Etude et simulation numérique de la rupture dynamique des séismes par des méthodes d'éléments finis discontinus

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des séismes par des méthodes d’éléments finis discontinus

Mondher Benjemaa

To cite this version:

Mondher Benjemaa. Etude et simulation numérique de la rupture dynamique des séismes par des

méthodes d’éléments finis discontinus. Mathématiques [math]. Université Nice Sophia Antipolis,

2007. Français. �tel-00222870�

Ecole Doctorale Sciences Fondamentales et Appliqu´ ´ ees

th` ese de doctorat

pour obtenir le titre de

Docteur en Sciences

de l’Universit´ e de Nice-Sophia Antipolis

Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques appliqu´ ees Pr´ esent´ ee et soutenue par

Mondher BENJEMAA

Etude et simulation num´erique de la rupture ´

dynamique des s´eismes par des m´ethodes d’´el´ements finis discontinus

Th` ese pr´ epar´ ee ` a l’INRIA Sophia Antipolis Dirig´ ee par Serge PIPERNO & Jean VIRIEUX

Soutenue publiquement le 09 Novembre 2007 ` a l’INRIA Sophia Antipolis devant le jury :

Marc BONNET Directeur de recherche CNRS Rapporteur

Nathalie GLINSKY-OLIVIER Charg´ ee de recherche ENPC Examinatrice

Serge PIPERNO Chercheur ENPC Directeur de th` ese

Ren´ e ´ Edouard PLESSIX Chercheur senior SHELL Examinateur R´ emi POCHAT Directeur scientifique LCPC Invit´ e

Jean VIRIEUX Professeur UNSA Directeur de th` ese

Aldo ZOLLO Professeur Univ. NAPLES Rapporteur

Ce travail a ´ et´ e r´ ealis´ e au sein de l’INRIA Sophia Antipolis, dans le cadre du projet CAI- MAN (CAlcul scIentifique, Mod´ elisation et Analyse Num´ erique), qui est un projet commun avec l’ENPC, et en collaboration avec G´ eosciences Azur.

Je voudrais d’abord exprimer ma grande gratitude et mes remerciements distingu´ es ` a mes directeurs de th` ese Serge Piperno et Jean Virieux pour le sujet passionnant qu’ils m’ont permis d’entreprendre. Leurs conseils pertinents et leurs interventions toujours claires et avis´ ees m’ont guid´ e en permanence tout au long de ce travail.

Je tiens ´ egalement ` a remercier vivement Nathalie Glinsky-Olivier qui a co-encadr´ e cette th` ese. Sa disponibilit´ e, son soutien et ses conseils aussi bien sur le plan scientifique qu’hu- main m’ont ´ et´ e d’une aide tr` es pr´ ecieuse.

J’exprime toute ma reconnaissance ` a tous les membres du jury, et plus particuli` erement

`

a M. Marc Bonnet et M. Aldo Zollo qui ont accept´ e la lourde tache d’ˆ etre rapporteurs.

Mes remerciements vont aussi ` a St´ ephane Lanteri qui m’a beaucoup aid´ e et conseill´ e afin de d´ ejouer les tours de l’impl´ ementation sous architecture parall` ele. Je souhaite longue vie ` a son nouveau projet NACHOS.

Une pens´ ee sp´ eciale va ` a Victor Manuel Cruz-Atienza. Je n’oublierai pas nos longues discussions tr` es instructives ainsi que son soutien dans les moments difficiles. Qu’il en soit grandement remerci´ e.

Cette th` ese n’aurai pas ´ et´ e aussi agr´ eable sans la pr´ esence de diff´ erentes personnes dans le labo. Je tiens ` a les remercier tous, ` a commencer par les membres de l’´ equipe dont j’ai fais partie : mes irrempla¸cables coll` egues de bureau Marc Bernacki et Antoine Bouquet, Adrien Catella, Hassan Fahs, Hugo Fol, Martine Chane-yook, Victorita Dolean, Gilles Scarella, Ronan Perrussel, Sabine Barr` ere, Monserrat Argente, St´ ephanie Sorres, ainsi que ceux dont nos chemins se sont crois´ es : Said El kasmi, Maud Poret, Gr´ egory Beaume, Sarah Delcourte, Christian Konrad, Serge Moto mpong, ou encore les membres d’autres projets : Youssef Mesri, Louis Blanchard, Benoit Chaigne, Meriem Zghal, et je n’oublie pas mes co´ equipiers de tennis de table, Paul Naoumenko et Guillaume Chazarin.

Enfin, je tiens ` a remercier particuli` erement ma m` ere, ainsi que toute ma famille et mes

amis, qui m’ont toujours encourag´ e et soutenu malgr´ e l’´ eloignement g´ eographique.

Table des mati` eres

Introduction 7

1 Introduction au mod` ele physique 11

Introduction . . . . 11

1.1 Syst` eme de l’´ elastodynamique . . . . 12

1.2 Conditions initiales et conditions aux limites . . . . 13

1.3 M´ ecanique de la rupture dynamique . . . . 16

1.3.1 Nucl´ eation . . . . 16

1.3.2 Phase instable . . . . 16

1.3.3 Champs locaux au voisinage du front de rupture . . . . 18

1.3.4 Force de coh´ esion . . . . 20

Conclusion . . . . 21

2 M´ ethodes Galerkin discontinus pour l’´ elastodynamique 23 Introduction . . . . 23

2.1 Rappel sur les m´ ethodes de type ´ el´ ements finis . . . . 24

2.2 Rappel sur les syst` emes hyperboliques lin´ eaires . . . . 26

2.3 Equations de l’´ ´ elastodynamique et changement de variables . . . . 28

2.3.1 Changement de variables . . . . 29

2.3.2 Sym´ etrisation . . . . 31

2.4 Discr´ etisation spatiale . . . . 34

2.5 Discr´ etisation temporelle . . . . 39

2.6 Cas particulier : la m´ ethode volumes finis . . . . 40

2.7 D´ efinition et ´ etude d’´ energie . . . . 41

Conclusion . . . . 49

3 Conditions aux limites 51 Introduction . . . . 51

3.1 Conditions aux limites sur la faille . . . . 51

3.1.1 Cas des volumes finis . . . . 56

3.1.2 Cas g´ en´ eral . . . . 58

Conclusion . . . . 66

4 R´ esultats num´ eriques 67 Introduction . . . . 67

4.1 R´ esultats 2D . . . . 67

4.2 R´ esultats 3D . . . . 85

Conclusion . . . . 113

Conclusion g´ en´ erale et perspectives 115 Annexes 121 A Calcul des flux absorbants 121 A.1 Calcul de la matrice M ⁻ . . . . 122

A.2 Calcul des matrices A et B . . . . 126

A.2.1 Calcul de A . . . . 127

A.2.2 Calcul de B . . . . 127

B Syst` eme d’´ equations 131 B.1 Cas bidimensionnel . . . . 132

B.1.1 Sch´ ema discret . . . . 132

B.1.2 Conditions aux limites . . . . 134

B.2 Cas tridimensionnel . . . . 139

B.2.1 Sch´ ema discret . . . . 140

B.2.2 Conditions aux limites . . . . 144

B.3 Algorithme . . . . 151

C Valorisation des comp´ etences 153

R´ ef´ erences 163

Introduction

Pendant longtemps, les hommes ont consid´ er´ e l’origine d’un tremblement de terre comme un message divin. Pour les chinois, c’´ etait un signe de la mauvaise politique de l’Empereur. Dans la culture animiste des grecs, c’´ etait Pos´ eidon le responsable de tels

´

ev` enements. Cela n’empˆ echera pas des grecs comme Thal` es (VI <sup>i` eme</sup> si` ecle av. J.-C.) et sur- tout Aristote (IV <sup>i` eme</sup> si` ecle av. J.-C.), de penser que les s´ eismes ont une origine naturelle.

Avec le temps, l’origine naturelle est de plus en plus cr´ edible, plusieurs th´ eories appa- raissent. Le tremblement de terre de Lisbonne de 1755 au Portugal est l’un des premiers

`

a ˆ etre ´ etudi´ e. Il faudra attendre 1850, avec la compr´ ehension de la tectonique des plaques pour avoir les bases de la th´ eorie actuelle. Robert Mallet ¹ , qui cr´ ea le terme sismologie, publia la premi` ere carte sismique du monde. Ce n’est qu’au d´ ebut du XX <sup>i` eme</sup> si` ecle que l’´ etude approfondie des s´ eismes commence v´ eritablement, avec le recensement ` a l’´ echelle de la plan` ete des tremblements de terre par Fernand Bernard ² ou encore l’identification des diff´ erentes ondes sismiques par Richard Dixon Oldham ³ .

La sismologie est donc une science ancienne, mais dont les bases ne furent pos´ ees que de fa¸con tr` es r´ ecente. Les premiers mod` eles de fracture d´ ecrits dans la litt´ erature [81, 82, 83]

sont des mod` eles cin´ ematiques simples o` u la zone fractur´ ee et le glissement ayant lieu sur cette zone sont sp´ ecifi´ es dans le temps. Bien que ces mod` eles permettent de calculer des champs proches [28, 27] et lointains [146, 144], ils n’apportent cependant pas de ren- seignements sur le processus physique de la source et pr´ esentent certaines cons´ equences physiques inacceptables telles que la non-conservation de l’´ energie en pointe de la faille ou la non-causalit´ e au d´ emarrage. Pour cette raison, le mod` ele dit dynamique a ´ et´ e intro- duit. Dans ces mod` eles, c’est la contrainte tectonique initiale et les propri´ et´ es du mat´ eriau qui d´ eterminent le glissement entre les deux l` evres de la discontinuit´ e que forme la zone fractur´ ee ainsi que la vitesse de progression du front de rupture d´ efinissant cette zone.

R´ esoudre analytiquement les probl` emes de failles, et en particulier les ruptures dyna- miques, est tr` es difficile. Seuls quelques cas de g´ eom´ etries simples ont trouv´ e des solutions analytiques. Dans les ann´ ees 60 et 70, Kostrov [101, 103], Burridge [33, 32], Richards [138, 139] et autres ont ´ etudi´ e le cas d’une faille auto-similaire se propageant ` a une vitesse pr´ ed´ efinie. Kostrov [102] trouva une solution analytique ` a la propagation spontan´ ee d’une

1. Ing´ enieur et g´ eologue irlandais (1810-1881).

2. Comte de Montessus de Ballore (1851-1923).

3. Diplˆ om´ e de la Royal School of Mines (1858-1936).

tour de la rupture dynamique se propageant ` a une vitesse non pr´ ed´ efinie, mais la solution g´ en´ erale pour ce probl` eme, et en particulier en mode plan, reste difficile ` a calculer.

Une alternative consiste ` a r´ esoudre num´ eriquement ce genre de probl` eme. Parmi les m´ ethodes les plus r´ epandues qui ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees dans cette discipline durant ces derni` eres d´ ecennies, nous pouvons citer essentiellement trois familles : les m´ ethodes de diff´ erences finies (DF), les m´ ethodes d’int´ egrales de fronti` ere (IF) et les m´ ethodes d’´ el´ ements finis (EF). Les m´ ethodes DF sont en g´ en´ eral relativement simples ` a impl´ ementer et pro- duisent des sch´ emas num´ eriques assez efficaces [6, 5, 97, 158, 157, 165, 111, 56]. Ces m´ ethodes s’av` erent malheureusement insuffisantes d` es qu’il s’agit de simuler des g´ eometries complexes [166, 51]. Les m´ ethodes IF sont tr` es r´ epandues parce qu’elles r´ eduisent le nombre de dimensions du domaine ` a discr´ etiser. L’int´ egration ne se fait que sur les surfaces o` u les propri´ et´ es du milieu permettent la construction analytique de fonctions de Green [31, 3, 16, 98, 19, 20, 142, 13, 137]. Ceci est tr` es contraignant lorsqu’il s’agit de simuler des milieux fortement h´ et´ erog` enes [160, 143]. Enfin, les m´ ethodes EF ont ´ et´ e pendant longtemps uti- lis´ ees pour la propagation des ondes en milieux complexes [55, 14, 112, 89, 149, 167, 164, 21]

mais pr´ esentent l’inconv´ enient de r´ eclamer l’inversion de matrices de grandes tailles. Une nouvelle classe, les ´ el´ ements spectraux (ES), a ´ et´ e alors introduite [70, 100, 99, 35, 37]. Elle est bas´ ee sur des interpolants locaux d’ordre sup´ erieur et poss´ edant ` a la fois la flexibilit´ e g´ eom´ etrique des EF et la pr´ ecision spectrale [151, 46, 161]. D’autres m´ ethodes, de types

´

el´ ements finis discontinus [44, 69, 106] ont r´ ecemment pris une place significative dans la simulation num´ erique de ph´ enom` enes de propagation d’ondes en ´ electromagn´ etisme [12, 135, 131], en acoustique [73, 52], a´ eroacoustique [15, 25], ´ elastodynamique [62, 95, 64, 132], etc. Cependant, ces m´ ethodes dites Galerkin discontinues (GD) ont ´ et´ e tr` es rarement ap- pliqu´ ees aux cas des ruptures dynamiques [87].

Par leur caract` ere discontinu, les m´ ethodes GD sont bien adapt´ ees aux probl` emes pr´ esentant des singularit´ es, tels que les probl` emes de rupture. En effet, tout comme les m´ ethodes EF, les m´ ethodes GD sont bas´ ees sur une discr´ etisation du domaine en volumes

´

el´ ementaires, appel´ es aussi cellules, dans lesquelles des fonctions de base sont d´ efinies. La diff´ erence entre ces m´ ethodes r´ eside dans le fait que pour les sch´ emas GD, les fonctions de base n’assurent aucune continuit´ e de la solution approch´ ee d’une cellule ` a l’autre. Ceci permet plus de flexibilit´ e au niveau du choix des fonctions de base, mais aussi un moindre coˆ ut de calcul en terme d’inversion de matrices, puisque ces derni` eres sont diagonales par bloc. Un autre avantage des m´ ethodes GD est qu’elles permettent de consid´ erer, outre des maillages non structur´ es, des maillages non conformes. Ceci constitue un atout majeur d` es qu’il s’agit d’´ etudier des ph´ enom` enes multi-´ echelles ou qui n´ ecessitent un raffinement local [71]. Enfin, ces m´ ethodes sont hautement parall´ elisables [85].

Le cas le simple des sch´ ema GD est celui o` u les fonctions de base sont constantes

et valent un dans chaque cellules. On parle alors de sch´ ema GD- P ⁰ ou sch´ ema volumes

finis (VF) [125, 43, 155, 104, 69, 106, 68]. Une nouvelle variante de sch´ ema VF a ´ et´ e

initialement pour les ´ equations de Maxwell dans le domaine temporel , est bas´ e sur une approximation centr´ ee en espace et saute-mouton ⁴ en temps. Le sch´ ema poss` ede l’aventage de conserver une ´ energie discr` ete, et est stable sous une condition de type CFL (Courant- Friedrichs-Levy). Le milieu ´ etant discr´ etis´ e en triangles en 2D et t´ etra` edres en 3D, qui sont consid´ er´ es comme les cellules ou volumes de contrˆ ole [107]. Nous nous sommes bas´ es sur cette formulation pour l’adapter au syst` eme de l’´ elastodynamique. La validation de cette partie se trouve dans [22] et nous avons choisi de ne pas l’inclure dans ce manuscrit pour nous focaliser essentiellement sur le ph´ enom` ene de la rupture proprement dite.

L’objectif de cette th` ese a ´ et´ e le d´ eveloppement d’un code VF 3D avec une architecture parall` ele pour la simulation de la rupture dynamique ` a des ´ echelles r´ eelles. Certaines bases, pr´ ealables ` a la r´ ealisation de ce code, telles que le choix des conditions aux limites sur le bord ext´ erieur du domaine, la bonne prise en compte des conditions aux limites sur la faille afin de mod´ eliser un mode de rupture bien pr´ ecis, et l’assurance d’une condition de stabilit´ e du sch´ ema n’´ etaient pas ´ etablies. Ainsi, nous nous sommes fix´ es comme objectif de construire un sch´ ema capable de prendre en compte les diff´ erents crit` eres cit´ es ` a travers des consid´ erations ´ energ´ etiques. ` A partir de la d´ efinition et l’´ etude d’une ´ energie discr` ete du syst` eme de l’´ elastodynamique, nous avons pu ´ etablir, d’un cˆ ot´ e, des conditions aux limites de type absorbant afin de simuler un domaine infini, et d’un autre cˆ ot´ e, des conditions aux limites sur une faille situ´ ee ` a l’int´ erieur du domaine de calcul et ´ evoluant en mode cisaillant au cours du temps.

Ce manuscrit se compose de cinq chapitres :

∗ Le premier chapitre est d´ edi´ e principalement ` a la description physique du ph´ enom` ene de la rupture. Ainsi, apr` es une br` eve introduction aux ´ equations de l’´ elastodynamique, nous mettons en place le cadre physique du probl` eme de la rupture dynamique des s´ eismes. Nous d´ ecrivons ensuite les lois qui gouvernent la rupture pendant son

´ evolution et donnons la forme locale des champs au voisinage de la faille. Parmi ces lois, nous nous int´ eressons particuli` erement ` a celle dite d’adoucissement par glisse- ment ⁵ , et qui sera encore d´ etaill´ ee dans le chapitre 3 lors de la d´ efinition des conditions aux limites sur la faille.

∗ Dans le chapitre 2, nous pr´ esentons de mani` ere d´ etaill´ ee les bases du sch´ ema num´ erique que nous ´ etudions. Nous avons choisi de formuler les ´ equations de la fa¸con la plus g´ en´ erale possible, c’est-` a-dire pour un sch´ ema GD d’ordre quelconque, mˆ eme si les r´ esultats num´ eriques pr´ esent´ es dans le chapitre 4 ne sont obtenus que pour le sch´ ema

`

a l’ordre z´ ero. Nous introduisons ´ egalement l’´ energie discr` ete du syst` eme et nous pr´ esentons des r´ esultats th´ eoriques sur sa conservation sous une condition de type CFL.

∗ Le chapitre 3 est consacr´ e ` a l’´ etude des conditions aux limites. ` A partir de l’´ etude

4. Leap-frog en anglais

5. Slip Weakening Friction (SWF).

faut consid´ erer sur la faille, en prenant en compte la loi SWF d´ ecrite dans le premier chapitre. Nous montrons aussi que, pour un choix pr´ ecis des flux sur le bord ext´ erieur du domaine, la variation de l’´ energie est n´ egative ou nulle, ce qui assure la stabilit´ e en norme L ² du sch´ ema.

∗ Dans le chapitre 4, nous illustrons les r´ esultats des trois premiers chapitres ` a travers divers cas tests r´ ealis´ es en deux et trois dimensions d’espace. Ces cas tests nous per- mettent de valider notre approche en comparant les r´ esultats num´ eriques avec des solutions analytiques mais aussi avec des r´ esultats obtenus par d’autres m´ ethodes.

Ceci nous conduit ` a la conclusion g´ en´ erale de ce travail o` u nous esquissons les poten- tialit´ es futurs grˆ ace aux r´ esultats trouv´ es.

∗ Le dernier chapitre est compos´ e de trois annexes. Les deux premi` eres sont d´ edi´ ees

au calcul explicite des divers expressions mentionn´ ees de mani` ere plus compacte tout

au long du manuscrit, alors que la derni` ere annexe constitue une r´ etrospective sur le

cadre g´ en´ eral dans lequel s’est d´ eroul´ ee cette th` ese.

Chapitre 1

Introduction au mod` ele physique

Sommaire

Introduction . . . . 11

1.1 Syst` eme de l’´ elastodynamique . . . . 12

1.2 Conditions initiales et conditions aux limites . . . . 13

1.3 M´ ecanique de la rupture dynamique . . . . 16

1.3.1 Nucl´ eation . . . . 16

1.3.2 Phase instable . . . . 16

1.3.3 Champs locaux au voisinage du front de rupture . . . . 18

1.3.4 Force de coh´ esion . . . . 20

Conclusion . . . . 21

Introduction

Deux types de lois r´ egissent usuellement la propagation des ondes sismiques ` a l’int´ erieur de la terre. D’une part, l’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement reliant l’acc´ el´ eration du milieu au gradient des contraintes, et d’autre part, des relations lin´ eaires entre les contraintes et les d´ eformations du milieu. Cependant, les observations des failles expos´ ees ` a la surface de la terre montrent que les d´ eformations et les structures g´ eologiques associ´ ees aux failles ne sont pas en accord avec les lois physiques mentionn´ ees pr´ ec´ edemment.

D’autres relations constitutives contrˆ olent le rapport entre les d´ eformations et les contraintes au voisinage des failles.

Dans ce premier chapitre, nous allons introduire les ´ equations de l’´ elastodynamique

et nous d´ efinirons les conditions aux limites sur une faille dans le cas o` u le milieu est

fissur´ e. Nous ferons ´ egalement un bref tour d’horizon de la m´ ecanique de la rupture et

nous introduirons les lois de frottement sur la faille que nous consid´ ererons lors de la

rupture dynamique.

1.1 Syst` eme de l’´ elastodynamique

Dans un milieu infini, ´ elastique, lin´ eaire et isotrope, le mouvement d’un ´ el´ ement de mati` ere est r´ egi par les ´ equations de l’´ elastodynamique :

ρ ∂ _tt ² ~ u = −−→

div σ + f (1.1)

σ = λ div ~ u I ⁿ + µ

∇ ~ ~ u +

∇ ~ ~ u t

(1.2) o` u n est la dimension de l’espace, I n est la matrice identit´ e, ~ u ∈ R <sup>n</sup> est le vecteur d´ eplacement, σ ∈ M n ( R ) est le tenseur sym´ etrique des contraintes et f est l’ensemble des forces de volume que nous n´ egligerons par la suite. Le milieu est consid´ er´ e comme h´ et´ erog` ene avec les grandeurs suivantes le d´ ecrivant : la masse volumique locale ρ et les coefficients de Lam´ e locaux λ et µ qui varient en fonction de l’espace et sont constants dans le temps.

En introduisant le vecteur vitesse

~ v = ∂ t ~ u ,

et en d´ erivant par rapport au temps la loi rh´ eologique, le syst` eme (1.1)-(1.2) peut ˆ etre transform´ e en un syst` eme hyperbolique du premier ordre. Nous obtenons alors le syst` eme en formulation contraintes-vitesses suivant :

ρ ∂ _t ~ v = −−→

div σ (1.3)

∂ _t σ = λ div ~ v I n + µ

∇ ~ ~ v +

∇ ~ ~ v t

. (1.4)

Dans un milieu homog` ene, la solution du syst` eme de l’´ elastodynamique est compos´ ee de deux types d’ondes : les ondes primaires ou de compression P et les ondes secondaires ou de cisaillement S (fig. 1.1). L’onde P , dont l’amplitude est plus petite que celle de l’onde S, se propage ` a la vitesse la plus rapide. Les vitesses de propagation des ondes P et S peuvent ˆ etre donn´ ees en fonction des param` etres du milieu par

v _p = s

λ + 2 µ

ρ et v _s = r µ

ρ (1.5)

respectivement. Si nous notons ~ u ^P et ~ u ^S les champs de d´ eplacement induits par les ondes P et S respectivement, alors ces champs v´ erifient les relations suivantes :

− →

rot ~ u ^P = ~ 0 et div ~ u ^S = 0 . (1.6)

Fig. 1.1 – En haut, ondes de pression (dites aussi primaires ou longitudinales). En bas, ondes de cisaillement (dites aussi secondaires ou transversales).

Remarque 1.1.1 Tout au long de ce document, nous allons utiliser les conventions sui- vantes :

• Si A = (a _ij ) 1≤i≤p 1≤j≤q

d´ esigne une matrice, et si nous notons (~a _j ) _1≤j≤q les vecteurs co- lonnes de A , alors la divergence de A est un vecteur de R ^p d´ efini par

−−−→ div A =

q

X

j=1

∂ _j ~a _j (1.7)

• Si ~ ω = (ω _i ) _1≤i≤p est un vecteur de R ^p et si ∇ ~ = (∂ _j ) _1≤j≤q d´ esigne l’op´ erateur gradient de R ^q , alors ∇ ~ ~ ω est une matrice d´ efinie par

∇ ~ ~ ω

ij

= ∂ _j ω _i , 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q (1.8) c’est-` a-dire

∇ ~ ~ ω =











∂ ₁ ω ₁ ∂ ₂ ω ₁ · · · ∂ _q ω ₁

∂ 1 ω 2 ∂ 2 ω 2 · · · ∂ q ω 2

.. . .. . .. .

∂ ₁ ω _p ∂ ₂ ω _p · · · ∂ _q ω _p











. (1.9)

1.2 Conditions initiales et conditions aux limites

Le syst` eme (1.3)-(1.4) doit ˆ etre compl´ et´ e par des conditions initiales et aux limites afin

d’assurer l’unicit´ e de la solution. Ces conditions d´ ependent en g´ en´ eral du mod` ele physique

Ω Ω_ext

Σ

Fig. 1.2 – Une repr´ esentation du domaine Ω en 2D. La surface de la faille est d´ esign´ ee par Σ.

´

etudi´ e. Nous nous int´ eressons dans le pr´ esent travail aux probl` emes de contact parfait avec frottement agissant sur une certaine surface, appel´ ee faille, o` u une rupture peut se produire donnant lieu ` a des discontinuit´ es localis´ ees des champs ´ elastiques. Nous allons donc sp´ ecifier les conditions initiales et aux limites li´ ees ` a ce type de probl` eme.

Consid´ erons un milieu Ω contenant une faille Σ (fig. 1.2). Ce milieu est soumis ` a des forces surfaciques, appel´ ees vecteur de contraintes, et ` a des forces de volume comme la gravit´ e (que nous n´ egligeons). Comme le milieu est solide, il r´ esiste aux chargements en accumulant de l’´ energie ´ elastique dans son volume. Une fois la r´ esistance du milieu atteinte par ces chargements, le corps solide finit par c´ eder le long des zones de faiblesse pr´ e- existantes et une rupture spontan´ ee se produit. Nous consid´ erons l’instant qui pr´ ec` ede le d´ eclenchement de la rupture comme l’instant initial. Ainsi, pour les conditions initiales, les vitesses sont identiquement nulles puisque le milieu est initialement au repos, et il existe un champ de contrainte non identiquement nul, r´ esultat de la somme d’un chargement tectonique r´ egional et d’un champ r´ esiduel associ´ e ` a la sismicit´ e locale pr´ ealable :







v (0, .) = 0

dans Ω σ(0, .) = σ ₀

(1.10)

Un mod` ele possible pour le processus de rupture est le relˆ achement des contraintes sur la faille Σ. En dehors de cette zone de faiblesse, le milieu se comporte ´ elastiquement. Nous distinguons trois modes de rupture (fig. 1.3).

– Le mode I ou mode d’ouverture : ce mode est consid´ er´ e comme ´ etant le plus souvent rencontr´ e en m´ ecanique de la rupture pour beaucoup de mat´ eriaux. Il est aussi le plus dangereux pour l’extension d’une fissure. Cependant, une fois amorc´ ee et pour des sollicitations mixtes ou des g´ eom´ etries complexes, la fissure a tendance ` a bifurquer, et reste donc rarement rectiligne [26].

– Le mode II ou mode plan : il produit des glissements parall` eles au plan tangent ` a la

fracture. La direction du glissement est normale au front de rupture.

Mode I Mode II Mode III Fig. 1.3 – Modes de rupture : I ouverture, II et III cisaillement.

– Le mode III ou mode anti-plan : il produit aussi des glissements parall` eles au plan tangent de la fracture, mais la direction du glissement est parall` ele au front de rup- ture.

Les modes cisaillants (c’est-` a-dire les modes II et III) sont les plus souvent observ´ es lors de la rupture des s´ eismes dus aux chargements de confinement tr` es importants ` a l’int´ erieur de la terre. Nous nous int´ eressons donc dans tout ce m´ emoire aux modes II et III pour lesquels seule la composante tangentielle du vecteur traction T ~ = σ ~ n ¹ sur la faille est mise

`

a contribution durant le relˆ achement de contraintes.

Pendant la rupture dynamique, la faille peut ´ evoluer en fonction du temps. Nous la noterons donc Σ(t). Lorsque les contraintes d´ epassent la r´ esistance du milieu, les trac- tions cisaillantes sur la surface de rupture ´ evoluent selon le frottement qui, ` a son tour, est gouvern´ e par une loi constitutive. Cette relation constitutive d´ epend du temps et d’un en- semble de param` etres que nous noterons Ψ, et qui seront d´ etaill´ es dans la section suivante.

Les tractions impos´ ees sur Σ(t) peuvent ainsi s’exprimer sous la forme :

k T ~ _T k = g (t, Ψ) sur Σ(t) (1.11)

o` u T ~ T d´ esigne la composante tangentielle (cisaillante) du vecteur traction T ~ , donn´ ee par T ~ _T = σ ~ n − (~ n · σ ~ n) n ~ , (1.12) et g (t, Ψ) d´ esigne la loi constitutive de frottement.

Notons aussi que, dans le cas d’un contact parfait sans ouverture ² , la composante normale du vecteur traction ainsi que celle de la vitesse sont continues. Nous reviendrons sur ces diff´ erentes conditions dans le chapitre 3 lors de l’´ etude de l’´ energie du syst` eme.

1. n ~ ´ etant un vecteur unitaire continu normal ` a la faille.

2. Un contact entre deux solides est dit parfait s’il n’y a aucune adh´ erence au point de contact consid´ er´ e.

1.3 M´ ecanique de la rupture dynamique

La m´ ecanique de la rupture est un domaine vaste de la m´ ecanique comme mentionn´ e dans l’introduction. Nous abordons ici les lois simples de frottement que nous avons

´

etudi´ ees, sans l’ambition de faire une ´ etude exhaustive concernant la physique possible du frottement lors d’un s´ eisme. Rappelons toutefois que la rupture dynamique comprend une phase de nucl´ eation difficile ` a mod´ eliser et une phase de propagation que nous appelons phase instable pour ´ eviter la confusion qu’apporte le terme propagation.

1.3.1 Nucl´ eation

La nucl´ eation est la phase d’initiation durant laquelle le m´ ecanisme de la rupture se met en marche. Des observations r´ ealis´ ees en laboratoire [124, 121] ont montr´ e qu’elle peut se d´ erouler en trois ´ etapes. Une phase de nucl´ eation quasi-statique lente, stable et survenant dans des zones de dimensions relativement restreintes par rapport ` a la taille globale du domaine. Une phase initiale de nucl´ eation dynamique, lente ´ egalement, et transitoire vers l’instabilit´ e. Et enfin une phase de nucl´ eation sismique caract´ eris´ ee par une acc´ el´ eration exponentielle du glissement et une croissance rapide de la zone de nucl´ eation. Cette phase pr´ ec` ede la phase instable et partage les mˆ emes lois de la physique du frottement.

Plusieurs mod` eles de nucl´ eation sismique ont ´ et´ e propos´ es, parmi lesquels nous pouvons citer les mod` eles de fracture avec coh´ esion [92, 57, 145], les mod` eles de fracture avec corrosion sous contrainte [54], les mod` eles SWF (Slip Weakening Friction) h´ et´ erog` enes [115, 148, 122], les mod` eles SWF homog` enes [34], les mod` eles RSF (Rate and State Friction) [60, 61]. La discrimination entre ces diff´ erents mod` eles est un sujet ouvert et l’on peut penser que l’accroissement r´ ecent des enregistrements sismiques proches des failles va permettre d’affiner la d´ etermination de ces lois.

Bien que le probl` eme de la nucl´ eation soit d’une importance majeure [8], nous ne nous attarderons pas sur l’´ etude des effets de la nucl´ eation sur le comportement de la solution.

Nous avons opt´ e tout au long de ce travail pour le mod` ele SWF homog` ene, qui est un mod` ele simple et qui ne tient pas compte de la phase quasi-statique.

1.3.2 Phase instable

La phase instable est la phase qui suit la nucl´ eation. Elle est bas´ ee sur le crit` ere de Coulomb qui ´ etablit que la rupture commence lorsque le rapport entre la contrainte ci- saillante τ := k T ~ <sub>T</sub> k et la contrainte normale σ <sub>N</sub> = n ~ · σ ~ n est ´ egale au coefficient de frottement statique µ s qui d´ efinit ainsi la coh´ esion locale du mat´ eriau. Une fois le crit` ere de Coulomb v´ erifi´ e, la contrainte cisaillante reste proportionnelle ` a la contrainte normale via un coefficient de frottement µ.

τ = µ σ _N . (1.13)

δ

Glissement Glissement

δ

c

µ

d

µ

d

(a) (b)

δ

c a

µ

s

µ

0

µ

0

µ

s

Coefficient de frottement Coefficient de frottement

Fig. 1.4 – Loi SWF exprimant le coefficient de frottement en fonction du glissement. ` A droite le mod` ele lin´ earis´ e.

La chute du coefficient de frottement µ de la valeur statique µ _s vers une certaine valeur dynamique inf´ erieure µ _d peut suffire ` a engendrer une instabilit´ e. Cependant, si cette chute a lieu instantan´ ement, une singularit´ e des contraintes se produit dans le front de rupture violant ainsi la physique de tout mat´ eriau qui suppose une r´ esistance toujours finie aux contraintes. Dans la r´ ealit´ e, cette singularit´ e n’existe pas et un contact coh´ esif existe entre les deux l` evres de la faille apr` es la cassure proprement dite [17]. Ainsi, l’´ energie de fracturation G consomm´ ee dans le voisinage du front de rupture ne l’est pas instantan´ ement et ´ evolue sur une zone de coh´ esion jusqu’au frottement dynamique modifiant l’avancement de l’instabilit´ e [9, 10].

Ces lois de frottement tenant compte des forces de coh´ esion expliquent le mieux ` a l’heure actuelle les observations sismologiques des stations acc´ el´ erom´ etriques et les observations sur le terrain quand la faille s’exprime ` a la surface, ou quand une faille ancienne est exhum´ ee.

Parmi ces lois, nous pouvons distinguer deux grandes classes :

- Loi RSF (Rate and state dependent friction) : dans cette classe de lois, le coefficient de frottement est une fonction de la vitesse du glissement et de variables d’´ etat [58, 94, 59, 140, 154, 114, 113, 126]. Une version simple, dite loi de Dieterich-Ruina, s’´ enonce comme suit :

µ(V,θ) = µ ^∗ + a ln(V /V ^∗ ) + b ln(θ/θ ^∗ ) (1.14) θ ˙ = 1 − V θ

δ _c (1.15)

o` u V est la vitesse de glissement, θ est une variable d’´ etat, µ <sup>∗</sup> , V <sup>∗</sup> et θ <sup>∗</sup> sont des valeurs de r´ ef´ erences, et a, b et δ <sub>c</sub> sont des param` etres constitutifs.

- Loi SWF (Slip weakening friction laws) : dans cette cat´ egorie de lois, le coeffi-

cient de frottement est uniquement fonction du glissement [120, 123, 115, 122]. Cette loi

pr´ esente en g´ en´ eral une phase courte d’endurcissement, un pic de r´ esistance maximale, puis

une phase d’adoucissement n´ ecessitant un certain glissement critique δ _c pour atteindre un

niveau de frottement r´ esiduel stationnaire. Un mod` ele simple de ce comportement est µ(U ) = µ ₀ + ∆µ U

δ _c exp

1 − U δ _a

, (1.16)

o` u µ ₀ est une valeur de r´ ef´ erence (nulle dans le cas d’une lubrification parfaite), U est le glissement cumul´ e et ∆ µ est la chute dynamique du coefficient de frottement (fig. 1.4 (a)).

Les lois SWF ont des liens directs avec les lois de coh´ esion [63, 18] introduites en m´ ecanique de la fracture pour r´ egulariser les contraintes au voisinage du front de rupture. Le mod` ele le plus utilis´ e en sismologie de par sa simplicit´ e est le SWF lin´ eaire [92, 9], qui s’´ ecrit :

µ(U ) = max

µ _s − (µ _s − µ _d ) U δ c

, µ _d

. (1.17)

Il inclut les ingr´ edients suivants : un seuil de frottement statique µ _s , un adoucissement progressif sur une ´ echelle de glissement caract´ eristique δ _c , et un niveau dynamique r´ esiduel µ _d < µ _s (fig. 1.4 (b)). Le travail r´ ealis´ e par les forces de coh´ esion (c’est-` a-dire par le frot- tement) durant la propagation de la rupture est proportionnel au produit de la contrainte normale ` a la faille et de l’int´ egrale de l’´ equation (1.17) moins le niveau r´ esiduel donn´ e par µ _d .

W = 1 2

Z

Γ

Z U(t) 0

σ _N (µ (ξ) − µ _d ) dξ (1.18)

1.3.3 Champs locaux au voisinage du front de rupture

Dans le cas d’une rupture fragile ³ , un d´ eveloppement asymptotique au voisinage du front de rupture montre que les composantes du tenseur de contrainte peuvent s’´ ecrire en coordonn´ ees polaires :

σ _ij ∼ K _I (t)

p 2 π (r − v _r t) Σ ^I _ij (θ,v _r ) + K _II (t)

p 2 π (r − v _r t) Σ ^II _ij (θ,v _r ) + K _III (t)

p 2 π (r − v _r t) Σ ^III _ij (θ,v _r ) , (1.19) o` u v _r est la vitesse de propagation de la rupture, les expressions Σ _ij sont des fonctions adimensionn´ ees repr´ esentant, pour chaque mode de fracturation, la variation angulaire du tenseur de contrainte autour de l’extr´ emit´ e de la rupture quand la distance r au front de la faille tend vers 0, et les K _m sont des fonctions appel´ ees facteurs d’intensit´ e de contraintes mesurant la force de la singularit´ e des contraintes. Tous les d´ etails sur ces diff´ erentes quantit´ es se trouvent dans [30, 74, 26]. Nous retenons donc que le champ des contraintes est singulier au voisinage du front de la faille ; le terme dominant est en 1/ √

r (fig. 1.5).

3. La rupture fragile est caract´ eris´ ee par l’absence de d´ eformation plastique macroscopique, et donc par

la propagation tr` es rapide des fissures avec faible consommation d’´ energie.

Rupture 0

z

V

_i

Rupture 0

z

σ

iz

r − v t

_r

r − v t

_r

Fig. 1.5 – Singularit´ e des champs au voisinage du front de rupture pour les modes II et III. La limite de la faille se trouve en r − v _r t = 0, v _r ´ etant la vitesse de propagation de la rupture.

De plus, une relation entre la vitesse de glissement V et la contrainte cisaillante est donn´ ee dans [4] (´ equations (15.3) et (15.4)) par

σ _iz = C Z 0

−∞

V i

ξ − (r − v _r t) dξ , i = x, y (1.20) o` u C est une constante qui d´ epend de v <sub>r</sub> . Cette ´ equation montre que la contrainte ci- saillante est proportionnelle ` a la transform´ ee de Hilbert de la vitesse de glissement, et r´ eciproquement. Or, dans le cas d’une relaxation totale des contraintes sur le plan de la faille, la contrainte cisaillante doit ˆ etre nulle ` a l’int´ erieur de la faille alors que la vitesse de glissement est nulle ` a l’ext´ erieur de la faille. Les fonctions v´ erifiant l’´ equation (1.20) avec les conditions de fronti` ere ci dessus sont donn´ ees par :

σ _iz = K _m

p 2 π (r − v _r t) H(r − v _r t) et V _i = A _m v _r 2 √

v _r t − r H(v _r t − r) (1.21) o` u H est la fonction de Heaviside, A m (m = II ou III ) sont des constantes et K m (m = II ou III) sont les facteurs d’intensit´ e de contraintes associ´ es ` a chaque mode de fracturation.

Ainsi le champ de vitesse pr´ esente aussi une singularit´ e en 1/ √

r au voisinage du front de rupture (fig. 1.5).

La m´ ecanique de rupture des milieux cassants ⁴ se fonde sur ces expressions locales alors que la sismologie, par l’existence d’une zone fragile complexe, opte pour une m´ ecanique de rupture avec une zone de coh´ esion. Toutefois, les comportements asymptotiques de la rupture fragile peuvent nous servir de guide dans notre mod´ elisation de la rupture sismique.

4. Un mat´ eriau est dit cassant si son allongement est inf´ erieur ` a 5%.

τ

τ τ

δ

_c

U

d

+

σ_c

d

Fig. 1.6 – Bilan entre la force de coh´ esion σ _c et le frottement dynamique µ _d en fonction du glissement U. La ligne discontinue correspond ` a σ _c = 0

1.3.4 Force de coh´ esion

Le mod` ele pr´ esent´ e dans le paragraphe pr´ ec´ edent est une abstraction en raison des singularit´ es au voisinage du front de rupture. En effet, tout mat´ eriau poss` ede une r´ esistance finie et ne peut supporter un chargement au-del` a de sa limite.

Ces singularit´ es peuvent par contre ˆ etre ´ elimin´ ees en d´ efinissant des forces de coh´ esions introduites par Barenblatt [17], et qui sont distribu´ ees ` a l’int´ erieur de la faille au voisinage du front de rupture pour s’opposer aux contraintes externes. Dans cette zone, connue sous le nom de zone de coh´ esion, une force inf´ erieure ` a la r´ esistance du mat´ eriau et sup´ erieure au niveau dynamique de frottement s’oppose ` a la charge ext´ erieure. Ainsi, en tout point de la faille, la contrainte cisaillante τ est la somme d’une contrainte r´ esiduelle τ _d et d’une force de coh´ esion σ _c , que nous supposons d´ esormais d´ ependante du glissement U .

τ (r − v _r t, t) = τ _d + σ _c U (v _r t − r, t)

. (1.22)

La solution ` a ce probl` eme pour lequel la singularit´ e des contraintes disparaˆıt au pointe de la faille d´ epend du choix de la fonction σ c . Comme la vitesse de glissement V est proportionnelle ` a la transform´ ee de Hilbert de τ (eq. (1.20)), alors la singularit´ e de ce champ est aussi ´ elimin´ ee.

La distribution du glissement ` a l’int´ erieur de la faille correspondant ` a une distribution

donn´ ee de la force de coh´ esion σ _c a ´ et´ e ´ etudi´ ee num´ eriquement par Ida [92]. Parmi les

diff´ erentes solutions se trouve celle o` u la force de coh´ esion d´ ecroˆıt lin´ eairement avec le glis-

sement. Plus la d´ eriv´ ee de σ _c par rapport ` a U est faible, plus la d´ ecroissance de U (r) est

lisse quand r − v _r t tend vers 0 ` a gauche. La figure 1.6 pr´ esente deux fonctions diff´ erentes

de la force de coh´ esion, et la figure 1.7 d´ ecrit les distributions des contraintes (` a gauche)

et celles des glissements (` a droite) associ´ ees ` a ces deux fonctions. La figure 1.7 montre

qu’en pr´ esence de force de coh´ esion, la singularit´ e des contraintes disparaˆıt. De plus, ´ etant

donn´ e que la force de coh´ esion est une fonction implicite du temps, alors il existe une zone

de la faille dans laquelle la contrainte cisaillante est inf´ erieure ` a la valeur statique τ _s et

Λ _c

r − v t

_r

∆τ rupture τ

τ

τ τ

s

0

d

milieu fracture

milieu non fracture ’

’

0

champ singulier champ non singulier

δc

Λ _c

r − v t

_r

rupture

U

milieu fracture ’

’ 0

milieu non fracture champ non singulier champ singulier

Fig. 1.7 – Singularit´ e des champs au voisinage du front de la rupture pour les modes II et III. Le front de la faille se trouve en r − v _r t = 0.

strictement sup´ erieure ` a la valeur dynamique τ <sub>d</sub> . C’est la zone de coh´ esion. La dimension Λ <sub>c</sub> de cette zone est directement li´ ee ` a la nature de la fonction σ _c . Plus la distance d’affai- blissement δ _c est petite, plus Λ _c est petite. Ida [92] a montr´ e que Λ _c est proportionnelle ` a δ _c ,

Λ _c = −k δ _c

U ⁰ (x _c ) , (1.23)

o` u x _c = r − Λ _c , U ⁰ est la d´ eriv´ ee spatiale du glissement U , et k est une constante proche de deux dans le cas d’une force de coh´ esion lin´ eaire. Une autre relation reliant Λ c avec la longueur totale L de la faille a ´ et´ e donn´ e par Andrews [11]

Λ _c = k δ _c ² L

µ C ∆ τ

2

, (1.24)

o` u C est une constante, µ est le coefficient de Lam´ e et ∆ τ = τ <sub>0</sub> −τ <sub>d</sub> est la chute dynamique de la contrainte. Cette ´ equation montre que, pour ∆ τ et δ <sub>c</sub> constants, la dimension de la zone de coh´ esion ´ eprouve une contraction, dite de Lorentz, inversement proportionnelle ` a la distance de propagation L. En d’autres termes, plus la longueur de la faille est grande, plus la contrainte est singuli` ere et plus la zone de coh´ esion est r´ eduite.

Conclusion

Nous venons de pr´ esenter dans cette premi` ere partie les ´ equations de l’´ elastodynamique

ainsi que les conditions aux limites sur la faille pour un domaine fissur´ e. La r´ eponse du

milieu au voisinage de la faille n’´ etant pas ´ elastique, des lois de frottement sont alors intro-

duites afin de relier les contraintes avec le d´ eplacement induit dans le voisinage proche de

la surface de la rupture. Parmi ces lois, nous avons choisi d’appliquer le mod` ele d’affaiblis-

sement par glissement (SWF) pour lequel le frottement sur la faille est donn´ e en fonction

du glissement. Ce mod` ele, largement utilis´ e dans la communaut´ e g´ eophysique, a l’avantage d’ˆ etre simple et reste comparable du point de vue dynamique au mod` ele RSF [42].

La g´ eom´ etrie de la faille joue un rˆ ole important lors de l’´ evolution de la rupture sis- mique [49]. Ainsi, par exemple, lorsque le front de rupture rencontre des variations d’orien- tations relativement abruptes, des diffractions hautes fr´ equences sont ´ emises, diminuant ainsi l’´ energie disponible pour continuer la propagation ⁵ [109, 156, 110]. Les m´ ethodes num´ eriques les plus appropri´ ees pour r´ esoudre ce genre de probl` eme seraient donc celles ayant la facult´ e de suivre au mieux les g´ eom´ etries ´ eventuellement complexes des failles, tout en consid´ erant des milieux h´ et´ erog` enes. D’un autre cˆ ot´ e, il est plus judicieux de consid´ erer des m´ ethodes qui tiennent compte des discontinuit´ es des champs ` a travers la surface de la faille. Les m´ ethodes Galerkin discontinues en g´ en´ eral et les m´ ethodes volumes finis en particulier semblent donc appropri´ ees ` a ce type de probl` eme, puisqu’elles permettent une certaine flexibilit´ e au niveau des maillages et, de par leur caract` ere discontinu, peuvent suivre d’´ eventuels sauts des champs ` a travers la surface en question.

La suite de ce travail sera consacr´ ee ` a la pr´ esentation du sch´ ema num´ erique utilis´ e ainsi qu’` a la d´ eduction formelle des conditions aux limites sur la faille suivant la loi SWF que nous venons d’exposer.

5. Ces diffractions sont aussi dues ` a la variation forte de la contrainte normale.

Chapitre 2

M´ ethodes Galerkin discontinus pour l’´ elastodynamique

Sommaire

Introduction . . . . 23 2.1 Rappel sur les m´ ethodes de type ´ el´ ements finis . . . . 24 2.2 Rappel sur les syst` emes hyperboliques lin´ eaires . . . . 26 2.3 Equations de l’´ ´ elastodynamique et changement de variables . 28 2.3.1 Changement de variables . . . . 29 2.3.2 Sym´ etrisation . . . . 31 2.4 Discr´ etisation spatiale . . . . 34 2.5 Discr´ etisation temporelle . . . . 39 2.6 Cas particulier : la m´ ethode volumes finis . . . . 40 2.7 D´ efinition et ´ etude d’´ energie . . . . 41 Conclusion . . . . 49

Introduction

Les m´ ethodes de type Galerkin discontinus (GD) connaissent de nos jours un int´ erˆ et croissant grˆ ace aux am´ eliorations consid´ erables des performances de calcul des machines.

Ces m´ ethodes, d´ evelopp´ ees initialement dans les ann´ ees 70 pour la r´ esolution de l’´ equation de transport des neutrons [133], ont ´ et´ e formalis´ ees un an plus tard pour cette mˆ eme

´

equation [141]. Elles sont aujourd’hui utilis´ ees dans de nombreux domaines comme l’´ electro-

magn´ etisme [85, 84, 38, 72], l’a´ eroacoustique [24, 152], l’´ elastohydrodynamique [108], la

physique quantique [163], le transport en milieux poreux [150], la propagation d’ondes

[2, 7, 129], l’´ equation de la chaleur [162], etc. Cependant, leur application aux probl` emes

d’´ elasticit´ e lin´ eaire est assez r´ ecente [95, 64, 96, 45] voire, ` a notre connaissance, tr` es rare pour le probl` eme de rupture [87].

Nous introduisons dans cette section un sch´ ema GD, avec des flux centr´ es en espace, pour les ´ equations de l’´ elastodynamique, et nous montrons que, sous une condition de type CFL, ce sch´ ema est stable et conserve une ´ energie discr` ete.

2.1 Rappel sur les m´ ethodes de type ´ el´ ements finis

Ce paragraphe constitue une br` eve introduction aux m´ ethodes de type ´ el´ ements finis.

La litt´ erature sur ce sujet ´ etant abondante (voir par exemple [44, 88, 91, 67, 29, 40, 39, 127]

parmi d’autres), nous allons nous limiter ` a un rappel sur les principes g´ en´ eraux de cette th´ eorie.

Consid´ erons le probl` eme suivant :

Trouver u ∈ W tel que

a(u,v) = f (v) ∀ v ∈ V (2.1)

avec

(i) W et V sont deux espaces de Hilbert, munis respectivement des normes k . k _W et k . k V . L’espace W est appel´ e espace solution alors que V est appel´ e espace test.

(ii) a : W × V −→ R une forme bilin´ eaire continue.

(iii) f ∈ V ⁰ = L(V, R ) est une application lin´ eaire continue (pour simplifier les ´ ecritures, nous ´ ecrivons f (v) ` a la place de < f,v > _V

⁰

_,V ).

Ce probl` eme est dit bien pos´ e au sens de Hadamard s’il admet une unique solution u, et si l’estimation a priori suivante est v´ erifi´ ee

∃ c > 0, ∀ f ∈ V ⁰ , k u k W ≤ c k f k V

⁰

La forme bilin´ eaire a provient en g´ en´ eral de la formulation faible d’une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles pos´ ee sur un domaine Ω ⊂ R ^d avec des conditions aux limites sur son bord ∂ Ω.

Dans le cas o` u l’espace des solutions et l’espace test sont identiques, nous avons le th´ eor` eme bien connu de Lax-Milgram

Th´ eor` eme 2.1.1 Si la forme bilin´ eaire a est coercive, c’est-` a-dire

∃ α > 0, ∀ u ∈ V, a(u,u) ≥ α k u k ² _V alors le probl` eme (2.1) est bien pos´ e avec l’estimation a priori

∀ f ∈ V ⁰ , k u k _V ≤ 1

α k f k _V

⁰

.

Et plus g´ en´ eralement, si W 6= V , nous avons le th´ eor` eme de Banach-Neˇ cas-Babuˇska Th´ eor` eme 2.1.2 Le probl` eme (2.1) est bien pos´ e si et seulement si

∃ α > 0, inf

w ∈ W sup

v ∈ V

a(w,v)

k w k _W k v k _V ≥ α.

De plus, l’estimation a priori suivante est v´ erifi´ ee

∀ f ∈ V ⁰ , k u k _W ≤ 1

α k f k _V

⁰

.

L’id´ ee principale derri` ere les m´ ethodes de type Galerkin est de remplacer les espaces W et V par des espaces de dimensions finis W <sub>h</sub> et V <sub>h</sub> , appel´ es aussi espace solution et espace test respectivement. L’indice h faisant r´ ef´ erence ` a la discr´ etisation du domaine par un maillage. Ainsi les m´ ethodes de type Galerkin consistent ` a construire une approximation de u en r´ esolvant le probl` eme approch´ e suivant :

Trouver u _h ∈ W _h tel que

a _h (u _h ,v _h ) = f _h (v _h ) ∀ v _h ∈ V _h (2.2) o` u a _h est une approximation de la forme bilin´ eaire a, et f _h est une approximation de la forme lin´ eaire f.

Remarque 2.1.1 L’approximation est dite conforme si W _h ⊂ W et V _h ⊂ V . Elle est dite non conforme dans le cas contraire.

Un cas particulier de (2.2) est lorsque le mˆ eme espace d’approximation est choisi pour la solution et les fonctions test, ce qui donne :

Trouver u _h ∈ V _h tel que

a _h (u _h ,v _h ) = f _h (v _h ) ∀ v _h ∈ V _h (2.3) Ce cas est appel´ e m´ ethode de Galerkin standard. Le cas o` u les espaces sont diff´ erents est appel´ e methode Petrov-Galerkin, ou parfois m´ ethode de Galerkin non standard. Les m´ ethodes de type Galerkin discontinus s’inscrivent dans la cat´ egorie des approximations non conformes. La r´ esolution du syst` eme (2.3) se r´ eduit maintenant ` a une simple r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire. En effet, posons M = dim W _h et N = dim V _h , et soient {ψ ₁ , . . . ,ψ _M } une base de W _h et {ϕ ₁ , . . . ,ϕ _N } une base de V _h , alors u _h peut s’´ ecrire :

u _h =

M

X

i=1

u _i ψ _i .

Notons U ~ ∈ R ^M le vecteur u _h exprim´ e dans la base {ψ _i } 1≤i≤M , c’est-` a-dire

U ~ = (u ₁ , . . . , u _M ) ^t ,

et f ~ = (f ₁ , . . . , f _N ) ^t ∈ R ^N le vecteur d´ efini par

f _i = f _h (ϕ _i ) 1 ≤ i ≤ N et M ∈ M ^N,M ( R ) la matrice d´ efinie par :

M ^ij = a _h (ψ _j ,ϕ _i ) 1 ≤ i ≤ N, 1 ≤ j ≤ M , alors nous avons l’´ equivalence :

u _h est solution de (2.3) ⇐⇒ M U ~ = f . ~

Les fonctions {ψ _i } 1≤i≤M sont appel´ ees les fonctions de bases, les fonctions {ϕ _i } 1≤i≤N sont les fonctions test et les quantit´ es {u _i } _1≤i≤M sont les degr´ es de libert´ e.

2.2 Rappel sur les syst` emes hyperboliques lin´ eaires

Soit Ω un ouvert de R ^m ` a bord Lipschitzien. Soient ( A ⁱ (x)) _1≤i≤m des matrices de M ⁿ ( R ), et soit L l’op´ erateur de d´ erivation d´ efini par :

L = ∂

∂t +

m

X

i=1

A ⁱ

∂

∂x _i .

Soit T > 0 un r´ eel (T peut ˆ etre infini). On cherche ` a trouver une fonction u : Ω×[0,T ] → R <sup>n</sup> solution du probl` eme :

L u = f dans Ω × [0,T ] (2.4)

u(0) = u ₀ dans Ω (2.5)

B (x) u = g dans ∂ Ω × [0,T ] (2.6) avec f ∈ (L ² (Ω × [0,T ])) ⁿ , g ∈ (L ² (∂Ω × [0,T ])) ^m , u ₀ ∈ (L ² (Ω)) ⁿ et B ∈ M m,n ( R ).

Tout d’abord, commen¸cons par rappeler les quelques d´ efinitions suivantes :

D´ efinition 2.2.1 L’op´ erateur L est dit hyperbolique si la condition suivante est v´ erifi´ ee : sup

x∈Ω

k exp(i A (x)) k < +∞ (2.7)

o` u A (x) est la matrice

A (x) =

m

X

i=1

x i A ⁱ (2.8)

Cette d´ efinition est ´ equivalente au th´ eor` eme suivant : Th´ eor` eme 2.2.1

1. ∀ x ∈ Ω, A (x) est diagonisable ` a valeurs propres r´ eelles, c’est-` a-dire il existe une ma- trice diagonale D (x) = diag (λ ₁ (x), λ ₂ (x), . . . , λ _n (x)), et une matrice P (x) ∈ M n ( R ) telles que :

A (x) = P (x) ⁻¹ D (x) P (x) (2.9)

et

2. La diagonalisation de A (x) peut se faire de fa¸ con uniforme, c’est-` a-dire sup

x∈Ω

k P (x) ⁻¹ k k P (x) k < +∞ (2.10) D´ efinition 2.2.2

– L’op´ erateur L est dit sym´ etrique (au sens de Friedrichs) si les matrices ( A ⁱ (x)) _1≤i≤m sont sym´ etriques pour tout x ∈ Ω.

– L’op´ erateur L est dit sym´ etrisable s’il existe une matrice sym´ etrique d´ efinie positive S ∈ M n ( R ) telle que les matrices ( S (x) A i (x)) 1≤i≤m sont sym´ etriques pour tout x ∈ Ω.

Nous allons distinguer deux cas : 1 ^er cas : Ω = R ^m

L’´ equation (2.6) n’est donc pas n´ ecessaire dans ce cas. Nous avons alors la proposition suivante :

Proposition 2.2.1 Si L est sym´ etrique (ou sym´ etrisable) alors le syst` eme (2.4)-(2.5) ad- met une solution unique dans (L ² (Ω × [0,T ])) ⁿ .

Preuve 2.2.1 Il y a plusieurs fa¸ cons pour d´ emontrer cette proposition. Une mani` ere de faire consiste ` a trouver une ´ energie (i.e. forme quadratique d´ efinie positive en les variables du syst` eme) qui se conserve. Dans le cas o` u L est sym´ etrique (resp. sym´ etrisable) il suffit de consid´ erer la quantit´ e E = 1

2 Z

Ω

u ^t

u (resp. E = 1 2

Z

Ω

u ^t

S u). E est bien une forme quadratique d´ efinie positive, et un calcul rapide montre que dE

dt = 0, d’o` u le r´ esultat.

Remarque 2.2.1 La proposition pr´ ec´ edente reste valable dans le cas o` u les A ⁱ d´ ependent

en plus du temps. Cependant, l’existance de la solution ne peut ˆ etre assur´ ee dans ce cas

que pour des temps finis. La d´ emonstartion est tr` es technique et le lecteur d´ esirant plus de

d´ etails peut se rapporter ` a [147] pour une preuve compl` ete.

2 ^{eme `} cas : Ω ( R ^m D´ efinition 2.2.3

– On dit que la condition aux limites (2.6) est strictement dissipative si la restriction de la forme quadratique w → (w ^t ) A (~ n(x),x) w au noyau de B (x) est d´ efinie positive, c’est-` a-dire

w ∈ ker B (x) − {0} = ⇒ w → w ^t

A (~ n(x),x) w > 0 avec A (~ n(x),x) =

m

X

i=1

n _i A i (x).

– On dit que la condition aux limites (2.6) est maximale en x si ker B (x) est maximal (pour l’inclusion) parmis les sous espaces sur lesquels A (~ n(x),x) ≥ 0.

Proposition 2.2.2 Sous les conditions des d´ efinitions 2.2.2 et 2.2.3, et si B est surjective (c’est-` a-dire de rang maximal) alors le syst` eme (2.4)-(2.5)-(2.6) admet une solution unique dans (L ² (Ω × [0,T ])) ⁿ .

Remarque 2.2.2 Les conditions de la proposition 2.2.2 peuvent ˆ etre affaiblies dans le cas homog` ene (c’est-` a-dire g = 0). D’autre variantes existent aussi dans le cas o` u les matrices A i d´ ependent en plus du temps. Plus de d´ etails sur les d´ emonstrations compl` etes se trouvent dans [128] et [147].

2.3 Equations de l’´ ´ elastodynamique et changement de variables

Pour un espace de dimension trois, le tenseur de contraintes s’´ ecrit sous la forme σ =





σ _xx σ _xy σ _xz σ _xy σ _yy σ _yz σ xz σ yz σ zz



 . (2.11)

En raison de sa sym´ etrie, il est parfois pr´ ef´ erable d’´ ecrire le tenseur de contraintes sous une forme vectorielle. Posons alors

~

σ = (σ _xx , σ _yy , σ _zz , σ _xy , σ _xz , σ _yz ) ^t . Intoduisons ´ egalement le vecteur X ~ =

~ v

~ σ

combinant les grandeurs ind´ ependantes de vitesse et de contrainte. Le syst` eme (1.3)-(1.4) peut alors s’´ ecrire sous la forme :

∂ _t X ~ =



 X

α∈{x,y,z}

A ^α ∂ _α



 X , ~ (2.12)

avec

A x =































1

ρ 0 0 0 0 0

O 3 0 0 0 _ρ ¹ 0 0 0 0 0 0 ¹ _ρ 0 λ + 2 µ 0 0

λ 0 0

λ 0 0

0 µ 0 O 6

0 0 µ

0 0 0





























 ,

A y =































0 0 0 ¹ _ρ 0 0 O 3 0 ¹ _ρ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¹ _ρ

0 λ 0

0 λ + 2 µ 0

0 λ 0

µ 0 0 O 6

0 0 0

0 0 µ





























 ,

et

A ^z =































0 0 0 0 ¹ _ρ 0

O ³ 0 0 0 0 0 ¹ _ρ

0 0 ¹ _ρ 0 0 0

0 0 λ

0 0 λ

0 0 λ + 2 µ

0 0 0 O 6

µ 0 0

0 µ 0





























 .

Comme la densit´ e ρ et les coefficients de Lam´ e λ et µ varient en fonction de l’espace, les matrices A α , α ∈ {x,y,z} d´ ependent alors des variables spatiales, et l’´ equation (2.12) est donc non conservative.

2.3.1 Changement de variables

Afin d’´ ecrire l’´ equation (2.12) sous une forme conservative (ou pseudo-conservative), nous allons consid´ erer le changement de variables suivant :

~ σ ˜ = R ~ σ (2.13)

avec

R =

















1 3

1 3

1 2 3

3 − ¹ ₃ − ¹ ₃ O 3

− ¹ ₃ ² ₃ − ¹ ₃

O ³ I ³

















. (2.14)

En notant de mˆ eme X ~ ˜ = ~ v

~ ˜ σ

, l’´ equation (2.12) est ´ equivalente ` a :

Λ ∂ t X ~ ˜ = X

α∈{x,y,z}

∂ α

A ˜ ^α X ~ ˜

, (2.15)

avec

Λ = diag

ρ, ρ, ρ, 3

3 λ + 2 µ , 3 2 µ , 3

2 µ , 1 µ , 1

µ , 1 µ

, (2.16)

A ˜ ^x =































1 1 0 0 0 0

O ³ 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

1 0 0

2 0 0

−1 0 0

0 1 0 O 6

0 0 1

0 0 0































, (2.17)

A ˜ y =































0 0 0 1 0 0

O 3 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 1 0

0 −1 0

0 2 0

1 0 0 O 6

0 0 0

0 0 1































, (2.18)

et

A ˜ z =































0 0 0 0 1 0

O 3 0 0 0 0 0 1

1 −1 −1 0 0 0

0 0 1

0 0 −1

0 0 −1

0 0 0 O ⁶

1 0 0

0 1 0































. (2.19)

Ce changement de variables permet donc d’´ ecrire le syst` eme (2.12) sous une forme pseudo-conservative. Tous les coefficients caract´ erisant le milieu, et pouvant varier spatia- lement, sont group´ es dans le terme ` a gauche de l’´ equation (2.15), alors que les matrices A ˜ α , α ∈ {x,y,z} sont constantes.

Remarque 2.3.1 Le changement de variables ci-dessus est obtenu en ´ ecrivant le tenseur de contrainte sous la forme

σ = T + D o` u

T = tr (σ) 3 I 3

est un tenseur sph´ erique (ou de trace), et

D = σ − T est un tenseur d´ eviatorique.

2.3.2 Sym´ etrisation

Le syst` eme (2.15) n’est cependant pas sym´ etrique (dans le sens o` u les matrices ˜ A ^α ne

sont pas sym´ etriques), mais sym´ etrisable. Il est plus int´ eressant, comme nous le verrons

par la suite, de manipuler des matrices sym´ etriques. Nous allons donc chercher une matrice

sym´ etrique d´ efinie positive S 0 telle que, en multipliant ` a gauche l’´ equation (2.15) par S 0 ,

les matrices S ⁰ A ˜ ^α soient sym´ etriques. En remarquant que la non sym´ etrie de ces matrices

ne concerne que leurs 5 ^e et 6 ^e lignes et colonnes, alors un calcul simple montre qu’il suffit