Chapitre 1: second degré et problèmes Page 1
Chapitre 1 : Second degré et Problèmes
Objectifs :
*Connaitre la définition d’une fonction polynôme de degré 2 et de son discriminant.
* Savoir ce qu’est une forme canonique et quand l’utiliser.
*Connaitre les variations d’une fonction polynôme.
*Savoir résoudre les équations du second degré.
*Savoir étudier le signe d’une fonction polynôme de degré 2.
I. Fonction polynôme de degré 2
Définition : On appelle discriminant du trinôme , le nombre réel, noté , égal à .
II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2
Propriété 1 : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur R par , avec peut s'écrire sous la forme : , où et sont deux nombres réels avec
et
. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.
Démonstration et étude des extremums:
Pour tous réels x,
Propriété 2: Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par , avec .
- Si , f admet un minimum pour . Ce minimum est égal à . - Si , f admet un maximum pour . Ce maximum est égal à .
Chapitre 1: second degré et problèmes Page 2 Remarque : Soit la fonction f définie sur R par : , avec
Si a0:
Si a0:
Remarque : Dans un repère orthogonal (O,I,J), la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M( ; ) est le sommet de la parabole. La parabole possède un axe de symétrie : la droite d'équation .
Exercices : 11à16p24 Hyperbole ES/L 2011 Nathan III. Factorisation d'un trinôme
Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par - Si = 0 : Pour tout réel x, on a : .
- Si > 0 : Pour tout réel x, on a : . Remarque : Si < 0, il n’y a pas de forme factorisée de f.
Exercices : 17à22p24+23,25,26,28p25 Hyperbole ES/L 2011 Nathan IV. Résolution d'une équation du second degré
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme où a, b et c sont des réels avec . Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme .
Résolution de :
Si Si x
f
x f
Chapitre 1: second degré et problèmes Page 3 Propriété : Soit le discriminant du trinôme .
- Si : L'équation n'a pas de solution réelle.
- Si : L'équation a une unique solution :
.
- Si : L'équation a deux solutions distinctes : et .
Exercices :29à35p26 Hyperbole ES/L 2011 Nathan V. Signe d'un trinôme
Exemple : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par
On sait que les variations de f dépendent de a. On a donc une 6 des représentations suivantes pour f :
cas1 :
cas2 :
cas3:
1) A côté de chaque cas, indiquer graphiquement combien de solutions l’équation f(x)=0 admet de solutions.
2) A côté de chaque cas, indiquer le signe de d’après les réponses au 1.
3) A côté de chaque cas, indiquer le signe de f (pour les 2 « sous cas ») a > 0
a < 0
a > 0
a < 0
a > 0
a < 0
Chapitre 1: second degré et problèmes Page 4 Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par
Si < 0 :
Si = 0 :
- Si > 0 :
x
f(x) Signe de a O Signe de –a O Signe de a
Exercices :38à41p26+42à50p27+55p29+56à60p30+61,62p31+76p34+ 82p35Hyperbole ES/L 2011 Nathan
Exercices supplémentaires : p16,19,21à23+24,27p25+36,37p26+p32,33 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
x
f(x) Signe de a
x x0
f(x) Signe de a 0 Signe de a
a > 0
a < 0
a > 0
a < 0
a > 0
a < 0
