Une théorie générale des infinitésimaux

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

Y ^VES P ^ERAIRE

Une théorie générale des infinitésimaux

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1986, fascicule 5A

« Une théorie générale des infinitesimaux », , p. 1-60

<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1986___5A_A1_0>

© Université de Lyon, 1986, tous droits réservés.

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U N E T H E O R I E G E N E R A L E D E S I N F I N I T E S I M A U X Y v e s P E R A I R E

I N T R O D U C T I O N :

L ' u s a g e d e s i n f i n i t é s i m a u x , c'est bien c o n n u , r e m o n t e au d é b u t i G m G \

du X V I I s i è c l e avec les p r e m i e r s pas du c a l c u l i n f i n i t é s i m a l

i n v e n t é s é p a r é m e n t par L e i b n i t z et N e w t o n . D a n s l ' o p t i q u e de L e i b n i t z , la d é r i v é e en un point d^fu n e f o n c t i o n r é e l l e de la v a r i a b l e r é e l l e é t a i t le q u o t i e n t de deux i n f i n i m e n t p e t i t s . Il n'a pu ê t r e d o n n é une d é f i n i t i o n c o r r e c t e de ces i n f i n i t é s i m a u x ; t o u t e f o i s , L e i b n i t z se f a i s a i t une c e r t a i n e i m a g e de ces é l é m e n t s et les d é c r i v a i t c o m m e d e s n o m b r e s i d é a u x o b é i s s a n t aux m ê m e s l o i s que les n o m b r e s o r d i n a i r e s . L ' a b s e n c e d'une d é f i n i t i o n r i g o u r e u s e c o n d u i t à des p a r a d o x e s ; d a n s ^ 2 ^ P i e r r e C a r t i e r d o n n e l ' e x e m p l e s u i v a n t :

2

" D a n s le c a l c u l de la d é r i v é e de la f o n c t i o n y=x , si l'on d o n n e un a c c r o i s s e m e n t " i n f i n i m e n t p e t i t " dx à x on t r o u v e :

2 2 2 y+dy = ( x + d x ) = x + 2 x ( d x ) + ( d x ) et f i n a l e m e n t , d y / d x = 2 x + d x = 2 x . Le r é s u l t a t d y / d x = 2x est bien c o n f o r m e à l ' o r t h o d o x i e , m a i s le p a r a d o x e est que l'on d o i t s u p p o s e r dx non nul pour f a i r e la d i v i s i o n a l o r s que l'on d o i t le s u p p o s e r nul pour é c r i r e l ' é g a l i t é f i n a l e 2x + dx = 2x , "

Par la s u i t e les i d é e s de W e i r s t r a s s , A b e l , D i r i c h l e t et K r o n e c k e r qui c e n t r e n t t o u t e l ' a n a l y s e sur la n o t i o n de l i m i t e d é f i n i e par

la p é r i p h r a s e r i t u e l l e : " V e > 0 3 6 , se sont i m p o s é e s . R e m a r q u o n s que les p h y s i c i e n s et m é c a n i c i e n s c o n t i n u e n t à fai r*

des r a i s o n n e m e n t s i n f i n i t é s i m a u x q u i , bien que j u g é s non r i g o u r e u x par les m a t h é m a t i c i e n s , f o n c t i o n n e n t d a n s la p l u p a r t d e s c a s .

- 1 -

On p e u t t r o u v e r a u s s i s o u s la p l u m e de V. A r n o l d l e s f o r m u l a t i o n s h e u r i s t i q u e s s u i v a n t e s :

" . . . S o i t un t r a n s p o r t p a r a l l è l e le l o n g du b o r d d'un " p e t i t "

d o m a i n e D de c e t t e s u r f a c e . I l e s t c l a i r q u e le r é s u l t a t de ce t r a n s p o r t e s t u n e r o t a t i o n d ' un " p e t i t^{1 1} a n g l e . . . . " ( [ 1 ] p . 3 0 2 )

L e s g u i l l e m e t s n e f i g u r e n t p a s d a n s le t e x t e o r i g i n a l „ P l u s l o i n e n c o r e o n t r o u v e :

" La f o r m e de c o u r b u r e p r e n d sur un c o u p l e de v e c t e u r s t a n g e n t s

" i n f i n i m e n t p e t i t s " u n e v a l e u r é g a l e à 1 ' a n g l e de r o t a t i o n s o u s l^fe f f e t du t r a n s p o r t p a r a l l è l e le l o n g du p a r a l l é l o g r a m m e " i n f i - n i m e n t p e t i t " c o n s t r u i t sur c e s v e c t e u r s . . . "

Le but d ' u n e t h é o r i e d e s i n f i n i t é s i m a u x e s t de p e r m e t t r e ^ é l i - m i n a t i o n d e s g u i l l e m e t s d a n s l e s é n o n c é s p r é c é d e n t s .

On p e u t c o n s i d é r e r q u e c e t o b j e c t i f a é t é a t t e i n t par l e s t r a v a u x d ' A b r a h a m R o b i n s o n , p r e n a n t p o u r p o i n t de d é p a r t la déc:ouverte par S k o l e m d a n s l e s a n n é e s 3 0 d e s m o d è l e s n o n s t a n d a r d de 1¹ a r i t h m é t i q u e de P é a n o . ( V o i r [6] ) .

La m i s e en o e u v r e de la m é t h o d e de R o b i n s o n p r é s e n t e q u e l q u e s d i f f i c u l t é s du f a i t de l ' i n t r u s i o n de la l o g i q u e d a n s la p r a t i q u e m a t h é m a t i q u e s , et on s a i t b i e n q u e l e s m a t h é m a t i c i e n s n ' a i m e n t p a s la l o g i q u e .

H e u r e u s e m e n t l ' a r t i c l e de E d w a r d N e l s o n ( [ 5 ] ) q u i r e l è g u e l e s p r o b l è m e s l o g i q u e s d a n s la T h é o r i e d e s e n s e m b l e s , q u ' i l d é s i g n e s o u s l e n o m de t h é o r i e d e s e n s e m b l e s i n t e r n e s , r a m è n e l ' u t i l i s a t i o n d e s i n f i n i t é s i m a u x a t r o i s r è g l e s s i m p l e s : l e s a x i o m e s de t r a n s f e r t , d ' i d é a l i s a t i o n et de s t a n d a r d i s a t i o n .

P o u r t a n t les t h é o r i e s a c t u e l l e s d e s i n f i n i t é s i m a u x p r é s e n t e n t d e s i n s u f f i s a n c e s , m i s e s en a v a n t d a n s [ 9 ]

A p a r t i r d ' u n e s i t u a t i o n s i m p l e , e s s a y o n s de d é g a g e r une t h é o r i e d e s i n f i n i t é s i m a u x p e r m e t t a n t la p l u s l a r g e a p p l i c a t i o n p o s s i b l e .

S o i t (u ) une s u i t e n u m é r i q u e t e l l e que l i m ( u ) = 0 . I n t u i t i -

n^{y M M} n

n ->-oa

v e m e n t on p e u t e x p r i m e r ce fait en d i s a n t que u^ est a u s s i p e t i t que 1'on v e u t à c o n d i t i o n de p r e n d r e n a s s e z g r a n d . La m a n i e p r o p - re au m a t h é m a t i c i e n de c r é e r d e s o b j e t s i d é a u x n o u s p o u s s e i r r é s i s - t i b l e m e n t à é c r i r e : si n e s t i n f i n i m e n t g r a n d a l o r s u est i n f i n i -

° n m e n t p e t i t . A p r e m i è r e v u e , il s e m b l e b i e n d i f f i c i l e de d o n n e r un

s e n s r i g o u r e u x à c e s deux t e r m e s . Q u e s i g n i f i e a) i n f i n i m e n t g r a n d si (A) est un e n t i e r ? S û r e m e n t pas p l u s g r a n d que t o u t e n t i e r c a r , d a n s ce c a s , une c o n t r a d i c t i o n a p p a r a i t i m m é d i a t e m e n t : oo s e r a i t s t r i c t e m e n t s u p é r i e u r à lui m ê m e !

Si 1'on d é s i g n e par IN 1 ' e n s e m b l e d e s e n t i e r s n a t u r e l s u n e p o s -

ou

s i b i l i t é est d ' e s s a y e r de c o n s t r u i r e un e n s e m b l e IN c o n t e n a n t W a u q u e l on p o u r r a i t p r o l o n g e r la r e l a t i o n > en u n e r e l a t i o n > d é f i - n i e sur JN . On s a i t le f a i r e d e p u i s la d é c o u v e r t e de S k o l e m ; c e t t e d é m a r c h e a é t é p o u r s u i v i e s y s t é m a t i q u e m e n t par R o b i n s o n .

On p e u t a u s s i d i r e : i n f i n i m e n t g r a n d s i g n i f i e p l u s g r a n d que t o u t e n t i e r n a i f (ou i n t u i t i f ) et a d m e t t r e q u e c e u x ci ne r e m p l i - s s e n t p a s |N. En e f f e t , r e p r e n o n s la c é l è b r e p r o v o c a t i o n de G e o r g e s R e e b et é c r i v o n s : IN ^ { 0 , 1 , 2 , . . . . n , . . . } d a n s l a q u e l l e 0 , 1 , 2 , . . s o n t a s s i m i l é s a u x e n t i e r s n a i f s . U n e t e l l e a f f i r m a t i o n , c h o q u a n t e pour un m a t h é m a t i c i e n c l a s s i q u e (non h a b i t u é à o b s e r v e r la t h é o r i e d e s e n s e m b l e s de l ' e x t é r i e u r ) , n ' e s t pas d é m o n t r a b l e , p a s p l u s que son c o n t r a i r e , d a n s le c a d r e de la t h é o r i e d e s e n s e m b l e s de

Z e r m e l o - F r a e n k e l . P i r e , e l l e n'est pas f o r m u l a b l e d a n s le l a n g a g e de Z.F. Il f a u d r a i t pour c e l a une f o r m u l e i n f i n i n i m e n t l o n g u e :

3 a) E E 0) / 0 et 0 ) ^ 1 et 0) ^ 2 et . . . 0) ^ n

Si l'on veux une f o r m u l a t i o n p l u s c o u r t e il n o u s faut un v o c a b u - l a i r e p l u s r i c h e . L' idée de N e l s o n c o n s i s t e à e n r i c h i r le l a n g a g e de Z.F d'un m o t n o u v e a u , un p r é d i c a t , n o t é st ( l i r e : s t a n d a r d ) . C e c i é t a n t f a i t , on peut é c r i r e la f o r m u l e bien f o r m é e :

2 oo C |N ( V n eIN ( n s t => oo ^ n ) ) .

Si l'on a s s i m i l e les n a i f s aux e n t i e r s s t a n d a r d , l ' e n t i e r a) de la f o r m u l e p r é c é d e n t e peut ê t r e c o n s i d é r é c o m m e i n f i n i m e n t g r a n d . On n ' a u r a a u c u n e d i f f i c u l t é à d é f i n i r d a n s (R d e s i n f i n i m e n t g r a n d s ni d e s i n f i n i m e n t p e t i t s ( i n v e r s e s d ' i n f i n i m e n t g r a n d s ) .

Il n o u s s e m b l e i m p o r t a n t d ' o b s e r v e r que c e s n o t i o n s s o n t d e s i d é a l i t é s m a t h é m a t i q u e s t r a d u i s a n t les n o t i o n s i n t u i t i v e s : t r è s p e t i t , ( a u t a n t q u ' i l est n é c e s s a i r e ) n é g l i g e a b l e , t r è s g r a n d e t c . .

On o b s e r v e r a é g a l e m e n t leur c a r a c t è r e r e l a t i f . I n f i n i m e n t p e t i t s i g n i f i e en fait i n f i n i m e n t p e t i t si on le c o m p a r e aux s t a n d a r d . S o i t par e x e m p l e la s u i t e (u ) =( i ( - l )ⁿ) a v e c e i n f i n i m e n t p e t i t .

r r n en ^v

Il est c l a i r que u tend v e r s ' z é r o q u a n d n tend v e r s l ' i n f i n i ,

1 n ^

p o u r t a n t , si n est i n f i n i m e n t g r a n d m a i s i n f é r i e u r à 1/e a l o r s I^{u n} ! ^ 1 ; u ^ n ' e s t donc pas i n f i n i m e n t p e t i t .

A i n s i se d é g a g e la n é c e s s i t é d ' e n t i e r s i n f i n i m e n t - i n f i n i m e n t g r a n d s ( I n f i n i m e n t g r a n d s c o m p a r é s à 1/ ç) , o u , i n f i n i m e n t g r a n d s

d ' o r d r e 2 . C e t o b j e c t i f est a t t e i n t d a n s ce t r a v a i l . P a r m i les

a p p l i c a t i o n s , n o u s v e r r o n s que si (x ( t ) ) est u n e s u i t e de f o n c t i o n s c o n t i n u e s c o n v e r g e n t s i m p l e m e n t v e r s u n e f o n c t i o n x ( t ) , et si l'on p o s e P ( £) = {t / | t )-x ( t ) |< e] alors, l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s de c o n t i - n u i t é de x ( t ) p e u t ê t r e approché,(en un s e n s que n o u s p r é c i s e r o n s )

o

par l ' e n s e m b l e P ( £ ) a v e c e t r è s p e t i t ( i n f i n i m e n t p e t i t ) et m

Pour c o n s t r u i r e en t o u t e r i g u e u r d e s i n f i n i m e n t p e t i t s ou

i n f i n i m e n t g r a n d s ( et bien d ' a u t r e c h o s e s e n c o r e ) de t o u s o r d r e s il est c l a i r q u ' i l n o u s f a u d r a un v o c a b u l a i r e e n c o r e p l u s r i c h e .

I.UNE T H E O R I E D E S E N S E M B L E S I N T E R N E S .

N o u s n o u s p l a c e r o n s d a n s le c a d r e f o r m e l de la t h é o r i e d e s e n s e m b l e s a i n s i c o n s t i t u é e :

Le l a n g u a g e est c e l u i de la t h é o r i e d e s e n s e m b l e s de Z e r m e l o - F r a e n k e l , a v e c son u n i q u e p r é d i c a t b i n a i r e " £^{1 1} , e n r i c h i d¹ u n e s é r i e de n o u v e a u x p r é d i c a t s , i n d e x é s par la s u i t e i n t u i t i v e d e s e n t i e r s et n o t é s : " s t " , " s t l / 2 " , . . . . " s 11 / pt f . . . ( Li r é : s t a n d a r d , s t a n d a r d 1/2 ou 1 / 2 - s t a n d a r d e t c . . . ) .

P a r m i l e s f o r m u l e s bien f o r m é e s d é f i n i e s de la m a n i è r e h a b i - t u e l l e (Voir [ 3 ] ) , on d i s t i n g u e c e l l e s d a n s l e s q u e l l e s n ' i n t e r -

v i e n t a u c u n p r é d i c a t s t , s t l / p ; on les a p p e l l e d e s f o r m u l e s i n t e r n e s L e s a x i o m e s sont :

a/ L e s a x i o m e s de la t h é o r i e d e s e n s e m b l e s de Z e r m e l o -

F r a e n k e l a v e c a x i o m e du c h o i x ( Z . F . C . ) , r e l a t i v i s é s aux f o r m u l e s i n t e r n e s

b/ T r o i s s c h é m a s d ' a x i o m e s , é q u i v a l e n t s g r a d u é s d e s a x i o m e s de N e l s o n :

S c h é m a _ d ^ a x i o m e _ d e _ t a n s f e r t : ( T )

Si $ est u n e f o r m u l e i n t e r n e a v e c t o u t e s ses c o n s t a n t e s a ^ , &2»•••^an)^st1/P ^a l °^{r s :}

s t l / p j V x 0( x ,^{a i}, aⁿ) <=> V ^x 0( x , a^{l f} aⁿ)

- 5 —

S c h é m a _ d ^T a x i o m e d ' i d é a l i s a t i o n : ( I )

Si ^ est une f o r m u l e i n t e r n e à deux v a r i a b l e s l i b r e s x et y et t o u t e s ses c o n s t a n t e s stl/p a l o r s :

s t l / p fin s t l / p + 1 s t l / p

V z 3 y V x 6 z j/S(x,y) => 3 Ç V x 0( x , Ç ) .

S c h é m a _ d ^ a x i o m e _ d e s t a n d a r d i s a t i o n : ( S ) Si ^( est une f o r m u l e g u e l c o n q ue a l o r s :

s t s t s t

V z 3 x V t t 6 x <=> ( t G z e t ^ ( z ) ) .

c/ Un n o u v e l a x i o m e .

S c h é m a _ d ^T a x i o m e _ d e g r a d u a t i o n : ( G ) pour c h a q u e e n t i e r naif p : V x x s t l / p x s t l / p + 1 .

Il est p r o u v é d a n s l ' a n n e x e que n o t r e t h é o r i e des e n s e m b l e s est une e x t e n s i o n c o n s e r v a t i v e de Z . F . C .

On peut d é m o n t r e r c o m m e d a n s [ 5 ] 1¹ e x i s t e n c e d'un e n s e m b l e f i n i c o n t e n a n t t o u s les e n s e m b l e s s t l / p . Le l e c t e u r n ' a u r a p a s de m a l à v é r i f i e r que le p r o d u i t , la s o m m e , le q u o t i e n t de d e u x r é e l s s t l / p est s t l / p o u , p l u s g é n é r a l e m e n t que l ' i m a g e d'un é l é m e n t s t l / p par une f o n c t i o n s t l / p est s t l / p .

L ' a x i o m e d ' i d é a l i s a t i o n n o u s f o u r n i t d e s i n f i n i m e n t p e t i U d ' o r d r e p. Il s u f f i t de l'appliquer à la f o r m u l e :

ft(x,y) = (x 6 |R⁺, y G |R et |y|<x) . On o b t i e n t de m ê m e d e s i n f i n i m e n t g r a n d s d ' o r d r e p.

On r e m a r q u e q u ' i l n'a pas été d o n n é d ' é q u i v a l e n t g r a d u é du p r i n c i p e de s t a n d a r d i s a t i o n de N e l s o n . En v o i c i la j u s t i f i c a t i o n . ( S ) p o s t u l e que pour t o u t e f o r m u l e

- 6 -

pas f o r c é m e n t i n t e r n e , jÔ, il e x i s t e un e n s e m b l e standard dont les é l é m e n t s s t a n d a r d sont e x a c t e m e n t les standard du r é f é r e n t i e l z qui s a t i s f o n t D a n s n o t r e t h é o r i e des e n s e m b l e s nous n ' a v o n s pas le droit d^fé c r i r e E = {t € z / 0 (t)} , car le s c h é m a de c o m p r é h e n - sion ne s ' a p p l i q u e q u ' a u x f o r m u l e s i n t e r n e s . N o u s nous p e r m e t t r o n s tout de m ê m e de t e l l e s e x p r e s s i o n s ; ce ne sont pas des e n s e m b l e s de I . S . T . G . ; n o u s d i r o n s que ce sont des e n s e m b l e s e x t e r n e s .

L ' e n s e m b l e x de ( S ) sera a p p e l é le s t a n d a r d i s é de E. On le n o t e r a stE .Si E est un e n s e m b l e e x t e r n e il n ' e x i s t e pas t o u j o u r s un e n - s e m b l e stl/p a y a n t les m ê m e s é l é m e n t s stl/p que E c o m m e n o u s le v e r r o n s dans les e x e m p l e s qui s u i v e n t . D a n s le cas ou il e x i s t e n o u s le n o t e r o n s st-, , E et l ' a p p e l l e r o n s le s t a n d a r d i s é d ' o r d r e p

1 / p

de E . Quand il e x i s t e , le s t a n d a r d i s é d ' o r d r e p est u n i q u e car l'axiome de t r a n s f e r t n o u s permet de dire que si deux e n s e m b l e s ont les m ê m e s é l é m e n t s stl/p a l o r s ils ont les m ê m e s é l é m e n t s .

V o i c i q u e l q u e s e x e m p l e s de s t a n d a r d i s é s :

1- Si E = (n 6 IN/ l ( n st)}

stE =

S tl / 2 ^ n ' e x i s t e pas car a l o r s , il s e r a i t une p a r t i e non vide de IN sans p l u s petit é l é m e n t . En e f f e t , il e x i s t e des s t l / 2 qui ne sont pas standard ( i d é a l i s a t i o n ) donc s t - ^ ^ ^ ^ 0 * d ' a u t r e p a r t , son plus petit é l é m e n t est s t l / 2 ( t r a n s f e r t ) . Si on le note a il est clair que a-1 est s t l / 2 et q u ' i l n'est pas s t a n d a r d , il est donc d a n s s t ^ ^ ^ ^{c e (}l^{t J}i c o n t r e d i t la m i n i m a l i t é de a.

2 - Si E = (n € |N / n < 0) } avec oo st1/2 alors, stE = IN

st.. / E = E pour tout p \ 2

1/p *

3- S o i t (Y ) u n e s u i t e s t a n d a r d c r o i s s a n t e d ' e n s e m b l e s et E = ^[J Y

n n a l o r s , p o u r t o u t e n t i e r N i n f i n i m e n t g r a n d d ' o r d r e p, on a:

E = s t2 / p Y ^ j c a r , p o u r t o u t t sj^l/p d a n s E , il e x i s t e n s t l / p tel q u e t e Y ( T r a n s f e r t ) . C o m m e n < N , Y c Y d o n c : t G Y^M .

n n N N Y ^ et E ont d o n c l e s m ê m e s é l é m e n t s s t l / p .

4 - S o i t E = | x G IR / V^{S t}s G 1R^ l x \ < s ) .

* stE = (0} .

* st., / E n ' e x i s t e p a s si p > 2 .

1 / p ^{r v} '

S u p p o s o n s l ' e x i s t e n c e de S = s t ^ ^ E o n a a l o r s : s t l / p

( 1 ) V x G S, -x C S d ' o ù , par t r a n s f e r t , V x 6 S, -x G S .

s t l / p s t l / p s t l / p

( 2 ) V x C S V ^y G S ^v z G|R ( x < z < y = > z 6 S ) d ' o ù : y x G S V y G S y z G \ R ( x < z < y => z 6 S )

( 3 ) On d é d u i t de l ' a x i o m e d ' i d é a l i s a t i o n q u e S ± { 0 }.

s t l / p

( 4 ) ^ x G S, x G E d o n c \x\ < 1 on en d é d u i t par t r a n s f e r t q u e V x G S \ x i < 1 .

D e s p r o p r i é t é s p r é c é d e n t e s on t i r e q u e S e s t un i n t e r v a l l e s y m é t r i q u e non r é d u i t à ( 0 ) .

S n ' e s t pas un i n t e r v a l l e o u v e r t . En e f f e t , si S = ] -- a a ] a v e c a p o s i t i f , l ' a x i o m e de t r a n s f e r t i m p l i q u e q u e a e s t s t l / p . D ' a u t r e p a r t , a G E car d a n s le c a s c o n t r a i r e , il e x i s t e r a i t un s t a n d a r d p o s i t i f x tel q u e a y x et on a u r a i t :

x s t l / p , x C ] - a a [ = S et x ^ E , c ' e s t i m p o s s i b l e d o n c : a G S .

S tl / p ^ ^{e S t} ^ ^{o n c} n é c e s s a i r e m e n t de la f o r m e S = [-a aj.avec a s t l / p p o s i t i f . S o i t x d a n s E s t l / p et p o s i t i f ( o b t e n u par i d é a l i s a t i o n ) ,

I I . L ' A N A L Y S E NON S T A N D A R D .

D a n s la s u i t e ( X , 0 ) d é s i g n e un e s p a c e t o p o l o g i q u e s é p a r é

a d m e t t a n t X c o m m e e n s e m b l e s o u s - j a c e n t et 0 c o m m e e n s e m b l e d ' o u v e r t s .

D é f i n i t i o n 1 :

Si X e s t s t l / p et si a G X est un p o i n t stl/p , n o u s d i r o n s q u e x est i n f i n i m e n t p r o c h e d ' o r d r e p de a s i :

s t l / p

v u e o ( a e u = > ^x e u ) . N o t a t i o n s :

On é c r i r a x a ( x i n f i n i m e n t p r o c h e d ' o r d r e p de a ) .

N o u s é c r i r o n s x a ( x i n f i n i m e n t p r o c h e de a ) , s'il e x i s t e un e n t i e r p tel que x £+a .

Si X est R m u n i de la t o p o l o g i e u s u e l l e a l o r s , s t l / p *

x «i^ a é q u i v a u t à V s 6 IR⁺ | x-a( < s

Déf i n i t i o n 2 :

Si x 6 |R et x 0 , n o u s d i r o n s que x est un i n f i n i m e n t p e t i t d ' o r d r e p . Si de p l u s x est non n u l , n o u s d i r o n s q u e 1/x est un i n f i n i m e n t grand d ' o r d r e p .

E x a m i n o n s de p l u s p r è s l e s p r o p r i é t é s de la r e l a t i o n — * . Il est c l a i r q u e c'est u n e r e l a t i o n e x t e r n e , p u i s q u e sa d é f i n i t i o n e x i g e l ' u t i l i s a t i o n du p r é d i c a t s t l / p .

P r o p r i é t é 1 :

Si a e s t s t l / p et si p^T> p a l o r s ; x a => x £> a . P r e u v e :

On a p p l i q u e l ' a x i o m e de g r a d u a t i o n .

P r o p r i é t é 2 :

Si a s t l / p et b s t l / p a l o r s , b a => b = a . P r e u v e :

On é c r i t la p r o p r i é t é de s é p a r a t i o n de a et b puis on a p p l i q u e l ' a x i o m e de t r a n s f e r t .

P r o p r i é t é 3 :

Si X est un e s p a c e m é t r i q u e , d la d i s t a n c e sur X a l o r s : x a é q u i v a u t à d ( x , a ) i n f i n i m e n t p e t i t ,

x ^ a é q u i v a u t à d ( x , a ) i n f i n i m e n t p e t i t d ' o r d r e p.

P r e u v e :

L a i s s é e en e x e r c i c e .

Déf i n i t i o n 3 :

Soit x un e n s e m b l e s t l / p pour un c e r t a i n e n t i e r p. On p o s e r a : p ( x ) = min {p / x stl/p} ,

S ( x ) = l / p ( x ) . S ( x ) sera la s t a n d a r d i t é de x , R e m a r q u e :

On ne peut pas d i r e d a n s le l a n g u a g e de n o t r e t h é o r i e d e s ensembles que tout e n s e m b l e p o s s è d e un d e g r é de s t a n d a r d i t é : Il f a u d r a i t pour c e l a q u a n t i f i e r sur les p r é d i c a t s . C e p e n d a n t on

ne r i s q u e rien à l ' a f f i r m e r , c o m m e une p r o p r i é t é e x t e r n e à I . S . T . G , à c a u s e de la p r o p r i é t é 2 du p a r a g r a p h e III de l ' a n n e x e .

N o t a t i o n s :

On p o u r r a é c r i r e : x ^ b à la pla ce de x P ^ %) b ,

x - > b à la p l a c e de x^{p (}i 2± P > ^{1 p} , ( ^p e n t i e r ) ! ) .

X ~ ' p^{P à l a} P ^{l a c e d e} x^{k + P}~^{> 1} p (k et- p e n t i e r s ) lj

R e m a r q u e :

- 10 -

Si X = !R est la d r o i t e r é e l l e a c h e v é e et si x C |R a l o r s ,

x — > + oo si et s e u l e m e n t si x est un i n f i n i m e n t grand d ' o r d r e k.

D a n s le cas où X est un e s p a c e m é t r i q u e on é c r i r a : x no y pour d ( x , y ) *—> 0

x y pour d ( x , y ) 0 ^u

k k

x Y pour d ( x , y ) — > 0 .

N o u s l a i s s e r o n s le soin au l e c t e u r d ' é t a b l i r q u e , si x et y sont d e s e n s e m b l e s a l o r s S ( ( x , y ) ) = M i n j S ( x ) , S(y )^ .

P r o p r i é t é 3 :

y

x y <=> x ^ y . P r e u v e :

C ' e s t une a p p l i c a t i o n d i r e c t e des d é f i n i t i o n s . P r o p r i é t é 4 :

x ^ y => S ( x ) £ S ( y ) . P r e u v e :

S u p p o s o n s S ( x ) > S ( y ) , on a u r a x s t l / p ( y ) , y s t l / p ( y ) et x ^P ^^y^ b o r s , d ' a p r è s la p r o p r i é t é 2 c e l a i m p l i q u e x = y donc S ( x ) = S ( y ) , on a b o u t i t à une c o n t r a d i c t i o n .

P r o p r i é t é 5 :

La r e l a t i o n —> est une r e l a t i o n d ' o r d r e . P r e u v e :

i ) il est c l a i r que pour tout x d a n s X : x x .

ii ) Pour t o u s x, y et z d a n s X, (x y et y -> z ) => x - v z .

En e f f e t si y -> z a l o r s , p ( z ) ^ p ( y ) d ' a p r è s la p r o p r i é t é A.

S o i t U un o u v e r t s t l / p ( z ) ; c o m m e y z , y G U, c o m m e p ( y ) ^ p ( z ) , U est s t l / p ( y ) et c o m m e x -> y : x 6 U.

i i i ) Pour t o u s x et y d a n s X, ( x -> y et y -> x ) =>x = y.

Il s u f f i t de r e m a r q u e r que ( x ^ y et y -V x ) i m p l i q u e P (^x) ^ P ( Y ) ^{e t} P ( y ) ^ p (^x) donc : p ( x ) = p ( y ) . On c o n c l u t en u t i l i s a n t les p r o p r i é t é s 2 et 3.

P r o p r i é t é 6 :

Si ( X , 0 ) est r é g u l i e r a l o r s : (x -> a et x ^ b ) = > ( a -> b ou b a ) . P r e u v e :

Soit 0 ( a ) = {U 6 0 / a G U } .

S u p p o s o n s p(a ) p ( b ) et soit U s t l / p ( a ) d a n s 0 ( a ) . D ' a p r è s la p r o p r i é t é de r é g u l a r i t é , il e x i s t e un o u v e r t V de 0 ( a ) tel que V C. U. G r a c e à l ' a x i o m e de t r a n s f e r t on peut le p r e n d r e s t l / p ( a ) . Si b fi U a l o r s b G X - V qui est un o u v e r t s t l / p ( a ) et d o n c :

s t l / p ( b ) c o m m e x ^> b on doit a v o i r x 6 X - V , d ' a u t r e p a r t , c o m m e V G 0 ( a ) et x -> a on d o i t a v o i r a u s s i x 6 V d o n c : b G U pour tout U G 0 ( a ) et on a b ^ a .

Par un r a i s o n n e m e n t s y m é t r i q u e on m o n t r e que si p ( b ) ^ p ( a ) a l o r s a ^ b . Il est c l a i r que si p ( a ) = p ( b ) a l o r s a = b ( P r o p r i é t é 5 ) ,

P r o b l è m e : E t u d i e r la r é c i p r o q u e de la p r o p r i é t é 6

On a a u s s i les p r o p r i é t é s é v i d e n t e s s u i v a n t e s :

* * v est une r e l a t i o n d ' é q u i v a l e n c e .

J a

/ C x '-vy y et y -> a = x -> a . Par c o n t r e i l e s t faux q u e :

* x ' v y e t y - 5 * a =2> x -> a .

* x - > y e t y ^ z = x > z .

P r o p r i é t é 7 :

Si X est s t l / p , si E est une p a r t i e stl/p de X et si x 6 X a l o r s :

( v ^ P y ¹ e E ^Y P ^ X ) ( v ^y e E y P*x ) ..

P r e u v e :

Il s u f f i t de r e m a r q u e r q u e pour tout x stl/p et tout U stl/p d a n s 0 ( x ) ,

( v^{l/ p}y^l (y e E ^ y e u ) <±=^ ( v y ( ^y G E = = > ^y e u ) .

(On a a p p l i q u é les a x i o m e s de g r a d u a t i o n aux c o n s t a n t e s E et U p u i s , l ' a x i o m e de t r a n s f e r t . )

P r o p r i é t é 8 :

Si X est un e s p a c e m é t r i q u e s t l / p , F et G d e s p a r t i e s stl/p de X a l o r s :

( v s t i / P + i e F V3 t i /P+ i e G X ^ ^{Y )} ^ ^{( V X E} F v y e G x Z y ) .

P r e u v e :

F a i r e u n e d é m o n s t r a t i o n a n a l o g u e à c e l l e de la p r o p r i é t é 7 ou a p p l i ­ quer la p r o p r i é t é 7 avec X = jR et E = d( F x G ) .

I I . 2 Q u e l q u e s a p p l i c a t i o n s _ é l é m e n t a i r e s _ à _ l a _ t o p o l o l ^ a n a l y s e :

T h é o r è m e 1 :

Si ( X , 0 ) est s t l / p et si a 6 X est s t l / p a l o r s , il e x i s t e V 6 0 ( a ) tel que V stl/p+1 et tous les p o i n t s de V sont i n f i n i m e n t p r o c h e s de a d ' o r d r e p.

P r e u v e :

A p p l i q u e r l ' a x i o m e d ' i d é a l i s a t i o n à la r e l a t i o n d ' i n c l u s i o n d é f i n i e sur 0 ( a ) .

T h é o r è m e 2 :

S o i t A C X et a 6 X t e l s que S ( X ) ^ S ( A ) ^ S ( a ) .alors : o

i ) x 6 A si et s e u l e m e n t si ( x a =£> x 6 A ) .

i i ) x 6 A si et s e u l e m e n t si 3 x G X (x -> a et x 6 A ) . P r e u v e :

i ) P o u r é t a b l i r la n é c e s s i t é , d o n n o n s n o u s un x -> a.

o

a 6 A <T=> Ï U G O ( a ) ( U c : A ) s t l / p ( a )

^=> 3 U G 0 ( a ) ( U o A ) ( T r a n s f e r t ) . D ' a u t r e part ( x •> a et U ^q s t l / p ( a ) ) x 6 U ^Q d o n c : x G A.

La r é c i p r o q u e d é c o u l e du t h é o r è m e 1.

i i ) La c o n d i t i o n est n é c e s s a i r e : En e f f e t ,

s o i t V, d o n t l ' e x i s t e n c e est a s s u r é e par le t h é o r è m e 1 a y a n t t o u s ses p o i n t s i n f i n i m e n t p r o c h e s de a, a 6 A d o n c : il e x i s t e x G V A A . C ' e s t l ' é l é m e n t c h e r c h é .

R é c i p r o q u e m e n t , si il e x i s t e x G A tel q u e x 4 a a l o r s , par d é f i n i t i o n de la r e l a t i o n :

s t l / p ( a )

v U e O ( a ) U O A ^ O d ' où a p r è s t r a n s f e r t , V U G 0 ( a ) U O A £ 0 .

D o n c , x 6 A .

On voit que le t h é o r è m e précéden_t p e r m e t une f o r m u l a t i o n

d i r e c t e d e s p r o p r i é t é s : x G A, x 6 A, x 6 A , . . . e t c . . . . C e c i est une n o u v e a u t é car , d a n s les t h é o r i e des i n f i n i t é s i m a u x de R o b i n s o n où de N e l s o n , on a v a i t , pour a et A s t a n d a r d a C A ssi pour

tout x <\j a x 6 A m a i s , c o m m e x n'est pas s t a n d a r d , on n ' a v a i t

d ' a u t r e r e c o u r s que d ' u t i l i s e r une d é f i n i t i o n c l a s s i q u e d e s p o i n t s a d h é r e n t s pour d i r e x G A.

N o u s p o u v o n s par e x e m p l e é c r i r e : o

x 6 A < = > 3 y ( y - ^ x e t ( z - * y = > z 6 A ) ) . 0_

x C A <=> V y ( y x ^ 9 z ( z ^ y e t z G A ) ) .

Il ne n o u s est pas possible^ s o u s p e i n e d'allonger c o n s i d é r a b l e - m e n t cet a r t i c l e , d e r e p r e n d r e t o u t e s les a p p l i c a t i o n s d é v e l o p p é e s d a n s f i o ] . N o u s n o u s b o r n e r o n s d o n c aux s i t u a t i o n s où la g r a d u a - tion est n é c e s s a i r e ; pour les a u t r e s cas n o u s l a i s s e r o n s le l e c t e u r f a i r e lui m ê m e l ' a d a p t a t i o n .

Le t h é o r è m e s u i v a n t d o n n e une d é f i n i t i o n de la n o t i o n de l i m i - te en un p o i n t , u t i l i s a n t la r e l a t i o n -> .

S o i e n t E = ( X , 0 ) et E'= ( X ' , 0 ' ) deux e s p a c e s t o p o l o g i q u e s , a un p o i n t de X, a' un p o i n t de X' et f une a p p l i c a t i o n de X d a n s X'.

On p o s e r a k = p ( ( E , E ' , f , a , a ' ) )

T h é o r è m e 3 :

Les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s : i ) lim f ( x ) = a^T.

x-> a

k k i i ) Si x -> a a l o r s f ( x ) a ^f .

P

k k i i i ) Si x -> a a l o r s f ( x ) -> a ^r

P P

Ici p est un e n t i e r q u e l c o n q u e ! s u p é r i e u r a 1.

P r e u v e :

i i i ) =^ i i ) : C'est une é v i d e n c e . i i ) =^ i ) : La c o n d i t i o n i ) s ' é c r i t ,

V U 6 O ( a ' ) 3 V C 0 ( a ) f ( ï ) c U ce qui é q u i v a u t à .stl/k

V U G O ( a ' ) 3 V € 0 ( a ) f ( V ) c U . Pour d é m o n t r e r c e t t e d e r n i è r e a s s e r t i o n , d o n n o n s n o u s U stl/k d a n s 0 ( a ' ) e t c h o i s i s s o n s V G 0 ( a ) tel que pour tout x C V x a. c'est p o s - s i b l e g r â c e à l'axiome de g r a d u a t i o n et au t h é o r è m e 1. La c o n -

d i t i o n i i ) i m p l i q u e f ( x ) ^ a ' d ' a u t r e part U stl/k i m p l i q u e U s t l / p ( a ' ) et c o m m e a' G U, f ( x ) G U d o n c : f ( V ) o U.

i ) =£• i i i ) : P o s o n s q = k + p - 1 , i ) s ' é c r i t ,

\/U 6 O ( a ' ) 3 V ( U ) G 0 ( a ) f ( V ( U ) ) C U .

D a n s c e t t e f o r m u l e , t o u t e s les c o n s t a n t e s sont stl/q d ' a p r è s l ' a x i o m e de g r a d u a t i o n on a donc la f o r m u l e é q u i v a l e n t e , o b t e - nue par t r a n s f e r t ,

stl/q stl/q

V U 6 0 ( a ' ) 3 V ( U ) 6 0 ( a ) f ( V ( U ) ) C U . i n stl/q

Si x ^ a a l o r s x % a , V U x 6 V ( U ) d o n c : f ( x ) G U d'où P

f ( x ) % a¹ c e q u i s ' é c r i t a u s s i : f ( x ) ^ a' .

R e m a r q u e s :

* Si lim f ( x ) = a' on a n é c e s s a i r e m e n t S ( a^? ) ^ S ( ( E , E ' ,f , a ) ) . x a

C e l a d é c o u l e de l'unicité de la l i m i t e et du t h é o r è m e de t r a n s f e r t .

* On peut for bien a v o i r S ( a ' ) > S ( ( E , E ' , f , a ) ) . E x e m p l e :

X = X^T = IR , a un réel non s t a n d a r d f ( x ) = x - a.

lim f ( x ) = 0 S ( 0 ) > S ( a ) . x -> a

La d é m o n s t r a t i o n des t h é o r è m e s s u i v a n t s ( T h é o r è m e s 4 à 7 ) est l a i s s é e au l e c t e u r . R e m a r q u o n s s e u l e m e n t que le t h é o r è m e 4 peut être vu c o m m e un c o r o l l a i r e du t h é o r è m e 3.

Soit (^{x n}) ^{u n e} suite d a n s X m u n i de sa t o p o l o g i e 0 , E = ( X , 0 ) , a 6 X , k = p((a , E,(x ) ) ) . On a a l o r s :

T h é o r è m e 4:

Pour tout e n t i e r p s u p é r i e u r ou égal à l,les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :

i ) lim(x ) = a n ^ oo n

k k i i ) Si n —> +oo a l o r s x — * a .

P n i i i ) Si n —k k > + o o a l o r s x — > a .

P n p

Avec les m ê m e s n o t a t i o n s que p r é c é d e m m e n t on a:

T h é o r è m e 5 :

Pour tout e n t i e r p s u p é r i e u r ou égal à 1, les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :

i ) a est un p o i n t d ' a c c u m u l a t i o n de (x ) .

7 r n

i i ) -il e x i s t e un e n t i e r n tel que n — > 4- oo et x — > a . k k

y P ⁿ

k k i i i ) Il e x i s t e un e n t i e r n tel que n — a + oo et x — * a .

P ⁿ P

Si E et E' sont des e s p a c e s m é t r i q u e s , f une a p p l i c a t i o n de X d a n s X' et k = p ( ( E , E ' , f ) ) on a:

T h é o r è m e 6 :

Pour tout e n t i e r p s u p é r i e u r ou é g a l a 1, les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s .

i ) f est u n i f o r m é m e n t c o n t i n u e . i i ) Si x a l o r s

f(x)r!S

f ( y ) . i i i ) Si x' W y a l o r s f ( x ) 'NS f ( y ) .

p^; p ^w

S o i e n t (f ) une s u i t e de f o n c t i o n s de X d a n s Xf, f une f o n c t i o n n

de X d a n s X^f et k = p ( ( E , E ' ,(f ) , f ) ) ; on a a l o r s :

T h é o r è m e 7 :

P o u r tout e n t i e r p s u p é r i e u r ou égal à 1 les c o n d i t i o n s s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s :

i ) (^ⁿ) c o n v e r g e u n i f o r m é m e n t v e r s f sur X.

i i ) Si n +oc a l o r s , pour tout x d a n s X, f ^ ( x ) ^v/ f ( x ) . k k k • k

i i i ^y Si n +oc a l o r s , pour tout x d a n s X, f ^ ( ^ ) '"V/^ f ( x ) .

A t i t r e d ' i l l u s t r a t i o n , n o u s a l l o n s u t i l i s e r les c a r a c t é r i s a t i o n s p r é c é d e n t e pour é t a b l i r le t h é o r è m e c l a s s i q u e :

T o u t e l i m i t e u n i f o r m e de f o n c t i o n s c o n t i n u e s est une f o n c t i o n c o n t i n u e .

G r â c e à l ' a x i o m e de t r a n s f e r t , il s u f f i t de l ' é t a b l i r pour E , E ' , (f ) et f s t a n d a r d . Pour la m ê m e r a i s o n , la c o n t i n u i t é de f sera

n

é t u d i é e s e u l e m e n t en des p o i n t s s t a n d a r d ;

Soit donc a un poit s t a n d a r d et x —X-^a . Il s u f f i t de m o n t r e r que f (^x) f ( a ) ( T h é o r è m e 3 ) .

La d é m o n s t r a t i o n peut se r é s u m e r d a n s le d i a g r a m m e s u i v a n t , où l'entier n est s t l / 2 et i n f i n i m e n t g r a n d :

(Th 7 )

fⁿ( x ) 'X/ f ( x ) (Th 3 ) 2

i

f ( a ) f ( a )

n (Th 4 )

Il d é c o u l e du d i a g a m m e que f ( x ) — » f ( a ) , C . Q . F . D .

Si l'on c o m p a r e c e t t e d é m o n s t r a t i o n à c e l l e de R o b i n s o n^TS] p . 1 1 7 , on c o n s t a t e q u ' e l l e va plus loin d a n s l'usage des i n f i n i t é s i m a u x c a r , c o m m e il le dit lui m ê m e , sa p r e u v e ne fait pas u s a g e des c o n d i t i o n s n o n - s t a n d a r d de c o n v e r g e n c e u n i f o r m e .

Pour qui n'est pas f a m i l i a r i s é avec les i n f i n i t é s i m a u x la d é m o n s - t r a t i o n c i - d e s s u s peut s e m b l e r a u s s i c o m p l i q u é e que la p r e u v e c l a s - s i q u e et ne p r é s e n t e r q u ' u n i n t é r ê t t h é o r i q u e . L ' e x e m p l e s u i v a n t d e v r a i t f a i r e é v o l u e r ce point de v u e .

D a n s ce qui s u i t , n o u s s u p p o s e r o n s que la s u i t e ( f ⁿ ) c o n v e r g e s i m p l e m e n t vers f et a l l o n s m o n t r e r que l ' a n a l y s e n o n - s t a n d a r d

( g é n é r a l i s é e ) p e r m e t une d e s c r i p t i o n a g é a b l e de l ' e n s e m b l e des p o i n t s de c o n t i n u i t é de f.

S o i e n t d o n c (f } ^{e t} f des f o n c t i o n s de X d a n s X', d une m é - n G N

t r i q u e sur X'. P o u r c h a q u e réel p o s i t i f et c h a q u e e n t i e r m on pose P^( s) = { x G X / d ( f ^m( x ) , f ( x ) ) <: ^ } i N o u s s u p p o s e r o n s e n c o r e que tout est s t a n d a r d . Si les sont c o n t i n u e s et si (f ) c o n v e r g e s i m p l e m e n t v e r s f on a:

T h é o r è m e 8 :

P o u r tout réel p o s i t i f £ tel que £ 0 et tout e n t i e r m ~ > + œ , l ' e n s e m b l e des p o i n t s de c o n t i n u i t é de f e s t :

E = st( ? ( £ ) ) . m

P r e u v e :

e

Soit x s t a n d a r d , un p o i n t de c o n t i n u i t é de f et soit y x . On a le d i a g r a m m e s u i v a n t : (On pose p = p ( m ) )

(Th 3 )

f ( y ) f (x)

p PT (Th 4 ) m m

(Th 3 ) P

On en d é d u i t que f^m( Y ) ^^J f ( Y ) d o n c : d ( f ( y ) , f ( y ) ) < £ car £ s 11/p C e c i é t a n t v r a i pour tout y -> x ;

x e ?m(& ).

O

P o u r la r é c i p r o q u e , d o n n o n s n o u s un s t a n d a r d x d a n s P m( S ^ 5 ^s i y x on a le d i a g r a m m e s u i v a n t :

f ( y ) f ( x ) (y 6 P^m( £ ) et £ * 0 ) S P F (Th 4 )

fm < ^ — ^fn<^x>

(Th 3 )

On d é d u i t du d i a g r a m m e que f ( y ) — » f ( x ) , et du t h é o r è m e 3, c o n d i t i o n o

i i ) . que f est c o n t i n u e en x. En c o n c l u s i o n : E et P ( £ ) ont les m ê m e s o

p o i n t s s t a n d a r d d o n c , E = s t ( P (£ ) ). C . Q . F . D . m '

On voit que la d é m o n s t r a t i o n est e x t r ê m e m e n t s i m p l e et n a t u r e l l e , c o m p a r é e à c e l l e que l'on peut t r o u v e r par e x e m p l e dans ("il] 1 3 , où Y o s i d a o b t i e n t pour E l ' e x p r e s s i o n :

oo oo ° , , ,

E = fl U ^P m ^{( 1 / n )} '

n=l m=l

A v a n t d ' a b o r d e r l ' a p p l i c a t i o n s u i v a n t e , v o i c i e n c o r e des d é f i n i t i o n s .

1- y G X est dit p r e s q u e - s t a n d a r d si il e x i s t e u n s t a n d a r d x tel que y —* x .

2-Si X est un e s p a c e m é t r i q u e , l ' é l é m e n t x de X est dit l i m i t é si il e x i s t e un e n s e m b l e b o r n é s t a n d a r d B tel que x G B.

N o u s a u r o n s b e s o i n du c r i t è r e n o n - s t a n d a r d de c o m p a c i t é s u i v a n t : Une p a r t i e s t a n d a r d K de X est c o m p a c t e si et s e u l e m e n t s i , pour tout x 6 K, il e x i s t e un s t a n d a r d s d a n s K tel que x s .

R a p p e l i o n s a u s s i q u ' u n e a p p l i c a t i o n f de X d a n s X' est d i t e c o m - p a c t e si l ' i m a g e par f de tout b o r n é est r e l a t i v e m e n t c o m p a c t e .

Le t h é o r è m e s u i v a n t est d é m o n t r é d a n s [8] par R o b i n s o n t o u t e f o i s , sa d é m o n s t r a t i o n r e s t e p a r t i e l l e m e n t c l a s s i q u e .

N o u s s u p p o s e r o n s X' r é g u l i e r .

T h é o r è m e 9 :

f est c o m p a c t e si et s e u l e m e n t si pour tout x l i m i t é , f ( x ) est p r e s q u e s t a n d a r d .

P r e u v e :

Pour la n é c e s s i t é : d o n n o n s n o u s un x l i m i t é d a n s X. Par d é f i n i t i o n , il e x i s t e un b o r n é s t a n d a r d B c o n t e n a n t x. C o m m e f ( x ) C f ( B ) et que f ( B ) est c o m p a c t , le c r i t è r e n o n - s t a n d a r d de c o m p a c i t é n o u s p e r m e t de c o n c l u r e .

Pour la s u f f i s a n c e , il s u f f i t d ' é t a b l i r la p r o p r i é t é f ( B ) r e l a t i - v e m e n t c o m p a c t , p o u r B s t a n d a r d .

Soit donc B un b o r n é s t a n d a r d et x G f ( B ) . D ' a p r è s le t h é o r è m e 2 , il e x i s t e y G f ( B ) tel que : y—»x . D ' a u t r e p a r t , y est p r e s q u e - s t a n - dard par h y p o t h è s e ; il e x i s t e donc un s t a n d a r d z tel q u e : y-> z .

On a donc le s c h é m a s u i v a n t :

y _ ^ X

l z

On tire de la p r o p o s i t i o n 6 et du fait que z est standard^ que

x—>z . D ' a u t r e p a r t , z G f ( B ) ( P r o p o s i t i o n 2 ) ; la c o n c l u s i o n d é c o u l e du c r i t è r e n o n - s t a n d a r d de c o m p a c i t é .

N o u s i n v i t o n s le l e c t e u r à c h e r c h e r en q u o i n o t r e d é m o n s t r a t i o n d i f f è r e de c e l l e de R o b i n s o n .

I I . 3 A p p l i c a t i o n aux é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s :

Ce qui suit est un début d ' a p p l i c a t i o n de la m é t h o d e des i n f i n i - t é s i m a u x aux é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s p r e s q u e - p é r i o d i q u e s . C e t t e é t u d e sera p o u r s u i v i e et a p p r o f o n d i e dans un a u t r e a r t i c l e t o u t e - f o i s , l e s p r e m i e r s r é s u l t a t s p r é s e n t é s ici sont o r i g i n a u x .

Une n o t i o n de p r e s q u e - p é r i o d e :

D a n s [7] T. Sari m o n t r e que l ' a n a l y s e n o n - s t a n d a r d p e r m e t d ' i n - t r o d u i r e une n o t i o n de p r e s q u e - p é r i o d e , a b s e n t e d a n s la t h é o r i e c l a s s i q u e des f o n c t i o n s p r e s q u e - p é r i o d i q u e s .

Soit f une a p p l i c a t i o n de !R d a n s un e s p a c e n o r m e E , nous p o s e r o n s avec Sari :

Déf i n i t i o n 4 :

On dit que Z est une p r e s q u e - p é r i o d e de f si pour t d a n s (R ,

f ( t + Z ) ^ f ( t ) . On note P ( f ) l ' e n s e m b l e des p r e s q u e - p é r i o d e s de f.

R e m a r q u o n s que l ' e n s e m b l e P ( f ) est e x t e r n e (c'est un i n c o n v é n i e n t ) .

Si £ est un réel p o s i t i f on pose :

p ( f , & ) = ( î e R / v t e R I I f ( t + ? ) - f (t)ii < e ) .

On dit c l a s s i q u e m e n t que la f o n c t i o n c o n t i n u e f est p r e s q u e - p é r i o - d i q u e ( P . P . ) s i , pour tout £, , P ( f , E ) est r e l a t i v e m e n t d e n s e ( R . D . ) d a n s |R . R a p p e l i o n s q u ' u n e n s e m b l e E e s h R . D . si pour tout réel

p o s i t i f £ il e x i s t e un réel 1 ( £') tel q u e , pour tout réel a, E O f a a + l(£)] est non v i d e .

D a n s 7 S a r i é t a b l i t le t h é o r è m e : T h é o r è m e 10 :

la f o n c t i o n c o n t i n u e f est P.P. si et s e u l e m e n t si P ( f ) est R . D .

R e m a r q u e s :

* Soit t un i n f i n i m e n t petit q u e l q u o n q u e m a i s fixé ( d ' o r d r e s u f f i - s a n t ) a l o r s , il est clair que P ( f , £, ) est c o n t e n u dans P ( f ) , on en d é d u i t que f est P . P ssi P ( f , £,) est R.D.

* P ( f ) p o s s è d e une s t r u c t u r e de g r o u p e ( a n a l o g u e du g r o u p e des p é - r i o d e d'une f o n c t i o n p é r i o d i q u e ) par c o n t r e , ce n'est pas le cas pour P(f,e)

Soit (f ) ^{0 T /} , une f a m i l l e s t a n d a r d de f o n c t i o n s P.P. On n o t e r a x xGK

K 1' e n s e m b l e e x t e r n e des s t a n d a r d de K on a a l o r s : s

T h é o r è m e 11 :

L ' e n s e m b l e e x t e r n e P ( f ) = FI P ( f ) est r e l a t i v e m e n t d e n s e d a n s 1R.

S xGK ^X

s P r e u v e :

Soit £ un i n f i n i m e n t petit p soit P (f ,£)= H P(f , £ ) , et c o n -

S X xGK ^x

/• > s

s i d é r o n s la f o r m u l e a deux v a r i a b l e s :

jb(x,L)

= ( V a 6 |R P( f^x, L) n[ a a + L} ^

On sait ( [l2] p. 19 ) que toute i n t e r s e c t i o n f i n i e d ' e n s e m b l e s de la f o r m e P ( f^x, £ ) est r e l a t i v e m e n t d e n s e d a n s (R, il s u f f i t donc d ' a p p l i q u e r l ' a x i o m e d ' i d é a l i s a t i o n à la f o r m u l e p pour é t a b l i r que P ( f , £ ) est R . D . C o m m e P ( f , £ ) est c o n t e n u d a n s P ( f ) , la

s s s d é m o n s t r a t i o n est t e r m i n é e .

F o n c t i o n s u n i f o r m é m e n t p r e s q u e - p é r i o d i q u e s :

Soit f : K X R E une f o n c t i o n c o n t i n u e ; p o s o n s f = f ( x , ) . x

On dit c l a s s i q u e m e n t que f est u n i f o r m é m e n t p r e s q u e - p é r i o d i q u e ( U . P . P . ) sur K si pour tout réel p o s i t i f £ , P(f,£.) = fi P(f ,£) est r e l a -

xGK ^X

t i v e m e n t d e n s e d a n s |R.

On a la c a r á c t e r i s a t i o n n o n - s t a n d a r d s u i v a n t e de 1 ' u n i f o r m e p r e s - q u e - p é r i o d i c i t é :

T h é o r è m e 12 :

f est p r e s q u e - p é r i o d i q u e u n i f o r m é m e n t sur K si et s e u l e m e n t si P ( f ) = ^xg g ^ ( ^^x) ^{e s t} r e l a t i v e m e n t d e n s e d a n s )R .

P r e u v e :

L a i s s é e au l e c t e u r .

Le t h é o r è m e s u i v a n t é t a b l i t un lien e n t r e la p r e s q u e - p é r i o d i c i t é des f et 1 ' u n i f o r m e p r e s q u e - p é r i o d i c i t é de f .

T h é o r è m e 13 :

Si K est un e s p a c e t o p o l o g i q u e c o m p a c t et si t o u t e s les f sont p r e s q u e - p é r i o d i q u e s a l o r s :

f est U . P . P . sur K si et s e u l e m e n t si f est c o n t i n u e en x u n i f o r - m é m e n t par r a p p o r t à t.

P r e u v e :

Pour la s u f f i s a n c e , il s u f f i t de m o n t r e r que P ( f ) est c o n t e n u d a n s P ( f ) et d ' u t i l i s e r le t h é o r è m e 1 1 .

S u p p o s o n s t o u t e s les c o n s t a n t e s du t h é o r è m e s t a n d a r d et d o n n o n s n o u s Z d a n s P ( f ) .

Pour tout y d a n s K il e x i s t e un s t a n d a r d x dans K (son o m b r e ) , t e l q u e y—>x (On a p p l i q u e le c r i t è r e n o n - s t a n d a r d de c o m p a c i t é ) .

La c o n d i t i o n de c o n t i n u i t é u n i f o r m e par r a p p o r t à t ( U . C . / t ) peut

x

s ' é c r i r e : si y—>x a l o r s , pour tout t f (y , t ) ^ v f (x, t ) . on a donc le d i a g r a m m e s u i v a n t :

f ( y , t + ) f(y ,t)

( u . c. / t ) S S ( u . c. / t ) f ( x , t + ) ^ f ( x , t )

( e P ( fx) )

Il d é c o u l e c l a i r e m e n t du d i a g r a m m e q u e ? 6 P ( f ) .

P o u r la r é c i p r o q u e , s u p p o s o n s P ( f ) R . D . et s o i t L tel q u e p o u r tout a^;P ( f ) r e n c o n t r e [a a + L ] . On p e u t d é m o n t r e r q u e L n ' e s t g é n é r a l e m e n t p a s s t a n d a r d ( L st ssi f est p é r i o d i q u e ) .

Il s u f f i t de m o n t r e r q u e si x est s t a n d a r d et si y x a l o r s , p o u r t o u t r é e l t, f ( y , t ) ^{r s}^ f ( x , t ) ; c e l a d é c o u l e du d i a g r a m m e :

f L y — > x

k z(t) e C-t -t+L~]

( U . P . P . )

f ( x , t + ? ( t ) ) ^ f ( x , t ) ( U . C . / K X [ 0 L]) S

f ( y , t + t ( t ) ) ~ f ( y , t ) ( U . P . P . )

E q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s p r e s q u e - p é r i o d i q u e s : C o n s i d é r o n s l'équation d i f f é r e n t i e l l e ,

(E) x = f ( x , t ) avec x G I Rⁿ , t GIR ³ f p r e s q u e p é r i o d i q u e . ( E ) admet-elle une s o l u t i o n p r e s q u e - p é r i o d i q u e ? La r é p o n s e est en g é - néral n o n , si on ne fait pas d ' a u t r e s h y p o t h è s e s . Nous a l l o n s tenter en u t i l i s a n t la n o t i o n de p r e s q u e - p é r i o d e de trouver des c o n d i t i o n s s u f f i s a n t e s d ' e x i s t e n c e de t e l l e s s o l u t i o n s .

A v a n t d'aller plus l o i n , i n t r o d u i s o n s une f a m i l l e a u x i l i a i r e d' é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s .

(E ) x = f^C( x , t ) avec £ G IR et f^£( x , t ) = f ( x , t + £ ) . o

On s u p p o s e r a que pour tout ^ et pour tout x ^ 6 |R ⁿ , le p r o b l è m e de

Z

C a u c h y : f x = f (x , t )

a d m e t une u n i q u e s o l u t i o n d é f i n i e pour tout t.

Z

On n o t e r a F .x c e t t e s o l u t i o n et on é c r i r a F sans indice t , t ° t, t

o o s u p é r i e u r , quand % = 0 .

On r a p p e l l e les p r o p r i é t é s c l a s s i q u e s s u i v a n t e s , dont la d é m o n s - t r a t i o n est é v i d e n t e .

* Pour tous t, t , t.,F = F .F

t ' ^t l

h ^ o z

** Pour t o u tZ et tous t, t , F = F

°

^t

'

^t

o

^{t +}

^o

^+Z

Le t h é o r è m e s u i v a n t est une p r o p r i é t é des t r a j e c t o i r e s d ' é q u a t i o n s d i f f é r e n t i e l l e s p r e s q u e - p é r i o d i q u e s .

N o u s s u p p o s e r o n s f et t^Q s t a n d a r d pour s i m p l i f i e r l ' é n o n c é t o u t e f o i s , la g é n é r a l i s a t i o n ne p r é s e n t e a u c u n e d i f f i c u l t é .

T h é o r è m e 14 :

Si f est l i p s c h i t z i e n n e (de c o n s t a n t e k ) et u n i f o r m é m e n t p r e s q u e - p é r i o d i q u e a l o r s , il e x i s t e un r é e l s t l / 2 S tel que S ~> + oo e t un e n s e m b l e r e l a t i v e m e n t d e n s e P c o n t e n u d a n s P ( f ) tel que :

\/x

e K

ⁿ

, V î e p, V t e f t - s t +s] ,

F . X ^ F ^ . X .

o o t, t t, t

o o P r e u v e :

D o n n o n s n o u s £ 0 , £, s t l / 2 et p r e n o n s P = P ( f , £ ) . L ' e n s e m b l e P est c l a i r e m e n t s t l / 2 -

Pour tout e n t i e r s t a n d a r s n et pour tout x 6 (Rⁿ on a, pour c h a - que € 6 P ( f ) et pour tout t ; ' Il f ( x , t ) - f ( x , t ) I' < 1 / n . On en d é - duit l ' i n é g a l i t é :

£ k)t-t | V x

e R

ⁿ

, h e p, V

^t

e

IR

, Il

F . X - F ^.x

|| ^ I

t - t | . i / n . e ° .

t, t t, t ° o o

Soit A l ' e n s e m b l e des e n t i e r s n t e l s que pour tout e n t i e r m ^ n, l ' i n é g a l i t é c i - d e s s u s est v r a i e . A est un e n s e m b l e i n t e r n e c o n t e - nant t o u s les s t a n d a r d o r s , c e u x - c i ne c o n s t i t u e n t p a s un e n s e m b l e i n t e r n e donc : A c o n t i e n t un i n f i n i m e n t g r a n d , N. Il est c l a i r que l'on peut c h o i s i r N s t l / 2 .

k.s

P o s o n s g ( s ) = s.e ; g est c r o i s s a n t e pour s p o s i t i f et q u a n d s tend v e r s + oo g ( s ) tend v e r s p l u s l ' i n f i n i ; c o m m e g est s t a n d a r d , il e x i s t e S s t l / 2 tel q u e , si 0 ^ s ^ S , a l o r s g(s)^C \/~N

- 28 -

On c o n c l u t en r e m a r q u a n t que si It-t 1<S a l o r s , o ^x

|t-t 1 . 1 / N . e^k'^{t t} o ^ 1/N ^ 0 . C e c i a c h è v e la d é m o n s t r a t i o n .

Le t h é o r è m e qui suit est un pas de p l u s v e r s l ' e x i s t e n c e d'une s o l u t i o n p r e s q u e - p é r i o d i q u e . Soit h une t e l l e , s o l u t i o n

N o u s s a v o n s que t o u t e s o l u t i o n p r e s q u e p é r i o d i q u e est n é c e s s a i - r e m e n t b o r n é e de p l u s , si t —* + oo , on doit a v o i r , pour t o u t e p r e s - q u e - p é r i o d e : h ( t + C ) ^ h ( t ) .(C'est m ê m e v r a i pour tout t par d é - f i n i t i o n . ) L ' e x i s t e n c e d'une s o l u t i o n b o r n é e v é r i f i a n t à l ' i n f i n i la c o n d i t i o n p r é c é d e n t e n ' a s s u r e pas de l ' e x i s t e n c e d'une s o l u t i o n p r e s q u e - p é r i o d i q u e c e p e n d a n t n o u s a v o n s : pour f s t a n d a r d ,

T h é o r è m e 15 :

Si f est de c l a s s e C ^ , l i p s c h i t z i e n n e et u n i f o r m é m e n t p r e s q u e - p é r i o d i q u e ; s'il e x i s t e une s o l u t i o n h ( t ) t e l l e q u e :

i ) h ( t ) est b o r n é e ,

i i ) Si t -> + oo a l o r s , pour tout t 6 P ( f ) h ( t + £ ) ^ h ( t ) , a l o r s il e x i s t e une s o l u t i o n k ( t ) , un i n f i n i m e n t grand S et un e n - s e m b l e r e l a t i v e m e n t d e n s e P c o n t e n u d a n s P ( f ) t e l s q u e ,

V e P, \/t eft -S t +S] , k ( t + t ) ~ k ( t ) . (t est le t e m p s

o o o i n i t i a l ) .

P r e u v e :

D o n n o n s n o u s u n £ - * 0 , s t l / 2 et p r e n o n s pour S c e l u i qui n o u s est f o u r n i par le t h é o r è m e 1 4 . On peut é c r i r e h ( t ) = F .x avec

t et x s t a n d a r d . De l ' h y p o t h è s e i ) et de la c a r a c t é r i s â t i o n

o o ^{J F J}

n o n - s t a n d a r d des p o i n t s d ' a c c u m u l a t i o n ( T h é o r è m e 5 ) , on d é d u i t l ' e x i s t e n c e d'une p r e s q u e - p é r i o d e % G P = P ( f , £ ) et d'un s t l / 2 ,

2 — 2

x tels que F _ .x — ^ x et + t +_{o > o}

C,

^{t °}

P o u r tout s t l / 2 t S ft -S t + S~\ et tout s t l / 2 ^fcC P, on a les

L o o ^J

é q u i v a l e n c e s s u i v a n t e s :

F .^Xl

\ ( C o n t i n u i t é / c o n d i t i o n s i n i t i a l e s ) F . F _ .x

t + C,t t +Z,t ° o o o

r ( T h é o r è m e 14 ) F _ _ . F _ .x = F _ . x

t + £fC,t + £ t +c,t ° t + 'C+X, t °

o o o o

^ ( + £ ⁺ o o , c o n d i t i o n i i ) . )

F _ .x = F _ _ . F _ .x t + C , t ° t + C,t + t t +T,t °

o o - o o

S ( T h é o r è m e 14 ) F . F .x

t , t t t ° o o o

^ ( C o n t i n u i t é / c o n d i t i o n s i n i t i a l e s ) F .^x

t , t

O

On c o n c l u t en a p p l i q u a n t la p r o p r i é t é 8 du 1/ .

On voit c o m m e n t on peut o b t e n i r des c o n d i t i o n s s u f f i s a n t e s

d ' e x i s t e n c e de s o l u t i o n s p r e s q u e - p é r i o d i q u e s . En e f f e t r e m p l a ç o n s la c o n d i t i o n i i ) du t h é o r è m e 15 par la c o n d i t i o n plus g é n é r a l e

i i ) ' S i t - * + o o, t e P ( f ) et 6 P ( f ) a l o r s F .h(t + £^f) < v F .h(t + £ )

t+

Z

t ° t , t °

o o on a u r a pour tout t s t l / 2 à l ' e x t é r i e u r de Ct -S t + S ] et tout X,

s t l / 2 d a n s P le d i a g r a m m e s u i v a n t :

F .h(t + £ ) ^ F . h(t + ? ) f e . T . " T . T „ °

2 I ²

i

F . x¹ F . X j

t + t , t^Q t,t^

On en d é d u i t , par t r a n s f e r t , que :

\ft / jt-t | > S , V C 6 P , F . x ^ y F .x .

° t,to t+£,t

Ce d e r n i e r r é s u l t a t , joint à la c o n c l u s i o n du t h é o r è m e 15 n o u s p e r m e t d ' a f f i r m e r que F . x¹ est une s o l u t i o n p r e s q u e - p é r i o d i q u e .

A N N E X E

D a n s une p r e m i è r e p a r t i e d o n n o n s une d e s c r i p t i o n d é t a i l l é e de la t h é o r i e de A. R O B I N S O N .

I - L ' A N A L Y S E NON S T A N D A R D V U E PAR A. R O B I N S O N

R a p p e l o n s b r i è v e m e n t la d é f i n i t i o n de 1 ' e n s e m b l e T d e s t y p e s . Un type est un o b j e t c o n s t r u i t à p a r t i r d'un o b j e t

a r b i t r a i r e noté o et en un n o m b r e fini d ' é t a p e s par a p p l i c a t i o n des r è g l e s s u i v a n t e s :

i ) o est un type

i i ) si n est un e n t i e r p o s i t i f et si , ^ , . . . ^ sont des t y p e s a l o r s £ = ( , , . . . ^ ) est un t y p e .

Un e n s e m b l e A é t a n t d o n n é , on peut m a i n t e n a n t d é f i n i r le type d'une r e l a t i o n sur A. On p r o c è d e c o m m e suit :

On dit q u ' u n é l é m e n t de A est une r e a l t i o n dis type o.

Soit = (^i> ^2 ' " " " ^^{U n} ^YV^e' s u p p o s o n s d é f i n i l ' e n s e m b l e des r e l a t i o n s de type ^ , l ' e n s e m b l e d e s r e l a t i o n s de t y p e

^2» l ' e n s e m b l e des r e l a t i o n s de type c! ⁿ sur A, n o t o n s A ^ , A , .... A ces d i f f é r e n t s e n s e m b l e s de r e l a t i o n s ,

1 2 n

appellera r e l a t i o n de type sur A t o u t e p a r t i e de A X A ^ x .... x A

On n o t e r a A ^ l ' e n s e m b l e d e s r e l a t i o n s de type Z, sur A.

On v o i t que de p r o c h e en p r o c h e on peut d é f i n i r A ^ pour tout Z £ T. En fait :

A^o = A , A^(o)= < ? < A )T A^{( 0 ; 0)} =

o

^J{k

„

^{A )}

,

A( o , ( o ) )^{= 9 (A} * ( A ) ) e t c . . . P O u r tout , k^z 6 A⁽^^} ( n = l )

I 1 . S t r u c t u r e s d ' o r d r e s u p é r i e u r

Un e n s e m b l e A é t a n t d o n n é on a p p e l l e r a s t r u c t u r e d ' o r d r e s u p é r i e u r sur A un e n s e m b l e M =

1^^\^q

^«j tel q u e :

i ) B = A o

i i ) e s t u n e p a r t i e de A ^

i i i ) s i £ = ( t j , ^ , tⁿ) , si R G B ^ et ( R -, , R⁰ , . . . R ) G R a l o r s ,

1 z n R^ G B^. p o u r c h a q u e i

i

I 2 . L a n g a g e d ' o r d r e s u p é r i e u r :

Un l a n g a g e d ' o r d r e s u p é r i e u r A e s t d é f i n i par la d o n n é e de s y m b o l e s a t o m i q u e s q u i s o n t :

i ) D e s c o n s t a n t e s i n d i v i d u e l l e s en n o m b r e a r b i t r a i r e m a i s f i x é , i i ) D e s v a r i a b l e s en n o m b r e i n f i n i m a i s d é n o m b r a b l e .

i i i ) Un s y m b o l e de r e l a t i o n n + l - a i r e p o u r c h a q u e t y p e

Z = C"ⁿ ) n o t é ^ et a u c u n a u t r e s y m b o l e de r e l a t i o n . i v ) L e s c o n n e c t e u r s l o g i q u e s u s u e l s :

1 ( n é g a t i o n ) , V ( d i s j o n c t i o n ) , A ( c o n j o n c t i o n ) ,

=> ( i m p l i c a t i o n ) .

v ) L e s q u a n t i f i c a t e u r s (V) et ( 3 ) . v i ) L e s c r o c h e t s T et ] .

O n d é f i n i t e n s u i t e l e s f o r m u l e s b i e n f o r m é e s de la m a n i è r e h a b i t u e l l e .

- 33 -

Les formules du type

7 _cc

(xo'x l "" .xn) avec Z'o=(t"l' C2 " .C_{n )} sont destinées par la suite à "désigner" des relations du

ou chaque X. est une relation du

l

type G. sur un ensemble donné A.

l

Aussi dirons-nous que, dans la formule

}Z5z:

(xo'x l ", .x n ), o

chaque x. occupe la place du type ~i'

l _

Grâce à cette précision terminologique, nous allons pouvoir assigner sans ambiguité un type à chaque constante

de certaines parties de

A

les ensembles stratifiés de formule.

Une partie K de A sera dite stratifiée si chaque variable ou constante de K apparait à la place d'un type et d'un seul dans les formules de K o~ elle intervient. Une constante de K sera dite de type

e

si elle apparait à la place du type ~.

l 3 Interprétation de A dans une structure

Ce qui suit est une quasi-traduction de ~1 p.22.

Soit M

=

[BJ une structure (d'ordre supérieur) bâtie sur un ensemble A et soit C une injection d'un ensemble de cOlstantes de A sur la totalité des relations de M.,

Si r est dans le domaine de C et si C(r) = R nous dirons que r est le nom de R dans le langage A ou que Rest

l'interprétation de r dans la structure M.

Soit X

=

formule atomique entre crochets, nous diron~ que X est admissible dans M (relativement à C) si a, b l , ... ,h n sont dans le domaine de C et désignent des relations R, RI' .Rn de types respectifs