Exercices sur la morphologie math´ ematique
Isabelle Bloch Octobre 2006
1 Propri´ et´ es d’op´ erations morphologiques
1.1 Exercice 1
Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses ?
vraie fausse 1 l’´erosion d’une fonction est croissante par rapport `a la
fonction `a ´eroder
° °
2 l’´erosion d’une fonction est croissante par rapport `a l’´el´ement structurant
° °
3 l’´erosion d’une image `a niveaux de gris bouche des
«vall´ees »
° °
4 un filtre altern´e s´equentiel est croissant ° ° 5 un filtre altern´e s´equentiel est idempotent ° ° 6 un filtre altern´e s´equentiel est extensif ° ° 7 un ensemble convexe est invariant par fermeture par
un ´el´ement structurant compact convexe
° °
8 un ensemble convexe est invariant par ouverture par un ´el´ement structurant compact convexe
° °
9 le squelette par amincissement pr´eserve la topologie ° ° 10 le squelette par axe m´edian (centres des boules maxi-
males) pr´eserve la topologie
° °
1.2 Exercice 2
Soientγ1 etγ2 des ouvertures alg´ebriques (croissantes, idempotentes et anti-extensives).
Montrer l’´equivalence entre : 1. γ1 ≤γ2
2. γ1γ2 =γ2γ1 =γ1
3. Inv(γ1)⊆Inv(γ2) o`u Inv d´esigne le domaine d’invariance.
Indication : on montrera que 1⇒ 2⇒ 3 ⇒1. On rappelle qu’une ouverture γ s’exprime `a partir de son domaine d’invariance parγ(x) =W
{y∈Inv(γ), y≤x}.
Sur l’image de la figure 1, combien faut-il de dilatations pour boucher les trous dans les quatre cas suivants (B4 d´esigne l’´el´ement structurant ´el´ementaire (de taille 1) de la 4- connexit´e, etB8 l’´el´ement structurant ´el´ementaire de la 8-connexit´e) ?
Connexit´e des objets El´ement structurant nombre de dilatations n´ecessaires
4-connexit´e B4
8-connexit´e B4
4-connexit´e B8
8-connexit´e B8
= points des objets = points des objets
Fig. 1 – Image binaire `a dilater.
3 Morphologie math´ ematique ` a niveaux de gris
La figure 2 pr´esente une fonction f d´efinie en dimension 1, et un ´el´ement structurant B. Tracer la fonction r´esultant de la dilatation def parB, son ´erosion, son ouverture et sa fermeture.
Donner le nombre de minima et maxima r´egionaux def, de l’´erod´eEB(f) def parB et de l’ouverturefBdef parB, ainsi que le nombre de pics d´etect´es par chapeau haut-de-forme avec cet ´el´ement structurant.
Tracer la reconstruction def en prenant la fonctiongd´efinie parg(x) = max(0, f(x)−2) comme marqueur. Interpr´eter le r´esultat obtenu.
4 Probl` emes de bords
En pratique une image est `a support born´e. Ainsi, si l’on appelle X l’image id´eale qui serait infinie et K le champ de la cam´era par exemple, l’image effectivement observ´ee est X∩K. Le r´esultat d’op´erations morphologiques ne peut alors ˆetre connu exactement que dans une partie de l’image, qui d´epend de l’´el´ement structurant B, et que nous nous proposons de d´eterminer.
B
centre de B
x f(x)
élément structurant (segment horizontal centré)
B
centre de B
x f(x)
élément structurant (segment horizontal centré)
Fig. 2 – Fonction f.
EB(X)∩EB(K) =EB(X∩K)∩EB(K), DB(X)∩EB(K) =DB(X∩K)∩EB(K).
2. En d´eduire la r´egion dans laquelle sont connus l’´erod´e, le dilat´e et la fermeture. Montrer sur un exemple que cette r´egion est la plus grande possible.
3. Montrer que pour l’ouverture, cette r´egion n’est pas optimale.
5 Ouverture annulaire
élément structurant
Soit B = {0, b} et B0 = {−b, b} deux ´el´ements structurants (bi-points). Montrer que l’ouverture d’un ensembleX parB est ´egale `a l’intersection de la dilatation deX parB0 et deX.
Soient b1 et b2 tels que 0 < b1 < b2, et l’´el´ement structurant en forme de couronne C ={b, b1 ≤ |b| ≤b2} (illustr´e `a droite de la figure). L’intersection d’un ensemble X et de son dilat´e parC est appel´ee ouverture annulaire de X. Justifier ce terme.
Illustrer cette op´eration sur la figure.
Comparer avec une ouverture par un disque, avec une ouverture par un segment et avec une r´eunion d’ouverture par des segments dans toutes les directions.
6 Transform´ ee en tout ou rien
Quels sont les ´el´ements structurants `a utiliser dans la transform´ee en tout ou rien sur une trame hexagonale pour trouver :
– les points extr´emit´es ? – les points triples ? – les points isol´es ? – les concavit´es locales ? Illustrer sur des exemples simples.
7 Analyse d’une image
Imaginer et d´ecrire le plus pr´ecis´ement possible une m´ethode de segmentation des cellules de la figure 3 `a partir des op´erateurs vus en cours. L’algorithme devra fournir une image binaire des cellules et ´eliminer les petits points sombres.
Comment supprimer les cellules qui touchent le bord de l’image `a partir du r´esultat binaire de segmentation ?
Comment s´eparer les cellules qui sont connexes ?
Comment s´electionner les cellules qui ont un noyau sombre ? Comment ´etudier la distribution de tailles des cellules ?
Fig. 3 – Image de cellules.
