Simulation numérique avancée

Simulation numérique avancée

Franck Jourdan – LMGC -

jourdan@lmgc.univ-montp2.fr

Franck Nicoud – I3M

Simulation numérique avancée

2. Principe des volumes finis

A la fin du chapitre, l’étudiant doit être capable de:

1. Définir la méthode des volumes finis et faire la distinction avec les autres méthodes

2. Faire la distinction entre les inconnues au sens volumes finis et au sens différences finis

3. Définir les flux de convection et de diffusion pour une cellule générique dans un maillage 1D

4. Etablir l’ordre de précision des estimations centrées pour les flux de convection et de diffusion

Volumes finis : principe général

• Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type

• On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la divergence

• Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules

( )

∂ +

∂ div F f t

f r

∑

−

∆ =

+ −

Vi

k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

de faces

1 r r

Volumes finis: principe général

• Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeurs de f dans les cellules voisines

V

^∑

+

Vi

k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

de faces

1 r r

Vi

nr1

nr2

nr3

Volumes finis: principe général

Pour commencer, considérons le

cas simple d’une situation 1D

Convection-diffusion 1D

• En 1D, l’équation de convection diffusion devient:

+

=

• + : transporte la quantité à la vitesse u (u est supposée connue pour l’instant). C’est le terme de convection.

• = : diffuse la quantité avec le coefficient . C’est le terme de diffusion.

• 95 % de la mécanique des fluides se résume par la compétition entre les termes convectifs et les termes diffusifs … Il s’agit donc d’un modèle très représentatif (mais pas complet !)

Effet du nombre de Reynolds

• Effet de la diffusion

α a u×

= Re

+∞

= Re

20 Re =

200 Re =

2 Re =

a : taille caractéristique de la perturbation initiale

Maillage – Volume de contrôle

• Les 1 ≤ ≤ sont les N cellules du maillage,

• Les 0 ≤ ≤ sont les N+1 faces des N cellules; la cellule est délimitée par les faces et ; on note l’abscisse de ,

• Les 1 ≤ ≤ sont les N centres des N cellules du maillage; on note l’abscisse de ,

• On note le volume de la maille ; sa valeur est égale à : = − =

xi x

+1

xi

−1

xi

−1

fi f_i f_N

f0

−1

Xi X_i X_i+1

= − = −

−1

Fi F_i F_N

F0

−2

fi

−2

Fi

+1

fi +1

Fi

Cellule

Intégration

• Dans une méthode aux volumes finis, on commence par intégrer l’équation de transport sur chaque volume de contrôle. En intégrant

+

=

• sur le volume de contrôle associé au point on obtient:

+ ^! − _!"# =

!

−

!"#

= % ^! &

Quelques remarques

• Le terme de dérivée temporelle peut être discrétisée par une des méthodes classiques (Euler explicite ou implicite, Runge-Kutta, Adams-Bashford, Crank-Nicolson, …)

• Le processus d’intégration fait apparaitre la nouvelle inconnue = _$

! % _!"#^! & représente la moyenne de sur le volume de contrôle associé au point .

• En volumes finis, l’inconnue n’est pas la valeur de au point (grosse différence avec les différences et éléments finis)

• Pour poursuivre, il faut être capable de calculer les flux de sur les faces du volume d’intégration associé au point

Estimation des flux

• C’est la manière dont on calcule ces flux qui définit la méthode au volumes finis utilisée, ses qualités, ses propriétés, ses défauts …

• D’un point de vue physique et mathématique les termes de diffusion et de convection ne se comportent pas de la même manière.

• Il en est de même sur le plan numérique

• Remarque: il suffit de savoir comment estimer le flux sur la face générique ; le calcul du flux sur se fait alors par simple

Estimation du flux de diffusion

• On cherche à estimer le flux suivant:

!

• On suppose, sans trop perdre en généralité, que le coefficient de diffusion est constant

• La méthode la plus simple consiste à écrire simplement:

!

≈

−

≈

−

xi x

+1

xi

−1

xi

−1

fi f_i f_N

f0

−1

Xi F_i−1 X_i F_i X_i+1 F_N F0

−2

fi

−2

Fi

+1

fi +1

Fi

= −

Estimation du flux de diffusion

• On note

ℎ

ℎ ≡

• On montre dans la suite que :

1. puisque la face n’est pas positionnée sur le milieu du segment , l’approximation

_! ≈ −

est d’ordre 1 en ℎ si le maillage n’est pas uniforme 2. Il en est de même pour l’approximation

Ordre de l’estimation du flux

• Développement de Taylor autour de et calcul de

= +

_!*# − + + − ^,

= 1

- ^!*#

!

& = +

!*#

− ^, − − ^,

2 + + ℎ^,

• De même:

= 1

- ^!

!"#

& = +

_! − ^, − − ^,

2 + + ℎ^,

• Les termes en sont nuls même pour un maillage non uniforme car les sont les centres des cellules

Ordre de l’estimation du flux

• Au final:

=

+ + ℎ

et

=

+ + ℎ

• Développement de Taylor autour de : = +

_! − + ^,

^, _! − ^,

2 + + − ^/

• En appliquant ce développement à = puis = , on obtient après quelques calculs:

= ^!*#₀^!

! + + ℎ car en général ₋ ^, _{≠ −} ^,

Remarques

• En raison du fait que l’inconnue numérique est la valeur moyenne de l’inconnue sur le volume de contrôle, il n’est pas courant de rencontrer des méthodes volumes finis d’ordre supérieur à 2

• Des corrections existent pour compenser l’écart d’ordre 2 entre valeur nodale et valeur moyenne de cellule; il est alors possible de monter en ordre

• En raison du fait que les faces ne sont pas équidistantes des nœuds, l’estimation centrée du flux n’est formellement d’ordre 2 uniquement lorsque le maillage est uniforme

• Beaucoup de simulations sont cependant faites sans ces corrections

• Les simulations aux volumes finis sont de ce fait assez souvent sensibles à la qualité du maillage utilisé (maillages irréguliers à éviter).

Estimation du flux de convection

• On cherche à estimer le flux suivant: _!

• De manière similaire au flux de diffusion, on envisage une approximation centrée de la forme:

_!

≈

+

• La face n’étant pas au centre du segment , cette

xi x

+1

xi

−1

xi

−1

fi f_i f_N

f0

−1

Xi F_i−1 X_i F_i X_i+1 F_N F0

−2

fi

−2

Fi

+1

fi +1

Fi

= −

Un cas d’école …

• On cherche à résoudre le problème suivant:

+

=

• On cherche la solution stationnaire: =

• Vitesse u constante, diffusivité constante

• Les conditions limites sont

0 =

5 =

• On utilise les schémas de discrétisation précédents sur un maillage régulier de N cellules. La méthode est donc d’ordre 2.

xi x

+1

xi

−1

fi f_i L

0 f_i+1

Un cas d’école …

• La solution stationnaire étant recherchée, on cherche à résoudre :

=

• Pour chaque cellule, la méthode aux volumes finis donne une relation entre les différentes inconnues

• Au final on obtient un système linéaire de N équations et N inconnues

• La résolution de ce système (méthode directe ou itérative) donne la

xi x

+1

xi

−1

fi f_i L

0 f_i+1

Un cas d’école …

• Les solutions numériques peuvent être comparées à la solution analytique :

() = ₄ + ₆ − ₄ 9: / − 1 9: 5/ − 1

Pour les conditions limites: _{0 = 1} et 5 = 0, on considère les trois cas suivants:

• Cas 1: = 0.1 =^,/> ; u = 0.1 =/> ; L = 1 = ; N = 5

• Cas 2: = 0.1 =^,/> ; u = 1.5 =/> ; L = 1 = ; N = 5

• Cas 3: = 0.1 =^,/> ; u = 1.5 =/> ; L = 1 = ; N = 20

Un cas d’école …

• Les solutions obtenues (symboles: analytique; ligne: numérique):

• La solution est parfois très bonne, parfois très mauvaise …

Cas 1 Cas 2 Cas 3