Communications structurées dans les réseaux

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Communications structurées dans les réseaux

Nausica Marlin

To cite this version:

Nausica Marlin. Communications structurées dans les réseaux. Réseaux et télécommunications [cs.NI]. Université Nice Sophia Antipolis, 2000. Français. �tel-00505300�

Ecole Doctorale STIC

Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication

THSE

prsente pour obtenir le titre de

DOCTEUR EN SCIENCES Spcialit: Informatique le 16 juin 2000 par

Nausica MARLIN

Communications Structures

dans les Rseaux

Jury

Prsident Jean-MarcFdou

Rapporteurs Denise Amar

Marie-ClaudeHeydemann

Shmuel Zaks

Examinateurs Ge a Hahn

Daniel Kofman

Stphane Prennes

Directeur Jean-ClaudeBermond

Ecole Doctorale STIC

Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication

THSE

prsente pour obtenir le titre de

DOCTEUR EN SCIENCES Spcialit: Informatique le 16 juin 2000 par

Nausica MARLIN

Communications Structures

dans les Rseaux

Jury

Prsident Jean-MarcFdou

Rapporteurs Denise Amar

Marie-ClaudeHeydemann

Shmuel Zaks

Examinateurs Ge a Hahn

Daniel Kofman

Stphane Prennes

Directeur Jean-ClaudeBermond

mes matres vnrs, Mariotte, qui s'en fout royalement.

Remerciements

Mes remerciements vont tout d'abord  Jean-Claude Bermond qui, bien que sans cesse occup par mille aaires, sait trouver le temps de nous aider et de nous guider vers la meilleure voie. Tous les thsards qui ont travaill avec lui sont unanimes, Jean-Claude est un admirable directeur de thse.

Jean-Marc Fedou, merci de m'orir le plaisir de te voir prsider mon jury, c'est un grand honneur et une immense joie de te prsenter mon travail.

Denise Amar, je te remercie d'avoir trouv le courage et la patience de lire avec une si grande attention mon travail merci aussi de faire partie de mon jury.

Marie-Claude Heydemann, l'vocation de ton nom me rappelle des instants prcieux, notre rencontre  Montral, notre travail de toute une anne, nos entre-vues  Paris, Orsay, le plaisir de partager l'amiti et le travail. Merci Marie-Claude d'avoir accept de rapporter sur ma thse, merci d'tre prs de moi aujourd'hui.

Shmuel Zaks, I would like to thank you very much for the help and comments on my thesis. I am really happy to know you a little better and I hope we will meet in the near future.

Daniel Kofman, je te remercie d'avoir trouv un moment dans ton emploi du temps surraliste pour venir m'couter  Nice.

Gea Hahn, merci d'avoir fait un dtour par ici entre la grande fte de Prague et le retour au dur labeur de Montral.

Stphane Prennes, merci d'avoir pass du temps avec moi  prouver,  com-prendre,  m'expliquer,  me corriger. Sans toi, cette thse n'existerait pas. C'est vrai que tu as un sale caractre et que tu n'acceptes jamais d'avoir tort mais tu vois loin, trs loin et trs juste, c'est un plaisir de te ctoyer.

Merci  Patricia Lachaume, Zohra Kala et Ephie Deriche pour leur soutien quotidien lors des parcours administratifs.

Un salut amical  tous ceux avec lesquels j'ai eu l'occasion de travailler durant ces quatre annes. Andrejz Pelc and David Peleg, thank you for the pleasure you gave me while working together. Alexandre Laugier et Pascal Chanas de France Tlcom, merci de nous avoir propos et expliqu le problme du VPL. Pavol Hell, merci de m'avoir appris  travailler au tableau lors de mon stage de DEA, de m'avoir coute et aide. Tes passages  Nice me font toujours chaud au cur. Amotz Bar-Noy, thank you for your kindness, your smile and also for your help and your encouragement. Dominique Sotteau, merci pour ton accueil chaleureux au sein de Rumeur et ta gentillesse. Claudine Peyrat, merci de ton intrt lors de nos changes scientiques de la premire anne. Ils me laissent un souvenir trs agrable qui, je l'espre, redeviendra ralit un jour. Cyril Gavoille, tu m'as appris  sauter plus loin tu te rappelles? Je ne me ferai plus jamais manger par les crocodiles en traversant la rivire. Que tes intervalles te valent le ciel! Tamar Eilam, it was a great pleasure to meet you and to correspond with you.

Et une pense toute particulire pour ceux qui, au l de ces annes, sont devenus de vritables amis. Christine Garcia, merci pour ton amiti et ton soutien, et aussi pour tes encouragements. J'espre que nous restons encore longtemps tout prs l'une de l'autre. Bruno Beauquier, merci pour ta conance, ton attention et toutes tes gentillesses. Je suis heureuse de t'avoir rencontr et plus heureuse encore lorsque tu souris.

mes potes de l'ex-projet Sloop, j'envoie un salut fraternel. Un petit bisou particulier pour Eric, ma moiti tant aime en L039, pour mon Dirty chri et un gros clin pour le Sysk'. Un gros bisou  ceux de l'INRIA, Cyril Godart et Claude Martini, mes grands copains de l'Atlas magique, Sandrine Boute, que je pense fort  elle et que je veux plus qu'il lui arrive de malheurs et aussi Thierry Vieville que je salue respectueusement en m'inclinant humblement  terre.

D'autres personnes, plus intimes, ont apport du bonheur et des larmes durant ces dernires annes, je veux les saluer ici et leur tmoigner mon amiti sincre.

Vro, je voulais te dire merci d'avoir aider Mariotte  atterrir en scurit et aussi d'avoir t si gentille, si souriante et si tendre lorsque j'tais inquite.

Michle, Alain, Ivan et Richard, merci de tout mon cur pour votre accueil chaleureux grce  vous, le soleil a brill plus fort pendant ces trois mois d't o la jolie eur nissait de se prparer, o la jolie eur ouvrait les yeux sur ce monde nouveau.

Mes amis de longue date, laissez-moi proter ici de cet espace de libert pour vous tmoigner ma profonde aection. Sbastien, je te souhaite toute les russites possibles et utopiques dans ton projet fantastique. Fabrice, je te souhaite de diriger un jour le chantier de rnovation d'une superbe glise romane, j'espre que tu trouveras ta voie dans ce monde trange, je t'embrasse tendrement. Bruno, on part faire le tour du monde en bateau? C'est quand tu veux! Edwige chrie, sois toujours aussi belle et aussi gaie qu'aujourd'hui, emmne moi encore souvent dans ton pays de rve, j'aime tellement tre en ta compagnie. Ma p'tite Nath, reviendras-tu un jour de tes longs voyages? Tu es loin mais je pense  toi souvent,  nos rires,  nos peurs. Lissita jolie, je voulais te dire que le souvenir de nos jeux aquatiques est imprissable et que, j'en suis sre, nous retrouverons un jour l'occasion d'apprendre  chasser la murne ensemble. Un gros bisou pour Anne et encore un grand paquet de souvenirs mus pour Sophie, Arnaud, et aussi mes tendres amies Eva et Evelyne, Caroline et Catherine. Une grosse caresse  Item-le-chien et un coucou ensoleill  la copine Graziella. Salamalekoum aectueux pour Aoitif et Jean-Jacques et aussi pour Zohra, la petite berbre de mon cur. Beaucoup de bonheur  Karine et Olivier. Longue vie  la petite Salom et bisous forts  ses parents.

Pour vous, Colette, Roger, Mlissa, une rivire de sourires, des annes de clins. Et pour toi, mon amour, la plus belle toile du ciel.

Table des matires

Introduction

1

1 Rseaux d'interconnexion, mcanismes de communication et

mo-dlisation

9

1.1 Rseaux et Graphes . . . 9

1.1.1 Notions lmentaires de thorie des graphes . . . 9

1.1.2 Rseaux usuels . . . 12

1.2 Communications structures . . . 14

1.2.1 Contraintes de communications . . . 14

1.2.2 Schmas de communication . . . 15

I Topologie logique

pour les rseaux de tlcommunications

19

2 La technologie ATM

21

2.1 Les modes de transfert classiques . . . 21

2.1.1 Commutation de circuits (circuit-switching) . . . 22

2.1.2 Commutation de messages (store-and-forward) . . . 22

2.1.3 Leur volution rcente . . . 23

2.2 Le mode de Transfert asynchrone . . . 24

2.2.1 Les cellules ATM . . . 24

2.2.2 Les connexions ATM . . . 25

2.3 Modle: premire approche . . . 27

2.3.1 Premire Modlisation . . . 28

2.3.2 Topologie virtuelle . . . 29

3 Modle et Rsultats

33

3.1 Dnitions et Notations . . . 33

3.1.1 Les requtes . . . 33

3.1.2 VPL ou Positionnement des chemins virtuels . . . 34

3.1.3 Les contraintes: capacit et nombre de sauts . . . 35

3.1.4 Les objectifs: charge et distance maximale d'un VPL . . . . 35

3.1.5 La classeV PL(GIhc) . . . 36 i

3.2 Modles orient et non orient . . . 36

3.3 Formulation du Problme et Complexit . . . 37

3.3.1 Les problmes . . . 37

3.3.2 Complexit du Problme . . . 38

3.4 Arte et arc-indice de transmission . . . 39

3.4.1 Dnitions . . . 39

3.4.2 L'indice de transmission des graphes usuels . . . 40

3.4.3 Approximation de l'indice de transmission . . . 40

3.5 Bornes Gnrales . . . 42

3.5.1 Relations entre les paramtres . . . 42

3.5.2 Premires bornes . . . 45

3.6 Rseaux particuliers . . . 48

3.6.1 Le chemin . . . 48

3.6.2 Le chemin orient . . . 52

3.6.3 Le cycle . . . 53

3.6.4 Le circuit (ou cycle orient) . . . 53

3.6.5 Les arbres k-aires complets orients ou non . . . 54

3.6.6 Les arbres . . . 54

3.6.7 Les arbres orients . . . 55

3.6.8 La grille et le tore . . . 56

3.6.9 La grille et le tore orients . . . 57

3.7 D'autres contraintes sur le VPL . . . 58

3.7.1 VPL avec facteur d'tirement x . . . 58

3.7.2 VPL avec charge sur les sommets minimale . . . 60

4 Positionnement des Chemins Virtuels

67

4.1 Le problme du ot entier . . . 68

4.2 Bornes sur la charge . . . 69

4.2.1 Borne Infrieure . . . 69

4.2.2 Borne Suprieure, One-to-Many . . . 70

4.2.3 Bornes Suprieures, All-to-All . . . 76

4.3 Diamtre virtuel en fonction de l'arc-connexit . . . 80

4.3.1 Cas gnral . . . 81

4.3.2 Cas particulier = 2 c = 1 . . . 82

4.4 Diamtre virtuel du chemin orient, capacit 1 . . . 83

4.4.1 Exemple . . . 84

4.4.2 Borne Infrieure . . . 85

4.4.3 Borne Suprieure . . . 91

5 Directed Virtual Path Layout in ATM Networks

99

5.1 Introduction . . . 100

5.2 Model . . . 103

5.3 Cycles Cn . . . 104

5.3.1 General Case . . . 104

5.3.2 Case c= 1 . . . 107

5.4 Paths Pn . . . 110

5.5 Complete Symmetric k-ary Trees T(kh) . . . 111

5.6 Arbitrary Trees . . . 114

5.7 Toroidal Meshes and Meshes . . . 119

5.7.1 Toroidal Meshes . . . 119

5.7.2 Meshes . . . 120

5.8 General Bounds . . . 122

5.9 Open problems and directions . . . 125

II Rotations compltes dans les graphes de Cayley

131

6 Les graphes de Cayley

133

6.1 Des groupes . . . 133 6.1.1 Permutations . . . 134 6.1.2 Groupes . . . 135 6.1.3 Actions de groupes . . . 135 6.1.4 Produit semi-direct . . . 136 6.2 Graphes de Cayley . . . 136 6.2.1 Dnition . . . 136 6.2.2 Exemples . . . 137 6.2.3 Transitivit . . . 138

6.3 Protocole d'change total . . . 139

6.3.1 Construction . . . 141

6.3.2 Exemples . . . 143

6.3.3 Un autre type de rotation . . . 144

6.4 Le problme . . . 145

6.4.1 Quels graphes? . . . 145

6.4.2 Conditions pour l'existence d'une rotation complte . . . 145

7 Cayley Graphs with Complete Rotations

149

7.1 Introduction . . . 150

7.2 Preliminaries . . . 151

7.2.1 Cayley graphs . . . 151

7.2.2 S-stabilizers and rotations . . . 152

7.2.3 Denitions of complete rotations . . . 153

7.2.4 Rotational graphs . . . 156

7.3 Study of conditions for the existence of a rotation . . . 158

7.3.1 A characterization of rotations . . . 158

7.3.2 Abelian groups . . . 161 iii

7.3.3 Rotation-translation group . . . 162

7.3.4 Complete rotations on Cartesian products . . . 165

7.4 Cayley graphs dened by transpositions . . . 167

7.4.1 Transposition graph . . . 167

7.4.2 Rotations of Cayley graphs generated by transpositions . . . 169

7.4.3 Generalized star graphs . . . 172

7.4.4 Characterization of rotational Cayley graphs dened by trans-positions . . . 173

7.5 Conclusion . . . 175

7.6 Annex: Denitions of some Cayley graphs . . . 176

7.6.1 Cycle . . . 176

7.6.2 Multidimensional torus . . . 176

7.6.3 Hypercube . . . 176

7.6.4 Star graph . . . 178

7.6.5 Generalized star graph . . . 179

7.6.6 Modied bubble sort graph . . . 179

7.7 Annex: Notation . . . 181

Conclusion et Perspectives

187

Table des gures

1.1 Le cycle C6 et le graphe complet K6. . . 12

1.2 L'hypercube H4. . . 13

1.3 La grille M(54) et le tore TM(54). . . 13

2.1 La commutation de circuits . . . 23

2.2 La cellule ATM . . . 25

2.3 Le multiplexage temporel ATM . . . 25

2.4 Division de la capacit d'un lien de transmission physique . . . 26

2.5 Connexions ATM: VPC et VCC . . . 27

2.6 Un rseau ATM imaginaire . . . 29

2.7 Le rseau virtuel et son plongement dans le rseau physique . . . . 29

3.1 La boule de rayon 2 en dimension 2 . . . 50

3.2 %DFZ97] 'tablissement de la rcurrence sur la taille optimale des arbres . . . 50

3.3 Complexit du problme D avec facteur d'tirement 1 en one-to-all 59 3.4 %GWZ95] 'tablissement de la rcurrence avec facteur d'tirement 1 60 3.5 %FNP97] Rsultats sur le nombre maximum de sommets . . . 62

4.1 Transformations A et B . . . 71

4.2 Le cycle orient unidirectionnel ~C6 . . . 83

4.3 Construction sur le chemin . . . 84

4.4 Une chane de cycles . . . 85

4.5 Forme A d'un VPL . . . 87

4.6 Algorithme de Transformation d'une chane de forme A en une chane de forme B . . . 89

4.7 Nombre maximum de sommets pour q pair . . . 92

4.8 Nombre maximum de sommets pour q impair . . . 93

4.9 Construction pour k= 3, cas pair . . . 95

4.10 Construction pour k= 2, cas impair . . . 95

5.1 Example of DVPL: the cycle, capacity 1 . . . 104

5.2 Collapsing a cycle . . . 105

5.3 Cycle capacity 1 . . . 107

5.4 A circuit-bracelet . . . 108 v

5.5 Pn, c= 2 . . . 111

5.6 k = 2, c= 2 or 3,  = 2, there exist no arcs from A to B (on the right) k= 2,  = 2, h= 6, one cannot do better than 5 froml3 tor3 112 5.7 Binary Tree, c= 4, h= 6 . . . 113

5.8 Case c= 2, k = 2 . . . 113

5.9 Step i of the algo . . . 116

5.10 A step in the construction of the DVPL. case 1,c+ _c;. . . 117

5.11 Tree Layout . . . 118

5.12 Position of the strips . . . 121

5.13 Composition of a strip . . . 121

5.14 M(1013), A= 4, B = 3, C = 2 . . . 121

5.15 How to move in a strip . . . 122

6.1 Le star-graph S(4) sur l'ensemble {1,2,3,4} . . . 138

6.2 Le graphe de Petersen . . . 139

6.3 Rotation dans le tore TM(4)2 _{. . . 141}

6.4 Construction de la diusion par rotation dans le tore et le star-graph143 7.1 M*bius graph . . . 164

7.2 H(4) . . . 177

7.3 Transposition graph forH(4) . . . 177

7.4 Star graph ST(4). . . 178

7.5 Transposition graph forST(4). . . 179

7.6 GST(42) = MBS(4) . . . 180

7.7 Transposition graph forGST(42) and MBS(4). . . 180

Introduction

Cette thse a t ralise au sein du projet Sloop1 et en collaboration avec

France Tlcom Recherche & Dveloppement.

Nous y tudions deux problmes lis aux

communications structures dans

les rseaux

.

Tout d'abord, nous rappelons dans le

chapitre 1

des notions gnrales de tho-rie des graphes. Nous y prsentons la modlisation d'un rseau de communication par un graphe, des exemples de graphes communment utiliss pour modliser les rseaux, et la modlisation des communications entre les nuds. Le reste du manuscrit est divis en deux parties.

La

premire partie

concerne la commutation rapide des informations dans les rseaux ATM. De tels rseaux de tlcommunications sont construits pour sup-porter des dbits de transfert d'information trs levs. L'utilisation de la bre op-tique dans les liens de communication permet  la transmission des donnes d'tre su,samment rapide pour atteindre le dbit requis. En revanche, les conversions optolectroniques sont trs coteuses en temps. chaque fois qu'une information doit tre traite dans un commutateur lectronique, elle est ralentie. Il s'agit donc de concevoir des rseaux et des protocoles qui minimisent le nombre de traitements eectus au niveau lectronique sur les donnes qui circulent dans le rseau. La solution envisage par les concepteurs de rseaux ATM est de positionner par des-sus le rseau physique un second rseau, appel rseau logique ou rseau virtuel, constitu de chemins dits virtuels le long desquels l'information circule rapidement, sans tre retarde au passage des nuds intermdiaires. Il convient alors de po-sitionner correctement les chemins virtuels dans le rseau pour que le nombre de chemins virtuels emprunts par une connexion soit minimal, tout en respectant les contraintes de capacit sur le rseau physique.

Dans ce cadre, notre travail a consist  tudier et adapter la modlisation de ce problme faite dans la littrature et  tablir des relations entre le nombre de chemins virtuels traverss par les connexions et les contraintes physiques du rseau. Nous avons principalement considr les instances de communication de

1.Sloopest un projet communCnrs / Inria / Universit de Nice - Sophia Antipolis (Laboratoire I3S Thme PaCom)rebaptis projetMascotteen avril 2000

type diusion (o un initiateur souhaite changer son information avec tous les autres utilisateurs du rseau) et de type change total (o tous les utilisateurs veulent connatre les informations de tous les autres).

Pour rsoudre ces problmes, nous nous sommes placs dans un contexte d'op-timisation algorithmique dterministe et statique. Nous supposons en eet que les donnes du rseau physique et de l'instance de communication sont xes une fois pour toutes et nous cherchons  positionner les chemins virtuels en satisfaisant les contraintes et en optimisant divers paramtres. Nous avons pour cela utilis des mthodes combinatoires et probabilistes.

Dans le

chapitre 2

, nous dcrivons le cadre technique de notre travail. Il per-met de cerner les contraintes technologiques qui nous ont amens  la modlisation prsente dans le chapitre suivant. Nous commen-ons par rappeler le fonctionne-ment des modes de transfert commutation de circuits et commutation de paquets  puis nous montrons pourquoi ils ne sont plus utilisables dans les rseaux de nouvelle gnration et expliquons leur volution rcente. Nous dtaillons alors les principes du mode de transfert le mieux adapt aux rseaux haut dbit: l'ATM. Dans la dernire section de ce premier chapitre, nous proposons une premire modlisation informelle pour rsoudre le problme du positionnement des chemins virtuels dans les rseaux ATM et notons qu'elle n'est pas spcique  ATM mais peut tre utili-se pour d'autres rseaux de tlcommunications. Cette modlisation a fait l'objet de la publication %1].

Dans le

chapitre 3

, nous commen-ons par modliser formellement le pro-blme tudi dans cette premire partie. Nous dnissons tout d'abord la notion de graphe virtuel muni d'un plongement dans le graphe physique pour reprsenter les chemins virtuels. Le couple form par le graphe virtuel et le plongement est ap-pel VPL de l'anglais Virtual Path Layout. La charge d'un lien du graphe physique est le nombre de chemins virtuels qui traversent ce lien. La charge du VPL est le maximum de la charge d'un lien, c'est--dire la congestion du plongement. 'tant donne une instance de communication I (appele aussi ensemble des requtes de connexion) forme de couples de sommets du graphe physique (ou d'artes si le graphe est non orient), on dnit le nombre de sauts du VPL comme tant la distance maximale entre les deux sommets d'une requte de connexion dans le graphe virtuel. Ce paramtre correspond au nombre de chemins virtuels traverss par une connexion qui relierait ces deux sommets. Nous cherchons  construire des VPL qui minimisent les deux paramtres charge et nombre de sauts sous cer-taines contraintes. Comme ces deux paramtres sont en conit, c'est--dire qu'on ne peut diminuer l'un qu'aux dpens de l'autre, nous cherchons soit  minimiser le nombre de sauts en imposant que la charge du VPL soit infrieure  une certaine fonction de capacit sur les liens physiques (suppose uniforme dans nos travaux), soit  minimiser la charge en imposant que le nombre de sauts soit infrieur  une certaine valeur h. Les bornes obtenues dans ces deux optimisations sont bien sr

lies entre elles et nous tudions aussi ces relations.

Aprs la section 3.1 de dnitions, nous discutons dans la section 3.2 de l'orien-tation ou de la non orienl'orien-tation du modle. La version non oriente du problme est la plus tudie dans la littrature. Pourtant, la version oriente trouve aussi sa justication dans la technologie actuelle. Il est donc intressant de considrer les deux modles.

Dans la section 3.3 nous formalisons le problme et donnons les rsultats connus sur sa complexit.

La section 3.4 relie le paramtre arte (ou arc) indice de transmission   notre problme. Un routage tant un ensemble de chemins reliant toutes les paires de sommets du graphe,  est, par dnition, le minimum sur tous les routages du maximum de la charge d'une arte par les chemins du routage. Ce paramtre correspond  la charge optimale d'un VPL en un saut pour l'instance all-to-all. On peut le dnir aussi pour les autres types d'instance comme tant la charge optimale d'un VPL en un saut pour l'instance considre. Plus intressant, on remarque que l'indice de transmission nous donne une borne infrieure sur la charge pour h sauts. En eet, si (h) dsigne la charge minimale pour h sauts et  le degr du graphe physique, on a 2(h) ()1=h_{. Cette borne donne une}

bonne approximation de(h) et nos recherches de bornes suprieures, c'est--dire de bonnes constructions de VPL, sont ainsi facilites. Nous rappelons donc la dnition de l'indice de transmission et les bornes classiques ainsi que sa valeur pour les graphes usuels.

Nous proposons ensuite dans les sections 3.5 et 3.6 une synthse des rsultats obtenus dans la littrature. On y trouve des relations simples entre les divers paramtres puis des bornes sur la charge optimale pour un nombre de sauts x ou sur le nombre de sauts pour une capacit limite.

Ce chapitre se termine par un aper-u des autres problmes de positionnement de chemins virtuels tudis dans la littrature (section 3.7).

Dans le

chapitre 4

, nous exposons des dmonstrations non encore publies de bornes sur la charge et le nombre de sauts. Nous tudions d'abord dans la section 4.2 la relation 2(h) ()1=h _{et montrons que c'est une borne ne dans le}

cas d'une instance de type diusion (sous-section 4.2.2). Nous considrons aussi le cas de l'instance d'change total pour 2 sauts dans les arbres o cette borne est ne aussi (sous-section 4.2.3). Le cas d'un graphe gnral, pour 2 sauts, est enn tudi avec une mthode probabiliste dans la sous-section 4.2.3. Certaines de ces bornes ont t annonces sans dmonstration dans %2].

Nous nous intressons dans la section 4.3 aux bornes sur le nombre de sauts en reliant ce paramtre  l'arc-connexit. Connaissant l'arc-connexit du graphe

physique et sa capacit, nous donnons une construction s'inspirant d'une bonne construction dans l'arbre donne au chapitre 5. Dans le cas particulier de l'arc-connexit 2, capacit 1, nous proposons une meilleure construction.

Enn, la section 4.4 est consacre au calcul prcis du diamtre virtuel dans le cas du chemin orient de capacit 1.

Le

chapitre 5

reprend l'article %3]. Aprs un rappel du modle, nous donnons des bornes infrieures ainsi que des constructions optimales ou quasi-optimales sur le nombre de sauts en fonction de la capacit (xe et uniforme) avec l'instance d'change total (le nombre de sauts optimal s'appelle alors diamtre virtuel) dans le cycle, le chemin, l'arbre k-aire complet, les arbres quelconques, les tores, les grilles, ainsi que des bornes sur les graphes quelconques.

La

seconde partie

concerne l'change total dans les rseaux d'interconnexion entre processeurs. Dans une machine parallle  mmoire distribue, l'excution d'un programme se fait de manire rpartie sur les dirents processeurs. Ceux-ci eectuent des calculs d'une part, et s'changent leurs rsultats intermdiaires d'autre part. Nous nous intressons  la phase d'change, elle-mme constitue de direntes phases synchrones appeles tapes de communication. Si on souhaite que chaque processeur connaisse les informations de tous les autres  la n de la phase d'change alors il convient de construire un protocole dit d'change total. Les contraintes sur les liens de communication entre les processeurs ainsi que le mode de transfert des donnes utilis limitent le temps ncessaire pour eectuer les changes. Nous tudions le cas du mode store and forward et de la contrainte de communication F, o  chaque tape de communication chaque processeur peut

changer une information avec chacun de ses voisins. On trouve dans la littrature des protocoles d'change total optimaux, dans ce modle et dans dirents types de rseaux, en particulier dans les graphes de Cayley.

Les graphes de Cayley sont souvent utiliss comme structure de base de r-seaux de processeurs car ils sont trs rguliers. Les protocoles de communication sont donc plus faciles  concevoir et  mettre en uvre. Certains de ces graphes possdent un automorphisme qui permet de construire trs simplement un pro-tocole d'change total optimal. Notre travail a consist  rfrencer les graphes de Cayley qui admettent un tel automorphisme. Pour cela, nous nous sommes principalement servis de mthodes algbriques utilisant la thorie des groupes.

Dans le

chapitre 6

, nous introduisons les notions de thorie des groupes n-cessaires ainsi que la motivation du problme tudi dans le chapitre suivant.

Le

chapitre 7

reprend le rapport de recherche %4]. L'objet de cet article est de caractriser les graphes de Cayley admettant une rotation complte. Cet automor-phisme de graphe permet en eet, lorsqu'il existe et sous certaines conditions sur l'orbite des sommets, de construire d'une manire simple un protocole d'change

tal optimal. Aprs une premire section pour dnir cet automorphisme du graphe ainsi que l'automorphisme de groupe induit, nous mettons en vidence des condi-tions ncessaires sur le groupe pour que le graphe admette une rotation complte. Nous donnons la liste exhaustive des graphes de Cayley admettant une rotation complte parmi les graphes de Cayley engendrs par des transpositions. Il s'agit du bubble-sort graph modi et des produits cartsiens de bubble-sort graphs mo-dis isomorphes et du star graph gnralis GST(t+qq) avec t et q premiers entre eux et des produits cartsiens de tels graphes isomorphes. L'hypercube fait partie de cette famille. Plusieurs exemples de graphes de Cayley avec leur graphe de transposition sont prsents dans la section qui suit la conclusion de l'article.

Bibliographie

%1] Jean-Claude Bermond, Nausica Marlin, David Peleg, and Stphane Prennes. Virtual path layout in simple ATM networks. In Proceedings of 6th IFIP Work-shop on Performance Modelling and Evaluation of ATM Networks, Ilkley UK, July 1998.

%2] Jean-Claude Bermond, Nausica Marlin, David Peleg, and Stphane Prennes. Virtual path layouts with low congestion or low diameter in ATM networks. In Proc. of 1re Rencontres Francophones sur les Aspects Algorithmiques des Tlcommunications, 1999.

%3] Jean-Claude Bermond, Nausica Marlin, David Peleg, and Stphane Prennes. Directed virtual path layouts in ATM networks. Theorical Computer Science (TCS), 2000. Version tendue de l'article paru dans Proc. of the 12th Inter-national Symposium on DIStributed Computing (DISC'98), volume 1499 de Lecture Notes in Computer Science, pages 75-88, 1998.

%4] Marie-Claude Heydemann, Nausica Marlin, and Stphane Prennes. Cayley graphs with complete rotations. Rapport de Recherche L.R.I. Orsay 1155, Rapport de Recherche I3S Nice 9904, Rapport de Recherche INRIA 3624, 1997. Fait l'objet de deux articles: version 1 soumise  European Journal of Combi-natorics, version 2 sera prsente  International Conference on Graph Theory  Marseille en aot 2000 et soumise au numro spcial dans Discrete Mathe-matics.

Chapitre 1

Rseaux d'interconnexion,

mcanismes de communication et

modlisation

Nous prsentons dans ce chapitre la modlisation thorique sur laquelle nos tra-vaux ont pu progresser. Aprs un inventaire du vocabulaire de thorie des graphes utilis au cours du mmoire, on trouve les premiers exemples de graphes parmi les plus simples. En section 1.2 vient la modlisation des communications dans les rseaux.

1.1 Rseaux et Graphes

Nous tudions dans ce mmoire la structure de certains rseaux d'intercon-nexion et les mcanismes de communication qu'ils utilisent. Il s'agit, dans la pre-mire partie de grands rseaux d'interconnexion entre machines (Wide, Metropo-litan, Local Area Networks: WAN, MAN ou LAN) et dans la seconde partie, de rseaux de processeurs de machines parallles  mmoire distribue.

Les rseaux de tlcommunications comme les rseaux de processeurs peuvent tre modliss par des graphes tels que nous les dnissons formellement ci-dessous. Les sommets reprsentent les processeurs ou les nuds du rseau de tlcommu-nications qui sont des points d'accs ou des commutateurs. Les arcs reprsentent les liens physiques unidirectionnels et les artes les liens physiques bidirectionnels.

1.1.1 Notions lmentaires de thorie des graphes

Nous donnons seulement les dnitions ncessaires par la suite. Le lecteur pourra trouver les notions non rappeles ici dans le livre de RUMEUR %dR94], dans les livres de thorie des graphes de Berge %Ber83], de Bondy et Murty %BM76] ou dans l'ouvrage de Leighton consacr au paralllisme %Lei92].

Dnitions

- Un

graphe orient

(digraph)G= (V(G)A(G)) est constitu d'un ensemble

ni V(G) = fx1x2:::xNg d'lments, appels

sommets

, et d'une famille

nie A(G) =fa1a2:::amg de couples de sommets, appels

arcs

.

- Notons qu'un couple de sommets (xy)2V(G)V(G) peut tre reprsent

plusieurs fois dans la famille A(G) on parle alors d'

arc multiple

(xy) et de

multigraphe

G .

- Un

graphe non orient

G = (V(G)E(G)) est constitu d'un ensemble niV(G) de sommets et d'une famille nie E(G) = fe1e2:::emgde

repr-sentants de paires de sommets, appeles

artes

.

- Le nombre de sommets d'un (multi)graphe (orient ou non) est appel l'

ordre

du graphe, et est notN.

- Si a = (xy) est un arc, alors x est son

extrmit initiale

et y son

extr-mit nale

.

- Sia= (xy) est un arc, le sommetyest un

successeur

du sommetxetxest un

prdcesseur

de y. On s'autorise  dire galement que y est

adjacent

x.

- Si e = xy] est une arte, les sommets x et y sont dits

adjacents

l'un  l'autre et l'artee est dite

incidente

 x ety.

- Nous appellerons par la suite

liens

les arcs ou les artes d'un graphe, qu'il soit orient ou non.

- Un graphe orient est dit

symtrique

si l'existence d'un arc (xy) implique l'existence de l'arc (yx).

- Un arc de la forme (xx) ou une arte de la forme xx] est appel(e)

boucle

. - Un graphe ne comportant ni boucle, ni arc ou arte multiple, est appel

graphe simple

.

- On appelle

degr sortant

(resp.

entrant

) d'un sommet x dans un graphe orient, notd+_{(x) (resp.d};(x)), le nombre d'arcs d'extrmit initiale (resp.

nale)x.

- On appelle

degr

d'un sommet x dans un graphe, not d(x), le nombre d'artes incidentes x.

- On appelle

degr maximum

(resp.

minimum

) d'un graphe, not  (resp.), le maximum (resp. minimum) des degrs des sommets.

- On appelle

chemin

(dipath) dans un graphe orient une suite

P = (a1a2:::aq) d'arcs, telle que l'extrmit nale de ai est l'extrmit

initiale de ai+1, pour 1  i < q. La

longueur

du chemin P est alors le

nombre d'arcs qui le composent.

- On peut galement dnir un chemin P = (a1a2:::aq) dans un graphe

orient simple par la suite des sommets (x0x1:::xq), telle queai = (xi;1xi).

On dit alors que P est un chemin de x0 vers xq.

- On appelle

chane

(path) dans un graphe une suite P = (e1e2 :::eq)

d'artes, telle que deux artes conscutives sont incidentes  un mme som-met. La

longueur

de la chane P est alors le nombre d'artes qui la com-posent.

On s'autorise par la suite  appeler une chane un chemin, la distinction dpendant de la nature du graphe considr.

- Un chemin qui ne comporte pas deux fois le mme lien est dit

simple

. Un chemin qui ne comporte pas deux fois le mme sommet est dit

lmentaire

. - On appelle

distance

entre deux sommets x ety dans un graphe (orient ou

non), note d(xy), la longueur minimale d'un chemin dex vers y.

- On appelle

diamtre

d'un graphe (orient ou non), not D, le maximum des distances entre les sommets.

- On appelle

excentricit

d'un graphe par rapport  un sommet le maximum des distances  ce sommet.

- On appelle

circuit

dans un graphe orient un chemin d'un sommet vers lui-mme.

- On appelle

cycle

dans un graphe une chane d'un sommet vers lui-mme. - On appelle

stable

(independent set en anglais) d'un graphe un ensemble de

sommets deux  deux non adjacents.

- Un graphe orient est dit

fortement connexe

s'il existe un chemin de tout sommet vers tout autre sommet.

- Un graphe est dit

connexe

s'il existe une chane entre toute paire de som-mets.

- Un graphe est dit

biparti

s'il existe une partition de l'ensemble des sommets en deux parties non vides telles qu'il n'existe pas d'arte entre deux sommets appartenant  la mme partie.

Constructions classiques

- La

somme cartsienne

(cartesian product) de deux graphes simples orien-ts G = (VA) et G0 = (V0A0), note G

2G

0, est le graphe ayant pour

en-semble de sommets le produit cartsien V V

0 et pour ensemble d'arcs les

couples ((xx0)(yy0)) tels que x = y et (x0y0) 2 A

0 ou tels que x0 = y0 et

(xy)2A. La somme cartsienne de deux graphes non orients se dnit de

manire analogue.

- Le

graphe reprsentatif des arcs

(line-graph) du graphe orient G est le graphe orient L(G) dont les sommets reprsentent les arcs de G et dont les arcs sont dnis comme suit: il existe un arc dee vers f dans L(G) si l'arc de Greprsent pare a pour extrmit terminale l'extrmit initiale de l'arc de G reprsent parf.

1.1.2 Rseaux usuels

Nous dnissons ici certains graphes classiques qui sont le plus souvent tu-dis. Dans le cadre que nous tudions, il s'agira de considrer les graphes orients symtriques associs.

- On note CN le

cycle

(ou

anneau

) (lmentaire) d'ordre N, de longueur N

(voir gure 1.1).

- On note PN la

chane

(lmentaire) d'ordre N, de longueur N;1.

- On noteKN le

graphe complet

d'ordreN, ayant N sommets deux  deux

adjacents (voir gure 1.1). On note K

N la version oriente.

Fig. 1.1 . Le cycle C6 et le graphe complet K6.

- On note Kmn le

graphe biparti complet

d'ordre m+n dont l'ensemble

des sommets est partitionn en deux parties de taille respective m et n et telles que chaque sommet de l'une est adjacent  chaque sommet de l'autre. - On noteHn l'

hypercube

de dimensionn, d'ordreN = 2n, qui est la somme

cartsienne de n copies du graphe K2. Il se dnit rcursivement  partir

de K2: Hn=K22Hn ;1 =K2 2K222K2 | {z } n fois 12

Il peut galement se dnir comme le graphe dont les sommets sont les mots de longueur n sur l'alphabet f01g, tel que deux sommets sont adjacents si

et seulement si leurs mots dirent en une seule lettre (voir gure 1.2).

0000 1000 0101 0010 0111 1111 1110 1101 1100 1010 1001 1011 0110 0100 0001 0011 Fig. 1.2 . L'hypercube H4.

- On note_Qn M(p1p2:::pn) la

grille

(mesh) de dimension n, d'ordre N = i=1pi, qui est la somme cartsienne des n chanes Ppi (i = 12:::n), soit

Pp1 2Pp

2

22Pp

n (voir gure 1.3).

- On note TM(l1l2:::ln) la

grille torique

(toroidal mesh) ou

tore

de

di-mension n, d'ordre N = Qn_i=1li, qui est la somme cartsienne des n cycles

Cli (i= 12:::n), soit Cl1

2Cl 2

22Cl

n (voir gure 1.3). On noteTM(n)

d

la grille torique somme de d cycles de longueur n.

Fig. 1.3 . La grille M(54) et le tore TM(54).

- Un

arbre

est un graphe connexe sans cycle. Souvent, les arbres sont dits

enracins

 cela signie qu'un sommet appel

racine

est distingu. Soit 13

(xy) une arte d'un arbre enracin enr avec d(ry) =d(rx)+1. On dit que

y est un

ls

de x et que x est le

pre

de y.

- Un

arbre binaire

est un arbre dont chaque sommet a au plus 2 ls.

- Un

arbre binaire complet de profondeur

h est un arbre binaire d'ex-centricit par rapport  la racine gale  h et ayant un nombre de sommets maximum c'est--dire 2h+1;1.

- Un

arbre

k

-aire

est un arbre dont chaque sommet a au plus k ls.

- Un arbre k

-aire complet de profondeur

h est un arbre k-aire d'excen-tricit par rapport  la racine gale  h et ayant un nombre de sommets maximum. Dans un tel graphe, tous les sommets sont de degr k+ 1 sauf la racine qui est de degr k et les sommets  distance h de la racine qui sont de degr 1.

1.2 Communications structures

Nous considrons les communications dans les rseaux comme une succession d'tapes de communications. Les modes de transfert des donnes sont dcrits dans la partie I au chapitre 2 page 21. Pour chaque rseau, muni de ses contraintes de communications, et chaque schma de communication, l'objectif gnral est de rduire le nombre d'tapes.

1.2.1 Contraintes de communications

Lors de la modlisation du rseau par un graphe en vue de l'tude des com-munications structures, il convient de savoir si les liens de comcom-munications entre deux processeurs sont unidirectionnels ou bidirectionnels et si chaque processeur peut communiquer dans une mme tape avec plusieurs de ses voisins. Formelle-ment, nous dnissons ici quelques contraintes classiques dont la contrainte F,

full-duplex -port, tudie dans la partie II.

Dans le cas de liens bidirectionnels, soient xet y deux nuds du rseau: . si un seul message  la fois peut circuler entre x et y, soit de x vers y, soit

de y vers x, le lien est dit half-duplex. Le rseau est alors modlis par un graphe non orient.

. si deux messages peuvent circuler en mme temps sur le lien, l'un dexvers y

et l'autre de y vers x, le lien est dit full-duplex. Le rseau est alors modlis par un graphe orient symtrique.

On dtermine aussi le nombre de liens de communications simultanment uti-lisables. Si lors d'une tape de communication, chaque nud peut communiquer

simultanment avec k de ses voisins les communications sont dites k-port. Dans le cas extrme o chaque nud peut utiliser simultanment tous ses liens, les communications sont dites -port ( tant le degr maximum).

On note habituellement F la contrainte full-duplex -port o les processeurs

peuvent communiquer avec tous leurs voisins et en recevoir des messages lors d'une mme tape de communication.

1.2.2 Schmas de communication

Sont dnis ici quelques schmas classiques de communication dans les rseaux, dont l'change total qui est  la base du travail sur les graphes de Cayley dans la partie II les autres schmas justient le travail de minimisation du diamtre ou de l'excentricit dans les rseaux ATM de la partie I.

.

La diusion

(one-to-all ou broadcasting) consiste  envoyer un message  tous les nuds du rseau  partir d'un initiateur unique.

.

L'change total

(all-to-all, total exchange ou gossiping) consiste  eectuer une diusion  partir de tous les nuds simultanment.

.

La distribution

(diusion personnalise, personalized one-to-all, distribu-ting ou scattering) consiste, pour un initiateur unique,  envoyer un message dirent  chacun des autres processeurs.

Bibliographie

%Ber83] C. Berge. Graphes. Gauthiers-Villars, 1983.

%BM76] J. A. Bondy and U. S. R. Murty. Graph Theory with Applications. Mac-Millan Press, 1976.

%dR94] Jean de Rumeur. Communications dans les Rseaux de Processeurs. Col-lection 'tudes et Recherche en Informatique. Masson, Paris, 1994. %Lei92] F. T. Leighton. Introduction to Parallel Architectures: Arrays, Trees,

Hypercubes. Morgan Kaufmann Publishers, 1992.

Premire partie

Topologie logique

pour les rseaux de

tlcommunications

Chapitre 2

La technologie ATM

Les communications modernes se diversient et s'intensient si rapidement que les rseaux classiques orant un service spcique et fonctionnant en commutation de circuits ou en commutation de paquets sont dpasss. Parce qu'ils ont t con-us pour une utilisation particulire (la conversation, la messagerie, la consultation de donnes ou la distribution par exemple), ils sont peu exibles et ont du mal  s'adapter  un ux de donnes htrogne. Les donnes ne sont en eet pas toutes de mme type, ne demandent pas le mme dbit ni la mme qualit de service. De plus, les dbits que ces rseaux supportent ne sont pas su,samment levs pour transmettre certaines donnes: la transmission de vido de haute qualit peut par exemple ncessiter un dbit de plusieurs centaines de Mbit/s. Ainsi est ne la ncessit de nouveaux rseaux,  la fois exibles et rapides qu'on appelle les rseaux haut dbit.

L'avnement de la bre optique dans les rseaux de tlcommunications permet actuellement de transmettre des donnes sur des centaines de kilomtres,  des dizaines de Gbit/s, avec des taux d'erreur ngligeables. Le problme ne vient donc pas de la transmission mais de la complexit des protocoles eectus au niveau des commutateurs lectroniques (protocoles de contrle ou de routage par exemple). Des protocoles aussi complexes que ceux implments par exemple dans les rseaux de paquets existants ne peuvent actuellement tre mis en place aux dbit requis,  des cots raisonnables. Aussi, la proccupation principale du concepteur de rseau haut dbit est de simplier les protocoles pour permettre de raliser les oprations lectroniques su,samment rapidement pour ne pas trop ralentir le dbit oert par la bre optique.

2.1 Les modes de transfert classiques

Le mode de transfert est la technique utilise dans un rseau (rseau de pro-cesseurs ou rseau de tlcommunications) dnissant la manire dont s'eectuent la transmission, la commutation et ventuellement le multiplexage. Les modes de

transfert les plus utiliss sont la commutation de circuits (utilise dans les rseaux tlphoniques par exemple) et la commutation de paquets (utilise dans les rseaux Internet par exemple).

2.1.1 Commutation de circuits (

circuit-switching

)

La commutation de circuits est un mode de transfert orient connexion. En eet, lorsqu'un appel est accept, une liaison (circuit) est tablie entre les corres-pondants avant que ne commence l'change des informations et cette liaison est dtruite  la n de l'change. Dans le mode commutation de circuits, cette liai-son est xe pendant tout l'change. Sa capacit est constante et les ressources qu'elle rserve ne peuvent pas tre utilises par une autre connexion mme lorsque le ux de donne transmis est infrieur  la capacit rserve. Ce mode vite le stockage de l'information dans les nuds intermdiaires du rseau et permet de rduire le temps des communications longue distance. Direntes units d'informa-tion, appartenant  direntes communications, sont multiplexes temporellement dans une trame de 32 slots (tranche temporelle de taille xe), chaque slot pouvant transporter un octet. Cette trame se rpte toutes les 25s. Chaque communi-cation a un slot rserv dans une position xe de la trame. L'identicommuni-cation de la communication  laquelle sont associes les informations qui circulent dans la trame est implicite, elle est lie  la position du slot dans la trame. Ainsi, lors-qu'une source n'a rien  transmettre, le slot ne peut pas tre utilis pour une autre communication.

2.1.2 Commutation de messages (

store-and-forward

)

Il s'agit certainement du mode le plus simple et le plus ancien utilis dans la quasi totalit des machines parallles jusqu'au dbut des annes 90. Les messages avancent dans le rseau vers leur destination en transitant par les nuds inter-mdiaires o ils sont stocks entirement avant d'tre rmis. A chaque tape, le canal emprunt est aussitt libr. Cette technique ncessite l'implmentation de protocoles complexes au niveau de chaque commutateur pour stocker l'information et la router. Ce mode de commutation s'impose dans les cas o tous les processeurs intermdiaires sont intresss par l'information qui transite dans le rseau. C'est le cas en particulier lorsqu'on cherche  eectuer un change total (dni page 15) o tous les processeurs doivent connatre toutes les informations contenues dans les nuds du rseau. La commutation de messages est le mode de commutation utilis lors des changes totaux que nous tudions dans les rseaux de processeurs modliss par des graphes de Cayley aux chapitres 6 et 7 de la partie II.

2.1.3 Leur volution rcente

La construction de rseaux haut dbit ncessite une volution des modes de transfert des donnes. La commutation de circuits avait l'avantage d'tre simple, de transmettre les informations de fa-on transparente sur le rseau (c'est--dire sans inversion dans l'ordre des informations) sur des slots de taille constante et de minimiser les fonctions des commutateurs et des multiplexeurs qui pouvaient donc fonctionner  haut dbit. L'inconvnient de ce mode de transfert est son manque de exibilit. Il n'est pas possible de l'implmenter e,cacement pour transporter des tracs dirents. En eet, l'identication de l'expditeur dans un slot est implicite: elle est lie  la position du slot dans la trame et donc immuable. Le multiplexage statistique est quasiment impossible. Pour rpondre  ce problme, ce mode a volu progressivement. D'abord a t propos le mode commutation de circuits multi-dbit dans lequel une connexion peut rserver plusieurs slots dans une trame. Mais une connexion de dbit lev doit alors rserver des milliers de slots dans la trame (un slot par trame correspond  64 kbit/s) cela est di,cile  grer. De plus, la capacit rserve pour une connexion est constante donc, en cas de ux sporadique (variant beaucoup dans le temps), on ne peut pas allouer les ressources non utilises par une communication  une autre. Pour palier  ce dernier problme, a t mis en place un mode appel commutation de circuits rapide qui permet aux sources d'annoncer et de modier le dbit dont elles ont besoin. Mais ce systme complexie trop les protocoles eectus au niveau lectronique et limite le dbit.

Commutation de circuits

Commutation de circuits multi-débit

32 octets 64 Kbit/s

Fig. 2.1 . La commutation de circuits

Le mode commutation de paquets quant  lui prsentait au contraire l'avantage de la exibilit puisque quand une source ne transmet rien, les ressources qu'elle n'utilise pas sont rcupres pour d'autres communications. Mme lorsque le trac est sporadique, les ressources sont correctement utilises. L'inconvnient de ce mode est la complexit des protocoles  traiter. En simpliant les protocoles de dtections d'erreur (moins utiles  prsent car la bre optique est un support de transmission trs able) et les protocoles de contrle du ux, on obtient un

mode plus simple appel relais de trame qui permet des dbits plus levs mais n'atteignant pourtant pas la centaine de Mbit/s dont certaines applications ont besoin.

Les ides dveloppes pour faire voluer les modes commutation de circuits et commutation de paquets les ont nalement fait converger vers un mode de transfert  la fois simple et exible qui permet le transfert  haut dbit de ux de donnes htrogne et sporadique. C'est le mode de transfert asynchrone (asynchronous transfer mode, ATM) que nous dcrivons dans la section suivante.

2.2 Le mode de Transfert asynchrone

L'objectif d'ATM est  la fois de simplier au maximum les protocoles eectus au niveau des routeurs et de faciliter le multiplexage des donnes pour permettre une gestion simple des ux sporadiques.

L'ATM est un mode de transfert orient connexion, bas sur le multiplexage temporel asynchrone, intgrant un minimum de fonctionnalits. Un en-tte, dont la fonction principale est l'identication explicite des circuits virtuels, est associ aux informations utiles. L'asynchronisme vient du fait qu'il n'existe pas de corrlation entre les horloges de la source et du rseau. L'utilisateur envoie ses informations au rythme qui lui convient et non pas au rythme impos par la rptition des trames, comme c'est le cas dans la commutation de circuits. Le contrle d'erreur lien par lien ainsi que le contrle de ux ne sont pas pris en compte, ce qui permet de mettre en place des protocoles relativement simples.

2.2.1 Les cellules ATM

Une volution naturelle du mode de commutation de circuits consiste  mainte-nir la transparence des informations dans des slots de taille constante mais d'ajou-ter  chaque unit d'information un en-tte permettant d'identier de fa-on expli-cite  quel circuit appartiennent les informations. La notion de trame n'est plus ncessaire, une simple suite de slots de taille constante est utilise. Une source dsirant transmettre attend de dtecter un slot vide pour y dposer son unit d'in-formation. De cette fa-on, chaque source n'utilise que les slots dont elle a besoin et elle les marque grce  l'en-tte. Les informations engendres par la source sont stockes dans un buer d'o elles sont extraites par bloc de 48 octets auxquels on ajoute un en-tte de 5 octets pour former une cellule ATM qui est alors dpose dans un slot vide.

5 48

Fig. 2.2 . La cellule ATM

de l’usager Information

+ ajout de l’en-tête

Fig. 2.3 . Le multiplexage temporel ATM

2.2.2 Les connexions ATM

Il existe dans les rseaux ATM deux types de connexions: 1. les connexions de chemin virtuel (VPC), et

2. les connexions de canal virtuel (VCC).

La capacit de chaque conduit de transmission (que nous appelons aussi lien physique) est divise, de manire logique c'est--dire sans dlimitation physique, en un ou plusieurs liens ATM appels chemins virtuels (virtual path, VP), cette division de la capacit est faite en quelque sorte dans l'paisseur du lien physique (voir gure 2.4). Une connexion de chemin virtuel (VPC) se compose d'un VP ou de la concatnation de plusieurs VP.

La capacit d'un VP est elle-mme partage logiquement par un ou plusieurs liens ATM appels canaux virtuels (virtual channel, VC). Une connexion de canal virtuel (VCC) se compose d'un VC ou de la concatnation de plusieurs VC. Il y a plusieurs VC dans un VP (division de la capacit, division en paisseur) et un VC peut traverser plusieurs VP adjacents (dans la longueur du lien physique) (voir gure 2.5).

VC VC VC VC VC VC VC VC VC VC VC VC VP VP VP physique lien

Fig. 2.4. Division de la capacit d'un lien de transmission physique Une connexion entre deux utilisateurs (VCC) est donc une concatnation de VC qui peuvent eux-mmes tre vus comme une succession de VPC qui sont elles-mmes des concatnations de VP. On le voit, ATM utilise une hirarchie de connexions. La gure 2.5, tire du livre %KG96], prsente la hirarchie des connexions VPC et VCC. Comme l'expliquent plus en dtail les auteurs de %KG96], cette hirarchie permet

. la simplication de l'tablissement des connexions, car les VCC utilisent les VPC dj mises en place, on peut ainsi privilgier certaines connexions trs frquentes

. la simplication de la gestion du trac, car les VPC dnissent plusieurs r-seaux logiquement indpendants sur le mme rseau physique et permettent ainsi un multiplexage sans interfrence

. la simplication de la synchronisation des direntes connexions des cations multimdia puisque toutes les connexions (VCC) d'une mme appli-cation passent dans les mmes VP et sont donc synchronises.

L'identication des connexions

Chaque cellule porte dans son en-tte des informations identiant, d'une part, le VP auquel elle appartient et, d'autre part, le VC dans ce VP auquel elle ap-partient. Ces informations sont appeles, respectivement, identicateur de canal virtuel (VCI) et identicateur de chemin virtuel (VPI). Un VP est identi par le VPI, un VC est identi par le couple VPI/VCI. Ces identicateurs sont locaux, ils peuvent tre dirents pour deux liens d'une mme connexion. Les commutateurs (ou brasseurs) sont de deux types, les commutateurs de VP, qui concatnent les VP et traduisent les valeurs des VPI et les commutateurs de VC qui terminent les VPC, concatnent les VC et traduisent les VCI.

Dans un brasseur de VP, seuls les VPI changent. Si le VP1 est commut sur le VP2, et si les VC8 et VC9 partageaient le VP1 alors, ces VC gardent le mme identicateur de VC et partagent le VP2.

ET ou ER ER ER ER ET ou ER VCC

VC VC

VP VP

VPC

ER : Equipement reseau ER : Equipement terminal

Fig.2.5 . Connexions ATM: VPC et VCC

Le livre %KG96] dcrit en introduction les nouveaux besoins en tlcommunica-tions, explique la ncessit de construire des rseaux haut dbit et montre comment le concept ATM a t retenu avant de le dcrire en dtail. Il dcrit aussi les solu-tions envisages pour viter la congestion dans les rseaux ATM. On trouve dans ce livre une tude plus particulire des rseaux haut dbit locaux et, dans une dernire partie, une description des dernires avances en matire de composants optolectroniques, la prsentation et la motivation de la technique de multiplexage en longueur d'onde ainsi qu'une prsentation de diverses architectures de rseaux locaux tout-optique. Les lecteurs intresss par la technique de multiplexage en longueur d'onde dans les rseaux optiques et les problmes qui en dcoulent du point de vue thorique pourront consulter la thse %Bea00].

2.3 Modle: premire approche

Nous nous intressons au nombre de chemins virtuels traverss par une connexion entre deux usagers du rseau. En eet, comme les protocoles lectroniques sont im-plments au niveau des commutateurs de VP, le nombre de VP traverss est for-tement li au dlai que vont subir les informations transitant sur cette connexion. Grossirement, on s'intresse au nombre de fois o la cellule ATM va tre arrte pour la lecture de son en-tte et son routage vers un autre VP.

D'autre part, nous nous intressons  la capacit ncessaire dans les liens phy-siques pour positionner les VP. Ce paramtre est li au cot nancier du rseau

puisque la capacit des liens dpend de l'quipement mis en place.

Pour simplier l'tude de ces deux paramtres, nous supposons que les VP sont de capacit unitaire et que les liens physiques sont de capacits constantes, toutes gales. La capacit d'un lien physique est alors simplement le nombre de VP que ce lien peut supporter.

2.3.1 Premire Modlisation

Les VP forment un rseau virtuel sur le rseau physique. Comme les connexions s'tablissent par concatnation de VP, tout se passe comme si on communiquait point  point dans le rseau form par les VP, qu'on appelle le rseau virtuel. Le nombre de VP traverss par une connexion entre deux points du rseau physique correspond  la distance entre ces deux points dans le rseau virtuel. La gure 2.6 reprsente (sans aucune garantie d'chelle) un rseau ATM imaginaire entre quelques villes fran-aises. Les liens physiques sont reprsents par des traits noirs et les chemins virtuels par des traits clairs. Pour tablir une connexion entre Pa-ris et Sophia dans ce rseau, il existe au moins deux solutions. La premire est d'tablir la connexion le long des VP Paris-Marseille, Marseille-Toulon, Toulon-Cannes, Cannes-Sophia la seconde est d'tablir la connexion le long des VP Paris-Marseille, Marseille-Nice, Nice-Sophia. La premire solution utilise quatre VP, la seconde seulement trois. Pourtant, la premire solution utilise le plus court chemin physique, la seconde utilise un chemin physique plus long. Comme nous l'avons vu, les dlais d'tablissement d'une connexion et de communication sont limits par le nombre de commutateurs de VP traverss et non pas par la distance physique. Aussi, la seconde solution est meilleure.

En termes de charge, on voit que le positionnement des chemins virtuels est tel que la charge maximale sur les liens physiques est deux. Par exemple, le lien physique entre Paris et Lyon supportent les deux VP Paris-Lyon et Paris-Marseille. La position des VP dans le rseau physique est reprsente par une fonction du rseau virtuel dans le rseau physique qui associe  un arc du rseau virtuel le VP auquel il correspond dans le rseau physique. Cette fonction, bien connue en thorie des graphes, est appele un plongement du rseau virtuel dans le rseau physique. Un exemple simple de cette modlisation est reprsent sur la gure 2.7. On y voit  gauche le rseau virtuel et  droite le rseau physique avec, dessins en plus clair, les VP, images des arcs du graphe virtuel par le plongement.

Au chapitre suivant, nous prsentons plus formellement le modle ainsi que le problme que nous tudions.

Marseille Paris Lyon Nice Bordeaux Sophia Cannes Toulon Tours

Fig. 2.6 . Un rseau ATM imaginaire

Fig. 2.7 . Le rseau virtuel et son plongement dans le rseau physique

2.3.2 Topologie virtuelle

L'ide d'une topologie virtuelle construite par dessus une topologie physique n'est pas spcique au problme du positionnement des chemins virtuels dans les rseaux ATM. On la retrouve dans d'autres problmes de tlcommunication. On pourra se rfrer au livre de Stern et Bala %SB99] qui dnit plusieurs Logically Routed Networks dont les sommets peuvent tre aussi bien des commutateurs ATM, que des routeurs IP, des systmes SONET ou des utilisateurs naux (voir chapitres 3.5 et 7 du livre). Sur une topologie physique qui reste un rseau optique, il s'agit alors de superposer divers types de rseaux virtuels. D'un point de vue thorique, le problme se modlise de la mme fa-on.

Notons aussi qu'il existe dans la littrature une autre approche complmentaire 29

dans laquelle on cherche  raliser l'instance de communication directement sur le rseau physique par exemple, en utilisant pour chaque requte un chemin avec une longueur d'onde xe (voir la thse %Bea00] pour une synthse sur ce sujet).

Bibliographie

%Bea00] Bruno Beauquier. Communications dans les rseaux optiques par mul-tiplexage en longueur d'onde. PhD thesis, Universit de Nice - Sophia Antipolis, janvier 2000.

%KG96] Daniel Kofman and Maurice Gagnaire. Rseaux haut dbit. Collection Informatiques. Paris: InterEditions, 1996.

%SB99] Thomas Stern and Krishna Bala. Multiwavelength Optical Networks, A Layered Approach. Addison-Wesley, 1999.

Chapitre 3

Modle et Rsultats

Dans la section 3.1, nous modlisons plus formellement la situation dtaille dans le chapitre prcdent en dnissant ce que nous appelons le graphe physique et les requtes de connexion puis en expliquant les contraintes intervenant dans la construction d'un 0 bon 1 VPL. Nous discutons ensuite dans la section 3.2 des avantages respectifs des modles orient et non orient. Dans la section 3.3 nous formulons le problme et donnons une ide de sa complexit. Les sections 3.5 et 3.6 prsentent les rsultats existant dans la littrature, respectivement pour les rseaux quelconques et pour certains rseaux particuliers, les plus communs: le chemin, le cycle, les arbres, la grille et le tore. Les rsultats sont prsents pour chaque rseau, d'abord dans le cas d'une requte de type diusion, puis dans le cas d'une requte d'change total. La dernire section prsente des problmes proches: la construction d'un VPL avec facteur d'tirement born en section 3.7.1 et la construction d'un VPL minimisant la charge sur les sommets en section 3.7.2.

3.1 D nitions et Notations

Le rseau physique est reprsent par un graphe G = (VE), orient ou non orient selon le modle choisi.

3.1.1 Les requtes

. En orient, une requte de connexion est modlise par un couple 0source-destination1. L'ensemble des requtes (aussi appel instance), notI, est un sous-ensemble de V V form de couples de sommets de G.

. En non orient, une requte de connexion est modlise par une paire de sommets. L'ensemble des requtes (aussi appel instance), notI, est form de paires de sommets de G.

Jusqu' prsent, les recherches ont principalement port sur l'tude de deux types de requtes. Le premier type de requtes de connexion correspond en

munication  une demande de distribution (dnie page 15) ou de diusion, appele aussi en anglais One-to-All, o un sommet particulier, l'initiateur, souhaite com-muniquer avec tous les autres. Si s est l'initiateur alors I =fsgV. D'une fa-on

gnrale, on note un ensemble de requtes du type one-to-all parOA. Un initiateur

est alors sous-entendu. Soit il a t prcis dans le texte, soit il peut tre un sommet quelconque du graphe sans que cela aecte le rsultat nonc. Le second type cor-respond  une demande d'change total (dnie page 15), appel aussi en anglais All-to-All, o chaque sommet souhaite communiquer avec tous les autres. 'tant donn un graphe, une instance de ce type est unique: I =V V aussi note AA.

On considrera aussi les requtes du type One-to-Many (correspond  un schma de communication de multicast), o un sommet particulier souhaite communiquer avec un groupe de sommets. Soit s l'initiateur et V0

 V le groupe de sommets

avec lequel s souhaite communiquer, on a I = fsgV

0. Une instance de ce type

est souvent noteOM. Une instance du type V0 V

0 est appele Many-to-Many et

est parfois note MM.

3.1.2 VPL ou Positionnement des chemins virtuels

Le terme anglais VPL est l'acronyme de Virtual Path Layout et signie litt-ralement positionnement des chemins virtuels. 'tant donns un rseau physique modlis par un grapheG= (VE), un ensemble de couples de sommets reprsen-tant les requtes de communication dans ce graphe, deux paramtrescethlimitant respectivement la capacit des liens physiques et le nombre de sauts maximum ad-mis pour tablir une connexion, il s'agit de savoir s'il existe un ensemble de chemins virtuels positionns dans le graphe physique qui ne charge pas un lien plus que sa capacit cet tel que chaque requte puisse tre satisfaite en au plus h sauts.

Plus formellement, on cherche

. E0 un ensemble de liens, appels liens virtuels, forms de couples de sommets

du graphe physique, et

. une fonction de routage P de E 0 dans

P(G), l'ensemble des chemins de G,

qui  un lien virtuel (xy) associe un chemin de x  y dans le graphe G. Un tel chemin est appel chemin virtuel.

On parle du graphe virtuel H = (VE0) dont les sommets sont ceux du graphe

physique et dont l'ensemble des liens est E0. Lorsqu'aucune confusion n'est

pos-sible, le diamtre de H est appel diamtre virtuel.

On note un VPL par le couple (HP). Dans certains graphes physiques, le

plongement des liens de H dans l'ensemble des chemins de G est implicite. C'est par exemple le cas dans le chemin, le cycle, les arbres et mme la grille si les chemins virtuels joignent deux sommets n'ayant qu'une coordonne dirente. Dans ces cas, le VPL est entirement dni par la donne du graphe H.

3.1.3 Les contraintes: capacit et nombre de sauts

Les contraintes physiques lies au cot du rseau et au temps d'tablissement d'une connexion induisent naturellement deux paramtres lors de la modlisation. Le premier de ces paramtres limite l'utilisation d'un lien physique, c'est sa capa-cit. Le terme est consacr bien qu'il porte  confusion. Il ne s'agit pas ici du dbit que peut supporter le lien physique mais d'une capacit logique. Nous appelons capacit d'un lien physique le nombre de chemins virtuels qui peuvent partager ce lien. Si le dbit dans les chemins virtuels est x, alors, la capacit d'un lien physique est proportionnelle au dbit que celui-ci peut supporter et donc direc-tement lie au cot de l'quipement. Limiter la capacit, c'est limiter le cot de fabrication du rseau. Lors du positionnement des chemins virtuels, il s'agira de ne pas charger un lien plus que sa capacit.

D'autre part, comme le temps d'tablissement d'une nouvelle connexion est proportionnel au nombre de chemins virtuels traverss, on dnit le second para-mtre, le nombre de sauts, comme tant le nombre minimal de chemins virtuels qu'on doit emprunter pour raliser une requte.

Dans notre travail, nous notons c eth les paramtres limitant respectivement la capacit du rseau et le nombre de sauts possible pour satisfaire une requte. La capacit est donc uniforme, c'est--dire la mme pour chaque lien physique. Exceptionnellement, nous considrerons deux capacits possibles, c+ _{et c};, par

exemple dans le cycle orient pour les arcs orients dans le sens positif et ceux orients dans le sens ngatif.

3.1.4 Les objectifs: charge et distance maximale d'un VPL

'tant donn un VPL (HP), on calcule la distance maximale du VPL comme

tant la distance maximale dans le graphe virtuel entre deux sommets d'une re-qute de connexion:

D(GHI) = maxfdH(xy) j (xy)2Ig

Dans le cas oI =AA, l'instance de communication all-to-all, la distance maximale

correspond au diamtre du graphe virtuel. Dans le cas oI =OAest une instance de

communication du type one-to-all, la distance maximale correspond  l'excentricit de l'initiateur dans H.

On peut aussi calculer la charge du graphe G par le VPL comme le nombre maximal de chemins virtuels qui empruntent un lien physique:

(GHP) = max e2E jfe 0 2E 0 j e2P(e 0 )gj 35

On voit que la charge et la distance maximale sont en conit puisque, pour limiter la charge du rseau physique, il faut diminuer le nombre de chemins virtuels, ou leur longueur, ce qui nous amnera  construire un graphe virtuel de plus grande distance maximale. Rciproquement, si on se permet de charger beaucoup les liens physiques, on pourra construire un VPL dans lequel la distance maximale sera faible.

3.1.5 La classe

VPL(GIhc)

Soit G un graphe. L'ensemble des VPL (HP) tels que (GHP)  c et

D(GHI)hest notV PL(GIhc). Si cet ensemble est non vide, on dit que ses

lments sont des VPL ralisables sur le graphe G avec l'instance de connexion I

et les contraintesceth. On dit aussi queGadmet un VPL satisfaisant l'ensemble de requtesI avec une capacit infrieure  cet un nombre de sauts infrieur  h.

3.2 Modles orient et non orient

Le problme est le plus souvent abord dans sa version non oriente. Le grapheG

est non orient les chemins virtuels chargent les artes du graphe physique et peuvent tre emprunts dans les deux sens lors d'une connexion entre deux som-mets. Cette modlisation correspond au cas o les communications sont bidirec-tionnelles. Elle impose que s'il existe un chemin virtuel de uvers v alors, il existe aussi un chemin virtuel symtrique dev versu. C'est eectivement la manire dont les rseaux ATM sont implments  l'heure actuelle.

Pourtant, une discussion avec Daniel Kofman, co-auteur de %KG96], nous a conrm que les deux chemins virtuels ne ncessitent pas forcment la mme ca-pacit. En eet, dans de nombreuses applications, les ots de donnes ne sont pas les mmes dans les deux sens. Ainsi, dans une application vido ouest le serveur et v un consommateur, la transmission des donnes vido de u vers v ncessite une large bande passante tandis que les oprations de contrle de v vers u sont trs faibles. Une modlisation oriente des chemins virtuels semble donc mieux convenir aux applications de ce type. Il conviendrait de positionner des chemins virtuels orients et pondrs, et de calculer la charge d'un lien comme la somme des poids des chemins virtuels qui l'empruntent. Ce modle complexe est di,-cile  manipuler. Aussi nous n'avons conserv que l'hypothse d'orientation. Les chemins virtuels que nous manipulons sont orients et tous de capacit unitaire. Ainsi, pour calculer la charge d'un lien physique, il su,t de compter le nombre de chemins virtuels qui l'empruntent. Dans ce modle simpli, nous modlisons la situation prcdente par une communication unidirectionnelle de ule serveur vers

v le consommateur, en oubliant les oprations qui chargent peu le rseau.

Le modle non orient est introduit et motiv dans %GZ94] puis %CGZ94]. Le 36