Chapitre n°4 : « Angles, caractérisation du Chapitre n°4 : « Angles, caractérisation du
parallélisme » parallélisme »
I.
I. Reproduire un angle ; rappels Reproduire un angle ; rappels
1/ 1/ Mesurer un angle Mesurer un angle
(Voir fiche d'exercices)
2/
2/ Construire un angle de mesure donnée Construire un angle de mesure donnée
Construire les angles suivants : ACB=57° et EFJ=123°
Méthode Méthode
• On trace une demi-droite ; son origine est le sommet de l'angle.
• On place le centre du rapporteur sur l'origine de la demi-droite et le zéro d'une graduation au niveau de cette même demi-droite.
• On trace une deuxième demi-droite passant par la graduation correspondant à la mesure de l'angle.
3/
3/ Reproduire un angle Reproduire un angle
II.
II. Propriétés sur les paires d'angles Propriétés sur les paires d'angles
1/
1/ Angles opposés par le sommet Angles opposés par le sommet
Activité Activité
Les angles suivants ne sont pas opposés par le sommet.
L'angle suivant est opposé par le sommet.
Définitions Définitions
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et sont symétriques par rapport à ce sommet.
Représentation Représentation
Il suffit de tracer deux droites sécantes. Elles définissent deux paires d'angles opposés par le sommet.
Propriété Propriété
Des angles opposés par le sommet sont de la même mesure.
2/ 2/ Angles adjacents Angles adjacents
Activité Activité
• Ces deux angles ne sont pas adjacents car ils n'ont pas le même sommet.
• Ces deux angles sont adjacents : ils ont le même sommet et un côté en commun.
• Ces deux angles ne sont pas adjacents car l'un contient l'autre.
Définition Définition
Deux angles sont adjacents si :
• ils ont le même sommet ;
• ils ont un côté en commun ;
• ils sont situés de part et d'autre du côté en commun.
Exemple Exemple
LOM et MON sont adjacents car :
• O est le sommet commun ;
• [OM est le côté commun ;
• les deux angles sont « distincts » (pas l'un dans l'autre).
3/
3/ Angles complémentaires Angles complémentaires
Définition Définition
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.
Exemple Exemple
Les angles ci-contre IEJ et KHL sont complémentaires car 3456=90°.
Autres exemples Autres exemples
• ABD=36° et EFR=54° sont complémentaires car 3654=90 .
• FRT=46° et GHJ=45° ne sont pas complémentaires car 4645≠90.
• Les angles A ' BA et C ' DC sont complémentaires car la somme de leurs mesures est
4149=90 .
Cas particulier : angles adjacents formant un angle droit Cas particulier : angles adjacents formant un angle droit Propriété
Propriété
Deux angles adjacents qui forment un angle droit sont complémentaires.
Exemple Exemple
Dans la figure ci-contre : EOF et GOF sont adjacents car O est le sommet en commun, [OF est le côté en
commun et ils sont de part et d'autre de ce côté [OF ; l'ensemble des deux angles EOF et GOF forment l'angle droit EOG.
On a donc EOFGOF=90°.
Application Application
Dans la figure ci-contre, on peut calculer BIC :
BIC=90–55=45° car BIC et BIA sont complémentaires.
Les angles AIB et BIC sont adjacents car :
• I est le sommet commun ;
• [IB est le côté commun ;
• les angles sont de part et autre de [IB.
AIB et BIC forment l'angle droit AIC ; ils sont donc complémentaires . On a donc : BIC=90–55=25° .
4/ 4/ Angles supplémentaires Angles supplémentaires
Définition Définition
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Exemple Exemple
ABC et DEF sont supplémentaires car 10278=180°
Propriété Propriété
Deux angles adjacents formant un angle plat sont supplémentaires.
Exemple Exemple
Si BCD et DCA sont adjacents et forment un angle plat et si BCD=53° alors
DCA=180–53=127°.
5/
5/ Angles alternes-internes Angles alternes-internes
Activité Activité A l'oral....
Description de la configuration Description de la configuration
Les deux droites d1 et d2 définissent une zone interne et une zone externe.
Lorsqu'on trace la sécante, elle coupe d1 et d2 ; on va « alterner » par rapport à cette troisième droite.
Alterner par rapport à la droite rouge c'est « être d'un côté puis de l'autre ».
Définition (à comprendre sans apprendre) Définition (à comprendre sans apprendre)
Deux angles alternes-internes sont deux angles de part et d'autre de la sécante qui sont situés dans la zone interne mais qui ne sont pas adjacents.
Exemple Exemple
Les droites JK et IH coupées par la sécante KH forment des angles alternes- internes : JKH et KHL.
Propriété Propriété
Deux droites parallèles et une sécante définissent des angles alternes-internes de même mesure.
6/ 6/ Angles correspondants Angles correspondants
Définition (à comprendre sans apprendre) Définition (à comprendre sans apprendre) On considère deux droites d1, d2 et une sécante.
Des angles correspondants vérifient les critères suivants :
• l'un est dans la zone interne, l'autre dans la zone externe ;
• ils sont du même côté de la sécante ;
• ils ne sont pas adjacents.
Propriété Propriété
Deux droites parallèles et une sécante définissent des angles correspondants de même mesure.
III.
III. Réciproques Réciproques
Propriétés réciproques Propriétés réciproques
• Si deux droites d1 et d2 et une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure alors d1 est parallèle à d2.
• Si deux droites d1 et d2 et une sécante forment des angles correspondants de même mesure alors d1 est parallèle à d2
IV.
IV. Exemple de cours Exemple de cours
• Angles opposés par le sommet : ACE et DCF ; ACD et ECF.
• Angles adjacents : ADC et CDF.
• Angles adjacents complémentaires (ou qui forment un angle droit) :
GAC et CAD.
• Angles adjacents supplémentaires (ou qui forment un angle plat) :
ACE et ECF
