Examen du 2 septembre 2009

Master Maths Fonda. et Appliqu´ees Orsay 2008–09 1`ere ann´ee - 2 `eme semestre - Analyse

Examen du 2 septembre 2009

A. Vrai/faux. (environ 10 points)

Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est VRAIE ou FAUSSE, et justifier votre r´eponse par une preuve ou un contre-exemple.

1. Les seules parties de Qqui sont `a la fois ouvertes et ferm´ees (pour la topologie donn´ee par la distance usuelle) sont ∅ etQ.

2. On note C_c(R,R) l’ensemble de fonctions de R dans R `a support compact. Alors toute inter- section d´enombrable d’ouverts denses de (C_c(R,R), k · k_∞) est dense dans (C_c(R,R), k · k_∞).

3.L’ensemble de fonctions F :=

f ∈C¹([0,1],R) tel que kf⁰k_∞≤1 et Z 1

0

|f(t)|dt≤1

. est relativement compact dans l’espace m´etrique C⁰([0,1],R), k · k_∞

. 4. Pour toute suite r´eelle u = (u_n)n∈N, on note kuk₂ := P

n|u_n|²1/2

. On consid`ere l’espace vectoriel `²(R) =

u∈R^N tel quekuk₂<+∞ , et son sous-espace vectoriel `c(R) constitu´e des suites qui sont nulles `a partir d’un certain rang. Alors, pour tout u ∈ `<sup>2</sup>(R), il existe un unique v∈`_c(R) tel que

ku−vk₂ = inf

w∈`c(R)ku−wk₂.

5.Il existe au moins une solution maximale t7→(x(t), y(t)) du syst`eme diff´erentiel x⁰(t) = −2x(t)−y(t)−y²(t)

y⁰(t) = −x(t)−y(t)−x(t)y(t)

qui part d’un point (x(0), y(0))6= (0,0) ent= 0, et qui converge vers le point (0,0) quand t tend vers +∞.

B. Divergence des s´eries de Fourier.(environ 7 points)

On note C_2π l’espace vectoriel des fonctions continues de RdansR, 2π-p´eriodiques. On munit cet espace vectoriel de la norme uniformek · k. Pour toutn∈N, on noteS_n l’op´erateur lin´eaire deC_2π dans l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques de degr´e ≤n qui associe `a chaque fonctionf sa s´erie de Fourier d’ordre n:

Sn(f) :t7→

n

X

k=−n

c_k(f)e^ikt.

1. Montrer que

|||S_n||| ≥ 1 2π

Z 2π

0

|D_n(t)|dt

o`u |||S_n||| d´esigne la norme d’op´erateur de S_n, et D_n : t 7→

n

X

k=−n

e^ikt est le noyau de Dirichlet d’ordre n.

2. En d´eduire que |||S_n|||tend vers l’infini lorsquentend vers l’infini.

3. En d´eduire qu’il existe un sous-ensemble dense D de C2π tel que, pour tout f dans D, la s´erie de Fourier de f ne converge pas uniform´ement vers une fonction continue.

C. Th´eor`eme de repr´esentation de Riesz.(environ 5 points)

Soit E l’espace pr´ehilbertien des suites r´eelles qui sont nulles `a partir d’un certain rang, muni du produit scalairehu, vi=

+∞

X

n=0

u_nv_n.

4. Montrer que l’applicationφ:E→Rd´efinie par φ(u) =

+∞

X

n=0

un

n est lin´eaire et continue.

5. Existe-t-il un ´el´ement ade E tel que, pour tout u∈E, on a φ(u) =hu, ai.

6. Que peut-on en d´eduire sur E ?