D253 - Deux pentagones et leur sommet commun [** à la main]
On trace un pentagone régulier ABCDE et un deuxième pentagone régulier CFGHI qui a un sommet commun C avec le premier. L'angle BCF est quelconque et l'on trace les deux segments de droite AH et EG qui se coupent en un point J. Calculer l'angle AJG.
Solution
On désigne par J’ le point d’intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones ABCDE et CFGHI.
Comme ABCDE est un pentagone régulier, l’angle AJ’E qui sous-tend la corde AE mesure 36° et l’angle AJ’C qui sous-tend la corde AC est égal à 72°. De la même manière CFGHI étant un pentagone régulier,les angles CJ’G et GJ’H valent respectivement 72° et 36°. Il en résulte que A,J’ et H sont alignés, la somme des angles en J’ valant 180°. Il en est de même des points E,J’ et G. Le point de rencontre J de AH et EG est donc confondu avec J’.
L’angle AJG vaut donc 144° quelle que soit la valeur de l’angle BCF.
