Algorithmique IN102-01

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Algorithmique IN102-01

Michel Mauny

ENSTA

Pr´[email protected]

Michel Mauny (ENSTA) Algorithmique IN102-01 Pr´[email protected] 1 / 1

1 Pr´eliminaires Organisation

´Evaluation, supports de cours Objectifs

2 Cours 1 – Notions de complexit´e Algorithmes et mesures de complexit´e Suite de Fibonacci

Algorithmes de tri Efficacit´e

Groupes

Deux types de groupes : Groupes«A»et«B»

Mêmes exigences, même évaluation Seuls les TD/PC diffèrent

Les groupes B1,2(resp. B3,4) dans des salles attenantes

Programme

02/12 Complexit´e [PC]

09/12 Structures de donn´ees simples 16/12 Recherche en table [PC]

— —

— — 06/01 Arbres 13/01 Graphes

20/01 Analyse syntaxique [PC]

27/01 Contrˆole

Evaluation, supports de cours ´

Contrˆole de 3 heures le 27 janvier 2006

petits exercices (fonctions de 10 lignes — voir `a la fin du poly) documents de cours autoris´es

Supports de cours

Poly de Guillaume Poupard Planches

Sujets de PC/TP

Page web `ahttp://www.mauny.net/cours/ensta/algo/

Objectifs

Motivation : prendre du recul par rapport `a la programmation identification du probl`eme

recherche d’un algorithme analyse de complexit´e mise en œuvre

D´efinition du terme«algorithme»

Suite d’opérations élémentaires constituant un schéma de calcul ou de résolution d’un problème

(Petit Larousse)

Complexit´ e d’algorithmes

But : mesurer l’efficacitéintrinsèqued’un algorithme en fonction de la taille des données à traiter

par dénombrement d’opérations élémentaires représentatives mesure asymptotique

complexit´e dans le cas le pire ou en moyenne complexit´e temporelle ou spatiale

Exemple classique : le tri

But : trier un tableau denentiers d´enombrement des comparaisons

performance des algorithmes ´el´ementaires :«de l’ordre de»n² comparaisons

algorithmes plus sophistiqu´es font passer den²`an×log(n)

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Notations de complexit´ e

D´efinitions :

f(n) =O(g(n))ssi0≤f(n)≤c×g(n) f(n) = Θ(g(n))ssic×g(n)≤f(n)≤c⁰×g(n) Exemples :

n²+ 3n+ 1 = Θ(n²) = Θ(50n²+ 12345) n/ln(n) =O(n)

50n¹⁰=O(n^10,01) 2ⁿ=O(exp(n)) exp(n) =O(n!)

Hi´ erarchie de fonctions

On peut ´etablir une hi´erarchie entre les fonctions usuelles : log(n)√

nnn²n³2ⁿexp(n)n!

log(n) 3,3 6,6 10

p(n) 3,1 10 32

n 10 100 1000

n×log(n) 33 664 10⁴

n² 100 10⁴ 10⁶

n³ 10³ 10⁶ 10⁹

2ⁿ 10³ 10³⁰ 10³⁰⁰

exp(n) 2×10⁴ 10⁴³ 10⁴³⁴

n! 3,6×10⁶ 10¹⁵⁸ 10²⁵⁶⁸

Note : nombre de particules dans l’univers≈10⁸⁰.

Suite de Fibonacci, version 1

F0=F1= 1

Fn=Fn−1+Fn−2sin >1 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . Code r´ecursif en C

intfibo1(intn){ if (n≤1)

return1;

else

returnfibo1(n−1)+fibo1(n−2);

}

Complexit´e :Θ(((1 +√ 5)/2)ⁿ)

Suite de Fibonacci, version 1

Calcul deF5

.....................

........

......

K F0

F1

F2

.....................

........

......

K

.....................

........

......

K

F0

F1

F2

F3

F1

@

@@ I

.....................

........

......

K

.....................

........

......

K *

H H H H Y F4

F1 F0

F2 F1

F5

F3

Complexit´e :Θ(((1 +√ 5)/2)ⁿ)

Suite de Fibonacci, version 2

Calcul deF8

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8

1 1 2 3 5 8 13 21 34

Complexit´eΘ(n) Complexit´e spatialeΘ(n)

Suite de Fibonacci, version 2

Code it´eratif en C, avec tableau auxiliaire

intfibo2(intn){ int∗t;inti,intres;

t=newint[n+1];

t[0] = 1;t[1] = 1;

for(i=2;i≤n;i++) t[i] =t[i−1]+t[i−2];

res=t[n];free(t);

returnres;

}

Complexit´eΘ(n) Complexit´e spatialeΘ(n)

Suite de Fibonacci, version 3

Calcul deF8 -

- -

1 1 2

F2 F3 F4

2 3 5

1 2 3 F5 F6 F7 F8

8 13 21 34

3 5

F4

Complexit´eΘ(n)

Complexit´e spatialeΘ(1)(constante)

Suite de Fibonacci, version 3

Code it´eratif en C, espace constant

intfibo3(intn){ intf1,f2,t,i;

f1=1;f2=1;

for(i=2;i≤n;i++){ t=f2;f2=f1+f2;f1=t;

} returnf2; }

Complexit´eΘ(n)

Complexit´e spatialeΘ(1)(constante)

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Suite de Fibonnacci, version 4

Fn+1 = 1×Fn+ 1×F_n−1 Fn = 1×Fn+ 0×F_n−1

Fn

F_n−1

= 1 1

1 0

× F_n−1

F_n−2

= 1 1

1 0 n−1

× F1

F0

On se ramène à un problème«d’exponentiation matricielle»(voir PC)

Complexit´e :Θ(log(n))

Complexit´e spatiale :Θ(1)(constante)

Pratique et th´ eorie sont d’accord

Temps de calcul

n 40 5.10⁷ 2.10⁸ 2.10⁹ fibo1(n) 31 s calcul irr´ealisable fibo2(n) 0 s 18 s erreur d’ex´ecution fibo3(n) 0 s 4 s 19 s 3 min 15 s fibo4(n) 0 s 0 s 0 s 0 s

Le tri

But : trier un tableau denéléments (entiers, par exemple) Dénombrement de comparaisons

Algorithmes ´el´ementaires enO(n²)

Algorithmes plus sophistiqu´es font passer deO(n²)`aO(n×log(n))

Tri par insertion

Tri du tableautabdenentiers

voidtriInsertion(int∗tab,intn){ inti,j,clef;

for(i=1;i<n;i++){ clef=tab[i];j=i−1;

while( (j≥0) && (tab[j]>clef) ){ tab[j+1] =tab[j];j=j−1;} tab[j+1]=clef;}

}

L’élément au rangkest rangé parmi sesk−1prédécesseurs.

ComplexitéΘ(n²)dans le cas le pire : tableau inversement trié ComplexitéΘ(n²)en moyenne.

Le tri par fusion

Diviser,(diviser, (...), et fusionner), et fusionner

......

R

.. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .

.. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .......

R

@

@@R

.. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .

.. .. . .. . .. .. . .. . .. .. ...... .

R

......

R

@

@ R

Tri r´ecursif ... ...

...

Fusion r (p+r)/2 p

p r

Tri par fusion

Tri du tableautabentre les indicespetr

voidtriFusion(int∗tab,intp,r){ if (p<r){

intq= (p+r)/2;

triFusion(tab,p,q);

triFusion(tab,q+1,r);

fusion(tab,p,q,r);

}

Tri rapide (quicksort)

Quicksort : tri r´ecursif bas´e sur un partitionnement.

Tri du tableautabentre les indicespetr

voidtriRapide(int∗tab,intp,r){ if (p<r){

intq=partitionner(tab,p,r);

triRapide(tab,p,q−1);

triRapide(tab,q+1,r);

}

Complexit´e dans le cas le pire :Θ(n²) Complexit´e en moyenne :Θ(n×log(n))

Complexit´ e compar´ ee

Algorithme Cas le pire En moyenne Tri par insertion

Tri `a bulle Θ(n²) Θ(n²)

Tri rapide Θ(n²) Θ(n×log(n)) Tri par fusion Θ(n×log(n)) Θ(n×log(n))

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Th´ eorie et pratique sont d’accord

Temps de calcul :

Th´ eorie et pratique sont d’accord

Th´ eorie et pratique. . .

Exemple : produit matriciel

But : multiplier 2 matricesn×n

Dénombrement des additions et multiplications entre éléments de base Algorithmes élémentaires enO(n³)

Algorithmes tr`es sophistiqu´es enO(n^2,376)

Qu’est-ce qu’un algorithme efficace ?

Complexité en moyenne Complexité dans le pire des cas Facilité de mise en œuvre Efficacité en pratique Algorithmes hybrides