Algorithmique et programmation
Exemples de probl` emes d’optimisation
I - Un algorithme g´ en´ eral : algorithme de . . . .
On consid`ere l’algorithme suivant, dans lequel on entre successivement les valeurs 12, 56, 23, 62, 13, 58.
Quelle valeur affiche finalement cet algorithme ? A quoi correspond cette valeur ?`
Affecter 0 `a M
Pour i allant de 1 `a 6
Afficher ”Entrer un nombre positif”
Lire N Si N>M
Affecter N a M Fin Si
Fin Pour Afficher M
II - Quelques probl` emes d’optimisation
Exercice 1 Optimisation ´economique
L’entreprise Motr´elec fabrique et vend des moteurs.
Chaque moteur vendu contribue bien ´evidemment aux b´en´efices de l’entreprise, mais a aussi un coˆut de fabrication. La capacit´e maximale de production de l’entreprise est de 100 moteurs.
Ce coˆut de fabrication est estim´e, pour un nombre x de moteurs, `aC(x) = x2
5 + 10x+ 120.
En contrepartie, l’entreprise vend tous les moteurs qu’elle fabrique, et `a un prix unitaire de 24 euros.
1. D´eterminer le coˆut de fabrication, puis le b´en´efice, pour 10 moteurs produits et vendus, puis pour 30 moteurs, 50 moteurs et 60 moteurs.
2. Donner l’expression, en fonction du nombre xde moteurs, du b´en´efice r´ealis´e par l’entreprise.
3. En utilisant et adaptant l’algorithme/programme ci-dessus, d´eterminer le nombre de moteurs per- mettant d’obtenir un b´en´efice maximal ?
4. Compl´ement math´ematique th´eorique :
a) Montrer que, pour tout nombre r´eel x, l’expression alg´ebrique du b´en´efice peut s’´ecrire sous la forme B(x) =−1
5(x−35)2+ 125.
Etudier alors le sens de variation de la fonction´ B sur les intervalles [0; 35] puis [35; +∞[.
Dresser le tableau de variation de la fonction B et retrouver le r´esultat donn´e par l’algorithme pr´ec´edent.
b) Montrer que, pour tout nombre r´eel x, l’expression alg´ebrique du b´en´efice peut s’´ecrire sous la forme B(x) = 1
5(−x+ 10)(x−60).
En d´eduire le signe de B(x) et la production qui permet `a l’entreprise d’ˆetre rentable.
Y. Morel - xymaths.free.fr Algorithmique et programmation - Probl`emes d’optimisation - 1/2
Exercice 2 Un constructeur et concessionnaire automobile
Un constructeur automobile propose deux mod`eles `a la vente, des grosses voitures et des petites voitures.
Les voitures de ce fabriquant sont tellement `a la mode qu’il est certain de vendre tout ce qu’il parvient
`a produire, au moins au prix catalogue actuel de 16 000 euros pour les grosses voitures, et 10 000 euros pour les petites voitures.
Son probl`eme vient de l’approvisionnement limit´e en deux mati`eres premi`eres, le caoutchouc et l’acier.
1. La construction d’une petite voiture n´ecessite l’emploi d’une unit´e de caoutchouc et d’une unit´e d’acier ;
2. la construction d’une grosse voiture n´ecessite une unit´e de caoutchouc et deux unit´es d’acier.
Ses stocks sont limit´es : il dispose de 40 unit´es de caoutchouc et de 60 unit´es d’acier.
L’objectif est de d´eterminer les nombres de petites et de grosses voitures que le constructeur doit produire afin de maximiser son chiffre d’affaire.
1. On suppose qu’il construit et vend 10 grosses voitures et 12 petites.
Donner le nombre d’unit´es de caoutchouc et d’acier n´ecessaires. Quel est le chiffre d’affaire corres- pondant ?
2. On suppose qu’il veut construire 35 grosses voitures et 25 petites. Quel serait son chiffre d’affaire ? Est-ce possible compte tenu des ressources en mati`eres premi`eres ?
3. On note maintenant x le nombre de grosses voitures produites, y le nombre de petites voitures produites, et z le chiffre d’affaire r´esultant.
a) Donner l’expression du chiffre d’affairez en fonction de x ety.
b) Combien peut-on fabriquer au plus de petites voitures (si on ne fabrique que celles l`a) ? de grosses voitures ?
Traduire ces contraintes par des in´egalit´es sur x ety.
c) Combien d’unit´es de caoutchouc n´ecessitent la production de x grosses voitures et y petites ? Combien d’unit´es d’acier ?
Traduire alors les contraintes d’approvisionnement en acier et caoutchouc du constructeur.
4. ´Ecrire un algorithme, puis un programme, qui permet de calculer le chiffre d’affaire pour toutes les possibilit´es des nombresxety satisfaisant les contraintes exprim´ees pr´ec´edemment, et donnant enfin sa valeur maximale.
Exercice 3 Des yaourts `a la fraise
Un fabriquant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions ci-contre de mati`eres premi`eres.
On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4 euros et 5 euros.
Quelle quantit´e de yaourts A et B faut-il (et peut-on) fabriquer pour obtenir un profit maximal ?
A B
Fraise 2 1
Lait 1 2
Sucre 0 1
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