Simulation numérique avancée

Simulation numérique avancée

Franck Jourdan – LMGC -

[email protected] Franck Nicoud – I3M

[email protected]

Simulation numérique avancée

4. Analyse d’erreur et stabilité

A la fin du chapitre, l’étudiant doit être capable de:

1. Calculer la vitesse de propagation effective d’un schéma de discrétisation de l’équation de convection-diffusion 1D

2. Expliquer la déformation d’un signal non monochromatique 3. Définir les nombres de CFL et de Fourier

4. Effectuer l’analyse de stabilité de Von Newman d’un schéma de discrétisation 1D

Analyse d’erreur

• Sur le cas académique d’une convection pure, il est apparu que:

– Les schémas centré, QUICK et TVD donnent des résultats très différents bien que tous d’ordre 2

– Le schéma décentré amont (ordre 1) est monotone mais génère beaucoup de dissipation non physique

– Le schéma décentré aval (ordre 1) est instable et ne permet pas d’obtenir une solution physiquement acceptable

• L’ordre d’un schéma n’est donc pas suffisant pour décrire la qualité d’un schéma ou son comportement

• L’analyse spectrale permet de comprendre la nature des différentes erreurs associées à un schéma de discrétisation

• En 1D, on peut l’appliquer à des schémas de type différences finies puisque ces derniers sont équivalents aux VF

Simulation numérique avancée - MI4 4

Dérivées premières

• Développement de Taylor au nœud i:

• Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₋ ⁻ ₋

−

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 ^{i i}

x i

i x

i i

i

i o x x

dx f x d

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₊ ⁺ ₊

+

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

∆x

( )

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i₊ = + ∆ + ∆ + ∆

( )

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i₋ = −∆ + ∆ + ∆

( )

1

1 0 2 0 o x

dx xdf f

f

x i

i₊ − ₋ = + ∆ + + ∆

Dérivées premières

Simulation numérique avancée - MI4 6

• Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par

• Erreur d’approximation est

• Schéma centré d’ordre 2

x f f f

dx D

df

i

x_i

∆

= −

≈

2

1 0 1

1

) ( x o ∆

Dérivées premières

• Maillage régulier

• En conservant plus de termes dans les

développements on obtient les schémas à l’ordre 4 et 6 suivants

•

•

) 12 (

8

8 _{1 1 2 3}

2 o x

x

f f

f f

dx

df _{i i i i}

x_i

∆

∆ +

+

− +

≈ − ^{+ + − −}

Ordres plus élevés

) 60 (

9 45

45

9 _{2 1 1 2 3 5}

3 o x

x

f f

f f

f f

dx

df _{i i i i i i}

x

∆

∆ +

− +

− +

≈ ⁺ − ^{+ + − − −}

Simulation numérique avancée - MI4 8

• ordre 1 aval

• ordre 1 amont

• ordre 2 aval

• ordre 2 amont

Formules décentrées

) 1

1 ( x o

f f

dx

df _{i i}

x_i

∆ +

≈ ⁺ −

) 2 (

3 4 ₁

2 o x

x

f f

f dx

df _{i i i}

x_i

∆

∆ +

− +

≈ − ^{+ +}

) 2 (

3 4 ₁

2 o x

x

f f

f dx

df _{i i i}

x_i

∆

∆ +

+

≈ ⁻ − ⁻

) 1

1 ( x o

f f

dx

df _{i i}

x_i

∆ +

≈ − ⁻

Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2

• L’erreur commise est

[^{exp( )}] ^Re[ ^{exp( )}]

Re )

( jk jkx

dx jkx df

x

f = ⇒ =

[ ]

x f f

dx x df

jki

f ^{i i}

x i

i ∆

≈ −

∆

= ^{+ −}

, 2 ) exp(

Re ^{1 1}





∆ ∆

≈ sin( ∆ ) exp( )

Re jki x

x k

x jk k

dx df

xi

x k

x k

∆

∆ ) sin(

Simulation numérique avancée - MI4 10

Signification de k ∆ x

• Sinusoïde de période L décrite avec N points

• ∆ x = L / N, k = 2 π ^{/L donc k} ∆ x = 2 π ^{/ N}

(exact)

→ 0

∆x

k 4

= π

∆x

k 2

= π

∆x

k k∆x =π

Analyse spectrale

• Tout se passe comme si on résolvait l’équation

• Les différentes longueurs d’onde ne se déplacent pas à la même vitesse

) 0 sin(

0 =

∂

∂

∆ + ∆

∂

∂

x f x

k

x U k

t f

centré

ordre 2 exact

Simulation numérique avancée - MI4 12

Analyse spectrale

• Équation effective _{( ) 0}

0 =

∂

∆ ∂

∂ +

∂

x x f

k E t U

f

SCHEMA

Centré ordre 2

Amont ordre 1

Amont ordre 2

Centré ordre 4

[

]

Re E k∆x ^Im

[

]

0

0 x

k

x k

∆

∆ ) sin(

x k

x k

∆

∆ ) sin(

x k

x k

∆

−

∆ ) 1 cos(

(

)

)

sin( k x

x k

x

k − ∆

∆

∆

x k

x k x

k

∆

−

∆ +

∆

− cos(2 ) 4cos( ) 3

(

)

3

)

sin( k x

x k

x

k − ∆

∆

∆

Analyse spectrale

Simulation numérique avancée - MI4 14

Lien avec l’ordre du schéma

• Dans la limite k∆x → 0, la vitesse de propagation tend vers U₀

• La vitesse avec laquelle l’erreur tend vers zéro dépend de l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Re(E(k∆x)) = 1+O((k∆^{x)n), avec n} l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Im(E(k∆^{x)) = O((k}∆^{x)n), avec n} l’ordre du schéma

• Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(k∆^{x)) = 0}

• Les schémas stables sont tels que: Im(E(k∆^{x)) ≤ 0}

Dispersion

• La vitesse de propagation effective n’est égale à la vitesse théorique que dans la limite k∆^{x → 0}

• Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite

• Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général

• Que se passe-t-il lorsque l’on convecte ?f (x) e jkx ^{ejk'x,k ≠ k'}

Simulation numérique avancée - MI4 16

Déformation du signal

• On peut décomposer cette fonction comme une somme de fonctions harmoniques (en rendant f périodique

éventuellement)

• La solution théorique après t s de simulation est

• Numériquement le mode devient

• La solution numérique est donc

∑

= f_ke ^jkx x

f ( ) ˆ

∑

=

− ₀ ) ˆ ^{( 0 )} (x U t f_ke ^{jk x U t} f

) ) (

(x E k x U₀t

e jk ^{− ∆}

e jkx

{ˆ ( )

)

( ₀ ^{( 0 )} ₀

)) 0 ( 1 (

t U x

f e

g t

U x

g ^{jk x U t}

e

k

t U x k E jk

−

≠

=

−

∑

∆

−

• Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

( )

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i₊ = +∆ + ∆ + ∆ + ∆

( )

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i₋ = −∆ + ∆ − ∆ + ∆

Dérivées secondes

) 2 (

2

1 1 1

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i

+ ∆

∆

+

= −

≈

Simulation numérique avancée - MI4 18

• Maillage régulier

• On utilise le fait que

• En appliquant l’opérateur à

Dérivées secondes

) 2 (

1 0

1 1

0 0 1

1 0 2 1

2

x x o

f D f

f D D

dx D f

d

i x_i

∆

∆ +

= −

≈

i xi

x dx

df dx

d dx

f

d 



2 =

2

f

D

0

D

) 4 (

2

2

2 2 2

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i x_i

∆

∆ +

+

= −

≈

Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2 à 2 ∆

• L’erreur commise est

[^{exp( )}] ^Re

[

]

Re )

( ₂ ²

2

jkx dx k

f jkx d

x

f = ⇒ = −

[ ] 2

1 1

2

2 2

, ) exp(

Re x

f f

f dx

f x d

jki

f ^{i i i}

x i

i ∆

+

≈ −

∆

= ^{+ −}





∆ ∆

−

≈ cos( ∆ ) 1exp( ) 2

Re ₂

2 2

x x jki

x k dx

f d

xi

2 2

) cos(

21

x k

x k

∆

∆

−

Simulation numérique avancée - MI4 20

Analyse spectrale

• Schéma centré d’ordre 2 à 4 ∆

• L’erreur commise est

[ ] ² ₂ ² ₂ ²

4 , 2

) exp(

Re x

f f

f dx

f x d

jki

f ^{i i i}

x i

i ∆

+

≈ −

∆

= ^{+ −}





∆ ∆

−

≈ cos(2 ∆ ) 1exp( ) 2

Re 1 ₂

2 2

x x jki

x k dx

f d

xi

2

2 2

) 2

cos(

1

x k

x k

∆

∆

−

Analyse spectrale

• Les erreurs sont réelles uniquement, donc pas de convection numérique

∆ 2

∆ 4

Simulation numérique avancée - MI4 22

Analyse de stabilité

• On cherche à répondre à la question simple suivante:

Sous quelles conditions une méthode numérique (discrétisation en temps et en espace)

est-elle stable ?

• L’analyse de Von Neumann est bien adaptée et relativement

simple à mettre en œuvre, au moins pour les équations linéaires et 1D et en l’absence de conditions limites …

• Une des multiples contributions de John Von Neumann

Facteur d’amplification

• Forme de la solution

• Comment l’amplitude d’une perturbation de nombre d’onde k évolue-t-elle en temps ?

e

t f t

x

f ( , ) = ˆ ( ) ×

jkxi

n n

i n

i

t f f e

x

f ( , ) = = ˆ ×

n

n

A f

f ˆ

= ˆ × ˆ

Simulation numérique avancée - MI4 24

Stabilité Von Neumann

• On s’intéresse désormais à l’équation complètement discrétisée, y compris pour le terme temporel

• signal amorti

• exact

• instabilité

: ˆ < 1 A

: ˆ = 1 A

:

ˆ > 1

A

Exemple 1

• Convection pure:

• Schéma centré ordre 2 en espace

• Euler explicite en temps

0 = 0

∂ + ∂

∂

∂

x U f

t f

x f tU f

f f

n i n

n i i n

i ∆

∆ −

−

= ^{+ −}

+

2

1 1

0 1

Simulation numérique avancée - MI4 26

Exemple 1 - suite

• Pour une perturbation du type

• Ce schéma est (inconditionnellement) instable )

sin(

ˆ 1 ⁰ k x

x j tU

A ∆

∆

− ∆

=

jkxi

n n

i

f e

f = ˆ ×

ˆ 1 : >

∃k A

Exemple 2

• Décentré amont d’ordre 1 en espace

• Euler explicite en temps

• Ce schéma est (conditionnellement) stable x

f tU f

f f

n i n

n i i n

i ∆

∆ −

−

= ⁻

+ 1

0 1

[

]

ˆ 1 ⁰ k x j k x

x

A tU − ∆ + ∆

∆

− ∆

=

1 ,

ˆ 1 ⁰ ≤

∆

= ∆

⇔

∀

≤ x

CFL tU k

A

Simulation numérique avancée - MI4 28

Exemple 3

• Centré ordre 2 en espace

• Runge-Kutta d’ordre 2 en temps

• Ce schéma est inconditionnellement instable

( )



 



 − ∆ + ∆ −

= cos(2 ) 1

) 4 sin(

ˆ 1 CFL² k x

x k jCFL

A

x

x f f

x f f

t U

x f t f

U f

f

n i n

i n

i n

n i

i n

n i i n

i

∆ ∆

− −

∆

∆ −

∆ +

∆ −

−

=

− +

− + +

2

2 2

2 2

2 2 2

2 0 1

1 0

1

Exemple 3 - suite

• Centré ordre 2 en espace

• Runge-Kutta d’ordre 2 en temps

• Ce schéma est inconditionnellement instable

∑

= ³ ∆

0 !

ˆ ˆ

k

k k

k K A t

( )

x x jU k

e f

e f

K K

i i

n jkx n jkx

∆

− ∆

× =

= × sin( )

ˆ ˆ ˆ

( )

x U f

f

K ∂

− ∂

= ₀

Simulation numérique avancée - MI4 30

Exemple 4

• Centré ordre 2 en espace

• Runge-Kutta d’ordre 3 en temps

• Ce schéma est conditionnellement stable 73

. 1 ,

ˆ ≤1 ∀k ⇔ CFL ≤ A

8 .

=1 CFL



 



 ∆

=

∑

= 3

0 !

ˆ ˆ

k

k k

k K A t

x x jU k

K ∆

− ∆

= sin( )

ˆ 0

Exemple 5

• Diffusion pure:

• Schéma centré ordre 2 en espace

• Euler explicite en temps

2 2

x D f

t f

∂

= ∂

∂

∂

2

1

1 1 2

x

f f

tD f f

f

n i n

i n

n i i n

i ∆

+

∆ − +

= ^{+ −}

+

Simulation numérique avancée - MI4 32

Exemple 5 - suite

• Pour une perturbation du type

• Ce schéma est conditionnellement stable. Sa stabilité dépend du nombre de Fourier :

(

)

1 2 ˆ

2 ∆ −

∆ + ∆

= k x

x A tD

jkxi

n n

i

f e

f = ˆ ×

5 . 0 ,

ˆ 1

2 ≤

∆

= ∆

⇔

∀

≤ x

F tD k

A _o

Fo