Devoir Surveillé n˚ 6A

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1^reST I Ch06/07 : PROBABILITES, DERIVATION Mardi 20 mars2007

Devoir Surveillé n˚ 6A

La rédaction compte pour une part importante. Tous les résultats de probabilité seront donnés sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme décimale à 10⁻² près.

EXERCICE n^o 1

On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.

1. Combien y a-t-il d’événements élémentaires ? En citer 3.

2. SoitA l’événement «tirer un as» et B l’événement «tirer un trèfle».

Donner la probabilié de A, de B.

3. Les événements A etB sont-ils disjoints ? justifier ?

4. Déterminer un événement E tel que les événements B etE soient incompatibles.

5. Calculer la probabilité de l’événement «tirer un as ou un trèfle».

EXERCICE n^o 2

Voici les résultats d’un sondage effectué au début de l’année 1998 auprès de 3000 personnes, à propos d’Internet :

• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ;

• 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet ;

• 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par Internet.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Intéressés par

Internet

Non intéressés

par Internet Total Moins de 25ans

De 25à 50ans Plus de 50ans

Total 3 000

2. On choisit au hasard une personne parmi les 3000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies.

On considère les événements :

A : «la personne interrogée est intéressée par Internet », B : «la personne interrogée a moins de 25ans ».

(a) Calculer les probabilitésp(A) etp(B).

(b) Définir par une phrase l’événement B , puis calculer p(B).

(c) Définir par une phrase l’événement A∩B , puis calculer p(A∩B).

En déduire p(A∪B).

3. On sait maintenant que la personne interrogée n’est pas intéressée par Internet.

Quelle est la probabilité qu’elle ait moins de 50 ans ? EXERCICE n^o 3

On considère Cf, la courbe représentative de la fonction f définie sur Rpar f(x) =−x²

2 + 3x−1 1. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonctionf.

2. Tracer Cf dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ı ;−→).

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(2)

Devoir Surveillé n˚ 6B

La rédaction compte pour une part importante. Tous les résultats de probabilité seront donnés sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme décimale à 10⁻² près.

EXERCICE n^o 1

On considère Cf, la courbe représentative de la fonctionf définie sur Rpar f(x) = x²

2 −4x−2 1. Dresser, en le justifiant, le tableau de variations de la fonctionf.

2. Tracer Cf dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ı ;−→).

EXERCICE n^o 2

On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.

1. Combien y a-t-il d’éventualités ? En citer3.

2. SoitA l’événement «tirer un coeur» et B l’événement «tirer un as».

Donner la probabilié de A, de B.

3. Les événements A etB sont-ils incompatibles ? justifier ?

4. Déterminer un événement E tel que les événements A etE soient disjoints.

5. Calculer la probabilité de l’événement «tirer un coeur ou un as».

EXERCICE n^o 3

Voici les résultats d’un sondage effectué au début de l’année 1999 auprès de 2000 personnes, à propos d’Internet :

• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet ;

• 35% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet ;

• 30% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par Internet.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Intéressés par

Internet

Non intéressés

par Internet Total Moins de 30ans

De 30à 60ans Plus de 60ans

Total 2 000

2. On choisit au hasard une personne parmi les 2000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies.

On considère les événements :

A : «la personne interrogée a moins de 30ans »,

B : «la personne interrogée est intéressée par Internet ».

(a) Calculer les probabilitésp(A) etp(B).

(b) Définir par une phrase l’événement A , puis calculer p(A).

(c) Définir par une phrase l’événement A∩B , puis calculer p(A∩B).

En déduire p(A∪B).

3. On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par Internet.

Quelle est la probabilité qu’elle ait plus de 30ans ?

(3)

Correction DS n˚ 6A

EXERCICE n^o 1

1. Il y a 32 événements élémentaires : par exemple "obtenir un 8 de carreau, obtenir un as de coeur, obtenir un roi de pique"

2. p(A) = cardA cardΩ = 4

32 = 1

8 = 0,13 p(B) = cardB

cardΩ = 8 32 = 1

4 = 0,25

3. Les événements AetB ne sont pas disjoints carA∩B6= 0 4. Par exemple, l’événementE : "tirer un coeur"

5. p(A∪B) =P(A) +p(B)−p(A∩B) = 4 32 + 8

32 − 1 32 = 11

32 = 0,34

EXERCICE n^o 2 1.

Intéressés par Internet

Non intéressés

par Internet Total

Moins de 25 ans 840 210 1050

De 25à 50 ans 225 825 1050

Plus de50 ans 135 765 900

Total 1200 1800 3 000

2. (a) p(A) = 1200 3000 = 2

5 = 0,4 p(B) = 1050

3000 = 7

20 = 0,35

(b) B : "La personne intérrogée à 25 ans ou plus" donc :p(B) = 1−p(B) = 1− 7 20 = 13

20 = 0,65.

(c) A∩B : "La personne intérrogée à moins de 25ans et est intéressée par Internet"

p(A∩B) = 840 3000 = 7

25 = 0,28

p(A∪B) =P(A) +p(B)−p(A∩B) = 1200

3000 +1050

3000 − 840

3000 = 1410 3000 = 47

100 = 0,47 3. p= 210 + 825

1800 = 1035 1800 = 23

40 = 0,58

EXERCICE n^o 3

1. f^′(x) =−x+ 3. Pour établir les variations de f, il faut étudier le signe de la dérivée : Si f^′(x) est positive sur I, la fonction f est croissante sur I et sif^′(x) est négative surI, la fonctionf est décroissante surI

x −∞ 3 +∞

f^′(x) + 0 −

7 2

f ր ց

−∞ −∞

2.

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2 1 2 3

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

C_f

(4)

Correction DS n˚ 6B

EXERCICE n^o 1

1. f^′(x) = x−4. Pour établir les variations de f, il faut étudier le signe de la dérivée : Si f^′(x) est positive sur I, la fonction f est croissante sur I et sif^′(x) est négative surI, la fonctionf est décroissante surI

x −∞ 4 +∞

f^′(x) − 0 +

+∞ +∞

f ց ր

−10

2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2 2 4 6

−2

−4

−6

−8

−10

C_f

EXERCICE n^o 2

1. Il y a32éventualités : par exemple "obtenir un8de pique, obtenir un as de carreau, obtenir un roi de coeur"

2. p(A) = cardA cardΩ = 8

32 = 1

4 = 0,25 p(B) = cardB

cardΩ = 4 32 = 1

8 = 0,13

3. Les événements AetB ne sont pas incompatibles carA∩B6= 0 4. Par exemple, l’événementE : "tirer un pique"

5. p(A∪B) =P(A) +p(B)−p(A∩B) = 8 32 + 4

32 − 1 32 = 11

32 = 0,34 EXERCICE n^o 3

1.

Intéressés par Internet

Non intéressés

par Internet Total

Moins de 30 ans 560 140 700

De 30à 60 ans 150 550 700

Plus de60 ans 90 510 600

Total 800 1200 2 000

2. (a) p(A) = 700 2000 = 7

20 = 0,35 p(B) = 800

2000 = 2

5 = 0,40

(b) A: "La personne intérrogée à 30 ans ou plus" donc :p(A) = 1−p(A) = 1− 7 20 = 13

20 = 0,65.

(c) A∩B : "La personne intérrogée à moins de 30ans et est intéressée par Internet"

p(A∩B) = 560 2000 = 7

25 = 0,28

p(A∪B) =P(A) +p(B)−p(A∩B) = 700

2000 + 800

2000 − 560

2000 = 940 2000 = 47

100 = 0,47 3. p= 150 + 90

800 = 240 800 = 3

10 = 0,30