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Projet informatique

La m´ ethode de Runge-Kutta dans la simulation du pendule math´ ematique

sujet propos´e par H. Chen ([email protected]), encadr´e par A. Hersant ([email protected])

On consid`ere une tige impond´erable de longueur 𝑙 >0, suspendue par une extr´emit´e et portant `a son autre extr´emit´e un point de masse 𝑚. On d´esigne par 𝜃 l’angle d’´ecart par rapport `a la verticale. D’apr`es les lois de la m´ecanique, lorsque ∣𝜃(𝑡)∣<

𝜋/2, l’acc´el´eration angulaire 𝜃^′′(𝑡) du pendule est proportionnelle au moment de son poids. Plus pr´ecis´ement, on a

𝜃^′′(𝑡) =−𝑔

𝑙 sin(𝜃(𝑡)).

On suppose qu’au temps initial𝑡= 0, la position du pendule est verticale (𝜃(0) = 0) et la vitesse angulaire 𝜃^′(0) est 𝑣₀. Nous allons ´etudier la r´esolution num´erique du probl`eme de Cauchy (o`u on note 𝑘=𝑔/𝑙) :

{𝜃^′′(𝑡) =−𝑘sin(𝜃(𝑡)),

𝜃(0) = 0, 𝜃^′(0) =𝑣₀. (1)

I. Quelques r´eductions 1. Soit 𝜃(𝑡) =˜ 𝜃(𝑡/√

𝑘). Montrer que 𝜃(𝑡) v´˜ erifie l’´equation {

˜𝜃^′′(𝑡) =−sin(𝜃(𝑡)),˜

˜𝜃(0) = 0, 𝜃˜^′(0) =𝑣₀/√

𝑘. (2)

2. On note𝑣₁ =𝑣₀/√

𝑘. Pour tout𝑡∈ℝ, soit𝑦(𝑡) = (˜𝜃(𝑡),𝜃˜^′(𝑡)). Soit𝑓 :ℝ² →ℝ² l’application telle que 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂) = (𝑥₂,−sin𝑥₁). V´erifier que 𝑦(𝑡) satisfait `a l’´equation

{𝑦^′(𝑡) = 𝑓(𝑦(𝑡)),

𝑦(0) = (0, 𝑣₁). (3)

II. ´Etude g´en´eral des m´ethodes `a un pas

On consid`ere le probl`eme de Cauchy suivant sur l’intervalle [0, 𝑇] : {𝑦^′(𝑡) =𝑔(𝑡, 𝑦(𝑡)),

𝑦(0) =𝑦₀, (4)

o`u 𝑔 : [0, 𝑇]×ℝ<sup>𝑛</sup> →ℝ<sup>𝑛</sup> est une fonction suffisamment r´eguli`ere. On se donne une subdivision

0 =𝑡₀ < 𝑡₁ <⋅ ⋅ ⋅< 𝑡_𝑁 =𝑇

de l’intervalle [0, 𝑇] et on pose ℎ𝑛 =𝑡𝑛+1−𝑡𝑛 (0≤𝑛 < 𝑁). Les m´ethodes `a un pas sont des m´ethodes de r´esolution num´erique du probl`eme de Cauchy (4) qui peuvent s’´ecrire sous la forme

𝑦𝑛+1 =𝑦𝑛+ℎ𝑛Φ(𝑡𝑛, 𝑦𝑛, ℎ𝑛), (0≤𝑛 < 𝑁),

o`u Φ : [0, 𝑇]×ℝ^𝑛×ℝ → ℝ^𝑛 est une fonction que l’on pr´ecisera. On approchera 𝑦(𝑡_𝑛) par 𝑦_𝑛.

Si 𝑧 : [0, 𝑇] → ℝ est une solution de l’equation diff´erentielle 𝑧^′ = 𝑔(𝑡, 𝑧), on appelle erreur de consistance `a l’´etape 𝑛 et on note 𝜀_𝑛(𝑧) la valeur

𝑧(𝑡_𝑛+1)−𝑧(𝑡_𝑛)−ℎ_𝑛Φ(𝑡_𝑛, 𝑧(𝑡_𝑛), ℎ_𝑛).

On dit qu’une m´ethode `a un pas est d’ordre 𝑝 si, pour toute fonction 𝑧 sur [0, 𝑇] v´erifiant l’´equation 𝑧^′ =𝑔(𝑡, 𝑧), il existe une constante 𝐶(𝑧)≥0 telle que

∣𝜀𝑛(𝑧)∣ ≤𝐶(𝑧)ℎ^𝑝+1_𝑛 , ∀0≤𝑛 < 𝑁.

III. Sch´ema d’Euler

1. Montrer que, si 𝑧 est une solution de l’´equation 𝑧^′ = 𝑔(𝑡, 𝑧) sur [0, 𝑇], alors pour tout 0≤𝑛 < 𝑁, on a

𝑧(𝑡_𝑛+1) = 𝑧(𝑡_𝑛) +

∫ 𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

𝑔(𝑠, 𝑧(𝑠))𝑑𝑠. (5)

Revenons sur le probl`eme de Cauchy (4). Le sch´ema d’Euler consiste `a appro- cher, pour 𝑠 ∈]𝑡_𝑛, 𝑡_𝑛+1[, la valeur 𝑔(𝑠, 𝑦(𝑠)) par 𝑔(𝑡_𝑛, 𝑦(𝑡_𝑛)). On obtient donc par r´ecurrence, une approximation 𝑦_𝑛 de 𝑦(𝑡_𝑛) :

𝑦_𝑛+1 =𝑦_𝑛+ℎ_𝑛𝑔(𝑡_𝑛, 𝑦_𝑛), 𝑛= 0,1,⋅ ⋅ ⋅ , 𝑁 −1.

C’est un cas particulier de m´ethode `a un pas avec Φ(𝑡, 𝑦, ℎ) =𝑔(𝑡, 𝑦).

2. ´Ecrire un programme qui r´esout num´eriquement l’´equation (3) sur [0,8𝜋] avec 𝑣₁ = 1 en utilisant le sch´ema d’Euler. On prendra la subdivision uniforme (𝑡_𝑛 = 8𝜋𝑛/𝑁) pour 𝑁 = 1000, 2000 et 10000 respectivement et on dessinera les trois courbes de la premi`ere coordonn´ee de 𝑦(𝑡) simul´ee dans le mˆeme graphe. Commenter le graphe obtenu.

3. Supposons que 𝑧 = (𝑧₁, 𝑧₂) : [0, 𝑇] → ℝ² est une soluation de l’´equation 𝑧^′ =𝑓(𝑧) sur [0, 𝑇].

1) Montrer que ∣𝜀_𝑛(𝑧)∣est major´ee par (Indication : penser `a utiliser l’´egalit´e (5))

ℎ_𝑛

∫ 𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

∣𝑧^′′(𝑠)∣𝑑𝑠.

2) Exprimer 𝑧^′′(𝑡) en fonction de 𝑧(𝑡). Montrer que pour tout 𝑡∈ℝ,∣𝑧₂(𝑡)∣ ≤

∣𝑧₂(0)∣et trouver une majoration de ∣𝜀_𝑛(𝑧)∣ en fonction de∣𝑧₂(0)∣ et deℎ_𝑛. En d´eduire que le sch´ema d’Euler est une m´ethode d’ordre 1.

IV. M´ethode de Runge-Kutta : partie th´eorique

On prend les notations introduites dans la partie II. L’id´ee des m´ethodes de Runge-Kutta est de calculer par r´ecurrence les points (𝑡_𝑛, 𝑦_𝑛) en utilisant des points interm´ediaires (𝑡_𝑛,𝑖, 𝑦_𝑛,𝑖) avec 𝑡_𝑛,𝑖 =𝑡_𝑛+𝑐_𝑖ℎ_𝑛 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑞, 𝑐_𝑖 ∈ [0,1]). `A chacun de ces points interm´ediaires, on associe le poids correspondant

𝑝_𝑛,𝑖=𝑔(𝑡_𝑛,𝑖, 𝑦_𝑛,𝑖).

Comme on a d´emontr´e dans la partie III, si 𝑧 est une solution de l’´equation 𝑧^′ = 𝑔(𝑡, 𝑧) sur [0, 𝑇], alors on a l’´egalit´e

𝑧(𝑡_𝑛,𝑖) = 𝑧(𝑡_𝑛) +

∫ 𝑡𝑛,𝑖

𝑡𝑛

𝑔(𝑠, 𝑧(𝑠))𝑑𝑠.

D’apr`es un changement de variable 𝑡=𝑡_𝑛+𝑢ℎ_𝑛, on obtient 𝑧(𝑡_𝑛,𝑖) =𝑧(𝑡_𝑛) +ℎ_𝑛

∫ 𝑐𝑖

0

𝑔(𝑡_𝑛+𝑢ℎ_𝑛, 𝑧(𝑡_𝑛+𝑢ℎ_𝑛))𝑑𝑢. (6) De mˆeme, on a

𝑧(𝑡_𝑛+1) =𝑧(𝑡_𝑛) +ℎ_𝑛

∫ 1 0

𝑔(𝑡_𝑛+𝑢ℎ_𝑛, 𝑧(𝑡_𝑛+𝑢ℎ_𝑛))𝑑𝑢. (7)

On se donne pour chaque 𝑖= 1,2,⋅ ⋅ ⋅, 𝑞 des nombres (𝑎_𝑖𝑗)1≤𝑗<𝑖 et (𝑏_𝑗)1≤𝑗≤𝑞 tels que

∫ 𝑐𝑖

0

𝜑(𝑢)𝑑𝑢≃ ∑

1≤𝑗<𝑖

𝑎_𝑖𝑗𝜑(𝑐_𝑗), (8)

∫ 1 0

𝜑(𝑢)𝑑𝑢≃ ∑

1≤𝑗≤𝑞

𝑏_𝑗𝜑(𝑐_𝑗). (9)

On supposera toujours que la condition suivante est v´erifi´ee : 𝑐_𝑖 = ∑

1≤𝑗<𝑖

𝑎_𝑖𝑗 ∀1≤𝑖≤𝑞 et ∑

1≤𝑗≤𝑞

𝑏_𝑗 = 1 (10)

C’est aussi ´equivalent `a dire que les formules approximatives (8) et (9) sont des

´egalit´es lorsque 𝜑≡1. En appliquant ces int´egrations approch´ees `a (6) et `a (7), on obtient

𝑧(𝑡𝑛,𝑖)≃𝑧(𝑡𝑛) +ℎ𝑛

∑

1≤𝑗<𝑖

𝑎𝑖𝑗𝑔(𝑡𝑛,𝑗, 𝑧(𝑡𝑛,𝑗)), 𝑧(𝑡_𝑛+1)≃𝑧(𝑡_𝑛) +ℎ_𝑛 ∑

1≤𝑗≤𝑞

𝑏_𝑗𝑔(𝑡_𝑛,𝑗, 𝑧(𝑡_𝑛,𝑗)).

La m´ethode de Runge-Kutta correspondante est donc

⎧









⎨









⎩

𝑡_𝑛,𝑖 =𝑡_𝑛+𝑐_𝑖ℎ_𝑛, 𝑦_𝑛,𝑖=𝑦_𝑛+ℎ_𝑛 ∑

1≤𝑗<𝑖

𝑎_𝑖𝑗𝑝_𝑛,𝑗, 𝑝_𝑛,𝑖=𝑔(𝑡_𝑛,𝑖, 𝑦_𝑛,𝑖),

𝑡_𝑛+1 =𝑡_𝑛+ℎ_𝑛, 𝑦_𝑛+1 =𝑦_𝑛+ℎ_𝑛 ∑

1≤𝑗≤𝑞

𝑏_𝑗𝑝_𝑛,𝑗.

Conventionnellement on pr´esente les param`etres de la m´ethode de Runge-Kutta dans un tableau

𝑐₁ 𝑐2 𝑎2,1

𝑐₃ 𝑎_3,1 𝑎_2,2 ... ... ... . ..

𝑐_𝑞 𝑎_𝑞,1 𝑎_𝑞,2 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝑞,𝑞−1

𝑏₁ 𝑏₂ ⋅ ⋅ ⋅ 𝑏𝑞−1 𝑏_𝑞

Les m´ethodes de Runge-Kutta sont des cas particuliers de m´ethode `a un pas. En effet, on a

𝑦_𝑛+1 =𝑦_𝑛+ℎ_𝑛Φ(𝑡_𝑛, 𝑦_𝑛, ℎ_𝑛),

o`u Φ(𝑡_𝑛, 𝑦_𝑛, ℎ_𝑛) =

𝑞

∑

𝑗=1

𝑏_𝑗𝑝_𝑛,𝑗. La fonction Φ est d´efinie explicitement par la formule suivante :

⎧



⎨



⎩

Φ(𝑡, 𝑦, ℎ) =

𝑞

∑

𝑗=1

𝑏_𝑗𝑓(𝑡+𝑐_𝑗ℎ, 𝑦_𝑗), 𝑦_𝑖 =𝑦+ℎ ∑

1≤𝑗<𝑖

𝑎_𝑖𝑗𝑓(𝑡+𝑐_𝑗ℎ, 𝑦_𝑗), 1≤𝑖≤𝑞.

1. Montrer que le sch´ema d’Euler est un cas particulier de m´ethode de Runge- Kutta en pr´ecisant ses param`etres.

2. Montrer que les m´ethodes de Runge-Kutta sont automatiquement d’ordre 1.

3. Montrer que la m´ethode de Runge-Kutta est d’ordre 2 si et seulement si

𝑞

∑

𝑗=1

𝑏_𝑗𝑐_𝑗 = 1/2.

4. Proposer une m´ethode de Runge-Kutta d’ordre 2 avec 𝑞 = 2.

V. M´ethode de Runge-Kutta : partie num´erique

La m´ethode de Runge-Kutta “classique ” correspond aux param`etres suivants :

𝑞= 4,

0

1 2

1 2 1 2 0 ¹₂ 1 0 0 1

1 6

1 3

1 3

1 6

(11)

Les int´egrations approch´ees correspondantes sont

∫ ¹₂

0

𝜑(𝑡)𝑑𝑡 ≃ 1

2𝜑(0), rectangle `a gauche,

∫ ¹₂

0

𝜑(𝑡)𝑑𝑡 ≃ 1 2𝜑(1

2 )

, rectangle `a droite,

∫ 1 0

𝜑(𝑡)𝑑𝑡≃𝜑(1 2

)

, point milieu,

∫ 1 0

𝜑(𝑡)𝑑𝑡≃ 1

6𝜑(0) + 1 3𝜑(1

2 )

+1 3𝜑(1

2 )

+1

6𝜑(1), m´ethode de Simpson.

Cette m´ethode est d’ordre 4.

Ecrire un programme qui r´´ esout num´eriquement l’´equation (3) sur [0,8𝜋] avec 𝑣₁ = 1 en utilisant la m´ethode de Runge-Kutta “classique”. On prendra la subdivi- sion uniforme avec𝑁 = 100 et on dessinera la courbe de la premi`ere coordonn´ee de 𝑦(𝑡) sur le graphe que l’on a obtenu dans l’´etape III.2. Commenter sur le nouveau graphe obtenu.

VI. Mod´elisation du pendule math´ematique

On consid`ere d’abord un pendule simple de longeur𝑙 = 1𝑚 et de poids 𝑚= 1𝑘𝑔.

On suppose que l’acc´el´eration due `a la pesanteur est 𝑔 = 9.8𝑚𝑠<sup>−2</sup>, que l’´elongation angulaire initiale𝜃(0) = 0et que la vitesse angulaire initiale est𝜃<sup>′</sup>(0) = 0.3𝑠<sup>−1</sup>. Dans la suite, on cherche `a utiliser le programme construits dans l’´etape V pour simuler la m´ecanique du pendule. On pendra la subdivision uniforme avec 𝑁 = 1000.

1. Simuler l’´elongation et la vitesse angulaires du pendule pendant les premi`eres 100 secondes. On dessinera les deux courbes dans le mˆeme graphe.

2. On rappelle que l’´energie cin´etique (resp. l’´energie potentielle de pesanteur) du pendule est par d´efinition 𝐸𝑐(𝑡) = ¹₂𝑚𝑣(𝑡)² = ¹₂𝑚𝑙²𝜃^′(𝑡)² (resp. 𝐸𝑝(𝑡) = 𝑚𝑔𝑙(1−cos𝜃(𝑡))). Montrer que l’´energie totale 𝐸(𝑡) = 𝐸_𝑐(𝑡) +𝐸_𝑝(𝑡) est une constante. Simuler l’´energie cin´etique, l’´energie potentielle de pesanteur et l’´energie totale du pendule pendant les premi`eres 100 secondes dans le mˆeme graphe.

On suppose maintenant que le pendule est soumis `a une force de frottement fluide (visqueux), ou de fa¸con ´equivalente, est amorti. L’´equation diff´erentielle de l’´elongation angulaire devient donc

𝜃^′′(𝑡) = −𝑔

𝑙 sin(𝜃(𝑡))−𝜆𝜃^′(𝑡),

o`u 𝜆 >0 est la constante de viscosit´e. On suppose d´esomais 𝜆= 0.1.

3. ´Ecrire un programme qui simule l’´elongation et la vitesse angulaires du pendule amorti pendant les premi`eres 100 secondes. On utilisera la m´ethode de Runge- Kutta “classique” en prenant la subdivision uniforme avec 𝑁 = 1000.

4. En utilisant le programme obtenu dans l’´etape pr´ec´edent, simuler l’´energie cin´etique, l’´energie potentielle de pesanteur et l’´energie totale du pendule amorti pendant les premi`eres 100 secondes.

VII. R´edaction

Les ´etudiants r´edigent un rapport selon les indications comme ci-dessus. Le rap- port doit contenir une description de la m´ethode de Runge-Kutta, la d´emonstration de la convergence, et les r´esultats num´eriques. L’application de la m´ethode num´erique

`

a une ´equation autre que celle du pendule sera appr´eci´ee.

R´ef´erence : J.-P. Demailly,Analyse num´erique et ´equations diff´erentielles, Manuel pour le Second Cycle de Math´ematiques, Presses Universitaires de Grenoble, 3e ´ed.

f´ev. 2006, 344 pages.