifier.

Pour relier lrinfluence des dégâts donnée à Italtération drune propriété donnée, nous proposerons _{une nouvelle notation de la fonction drendommagement, ce} qui fera I'objet de la première partie de ce mémoire- Dans une seconde par-tie, nous discuterons les différents modèles existants.

A partir de nos résultats expérimentaux, nous proposerons, dans la troisième partie, une nouvelle loi de la fonction drendommagement. Enfin, I'influence de I'oxydation sur la phase dfamorçage _{drune fissure fera lrobjet de la} cinquiè-me partie de ce mémoire.

5

-C H A P I T R T

I

P r o o o s i t i o n

d ' u n e n 0 u v e I I e

é c r i t u r e d e

I a f o n c t i o n d ' e n d o m m a o e m e n t

| - r) INTRODUCTION

Le terme de dommage est associé à la notion de dégât. Ces dégâts peuvent être de nature microscopique (défauts ponctuels, linéaires ou plans) ou macros-copique comme les f issures dans le cas de chargements mécaniques.

La définition des dégâts à considérer suscite actuellement des controverses, et diffère suivant les auteurs. Il en est de même des méthodes utilisées pour évaluer le dommage, ce terme désignant généralement la résultante de toutes les altérations subies par le matériau. Ces méthodes sont classées en deux catégories, drune part celles qui srintéressent à la quantification des dégâts, et drautre part celles qui examinent lrévolution drune propriété du matériau consécutive à ltintroduction de ces dégâts. Aussi, pour relier lrinfluence de lrun ou plusieurs drentre eux notés Y à I'altération drune propriété notée X, on définit une fonction d'endommagement O Y* _{Sui relie Y à X soit de façon} directe, soit par lrintermédiaire drune autre fonction indicatrice en terme de dégâts Y ou de propriété X suivant la relation :

(t,î)

| - ù EXEMPLES

DE FONCTION

D'ENDOMMAGEIUENT

I - 2 - 1 ) M e s u r e s à p a rtir de dégâts

Pour expliciter cette notion abstraite, nous allons citer quelques exemples de fonction drendommagement de propriétés mécaniques prises à partir de dégâts se produisant lors de sollicitations mécaniques.

I-2-L.1.) Meprye àjartir gea Lonsuevre de-fjssures

( r )

oI=r

r 7

-comme étant le rapport entre la longueur endommagée de joints de grains et la longueur moyenne des joints de grains. Nous pouvons déf inir la fonction

drendommagement

:

,-. Y

., microfissure

u X = t d u r é e d e v i e

_{= f ç,g) -Long.fiss.cumulée}

( z l

tro, au joint de grain

I-2-l_.2.) _{I4esure de r_agon je_2ayilés}

Selon Mc CLINTOCK [g ] l" fonction d'endommagement dépend du rapporr de l'évolution du rayon drune cavité R et son reyon initial Ro, cavité qui se forme auteur des inclusions _{lors de la déformation plastique eo.}

Dans ce cas, la fonction drendommagement _{sera définie par :}

v c a v i t é s

D i = D e -

- - -

_{= f 0,e,.) =L, R}

p

p

_"q

(r)

I-2-2)Y_"_'_glgl_Àp_2!!t_r__q9_!,_Zt_t_éfe!!gl__d_,_rtg_p:_olf

:é!é

La fonction drendommagement _{peut être également définie à partir de} lralt6-ration dfune propriété.

r - 2 - 2 . f _{" ) I 4 e s u r e à p a r t i r d e r - ' é v o l - u t i o n _ d e r _ , a n p l i t u d e}

;J;;,t";;q*n,;,;*",

J . L - C H A B O C H E

_{I z ] e t u a i e l' é v o l u t i o n}

_{d e l r a m p l i t u d e}

_{d e l a d é f o r m a r i o n}

plastique

_{au cours du cyclage mécanique}

_{et considère}

_{que les dégâts}

_epparus

correspondent

à lrévolution

des microf

issures.

8 -A c I / D Y = o m i c r o f i s s u r e s = f ( m i c r o f i s s u r e s , À e ^ ) = r - ( - - & - ) t t ( + ) ^ Aep P ^epi

o. po amplitude de déformation plastique au cycle stabilisé

A e pi amplitude de déformation plastique au cycle i m : Constante du matériau.

c

I-2-2.2. ) Mesur-e-à perlh du--lcdule de-YOUNG

J. DUFAILLY I ro ] considère

lrévolution

de l'élasticité du matériau

au cours

du cyclage

mécanique

par la mesure

du module

de YOUNG.

La fonction d'endommagement est alors définie par :

DI =

" i""""tîil*iîï::î',: d,érasric*é

= r (y,

E)

= -T!

E

(s)

E et Erétant respectivement les modules d'élasticité lors du premier char-gement élastique et après chaque décharge.

I-2-2 . 3 . ) Iftesure_àjarliz ge_12 réz i gtânse-élegft igug

dulnetlr1au

M . R A G U E T Irr ]mesure la variation

d e r é s i s t a n c e

d r u n c o r p s

l i é e a u x

défauts

dans

le matériau.

Ces défauts

peuvent

être ponctuels,

linéaires

ou

plans.

Cette méthode est principalement utilisée pour le suivi de la propagation de la fissure, droù :

9

-(6)

D Ï =

o fléfauts

=

\,{

- Ro

\_T-o

oo ., o*o étant respectivement

la résistance

du matériau

vierge et à

rupture.

I-2-2.4. ) I{esure_à_partir de_l_e gegslt!

La méthode proposée _{par J.M. JALINER i rz ] consiste à peser} alternative-ment un échantillon de référence et lréchantillon à analyser, dans I'air puis dans un liquide (diéthyle phtote). La fonction drendommagement sera consti-tuée par lrévolution de densité produite par les cavités qui naissent dans le matériau au cours du cyclage mécanique.

D ï = oïu'ru'

- d A d

b)

o

d . - d

_ t o

-__3-o

do et d, étant respectivement la densité volumique à ltétat initial et au c y c l e i .

Les exemples sont multiples. Cependant, nous remarquons drores et déjà qurune fonction dtendommagement _{ne sera correctement définie que si la} nature des dégâts pris en compte et la propriété indicatrice sont précisées. En outre, les fonctions drendommagement oÏ, ol', D{,, ."r".térisées par un type de dégât Y mesuré par les propriétés X, Xt, X", sont, selon

E R R I S M A N I t3 ] reliées entre elles.

Ces fonctions drendommagement peuvent être

- linéaires. Selon lrexpression proposée par PALMGREEI\i\4INER

( r )

( 8 )

N R

F

. L

l = I

D =

n . l

\ r o \

-- non linéaires,

en particulier,

J.L. CHABOCHE

I z ] propose

une loi de

la forme :

. t / ^

D = r

( - ^ e P o

)

c

( g )

 e p

Drautres

auteurs

comme M. RAGUET

et G. PLUVINAGE

_{I r+ ] traduisent}

la

fonction

d'endommegement

selon

la loi :

D =

X _ X

t o

X R - X o

oir X, représente la propriété au cycle i Xo représente la propriété au cycle initial

XO représente la propriété à rupture

La f igure (r) illustre ces différentes lois.

I - T) EVOLUTION

DES DEGATS

AU COURS

DU CYCLAGE MECANIQUE

Sous Iteffet des sollicitations cycliques à déformation constante, lramplitude de la déformation plastique drune structure évolue en fonction du nombre de cycles. Cette évolution sraccompagne de changements structuraux du maté-riau qui se traduisent, selon RAGUET I rr] , par la présence de trois stades constatés sur un acier chrome-nickel. (fig. z) :

- Au cours du stade r, on observe des cellules de dislocation dont les parois ne sont pas entièrement formées.

- Au stade z de nombreuses microfissures apparaissent.

- Au stade 3, une ou éventuellement plusieurs microfissures se propagent

( r o )

_ I I

-DI

RAGUET

I

I

I

I

/ / / /

MINER

/ /

./ c*oBocHE

F I G U R E

1 : E v o l u t i o n

d e l a

R A G U E T ,

M I N E R

e t

f o n c t i o n d'endommagement

s e l o n

C H A B O C H E

t 2

-FCI TR U_ (D IZ_25

( H F I R

L,

0

g

g

E

0

g

g

g

I

t

r

,l

,l

,rl

il

,1

rl

/

r rt /

/ /

t={ rp)

, / L B x E u E u n s D E ' r r s S U R E S C U I , I U L E E S

J3

rt

l r n n c r t o N

D E V I L

g 9

[ . 8

0 . 1

E 5

I t {

g l

i . 2

g . I

F I G U R E

2 : L e s t r o i s s t a d e s

c 0 n s t a t é s

e n f a t i g u e o l i O o

-a , \ '

c y c l i q u e s e l o n ( I I )

1 3

-rapidement dans lréchântillon.

Si lron introduit la notion de fonction drendommagement, la propriété mestr rée sera lramplitude de la déformation plastique et les dégâts seront caractF risés par la multiplication des dislocations, leur arrangement en parois de cellules bien formées et lrapparition de microfissures.

I - +) RELATION

ENTRE

LA LOI DE COMPORTEMENT

D'UN MATERIAU

ET LIAPPARITION

DES DEGATS

PAR LE CONCEPT

D'ENDOMMA_

GEMENT

Une manière classique est drintroduire comme portement.

de traduire l'évolution de propriété indicatrice de

la fonction d'endommagement cette évolution la loi de

corn-I-4-1)Mp:g_*c_s_é_gné!:!gy_.__!e_K4_19_t14./_v_qy__[_{:]

L'approche

_{de KATCHANOV IrS ] est basée}

sur le concept

de la

contrainte

effective.

Ltutilisation de la notion de contrainte effective repose sur lfhypothèse sui--vante :

- les relations de comportement élastique, plastique, ou visco plastique du matériau endommagé srécrivent sous la même forme que celle d'un matériau vierge en remplaçant les contraintes nominaler onon.,. par les contraintes effectives Ë . Cette dernière, introduite initialement per

R A B O T N O V I16 ]est la contrainte qui, appliquée à u n é l é m e n t d e v o l u m e non endommagé, provoquerait une déformation égale à celle produite par la contrainte apparente o appliquée à lrélément de volume endommagé.

1 4 -\ / élément de volume endommagé élément de volume vierge

L'évolution du dommage est donnée alors par

D Ï ( o , e ) = f ( Ë , Ë ' , D )

1 - 4 - 2 ) C a s d u c o u p l a g e é l a s t i c i t é - e n d o m m a g e m e n t

14-2 .7 . ) Hgpothèse :

- l e s n e t é r i a u x s o n t s o l l i c i t é s à I t i n t é r i e u r d e l e u r d o m a i n e é l a s -tique et la loi de comportement considérée est la loi de HOOKE.

( r r )

Matériau endommagé Matériau vierge

D Ï ( o , e ) = o

e ( t ) = F ( o , . . . , t )

'_DT

1 5

-I4-2 . 2 . ) Equations de_cclnpolt"^er!

Lréquation _{d'évolution de la fonction endommagement sfécrit selon LEMAITRE} I rz ] sous la forme :

D.

_{I= f (.1.,}

_{, DI , .i'v)}

(rz)

où ee est la déformation élastique et Y est une variable associée, sridenti-fiant à la moitié de la variation de lrénergie élastique engendrée par une va-riation de la fonction drendommagement _{à contrainte et température} constan-tes.

La variation de lrénergie élastique srécrit :

À et ucoeff icients de lamé.

Nous tiron, .t _ii de I'expression _{d o} ,, = o d a t . . = e ê . .

U U

dDT

'_DT

d r o ù d w e

₌

_{j ! j - _ _ ..t,j = (z u .tU *^ .tll d,r) . ee,,}

doÏ

,-DI

dWe

= oU O .,j

a v e c

o U = ( r - O l l t z u . e , j

_{* À e e 1 1 O , j ) = . t .}

d ' o ù d o ' ' = o

d o i j = ( r - o l l t z u d . t i j

+ À d . t l r ô

_{i i ) - { r . . , , - ô , ,}

+ z u . i : t ' D }

1 6

-+

= 2 u e e i j . . t i j * À e e n . . t i i

( t r )

d D i

Drautre part, la variable associée Y s'identif ie à l'énergie libre Y par la relation :

y - - p - \ Y - ( e e , T , o l l 0 = d e n s i t é v o l u m i q u e \

_{0 D i}

Y / \ y = é n e r g i e l i b r e

a v e c p v = ( r - o Ï )

_{l 5 ( l e e . . . t j j}

+ 2 u e e l i . t r j ) ]

c e q u i d o n n e Y = â ( r e t i i . " i j * " u . t i j . t , j )

A p a r t i r d e s r e l a t i o n s [r3]et I t+ ]nous tirons la relation

Y = L l d w e )

( r s )

d D I o,r

ll est intéressant de noter lranalogie entre ltéquation (rS) et la relation similaire de la mécanique de la rupture :

( t + )

( r 6 )

d w

G = É

e

dA

oir - w. est cette fois le travail des efforts extérieurs appliqués à la struc-t u r e f i s s u r é e .

- A (l'homologue de I'endommagement) est la surface de fissure - G est le taux de restitution dténergie.

7 7

-Y = L E . .

( r ù

E étant le module de YOUNG.

P a r a i l l e u r s : d w - d e

Y = Ë (

e

₎

_{= + o--}

( r 8 )

Y V

d D i

_{o , T}

d D i

v

o ù Y d D * _{e s t l ' é n e r g i e dissipée dans le processus dtaccroissement} drendom-m a g e drendom-m e n t à contrainte et tedrendom-mpérature constantes selon la figure (3)

I-4-3)!_1t_9ry_!94_s_o_1ie_lle__{g_le_Ig1lc_r_io_l_{Sjl{ggn9_s_e_19$

La représentation _{tensorielle est utilisée pour décrire le caractère anisotre} pique de la fonction drendommagement.

Le couplage tensoriel de la fonction drendommagement avec lr élasticité selon CHABOCHE [tS] permet drécrire la loi dtélasticité sous la forme :

W

= lx (D) .*-

t / \ \ t ) , , G . ( t g ) est un opérateur du quatrième ordre.

L . est le tenseur de déformation élastique.

R e m a r q u e

Lropérateu. _{A du quatrième ordre peut être lié à l'énergie libre y par la} relation suivante :

r 8

-F I G U R E

] :

M é c a n i s m e

d ' a c c r o i s s e m e n t

d e

I ' e n d o m m a g e m e n

t

1 9 -2

\ r l

b e e . . \ . e k l

U.

relations

de symétries

.'

_klij

Ce qui implique

les

^

"ijkl

La combinaison des deux

Ë =À,A'

I , j o t - P

(zo)

(L:.t) (at)

Dans le cas oir le matériau nrest pas endommagé (oÏ = o) la loi élastique s r é c r i t :

'-

=h'8,

of.,

fi= Àtol tenseur

de rigidité élastique

inirial.

La contrainte effective srintroduit par référence au comportement de lté16-ment de volume non endommagé; sous la contrainte effective celui-ri doit conduire à la même déformation f. que ltélément de volume endommagé auquel on applique la contrainteUl-.

û

= hr€,

(zz)

relations (rg) et (zz) conduit à la relation :

(D)

_{: EI- = [f1 (D) : V}

lM est un opérateur du 4ème ordre. Dans le cas drendommagement nul,

0 \ 4 = ^

Il est bien clair que lutilisation de DÏ par sa forme scalaire ne permet de rendre compte que de ltenômmagement isotrope, sauf si I'on introduit des coefficients supplémentaires qui joueront alors le rôle drendommagement tensoriel.

2 0

-Dans le cas isotrope, on peut en effet écrire :

î . . / À \ ^ t \ /

n

ijkl

= ^iitt . f (D) = Ai.ltt (t - D

* )

et retrouver la contrainte

F{-e f f F{-e c t i v F{-e :

Ë =

t

( r + )

r - D Y

_X

Si lron considère la fonction d'endommagement comme un tenseur du second ordre, il est envisageable, par exemple, de décomposer t selon la relation \tr _{= Â , É.} à laquelle srajoutent des termes drordre supérieur D{ selon

l ' e x p r e s s i o n

o = h r t .

* C , ( D . l É e

. D I . E ) * . . .

Ceci revient à écrire la matrice des coefficients d'élasticité du matériau endommagé sous la forme :

On constate que D{ n'intervient pas directement sur les coefficients drélas-t i c i drélas-t é i n i drélas-t i a u x m a i s b i e n p a r l r i n drélas-t e r m é d i a i r e d ' u n o u p l u s i e u r s c o e f f i c i e n t s s u p p l é m e n t a i r e s ( C r . . . ) .

Par conséquent, on peut envisager dtintroduire la fonction dtendommagement à partir drun tenseu. D{ drordre 4, qui modifie séparément chaque compÈ sante de la matrice des coefficients drélasticité par la relation :

I ,.;0, = ^i.1kl - ^i.;r.t

?xr-o i r l = i , J = j r K = k r L = 1 .

Lremploi dtindices minuscules et majuscules permet d'indiquer que la conven-tion de sommaconven-tion nrest pas appliquée.

I

uo,

= ^i.;kl

* c, (?t uj, * olj ô'o

) + "'

- _{a ,}

-La symétrie est bien respectée siD{ .rt symétrique et on retrouve le cas isotrope en posant Diikl = D V i, j, k, I

Cette formulation a des conséquences inacceptables dans le cas où lron envisage un chargement complexe dans lequel les directions des contraintes normales principales sont invariables. On remarque en effet que lrexpression (25) nrest pas invariable par un changement de repère défini par la matrice B e n o o s a n t 8 . . , , = R

_{" u k l - " i k ' " j l}

R

r

urn

= B

ukl

' io,oo utoorn

1 , , _ _ = Â , . _ _ - R t l t . - _{D , - , _ ^ ) g T _ _ _ _} ( 2 6 ) r j m n - i j m n " i j k l t _{k l p q " k l p q ' " q p m n}

On constate que le deuxième terme ne peut pas se mettre sous la forme

^ . . _{D ' I J M N}

umn

On introduit alors un opérateur drendommagement drordre 8, pour lequel on peut écrire une relation invariante par changement de repère

h

= ^- DI ::

bzl

(::) indique la contraction sur 4 indices

f i - _{^ . .} - _{D . ! , i} ^

ijkl

-

"ijkl

_ijklmnpq

_mnpq

On remarque

que I est symétrique

si DY est symétrique,

et que le cas

isotrope

se retrouve

facilement

_{en ,rpp$"nt 0". UI est un tenseur sphérique}

( s e u l s le s te r m e s

e n i = p , j = g , k = t r , r = n , s o n t n u l s e t

é g a u x ) .

2 2

-La définition de lropérateur endommagement semble complexe à utiliser. Il est vrai que la prise en compte drun endommagementanisotropedans les lois de comportement élastaplastique reste difficile dans le cas général. On peut cependant proposer une hypothèse simplificatrice :

La direction de la contrainte principale la plus grande reste fixe. Dans ce cas, en se plaçant dans un repère fixe contenant cette direction, on peut se ramener à un tenseur du 4e ordre. Pour cela, il faut considérer le tenseur comme diagonal de composante :

D

_i.ikhnpq

= D*iikl ôlt

_"jn

_{u Lp ulo}

af in que la relation (zo) puisse continuer à stappliquer en cas de chargement quelconque _{; on se ramène à une loi dtévolution portant sur le scalaire D{} seulement (effet anisotrope indépendant du temps) par une relation telle que :

DI' =Ç rwr . DI'

( 2 8 )

oùÇest un opérateur d'ordre 8 dépendant de ltétat de contrainte et du ma-tériau. C'est ltétat actuel de contrainte qui indique comment se répartit lrac-croissement de la fonction drendommagement. Pour lendommagement isotre

PeQ =l'

t - 4 - 4 ) & g_o_"_l

g_

_{! !_"_r:y_9!}

_{y -1qf i9 g_e_}

I - 4 4 . I . ) I n t r o d u c t i o n

ll est maintenant

bien établi que la thermodynamique

des milieux continus

hors équilibre constitue un complément

indispensable

à lrétude du comporte

ment des milieux continus

dissipatifs,

selon BIOT I tg ] , COLEMAN I zo ]

M A N D E L Irt ]. Mais les relations

q u r e l l e s

f o u r n i s s e n t

n e p r é c i s e n t

p a s

suffisamment

ces lois drévolution.

2 3

-ZIEGLER lzz I a proposé un principe drorthogonalité et de convexité dans le but de généraliser les relations de réciprocité dronsager.

Lrutilisation du deuxième principe de la thermodynamique qui postule, pour un systè.me _{en évolution, que la vitesse de production drentropie interne spê} cifique S est positive ou nulle si le système est réversible

S - A t

" k à o k = r à n ( z g ) o ù

"k représente une vitesse (flux thermiques, vitesse de réaction chimique...) - AO sont les forces généralisées correspondantes

(gradiant de température, affinité chimique, ...)

I - 4 - - 4 . 2 . ) Zois de comportement

- C-as I inéa i re :

La loi de comportement la plus simple est donnée per une relation linéaire entre les vitesses et les forces généralisées :

tk = Lki Ai avec LO, : opératéur linéaire

Lrinégalité du second principe de la thermodynamique _{srécrit alors :}

t - Lij ^' ^j ào _(ro)

Ce qui implique que L soit une matrice positive.

On pose _{CI (A) = à Lij Ai ^j (lr)} a * ( a ) - ' Lii r r - r _{^i ^i}

bz)

r r ^ . . . ^ \ r r ^ b C I * o'ou ak =

2 4

-On peut dire que les vitesses aO et les forces généralisées AO dérivent respectivement drun potentiel de résistance n (A) et du potentiel de dissipa-tion nË (a), la matrice L étant positive. Ces potentiels quadratiques sont convexes.

- Cas non linéaire

Les vitesses et les forces généralisées peuvent s'écrire :

" k = 8k (Ar, ..., An)

Les fonctions gk vérifient les conditions de symétrie dronsager

\ e i

- ù s i

1 ^ .

=

5 T i

r , J = r , . . ' , h

J

et dérivent dtun potentiel 0(A).

Conclusion :

Ltétat thermodynamique drun élément de matière élastoplastique et élastæ viscoplastique est défini dtune part par :

- la valeur de paramètres mécaniques ou thermiques, et drautre part par :

- la valeur des paramètres internes caractérisant son état physicechimique.

1-4-4 .3 . ) Hgpothè _s9 _de iisslpatlon normale

La configuration actuelle du système étudié étant repéré per un système de coordonnées cartésiennes orthonormées xi, on désigne paro _ij les composantes des tenseurs de contraintes de CAUCHY et D,, les composantes des tenseurs de vitesse de déformation définies par :

D,i=5r$.

+

)

P e ' = o i j O , j d i v q

(r+)

v. : composantes _{de la vitesse V drun point matériel} soit p: masse de ltunité de volume actuel,

e : énergie interne spécifique par unité de masse, s : entropie spécifigue

0: température absolue dtun élément de matière dans la configuration actuelle,

Y: énergie libre spécifique telle que :

v - e - O . s ( l S )

En lfabsence _{de rayonnerrcnt, q désignant le vecteur flux de chaleur,} Itex-pression locale du premier principe de la thermodynamique srécrit :

(16)

Le second principe de la thermodynamique _{indique que la vitesse de} produc-tion drentropie interne est positive :

P s ' +

_{a i v Ç 9 )}

_{à e}

Les relations

(E6)et

(fz) permettent

_{de traduire le second}

_principe

_sous

_la

forme de Iinégalité de CLAUSSTUfDUHEIM

o , , D , ,

p ( Y ' + s . O ' 1 - X g r a d O 2 o

( l g )

u

rJ

_o

o---Il est mathématiquement _{commode, pour discuter cette inégalité, de substituer} aux coordonnées x. les coordonnées Xo de |élément dans une configuration de réf érence _{f ixe,ç'sst-ir-dire d'opérer en variable de LAGRANGE.}

Soit (So) la configuration initiale drun élément de matière sous contrainte nulle et à une température 0U

2 6

-et soit (Sr) la configuration actuelle de contrainteo, -et de températureO, a v e c 0 , > O ' .

supposant à partir de la configuration (Sr), on décharge lrélément de matière et quron le ramène à 0., on obtient une configuration (SO) dite intermédiaire relâchée.

La transformation qui fait passer de (SO) à (Sr) est la transformation élas-t i q u e .

La transformation qui fait passer de (So) à (Sp) est la transformation plasti-que.

On désigne par F le gradiant de la transformation totale So+ S, , par E le gradiant de la transformation élastique Sp._.;, Sr, par P le gradiant de la transformation plastique So* Sp

Ces trois tenseurs sont liés par la relation :

F - E . P ( l g )

Ltétat thermodynamique de ltélément de matière est déf ini par les variables d r é t a t s u i v a n t e s :

A € : tenseur de déformation de GREEN dans la transformation élastique l + z A e = E T . E ( + o )

- û, : : famille de paramètres internes caractérisant l'état drécrouissage J

du matériau,

0 : température absolue.

De la relation (lg) on déduit le gradiant de la vitesse de la transformation totale.

2 7

-Soit n , tenseur de KIRCHHOFF

rapportée

à la configuration

relâchée

(SO)

r

=

o ( S P )

. E - r . o .

E Î - t

p ( s o )

' !

_{( + z )}

Lrégalité

précédente

permet d'écrire :

o ' j D i j

=

T r o . D

= r

T r l n _ d , l . * n . E T . E . - d g f l t l

p ( S n )

o o .

P ( S P )

'

d t

d t

'

(+l)

Lrénergie

libre Yne dépend

que des variables

indépendantes

a

e,

T, grado

_{, o}

avec

rl,r

_{= V ( Âe, T, grad 0 , oj. ).}

Lrinégalité de CLAUSSIUfDUHEIM peut alors être transformée et écrite sous la forme :

. r ,

{

( * D '

E r ' E ' d P

t ' Ù *

_{. q . g r a d o >}

_{o ( + + )}

E n u t i l i s a n t le f a i t q u r o n p e u t i m p o s e r à d n e ,0'des valeurs arbitraires sans changer les valeurs actuelles des variabl.s{'ét"t, on déduit :

1 T

= ô Y - e

p ( S P ) -

ô a e ' r _{ô o}

Deux dissipations sont à remarquer :

- Dissipation intrinsèque spécif ique quron note 0 r

or= r, I+=.er.s.

dP .o-'\-

qv .5

(+6)

[ p t s e l

d t

₎

ô o j

' d t

q u i p e u t s r é c r i r e :

P ( S P ) . O r = _ T . P ' e s t l e

s o i t p ( s P ) . o r = r . f r r . e T . e .

d P .n-'\ -4..

3 L

k 8 )

t o r t r d t

r l

,,{" .er.E. #.p-r}-r#

\ - ' - - j

gradiant de la vitesse de déformation plastique.

6 v a

-5

= ^j

d o . . - l dt

Qz)

o ù c P

dt On pose : - Dissipation t h e r m i q u e p e z r - _{q g r a d o ( + g )} 0 D r u n e m a n i è r e g é n é r a l e , s i , d a n s lr e x p r e s s i o n _{d e Q , y} ' _{e s t e x p r i m é e n} f o n c t i o n d e s d é r i v é e s p a r t i c u l i è r e s d e s v a r i a b l e s d ' é t a t d u m a t é r i a u é t u d i é . on peut mettre la dissipation intrinsèque spécif ique sous la forme :

o -

A . . e .

I I

M O R E A U [23 ] aetinit lrhypothèse d e d i s s i p a t i o n n o r m a l e s o u s la f o r m e s u i -vante :

"ll existe un potentiel g (A) convexe semi continu tel que dans le processus thermodynamique _{réel, la vitesse a associée à la force A soit un} sous-ra-d i a n t sous-ra-d e o " .

a €

ô e

( A )

(so)

ce qui signif ie que a est la pente drun hyperplan dtappui de la fonction l cp au point A. On démontre que :

N = 6 ç 6 ç * ( "

6 A

e t A =

I

*

(") ,."nrformée de FENCHEL

de q (A) défini par :

e * { " ) = s u p A * { ^ . . e - e ( A - ) }

( s z )

( r

avec A (- O,p* (a)

l - - - 4 - - 4 . 4 . ) A p p l i c a t l o n è 1 ' é t v d 9 d e s m a t é r i a u x s t a n d a t d z

gé2érclisée

Le matériau

subit de petits déplacements

et de petites déformations

plastiques.

Les tenseurs

_{ll o ll et lln ll sont égaux}

et p est une constante

(Relation

_4z)

soit :

la déformation totale , la déformation élastique, la déformation plastique, l r é n e r g i e l i b r e s p é c i f i q u e t T ë e è _

_p

Y

a V e C e m = e + e r e p Y = V ( e . a . _{e '} T )

ô v

t = P T e e ô Y

s =

O U

La dissipation intrinsèque volumique sera :

0 - v = p O r _I = o : : - U A . 0 ' . , > o _{$ Z )} J - J L a d i s s i p a t i o n t h e r m i q u e s e r a :

( s l )

(s+)

(ss)

(s6)

3 0

-Q 2 v = p Q z r . q . g r a d O . 0

La dissipation totale 0 sera :

droù

( s 8 )

p ô - p ( 0 r + 0 r ) p o = o : i e ^ A i . o , r . q . g r a d o à o . ( s g ) ' U P J J A I - 4 - 4 . 5 . ) I n t r o d u c t i o n d ' u n e v a r i a b l e d ' e n d o m m a g e m e n t A i n s i q u e n o u s v e n o n s d e l e v o i r , l e s v a r i a b l e s o b s e r v a b l e s o n t é t é introduites pour décrire la thermoplasticité : tenseur de déformation plastique E p , t e m p é r a tu r e O , g r a d i e n t d e t e m p é r a t u r e g r a d O . A c e s v a r i a b l e s

observables correspondent les variables associées : tenseur de contraintellEll., entropie ll Ell et le vecteur quantité de chaleur q.

Pour bien décire cette plasticité, des variables internes drécrouissage notées symboliquement _{o ç ont été introduites.}

I- 4-4. 5. 2. I Vani-o,bLz d' endonnnagement

Pour compléter ce formalisme, une variable dfendommagement D{ sera in-troduite dans l'énergie libre Vqui srécrira :

v = Y ( e e r 0 r o I , t )

( o o )

_ r I _J

de telle manière que la dissipation totale s'écrit

s r o t

p 0 =

4..

J ' o _{i j ' t p} y sont liés A. . 0'. J J à lténergie libre v

y . D i '

3 g r a d O > o ( 6 r )

/ l ^ tJ

par les relations suivantes :

Gz)

(ol)

(o+)

(os)

ô V q -6 0 6 Y

A.

J

ô e e ô Y p -À-ô 0,. J ô Y avec P'

Y = Y . ( G

dP

* * p ( e , P )

I

't"o)'

6 D Y

X

Lfénergie

libre peut être définie comme une somme

drénergies

élastiques

et plastiques

:

oÏr

. [,'P

v .

=

r

. û , :

,c

( I

t r - o { )

t 1 2_{' 3} dt e t " =

(oe)

Gz)

et É, , É . e (68)

(os)

ô e e

y - où

=

6 D Y

X

I 2

t E

Y. est une fonction quadratique

dee

_.

et linéaire en (r - Oll. Si 4, est un

tenseur de quatrième ordre, Y. srécrit :

2 p

= p i - Y = G L

_ D Ï

₎

Lrénergie de déformation W" srécrit :

W o = f"

_{, l - e e ^}

_{o : d e , =Ltf,L:8. ,8, {r-o})}

( z r )

to

Les relations

(zo) et (zr) donnent

:

-

32-w

_e

y =

bz)

0ù

h+)

bs)

' _ D Ï

aussi être eJ une énergie LEMAITRE [tZ] propose que cette énergie élastique peut elle

décomposée en deux parties : une énergie élastique de volume élastique de surface : l e l ç

I

w . = / , F : d e .

l " '

3 o 6 . d e h

-/ob

g : déviateur

de déformation

élastique

=8. -Ét;41

À, déviareur

de contrainte

=Uf-% . t

e .

h , d é f o r m a t i o n h y d r o s t a t i q u e = i T r ( É )

e : contrainte hydrostatique = r Tr M)

o h

_r

Le déviateur de déformation élastique et la déformation hydrostatique s f é c r i v e n t :

p

-

( r +v)

F

_,

\ /

_E

_{( r - D ' " )}

E e = ( l - : )

o n o

h

E

( r - o i )

D f o ù

- y = t

[ 1 r . - v - y

.

A , A

* 3 . ( & )

o n '

_{. , ]}

E

( r - D i ) '

E

( r - D i ) '

b6\

ou encore, avec lréquation seuil de VOIË{VIISES :

!.

o

= [f, (P'F) ]

2

e P 2

y s r é c r i t

_{z - y =}

o r o "

_{. ,}

. t 2 ( r * v ) * 3 (r-zv).r3_rl

z ï G - o Ï l '

₃

o t q

₁

33

-Remarque :

Dans le cas drun chargement unidimensionnel on a :

o a q = o r o t O r n 3 D r o ù - y = f i 2

- r'

z E ( r - D I

) 2

Qz)

( 2 8 )

I- 4- 4- 5 . 3 . ) ELo,bonation d' un modLLe pl,a."tLLquz d'endommagenent

I - 4 - 4 - 5 . 1 . 1 . ) M o d è I e d e L E M A I T R E I 1 7 ]

Deux hypothèses ont été introduites :

S s o * r

q = (,ftt (#-)

- 'P

çg)

s . S sont des constantes du matériau. - o ' o

b - le dommage est isotrope

Ces deux hypothèses permettent une notation simple du pseudo'aotentiel de dissipation rp, gui ne dépendra que de trois variables cp ( y , P' ,O ) et sera choisi linéairement en P' , droit :

I - / + - 4 - 5 . 3 . 2 . ) A p p l i c a t i o n a u c a s d ' u n c h a r g e m e n t u n i d i m e n s i o n n e l P ' - e ' P o o 6 y = a v e c o = " r = c o n t r e i n t e e f f e c t i v e .

z E

_{, - o Y}

À - r ! A o _{. ,} - : Y , à 2 t o m a i s d J - _^ c ' , c e q u t o o n n e D i = ( o - ) ' t p ô y ^ z E S o

e '- est lié à la contrainte effective par la relation_p

Ê = ( Ë ) M ( 8 o ) - P K K et M constantes du Matériau D o n c Ê ' - = _{- P} M ( Ë ) M ' - t . ô K K v = ( t t o + M - r )

D ' o ù D i ' =

æ

_{o o T 4}

( 8 r )

I - s) CONCLUSION

La fonction d'endommagement permet de relier la quantification de dégâts qui apparaissent dans un matériau au cours de sollicitations (thermique,

mécanique, chimique, etc.) à I'altération drune propriété (physique, mécanique, e t c . ) .

Cette fonction nrest donc clairement définie que si lron précise la nature des dégâts et la propriété à laquelle on srintéresse.

Le concept d'endommagement est surtout utilisé pour relier les défauts p l a n s ( m i c r o f i s s u r e s ) o u v o l u m i q u e s ( c a v i t é s ) q u i a p p a r a i s s e n t a u c o u r s d e s sollicitations mécaniques. La propriété examinée est alors liée au comporte-m e n t s o u s s o l l i c i t a t i o n s m é c a n i q u e s ( é l a s t i c i t é , p l a s t i c i t é , v i s c o p l a s t i c i t é ) . Dans ce cas particulier, les approches géométriques, tensorielles ou thermo-d y n a m i q u e s p e u v e n t ê t r e u t i l i s é e s .

3 6

-C H A P I T R E

I I

3 7

-II _ T) PROCEDES

EXPERIMENTAUX

l l - 1 . 1 . ) D e s c r i p t i o n d u dispositif d'essai

Les essais sont réelisés en tractior-compression sur une machine électro-hydraulique, de capacité plus ou moins ro tonnes. Un four à résistance assure le chauffage de lréprouvette dont la température est contrôlée par un thermo-couple fixé sur l'éprouvette par un cordon dfamiante. Ce type de chauffage qui assure une bonne stabilité thermique, implique un système de renvoi pour lrextensomètre ne pouvant se trouver à lrintérieur du four. Les éprouvettes utilisées sont cylindriques à collerettes (figure 4), à grand rayon de raccor-dement. Sur les collerettes sont fixés les renvois pour I'extensométrie longi-t u d i n a l e .

Les renvois sont composés de coquilles en Invar sur lesquelles sont collés des tubes de silice qui assurent le transfert de la mesure à lrextérieur du four. Lraxiabilité de la déformation est contrôlée par un système à bille et à métel de WOOD, qui supprime les flexions parasites, donc les risques de flambage.

I t - 1.

_{2. ) Ug I É:j s_s_! g$_é_'}

a) composition chim ique (o/o poids)

Les essais sont réalisés sur deux aciers de caractéristiques assez proches, l r a c i e r N F 3o et lracier PM zo.

La composition chimique des deux aciers est représentée dans le tableau I Tableau I Acier

c

Cr

Mn

Mo

S i

N i

S

P

P M

N F

20

3o

o . 2 2 o.27 2 4 7 o.98 o . 5 4 o . 5 3 o.42 o.98 o . r 9 o.26 o . r 4 o.o25 o.or 3 o . o r 6 O . O I I

. 7 - R A V € , ? S € c . l l u f z 4 c c à q . X c ë a . u J a 1 f 7 6 1 d i g 5 t a < a P h a u f f q l -L i l l e J < c c a _{t t l . ^ v^o'L4} a a . J a . a C t é t t t t a t a l e t u l e t e l r o i / t s t t o , t - È l l , i t c A a u f f a a l . bi//a de êeatro T a 6 / e

F I G U R E

4 : E o r o u v e t t e

d e f a t i o u e e t s c h é m a

d u m 0 n t a o e .

3 9

-b) Propriétés mécaniques

M a t é r i a u

7 6 9 N / m m 2

I I - 1 . i l V i f e s s e d e d é f o r m a t i o n

Les essais ont été effectués jusqurà rupture à amplitude de déformation totale imposée et à une vitesse de déformation de 3.2 * to 3 s-r. Le

signal de la variation de cycle est triangulaire, garantissant ainsi une vitesse de déformation constante.

II - z) DETERMINATION

DES COURBES

DE RESISTANCE

A LA FATIGUE

oLTGocYCLTQUE

Ces courbes

sont appelées

coutbe de MANSOTrcOFFIN

- BASQUIN [

"S ]

I I - 2 . 1 . ) C a r a c t é r i s t i q u e s d e l a f a t i g u e o l i g o c y c l i q u e

L a f i g u r e ( 5 ) i l l u s t r e u n traction-compression

cycle drhystérésis obtenu à partir drun essai de

ET

A o

(oa

À t t A e e A e P Ao

amplitude de la déformation totale amplitude de la déformation élastique

amplitude de la déformation plastique

amplitude de contrainte.

II-2.2) Tracé des courbes de MANSON-COFFIN et BASQUIN

Pour tracer les courbes de MANSOTTOFFIN - BASQUIN qui relient les déformations élastiques, plastiques et totale au nombre de cycles à rupture NO, on est amené à déterminet une boucle d'hystérésis de référence sur la-quelle on mesure ces différentes déformations.

On choisit la boucle d'hystérésis correspondant à la moitié du nombre de cycles de rupture, ce dernier étant le nombre de cycles pour lequel la chute de contrainte est égale à 5o % de la contrainte du cycle de départ.

Les points ainsi obtenus sont reportés dans un diagramme bilogarithmique

À e

t A e À c

(figures 6,7)

f ( N R ) ; - - - P - = f ( N R ) ;

e =f (NR).

2 - 2

Les points correspondants aux déformations plastiques et élastiques se placent respectivement _{sur les droites de pentes c et b, comme le prévoient les lois} de MANSOIWOFFIN et BASQUIN. 0 . . o t F

( z N o )

( 8 2 )

z E

ô c P ^ r _{= - r} 1 2 -A C

( z N o ) c

( s l )

(a+)

et _{- A e + A e}

avec :

4 r

-module de YOUNG

coefficient de résistance à la fatigue exposant de résistance à la fatigue coeff icient de ductilité en fatigue exposant de ductilité en fatigue.

E

- l

' f

b

^ l ' f c :

Les résultats sont présentés dans les tableaux ll et III.

a ) - T _{= 5 6 o " C} Tableau Il Matériau

b

c

o f

E

e 1

f

E ( d a N / m m 2 )

NF 3o

- o.29 - 1 . 2 r . g % r z t S i 17 o63

PM zo

_ o.o95 - 0.96 o . 4 4 ' go ol

b ) - T = 6 5 o " C

Tableau

Ill

Matériau

b

c o i E e ;

f

E (d / mm2)

N F 3o

- 0.063 - r.o4 o . 2 5 I _{3 5 0 %} 14 8oo

PM zo

- o.o45

- o.9r

o.z7 %.

6 o %

56

0 0

PM2O

10

10

At%

NF30

10"

10'

C o u r b e s

d e M A N S O N - C 0 F F I N

à l a t e m p é r a t u r e

d e 5 6 0 " C .

F I G U R E

6 :

10u

4 3

-10

AÉ

₂

_PM20

r=650'c

Lor.

T

103

C O u r b e

d C M A N S O N _ C O F F I N

c l e 6 5 0 " C .

à l a t e m p é r a t u r e

104

F I G U R E

] :

+ +

-II _ T) CHOIX DES TEMPERATURES

ET DES AMPLITUDES

DE DEFORMATION

TOTALE

Pour cette étude les deux amplitudes de déformation totale ainsi que les deux températures _{ont été choisies selon des critères dtintérêt pratique.}

O . r , = o . 6 3 % ; T r = 5 6 o ' C

O . r r = o . i 4 % ; T z = 6 r o " C

II _ +) ETUDE METALLURGIQUE

II-4.1.) Introduction

Lrinterprétation des phénomènes de fatigue oligocyclique et les solutions éventuelles _{qui peuvent être trouvées, en vue d'améliorer la longévité en} service des pièces utilisées nécessite lracquisition drinformations approfondies et précises, concernant le matériau à étudier.

Une telle étude nécessite préalablement _{de définir ltétat microstructural du} métal, son homogénéité ou son hétérogénéité, car toute hétérogénéité métal--lurgique peut modifier de façon sensible les mécanismes dfamorçage de fissure, crest le cas des inclusions et des ségrégations favorisant les effets électre chimiques et mécaniques. Le rôle des inclusions métalliques doit également être considéré.

4 5

-TI-4-2 .l. ) Essai BAUI4ANN

C æ r é a c t i f d ' i m p r e s s i o n a u s e l d r a r g e n t e t à I ' a c i d e s u l f u r i q u e m e t e n é v i -dence I'hétérogénéité du matériau par la présence de sulfure de fer et de manganèse qui se traduit per un noircissement local du sel dans la couche sensible du papier photographique.

R é s u l t a t s :

- Lracier NF 3o est caractérisé par une importante hétérogénéité, qui se traduit par la présence drinclusions fines selon la figure 8. Cette hétérog# néité chimique laisse prévoir une structure secondaire ainsi qurune mecrr dureté non uniforme.

- Lracier PM zo comporte moins drinclusions ; il est homogène, donc plus propre selon la figure 9.

I I - 4 - 2 . 2 . ) E s s a ! d ' a t l a g u e c u i v r i q u e

C æ r é a c t i f à l r a c i d e c h l o r h y d r i q u e e t a u c h l o r u r e d e c u i v r e m e t e n é v i d e n c e la structure primaire du matériau en creusant les axes dendritiques qui appa-raissent en sombre sur la figure (ro) alors.que les zones interdentritiques ségrégées apparaissent en clair avec quelques points noirs traduisant la pré-sence dtinclusions.

Résultats :

- Pour lracier NF 3o, les dendrites très marquées sont plus f ines et orientées selon la figure (ro).

4 6

-F I G U R E

8 :

E m p r e i n t e

B A U M M A N

r e l a t i v e à I ' a c i e r N F 3 0 .

' t ^ I

47

- Pour ltacier PM zo, on remarque une plus grande homogénéité.

rr-4-2 .3 . d ' g t t ; a g u e _

Ce réactif laisse apparaftre

la structure secondaire

du matériau.

NT TAL ) E s s a i P o u r l r a c i e r N F 30, p r é s e n c e d e b a i n i t e r e v e n u e ) . l a et p a r t i e a i g u i l l é e c l a i r e s u r l a f i g u r e ( r r ) r é v è l e l a la partie sombre la présence de sorbite (martensite

- Pour lracier PM zo, nous remarquons une structure homogène, bainitique revenue, figure (rz).

I I - 4. 3 ) Ç_s_s_ai _d_e_ _{ y t S_tÉ

Le fait que les courbes de dureté de notre acier soient en dents de scie et, qui plus est, non symétriques (pas de centre de symétrie), montre lthétérogf néité du métal, Itinfluence des endroits et le sens du prélèvement.

La figure (r3) représente _{les variations de dureté relatives à I'acier NF 3o} selon z prélèvements.

It-4.4.)F_U,U|_9t__n_._o_a1=y!_!_e__s_t9!l_Ieggq.gg_p_ic_r_r_o_19_!9_ep_9?

Cet essai permet dravoir une estimation de la grosseur de la taille des grains.

F I G U R E

1 0 : S t r u c t u r e p r i m a i r e re l a t i v e à I ' a c i e r N F 3 0

( a t t a q u e

_{c u i v r i q u e d a n s Ie s e n s}

_{t r a v e r s d e}

l ' é p r o u v e t t e ) , g r 0 s s i s s e m e n L

8 . 2 .

W

Y , l - t

i:N

F I G U R E

t l : S t r u c t u r e s e c o n d a i r e

r e l a t i v e à I ' a c i e r N F 3 0

( a t t a q u e

_{N i t a l d a n s le s e n s tr a v e r s d e}

l ' é p r o u v e t t e

) g r o s s i s s e m e n t

_{+ l S .}

t - i t i.*l r{ {f " .i

F I GURE

T2

49

S t r u c t u r e p r i m a i r e r e l a t i

P M 2 0 ( a t t a q u e c u i v r i q u e

t r a v e r s d e 1 ' é P r o u v e t t e ) ,

v e à I ' a c i e r

d a n s 1 e s e n s

g r o s s i s s e m e n t

_{8 . 2}

5 o

NFSO

t , t 1 I , I

HV

270

f'1

260

f

t t l

X (mrn

F I G U R E

_{r i : F i l i a t i o n d e d u r e t é HV i0.}