Simulation numérique avancée

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Simulation numérique avancée

Franck Jourdan – LMGC -

jourdan@lmgc.univ-montp2.fr

Franck Nicoud – I3M

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Simulation numérique avancée

3. Schémas évolués pour la convection

A la fin du chapitre, l’étudiant doit être capable de:

1. Définir les propriétés désirables pour un schéma de discrétisation 2. Démontrer qu’un schéma est conservatif

3. Définir le nombre de Reynolds de maille et donner son lien avec la monotonicité

4. Donner l’expression du flux de convection pour les schémas centré, décentré amont d’ordre 1 et QUICK

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Propriétés importantes

• L’ordre d’un schéma est une information intéressante mais TRES insuffisante pour comprendre son comportement

• Quelques propriétés communes pour les schémas:

– Conservativité – Directivité

– Monotonicité

– Réponse spectrale

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Conservativité

• La plupart des équations de transport exprime la conservation d’une quantité physique

• En intégrant l’équation de convection-diffusion sur l’ensemble du domaine on obtient:

Φ

= − + 0 +

−

• Cette équation montre que la quantité totale de quantité , c’est- à-dire Φ = , est conservée en l’absence de flux aux

frontières

Φ

= 0

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Conservativité

• En volumes finis, la propriété de conservativité peut être reproduite assez facilement

• Il suffit de s’assurer que l’estimation du flux sur une face ne dépend pas de la cellule qui est en train d’être traitée

• Le flux à travers la face

doit être estimé deux fois: pour effectuer le bilan de la cellule

, puis pour celui de la cellule

• Le schéma est conservatif dès lors que les deux estimations de ce

xi x

+1

xi

−1

fi f_i f_i₊₁

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Monotonicité

• L’équation de convection-diffusion vérifie le principe du maximum

• En régime permanent, la quantité atteint ses valeurs min et max aux frontières

• Ce principe est la traduction mathématique de propriétés physiques bien connues et intuitives:

– la température, les concentrations sont toujours positives – Une concentration ne peut jamais être supérieure à 1

– En l’absence de source volumique, la température dans un fluide est au plus égale à sa valeur à l’entrée

• Question: ce principe mathématique vérifié par les équations (monde continu) est-il vérifié par les équations discrétisées ?

• Réponse: pas forcément, cela dépend du schéma de discrétisation.

• Un schéma vérifiant ce principe est appelé monotone

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Monotonicité - illustration

• Une zone polluée (concentration non nulle) initialement

positionnée en = 0 est convectée pendant 5 s à une vitesse de 1 m/s

• La diffusion est négligée ( 0!

• Avec le schéma VF centré, la concentration devient négative dans certaines zones en amont de la tache de pollution …

400 mailles 200 mailles 100 mailles

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Monotonicité

• Une fois discrétisée, l’équation de convection-diffusion (stationnaire) peut être mise sous la forme:

Pour tous les nœuds i,

"

#

∑

&'()*+ ,'+&+ *(

"

_%

#

_%

• On montre que les conditions suivantes sont suffisantes pour assurer la monotonicité de ce type de schéma:

^∑/01234 50646/4 31 6 ^-^.

-₆ 7 ≤ 1 pour tous les noeuds B

< 1 pour au moins un noeud FG HIG " ont le même signe

• Beaucoup de schémas ne vérifient pas ces propriétés …

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Monotonicité et schéma centré

• Le schéma centré donne, pour un maillage uniforme:

2ℎ^L #

2ℎ +

ℎ^L #_M + −

2ℎ +

ℎ^L #

• Après simplification par /ℎ^L:

2# 1 + N_O/2 #_M + 1 − N_O/2 # Avec N_O = ^{) O}

P le nombre de Reynolds de maille

• La monotonicité ne peut être obtenue que pour N_O < 2

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Schéma centré et physique

• Le schéma centré utilise de l’information de part et d’autre du point calculé Q afin d’en calculer l’évolution

• Le terme de diffusion représente un phénomène prenant place à l’échelle moléculaire et très isotrope; la formulation centrée est bien adaptée

• Le terme de convection représente un phénomène de transport par la vitesse de l’écoulement. Il existe un amont (d’où vient

l’information) et un aval (vers lequel l’information se dirige); la formulation centrée n’est pas cohérente avec ce phénomène

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Schéma décentré amont

• On cherche à estimer le flux suivant: _R₆

• On se place dans le cas où > 0; l’amont est donc à gauche, l’aval à droite

• A l’ordre 1 on obtient simplement:

xi x

+1

xi

−1

xi

−1

fi f_i f_N

f0

−1

Xi F_i₋₁ X_i F_i X_i₊₁ F_N F0

−2

fi

−2

Fi

+1

fi +1

Fi

V = −

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Monotonicité et schéma décentré

• Le schéma décentré amont pour la convection, centré pour la diffusion donne, pour un maillage uniforme:

ℎ + 2

ℎ^L # =

ℎ +

ℎ^L #_M +

ℎ^L #

• Ou encore:

2 + N_O # = 1 + N_O #_M + #

• La monotonicité est toujours obtenue, pour toutes les valeurs de N_O ≥ 0

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Monotonicité - illustration

positionnée en 0 est convectée pendant 5 s à une vitesse de 1 m/s

• Avec le schéma VF décentré amont, la concentration reste toujours comprise entre 0 et 1 comme attendu …

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Schéma décentré aval

• On cherche à estimer le flux suivant: _R₆

• On se place toujours dans le cas où > 0; l’amont est donc toujours à gauche, l’aval toujours à droite

• En « oubliant » notre connaissance du phénomène de convection, on peut proposer un autre schéma à l’ordre 1:

_R₆ ≈ U

xi x

+1

xi

−1

xi

−1

fi f_i f_N

f0

−1

Xi F_i₋₁ X_i F_i X_i₊₁ F_N F0

−2

fi

−2

Fi

+1

fi +1

Fi

V = −

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Stabilité - illustration

• Avec le schéma VF décentré aval, la concentration n’a plus rien de physique … le schéma est instable.

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Schéma QUICK

• On cherche à obtenir un schéma pour le flux : _R₆ – d’ordre 2 comme le schéma centré

– Prenant en compte la directivité de la convection comme le schéma décentré amont

• La propriété de conservativité est également recherchée

• Le premier schéma ayant ces propriétés a été proposé dans les années 70

• Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinetics

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Schéma QUICK

• Dans ce schéma on utilise les inconnues

1. de part et d’autre de la face considérée , c’est-à-dire # et # 2. L’inconnue amont, c’est-à-dire #_M si > 0; #_L si < 0

• Dans le cas d’un maillage uniforme, on montre que les combinaisons suivantes sont d’ordres 2:

_R₆ = − 1

8 #_M + 6

8 # + 3

8#, GB > 0 _R₆ = 3

8 # + 6

8 # − 1

8 #_L, GB < 0

−1

Xi F_i₋₁ X_i F_i X_i₊₁ F_N

F0 F_i₋₂ F_i₊₁

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Monotonicité et schéma QUICK

• Le schéma QUICK pour la convection, centré pour la diffusion donne, pour un maillage uniforme > 0 :

3

8ℎ + 2

ℎ^L # = −

8ℎ #_ML + 7

8ℎ +

ℎ^L #_M + − 3

8ℎ +

ℎ^L #

• Ou encore:

2 + 3N_O

8 # = −N_O

8 #_ML + 1 + 7N_O

8 #_M + 1 − 3N_O

8 #

• La monotonicité n’est jamais strictement obtenue car −^]^{^}

_ < 0

• des problèmes de stabilité importants apparaissent lorsque N_O ≥ ^_

`

• Méthode de stabilisation proposée: traitement des coefficients négatifs par termes sources – « deferred correction »

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Schéma QUICK- illustration

• Avec le schéma QUICK, les oscillations (valeurs négatives) sont toujours présentes, mais moins importantes que pour le schéma centré

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Schémas TVD

• Les schémas QUICK sont bien décentrés amont, d’ordre 2 et conservatifs MAIS non monotones

• On montre que pour qu’un schéma soit monotone, il faut que la variation totale de la quantité soit une fonction non croissante

a b # − #

c L

• Les schémas ayant cette propriété sont appelés TVD: Total Variation Diminishing

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Schémas TVD

• Les schémas TVD estiment le flux de manière générique > 0 : _R₆ = # + # − #

2 d e

où a fonction d e est un « limiteur de flux » et e est le rapport des gradients sur les faces amont et aval:

e = # − #_M

# − #

• On montre que:

– le schéma centré correspond à d = 1 – le schéma upwind correspond à d = 0

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Schémas TVD

• Les propriétés des schémas écrits sous la forme précédente dépendent directement des propriétés de la fonction

d

^{. On}

montre que:

– Le schéma est d’ordre 2 si : min(r, 1) ≤ d r ≤ max(r, 1) – Le schéma est TVD si d r ≤ min(2r, 2)

d r

e

1 2 3

1 2

Exemple de limiteur conduisant à un schéma du

second ordre et TVD

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Exemples de schémas TVD

• Van Leer (Van Leer, 1974): d e ^{f f}_f

• Min-Mod (Roe, 1985): d e min (e, 1)

• Superbee (Roe, 1985) : d e = max(0, min 2e, 1 , min e, 2 )

• UMIST (Lien & Leschziner, 1993):

d e = max(0, min (2e, (1 + 3e)/4, (3 + e)/4,2)

• Les différents schémas TVD donnent des résultats similaires et sont

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Schéma TVD - illustration

• Avec le schéma TVD (superbee), les oscillations (valeurs négatives) n’existent plus, au prix d’un niveau de dissipation est assez

important quoique plus faible qu’avec le schéma upwind