Chapitre 8 : Flots dans les r´eseaux Algorithmique de graphes Sup Galil´ee-INFO2 Sylvie Borne 2011-2012

(1)

Chapitre 8 : Flots dans les r´ eseaux

Algorithmique de graphes Sup Galil´ee-INFO2

Sylvie Borne

2011-2012

Chapitre 8 : Flots dans les r´eseaux - 1/57

(2)

Plan

1 Flot r´ealisable

2 Le probl`eme du flot maximum Exemple

Plusieurs sources, plusieurs puits

Flot maximum et programmation lin´eaire

3 Chaˆınes augmentantes

4 Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) Proc´edure de marquage (labelling) Algorithme de la chaˆıne augmentante Algorithme de Ford et Fulkerson

5 La coupe minimum

6 Impl´ementation et complexit´e de l’algorithme de Ford et Fulkerson

(3)

Probl` eme de flot

Probl`eme de plus court chemin

→une personne seule de la source `a la destination.

Probl`eme de flot

→acheminement d’une quantit´e de marchandises (divisibles : on peut acheminer nos marchandises par des routes diff´erentes) de la source vers la destination.

(4)

Probl` eme de flot : Applications

Applications :

logistique : transport de marchandises : train, camion, bateau,. . .

distribution d’eau (canalisations)

transport de pétrole : réseauè de pipelines

´

energie : r´eseau EDF, centrales → clients

information : réseau téléphonique, réseau d’entreprises, internet.

(5)

R´ eseau de transport

D´efinition:r´eseau de transport

Un réseau de transport notéR= (G = (V, ~E),s,t,c) est formé de :

G = (V, ~E) un graphe orient´e s ∈V appel´e sommet source

t ∈V appel´e sommet destination ou puits

c :~E →N,Q⁺ fonction capacité (à chaque arc (i,j)∈~E est associée une capacitéc(i,j)≥0).

Remarque :

s et t sont deux sommets particuliers de G.

Chapitre 8 : Flots dans les r´eseaux - Flot r´ealisable 5/57

(6)

Flot r´ ealisable

D´efinition:flot r´ealisable

Soit R= (G = (V, ~E),s,t,c) un r´eseau. Un flot f dans Rest une applicationf :→N,Q⁺.

Un flotf est r´ealisable dans R si

1 contrainte de capacit´e

0≤f(i,j)≤c(i,j) ∀(i,j)∈~E

2 contraintes de conservation de flot (Loi de Kirschoff) X

i|(i,j)∈~E

f(i,j)− X

k|(j,k)∈~E

f(j,k) = 0 ∀j ∈V\{s,t}

(quantit´e qui entre dansj = quantit´e qui sort de j)

(7)

Flot r´ ealisable

Exemple :

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

( ?)

5

2 3

7

capacit´e flot x (2)

Le flot est r´ealisable.

contraintes de capacit´e Ok contraintes de conservation de flot Ok

env1 : 5-2-3=0 env₂ : 5+2-7=0

(8)

Valeur d’un flot

D´efinition:valeur d’un flot

Soit R= (G = (V, ~E),s,t,c) un r´eseau.

La valeur d’un flotf réalisable entres et t est la quantité de flot envoyée des à t. On la noteF et

F = X

i|(s,i)∈~E

f(s,i)− X

j|(j,s)∈E~

f(j,s) = X

i|(i,t)∈~E

f(i,t)− X

j|(t,j)∈~E

f(t,j) Exemple :

Ici, la valeur du flot est de 10. (F = 5 + 5 = 3 + 7 = 10).

(9)

Arc satur´ e

D´efinition:arc satur´e

Un arc (i,j) est dit satur´e pour un flotf si f(i,j) =c(i,j).

Exemple :

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7)

( ?)

5

2 3

7

capacit´e flot x (2)

Ici, les arcs (s,1),(1,2) et (2,t) sont satur´es.

Les arcs (s,2) et (1,t) ne le sont pas.

(10)

Arc retour

Remarque :

Pour que la contrainte de conservation de flot soit vérifiée en tout sommet (y compris (s et t), on ajoute un arc artificiel (t,s) de capacité infinie et appelé arc de retour.

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7) 5

5

2 3

7 (2)

F= 10 (+∞)

Si aucun autre arc n’entre en s, la valeur F du flot f est alors donn´ee `af(t,s).

(11)

Le probl` eme du flot maximum

Probl`eme :

Soit un r´eseau R= (G = (V, ~E),s,t,c).

Le problème du flot maximum consiste à déterminer un flot réalisable entre s et t qui soit de valeur maximum.

Chapitre 8 : Flots dans les r´eseaux - Le probl`eme du flot maximum 11/57

(12)

Le probl` eme du flot maximum : exemple

Exemple :

On remarque que le flot donné dans le réseau précédent n’est pas maximum. En effet, on peut trouver un flot de valeur 11.

s

v₁

v₂

t

(5)

(6)

(4)

(7) (2)

5

7 6

1 4

11 11

Ce nouveau flot est maximum.

En effet, on remarque qu’au mieux il peut rentre 11 unités de flot danst à cause des capacités 4 et 7 sur les arcs entrants.

(13)

Plusieurs sources, plusieurs puits

Remarque :

Le problème du flot maximum peut être généralisé de la manière suivante :

Supposons qu’il existe un ensemble de sommets sources et un ensemble de puits.

On désire déterminer un flot max qui peut être envoyé de toutes les sources aux différents puits.

Ce problème peut être ramené au problème précédent en ajoutant une super-sources0 et un super-puits t0. On relie la super-source à toutes les sources avec des arcs de capacité infinie et on relie le super-puits aux différents puits avec des arcs de capacité infinie. Le problème se ramène alors à un problème de flot max de s0 àt0.

(14)

Plusieurs sources, plusieurs puits

Exemple :

sources : v₁ etv₂ et puits :v₄ etv₅

s₀

v1

v2

v₃

v4

v5

t0

1

(+∞)

(+∞) (4)

(3)

(4)

(2) (+∞)

(+∞) (1)

(2)

(1)

(15)

Flot maximum et PL

Soientf(i,j) = flot transitant sur l’arc (i,j) ∀(i,j)∈E~ F = valeur du flotf

Le probl`eme du flot maximum entre s et t peut se formuler de la mani`ere suivante :











Max F

s.c. X

i|(i,j)∈~E

f(i,j)− X

k|(j,k)∈~E

f(j,k) =







−F sij=s 0 sij6=s,t

F sij=t

∀j∈V

0≤f(i,j)≤c(i,j) ∀(i,j)∈E~

Ce programme lin´eaire a|~E|+ 1 variables et 2|~E|+|V|contraintes.

(16)

Chaˆınes augmentantes

Exemple :

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7) (2)

Pour déterminer un flot maximum dans ce réseau, on peut commencer par envoyer du flot sur des chemins des àt.

Chapitre 8 : Flots dans les r´eseaux - Chaˆınes augmentantes 16/57

(17)

Chaˆınes augmentantes

→Par exemple, on peut commencer par envoyer un flot de 2 sur le chemin (s,1,2,t).

s

v₁

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7) (2)

(18)

Chaˆınes augmentantes

→Vu qu’il y a une réserve de capacité de 3 sur le chemin (s,1,t), on peut envoyer 3 unités de flot.

s

v1

v2

t

(5)

(6)

(4)

(7) (2)

2

2 2

0

(19)

Chaˆınes augmentantes

→Vu qu’il reste une r´eserve de 5 sur le chemin (s,2,t), on peut envoyer un flot de 5 sur ce chemin.

s

v₁

v₂

t

(5)

(6)

(4)

(7) (2)

5

2

2 5

3

0

Mais ce flot n’est pas maximum.

(20)

Chaˆınes augmentantes

Consid´erons la chaˆıne

s

v₁

v2

t

(6)

(4)

(2) 5

2 3

On remarque que l’on peut :

augmenter le flot de 1 sur (s,2), diminuer le flot de 2 sur (1,2), augmenter le flot de 1 sur (1,t).

(21)

Chaˆınes augmentantes

Donc en augmentant le flot de 1 sur les arcs (s,2) et (1,t) et en le diminuant de 1 sur l’arc (1,2) on aura le flot r´ealisable suivant :

s

v₁

v2

t

(5)

(6) (7)

(2) 5

2 3 10

5 7 10

(4)

(22)

Chaˆınes augmentantes

Les contraintes de conservation de flot sont respect´ees.

v₁

v₂

t +1

-1 s

v₁

v₂ +1

-1

(23)

Chaˆınes augmentantes

D´efinition:chaˆıne augmentante

Une chaˆıneC entre s et t est dite augmentante par rapport `a un flotf = (f(i,j),(i,j)∈E~) r´ealisable entres et t si

f(i,j)<c(i,j) si (i,j)∈ C⁺ ((i,j)∈~E) arc conforme) f(i,j)>0 si (i,j)∈ C⁻ ((j,i)∈E~) arc non conforme) où C⁺ est l’ensemble des arcs de C rencontrés dans le bon sens et C⁻ est l’ensemble des arcs deC rencontrés dans le sens contraire.

(24)

Chaˆınes augmentantes

Exemple :

s

v₁

v₂

t

(6)

(4) (2)

arcs conformes arcs non conformes 5<6, 2>0, 3<4

La chaˆıne (s,2,1,t) est bien une chaˆıne augmentante.

(25)

Chaˆınes augmentantes

Lemme :

Soitf = (f(i,j),(i,j)∈~E) r´ealisable entre s et t.

S’il existe une chaˆıne augmentante par rapport `af entres et t,

alors f n’est plus maximum.

Preuve :

(26)

Proc´ edure de marquage

Cette procédure permet, étant donné un flot réalisable, de

déterminer si elle existe, une chaˆıne augmentante par rapport àf. Cette procédure est basée sur 2 opérations de marquage dits : marquage direct et marquage indirect.

Chapitre 8 : Flots dans les r´eseaux - Algorithme de Ford et Fulkerson (1961) 26/57

(27)

Marquage direct

Marquage direct : Si pour un arc (i,j) on a

*

f(i,j)<c(i,j)

i j

i marqu´e j non marqu´e f(i,j)<c(i,j) alors

on marque j et on pose

δ(j) =min(δ(i),c(i,j)−f(i,j)) δ(j) est la quantit´e max avec laquelle on peut augmenter le flot de s `aj.

(δ(i) est une valeur associée ài, elle est initialisée à l’infini pours.)

(28)

Marquage indirect

Marquage indirect : Si pour un arc (j,i) on a

*

f(j,i)>0

i j

i marqu´e j non marqu´e f(j,i)>0 alors on marque j et on pose

δ(j) =min(δ(i),f(j,i))

(29)

Algorithme de la chaˆıne augmentante

Supposons que l’on dispose d’un flot r´ealisable f = (f(i,j),(i,j)∈~E) entres et t.

Etape 1´ : (initialisation)

Marquer s par (s,+).

Poser δ(s) = +∞.

Etape 2´ : Répéter les opérations suivantes jusqu’à ce que t soit marqué ou qu’il ne soit plus possible de marquer.

(30)

Algorithme de la chaˆıne augmentante

Op´eration a)

Siil existe un arc (i,j) tel que i marqu´e

j non marqu´e f(i,j)<c(i,j) Alors

Marquer j par (i,+)

Poser δ(j) =min(δ(i),c(i,j)−f(i,j))

(31)

Algorithme de la chaˆıne augmentante

Op´eration b)

Siil existe un arc (j,i) tel que i marqu´e

j non marqu´e f(j,i)>0 Alors

Marquer j par (i,−)

Poser δ(j) =min(δ(i),f(j,i))

(32)

Algorithme de la chaˆıne augmentante

Etape 3´ : Si t est marqu´e Alors

une chaˆıne augmentante C entre s et t est d´etect´ee et on pose =δ(t)

Sinon

le flot f est maximum.

(33)

Algorithme de la chaˆıne augmentante

Exemple :

Considérons le réseau suivant où le flot de départ est nul (donc uniquement marquage direct possible).

1 3 5

2

4 6

7 (5)

(1) (3)

(4) (7)

(2) (4)

(4) (5)

(1)

(1) (6)

(9) (1)

(34)

Algorithme de Ford et Fulkerson

On suppose que l’on dispose d’un flot initialf = (f(i,j),(i,j)∈~E) entres et t (on peut prendref = 0).

Etape 1´ : Appliquer l’algorithme de la chaˆıne augmentante `a f.

Si t est marqu´e,

STOPf est optimal.

Sinon

une chaˆıne augmentanteC est détectée, aller à l’étape 2.

Etape 2´ : Changer le flot f comme suit : f(i,j) =







f(i,j) si (i,j)6∈ C f(i,j) + si (i,j)∈ C⁺ f(i,j)− si (i,j)∈ C⁻ Aller `a l’´etape 1.

(35)

Algorithme de Ford et Fulkerson

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 (5)

(1) (3)

(4) (7)

(2) (4)

(4) (5)

(1)

(1) (6)

(9) 4 (1)

1 0

3

4 5

0

2 0

2

1

1 2

7 9

9

(36)

Algorithme de Ford et Fulkerson

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 (5)

(1) (3)

(4) (7)

(2) (4)

(4) (5)

(1)

(1) (6)

(9) 4 (1)

1 0

3

4

2

1 1 11 7

2 0

7

2

4

11

(37)

Algorithme de Ford et Fulkerson

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 (5)

(1) (3)

(4) (7)

(2) (4)

(4) (5)

(1)

(1) (6)

(9) 4 (1)

1 0

3

4

2

1 1 7 7

2 13

2

4

6

13

(38)

Algorithme de Ford et Fulkerson

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 (5)

(1) (3)

(4) (7)

(2) (4)

(4) (5)

(1)

(1) (6)

(9) 4 (1)

1 0

3

4

1 7

4

6 14

3

1 3

0

8 14

(39)

Coupe

D´efinition:coupe

Etant donn´´ e un graphe G = (V, ~E) et un sous-ensembleS de sommets deV, on appelle coupe associ´ee `a S, et on la noteδ(S), l’ensemble des arcs (i,j) tels que i ∈S etj ∈V\S.

Chapitre 8 : Flots dans les r´eseaux - La coupe minimum 39/57

(40)

Coupe

Exemple :

1 2

5 4

3

δ({1,3,4}) ={(1,2),(1,5),(3,2),(4,5)}

(41)

Coupe

D´efinition:s´epare

Etant donn´´ es deux sommetss ett deG et une coupeδ(S), on dit queδ(S) s´epare s ett sis ∈S et t∈V\S.

Exemple :

1 2

5 4

3

La coupe ci-contre s´epare1 et 5.

Elle s´epare aussi 3et 2.

(42)

Capacit´ e d’une coupe

D´efinition:capacit´e d’une coupe

Sic = (c(i,j),(i,j)∈~E) est un système de capacités associé aux arcs du grapheG = (V, ~E) et siδ(S) est une coupe du graphe alors la capacité de δ(S) est définie par

C(δ(S)) = X

(i,j)∈δ(S)

c(i,j).

(43)

Flots et coupes

Th´eor`eme :

Soit un r´eseau R= (G = (V, ~E),s,t,c).

Si f = (f(i,j),(i,j)∈E~) est un flot r´ealisable entre s et t de valeurF et si δ(S) est une coupe qui s´epare s et t alors

F ≤C(δ(S)).

Preuve :

(44)

Th du flot max - coupe min

Th´eor`eme : Th du flot max - coupe min

La valeur maximum d’un flot r´ealisable entre s et t est ´egale

à la capacité minimum d’une coupe séparant s et t.

Preuve :

(45)

Th du flot max - coupe min

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 (5)

(1) (3)

(4) (7)

(2) (4)

(4) (5)

(1)

(1) (6)

(9) (1)

1 0

3

4

1 14

3 7 4

0 3

4 1

6 8 14

Remarque :

Tous les arcs appartenant `a la coupe sont satur´es et la valeur du flot sur ces arcs est bien de3+4+1+6=14.

(46)

Flots entiers

Remarque :

Si les capacités sont entières alors le flot max a des valeurs entières.

(47)

Graphe d’´ ecart

D´efinition:graphe d’´ecart

Soit R= (G = (V, ~E),s,t,c) un r´eseau. Soit f un flot sur R.

G_f = (V, ~E_f) est le graphe d’´ecart def avec pour (i,j)∈~E : f(i,j)<c(i,j) ⇒ (i,j)∈E~_f (arc conforme)

f(i,j)>0 ⇒ (j,i)∈E~_f (arc non conforme)

Chapitre 8 : Flots dans les réseaux - Implémentation et complexité de l’algorithme de Ford et Fulkerson 47/57

(48)

Graphe d’´ ecart

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 (5)

(1) (3)

(4) (7)

(2) (4)

(5) (1)

(1) (6)

(9) 4 (1)

4 13

(4) 2

7

1 0

3

4

1

2 1

6

7 13

2

(49)

Graphe d’´ ecart

Exemple :

arcs conformes arcs non conformes

1 3 5

2

4 6

7 4

(5)

(50)

Graphe d’´ ecart

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 7

(7)

(51)

Graphe d’´ ecart

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7 (1)0

(52)

Graphe d’´ ecart

Exemple :

arcs non conformes arcs conformes

1 3 5

2

4 6

7

(53)

Graphe d’´ ecart

Remarque :

La recherche d’une chaˆıne augmentante se ramène à un parcours en profondeur dans le graphe d’écart à partirs.

Exemple :

1 3 5

2

4 6

7

(54)

Graphe d’´ ecart

Remarque :

On calcule ensuite les capacités résiduelles sur la chaˆıne de s à t.

Exemple :

2 2 3

1

2

1 3 5

2

4 6

7

= 1

(55)

Complexit´ e

1 Complexit´e d’une it´eration : O(m) recherche d’une chaˆıne augmentante parcours en profondeur :O(m) 2m arcs au plus

calcul de la capacit´e r´esiduelle pour la chaˆıne

trouver le minimum d’au plusn−1 capacit´es r´esiduelles O(n)

calcul du nouveau flot :O(n)

construction du nouveau graphe d’´ecart : au max 2×(n−1) arcs qui changent :O(n)

2 Nombre max d’it´erations de Ford / Fulkerson

(56)

Complexit´ e

1 Complexit´e d’une it´eration : O(m)

2 Nombre max d’itérations de Ford / Fulkerson hypothèses :c ∈Net le flot de départ est entier.

Les capacités résiduelles sont entières.

⇒ la suite des flots est enti`ere.

⇒ la valeur du flot augmente au moins de 1 `a chaque it´eration.

⇒ au plusF^∗ it´erations avec F^∗=valeur du flot max.

F^∗≤P

jc(s,j)≤(n−1)C avec C =max_(i,j)∈_~_Ec(i,j) donc au pire, (n−1)C it´erations.

Complexit´e dans le pire des cas de Ford / Fulkerson : O(n.m.C)

(57)

Am´ eliorations de Ford et Fulkerson

Idée 1 : Choisir une chaˆıne augmentante de capacité résiduelle maximum.

→pas de garantie que les augmentations suivantes

→ce n’est plus un parcours mais la recherche d’un chemin de d´ebit maximum

Id´ee 2 : Choisir une chaˆıne augmentante la plus courte possible en termes de nombre d’arcs.

→parcours en largeur