U.P.N - Sup Galil´ee Ann´ee scolaire 2011-2012 Formation Ing´enieurs
Harmonisation Math´ematiques
Feuille d’exercices 3 Int´egration
Exercice 1
1. On consid`ere la fonction F(x) = ln|x+√ x2−1|.
Pr´eciser ses intervalles de d´efinition et calculer sa d´eriv´ee sur ces intervalles.
2. En d´eduire l’int´egrale Z −54
−53
√ dt t2−1· Exercice 2
Calculer les primitives suivantes : Z
sin3θ cosθ dθ; Z p
1−x2dx; Z
xp
1 +x2dx; Z tanx
cos2xdx;
Z sin 2u 1 + cos2udu;
Z cos2x2 x+ sinxdx; Z t dt
√t+ 1·
Exercice 2
Pr´eciser les intervalles de d´efinition des primitives qui suivent et les calculer au moyen d’un changement de va- riables. De mˆeme, calculer au moyen d’un changement de variables les int´egrales d´efinies qui suivent :
Z (lnx)α x dx et
Z e x=1
(lnx)α
x dx (α∈R+) Z dx
x(axn+b)
b6= 0, avect= 1 x
Z r 1 +x 1−xdx et
Z 0
−1
r1 +x
1−xdx (−1< x <1).
Exercice 3
Mˆemes questions que dans l’exercice pr´ec´edent. (On utili- sera entre autres des changements de variables lin´eaires) :
Z x dx
√3 + 2x−x2 et Z 1
0
√ x dx
3 + 2x−x2·
Z dx
(x2−2x+ 4)32 et Z 2
1
dx (x2−2x+ 4)32 Z dx
√
2ax−x2 et Z a
a 2
√ dx
2ax−x2 (a >0 puisa <0).
Exercice 4
Calculer les primitives Z
sin2θ dθ;
Z
cos4θ dθ Z
sin3θ dθ.
Exercice 5 En posants=√
t , montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z 1
0
arccost
√t dt
existe et la transformer en l’int´egrale d’une fonction continue sur [0,1].
Exercice 6 CalculerI=
Z π 0
dx
1 + sin2x· (On utilisera le changement de variablet= tanx).
Exercice 7
Etudier la nature des int´´ egrales (α∈R) : Z 1
0
dx (x+ 2)√3
x; Z 1
0
√ dx
x(1−x); Z π
0
1−cosx x5/2 dx Z 1
0
dx q
ln1x
; Z π
0
sinx [x(π−x)]32 dx; Z π2
0
cosx ln(1 +x)
x
π 2 −x
α
dx.
Exercice 8
Etudier la convergence ´´ eventuelle des int´egrales suivantes (α∈R) :
Z 0
−∞
x dx
x4+ 1 (la calculer) ;
Z ∞ 0
e−xlnx dx Z ∞
0
x2
√x5+ 1dx;
Z ∞ 0
e−x−1 xα dx.
Exercice 9
Montrer par r´ecurrence qu’on a Z ∞
0
xne−xdx=n!.
1
Exercice 10
1. Montrer que Z 1
0
lnx dxest convergente.
2. En d´eduire que les int´egrales I=
Z π2
0
ln sinx dx J = Z π2
0
ln cosx dx K=
Z π 0
ln sinx dx
ont un sens. ´Etablir les relations :
I=J = 12K
I+J =12K−π2ln 2
En d´eduire les valeurs deI,J etK.
Exercice 11
D´emontrer que les int´egrales I = Z 1
0
lnx
1 +x2dx et J = Z ∞
1
lnx
1 +x2dx ont un sens et v´erifier que J=−I.
Exercice 12 Montrer que
Z ∞ 1
cosx
x2 dx est absolument convergente.
En d´eduire que Z ∞
0
sinx
x dxconverge.
2
