Simulation numérique avancée

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Simulation numérique avancée

Franck Jourdan – LMGC -

jourdan@lmgc.univ-montp2.fr Franck Nicoud – I3M

franck.nicoud@univ-montp2.fr

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Simulation numérique avancée

1. Introduction

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Mise en garde

• Faussement appelé module optionnel bio-conception !!

• Ce module doit être vu comme un perfectionnement en mécanique numérique, utile en bio-conception, mais pas uniquement

• La bio-conception ne commencera en fait qu’en MI5 : Physiologie humaine & bio-compatibilité

Science du bois & impact environnemental Etude de cas en bio-conception

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Quelques domaines relevant de la bio-conception

• Conception pour le vivant

• Exemples: cœurs/valves artificiels, assistance

ventriculaire, respirateurs artificiels, analyseurs de sang, rein artificiel, filtration sanguine, endoprothèses artérielles, prothèses articulaires, matériels

orthopédiques …

• Conception avec le vivant

• Exemples: bois (et dérivés) comme matériau à faible impact environnemental (bâtiment, ameublement, emballage, …), vieillissement, pré-contraintres, traitement

• Aspects « tronique » et « bio » souvent mêlés (ex:

robotique médicale)

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Conception pour le vivant

Assistance ventriculaire

• Ce n’est pas un cœur artificiel

• Utilisé comme traitement à long terme ou pour aider les cœurs trop faibles à attendre une transplantation

• Plusieurs fabricants (Thoratec, MicroMed, HeartWare, Worldheart Inc. …)

• Plusieurs technologies

• D’énormes difficultés de mise au point

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Conception pour le vivant

Assistance ventriculaire

• Optimisation de forme pour les dispositifs artificiels de traitement des pathologies cardio-vasculaires

• Optimisation

• Multi-paramètres (systèmes complexes)

• Multi-critères (hydrodynamiques et rhéologiques)

• Multi-échelles (artère et globules rouges)

• Robuste (design adapté aux variabilités naturelles des patients)

• Approche numérique indispensable

SANG

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Conception pour le vivant

prothèses

• Optimisation de forme pour les prothèses

• Il faut minimiser les contraintes au niveau de l’ancrage avec l’os et/ou entre les implants

• Pas de mesure possible … mais beaucoup de confort pour le patient et de pérennité pour l’opération à gagner

Mâchoire

Genou Disque intervertébral

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• Un système très connu: la Joconde

• Exposé dans un caisson à température et hygrométrie contrôlées

• Que se passe-t-il en cas de panne ???

• Expérimentation impossible !!!

Conception avec du vivant

Le bois comme matériau

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• La modélisation numérique d’une panne est le seul recours

• Conclusion: une variation raisonnable d’hygrométrie non dangereuse pour l’intégrité du tableau

Conception avec du vivant

Le bois comme matériau

Maillage + chargement Energie de fissuration

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Simulation numérique avancée - MI4 10

Ce module

Simulation numérique avancée

• Rien que de très classique …

Des cours pour les notions qui ne s’inventent pas Matlab ® pour comprendre et apprendre

Ansys CFX pour manipuler

Cours→TD→TP + projet éventuel

• Orgnisation

MI4 – F. Jourdan + Nicoud 19,5 CM + 10,5 h TD + 21 TP

Partie fluide: en gros 5 séances CM + 5 séances TD + 7 séances TP TD en salle STX les 4, 11, 25/02 et 9/03 (2)

Première séance de TP le 21/02 en salle FdS

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Simulation numérique avancée pour Mécanique et Interactions

• Les équations qui régissent notre environnement mécanique sont bien trop complexes pour être résolu « à la main »

(analytiquement)

• Les expériences sont souvent très onéreuses et chronophages, parfois technologiquement impossibles. Elles s’accommodent mal des conditions dangereuses (peu de volontaires …)

• Le monde technologique évolue vite, forçant à une réduction du temps de développement des nouveaux produits qui doivent cependant être toujours plus optimisés

• La mécanique computationnelle (computational mechanics) est aujourd’hui incontournable. Google: plus de 6 000 000 de pages trouvées …

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Simulation numérique avancée pour Mécanique et Interactions

• Mécanique des Fluides

• Mécaniques des solides et des systèmes

• Couplage fluide-structure (autres couplages possibles avec de la chimie, de la radiation, de l’électromagnétisme, …)

• Chaque type de mécanique a ses propres équations, son propre formalisme et ses propres méthodes numériques privilégiées

• Peu d’ingénieurs/chercheurs compétents dans les deux aspects.

Sauf les futurs ingénieurs MI …

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Trois familles de méthodes

• Éléments finis

– Bien adaptés à la mécanique des solides – F. Jourdan

• Volume finis

– Bien adaptés à la mécanique des fluides – F. Nicoud

• Méthodes aux différences finies

– La plus simple des méthodes, bien pour analyser les erreurs – F. Nicoud

• En 1D, en général: EF = VF = DF

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Eléments finis en quelques mots

• A chaque instant, on cherche la solution de l’EDP sous la forme

• Les fonctions forment une base de l’espace de dimension N dans lequel on cherche à approximer la ‘vraie’ solution f par f_h.

• Les coefficients f_i sont déterminés en imposant à f_h d’être la

meilleure approximation de f dans l’espace de dimension N choisi.

∑

=

= ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(r r

φ

)

i(x φ r

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Éléments finis en quelques mots

• Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du maillage, nulle partout ailleurs

)

i(x φ r

Linéaire

1 0

Nulle

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Éléments finis en quelques mots

• On cherche à résoudre E(f)=0

• Avec l’approximation on commet une erreur E(f_h)

• La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur est orthogonale aux fonctions de forme

• N équations, N inconnues …

∑

=

= ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(r r

φ

)

i(x φ r

{

¹^,²^,...,

}

^, ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ⁰

1

=



 



∈ 

∀

∫ ∑

Ω =

x d x f

E x N

k

N

i

i i k

r r

r φ

φ





= +

∆ 0

:

ex λ

f K

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Différences finies

• Contrairement aux éléments finis, cette technique n’est pas adaptée aux maillages non cartésiens

• Mais elle est très intuitive

• Permet d’appréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux différentes méthodes

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Différences finies

• L’idée est de remplacer les dérivées partielles aux points de maillage par des développement de Taylor

• Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit f_i=f(x_i)

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

xi x

+1

xi x_i₊₂

−1

xi

−2

xi

−3

xi

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Volumes finis en quelques mots

• Plus intuitif que les éléments finis

• Plus local que les éléments finis

• Plus généralisable aux géométries complexes que les différences finies

• Permettent de bien reproduire les principes de conservation

• Montée en ordre pas évidente mais possible

• La classe de méthodes la plus utilisée en mécanique des fluides

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Equations

• Les écoulements fluides sont décrits par les équations de Navier- Stokes (sommation implicite sur les indices répétés)

• Elles traduisent la conservation de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie totale

•

+

= 0

•

+

= −

+

,

•

+

= −

−

+

=

+

= −

• Complétées par une loi d’état:

=rT

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Notion de flux

• L’opérateur différentiel qui apparait lorsque l’on exprime la conservation d’une quantité physique est la divergence

• Cet opérateur est appliqué à un vecteur, le vecteur flux de la quantité considérée:

3 → 3

3 → 3 + 56 −

37 → 3 7 + 5/3 + +

• Flux d’origine non-visqueuse + flux d’origine visqueuse

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Convection-diffusion

• A quelques « détails » près, les équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie peuvent être vues comme:

9

+ div ;9 = div <=9

• En 1D, il s’agit de l’équation de convection-diffusion pour la variable scalaire 9

9

+ 9

=

< 9

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Plan général – partie fluide

1. Introduction

2. Principe des volumes finis

3. Schémas évolués pour la convection 4. Analyse d’erreur et stabilité

5. Passage aux équations de Navier-Stokes en 2D/3D