153 Pondichéry juin 2000
Dans tout l’exercice,ndésigne un entier naturel non nul.
1.
1. Pour 16n66, calculer les restes de la division euclidienne de 3 npar 7.2. Démontrer que, pour toutn, 3n+6−3nest divisible par 7.
En déduire que 3net 3n+6ont le même reste dans la division par 7.
3. À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 31000par 7.
4. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3npar 7, pournquelconque ?
5. En déduire que, pour tout entier natureln,3nest premier avec 7.
2.
SoitUn=1+3+32+ ··· +3n−1=i=Xn−1 i=0
3i, oùnest un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Montrer que siUnest divisible par 7, alors 3n−1 est divisible par 7.
2. Réciproquement, montrer que si 3n−1 est divisible par 7, alorsUn est divisible par 7. En déduire les valeurs dentelles queUnsoit divisible par 7.
