L3 - LOG (Année 2015/2016) N. Portier/A. Das/I. García-Marco TD1 : Je le vois, mais je ne le crois pas
On définit :
– f :A ,→B ≡f est une injection deAdansB – f :A→→B ≡f est une surjection deAdansB – f :A ,→→B ≡f est une bijection deAdansB
Exercice 1. Injection ? Surjection ?
1. Montrer que sif :A ,→Bet siA6=∅, alors∃g:B →→A.
2. Et siA=∅?
3. Et l’inverse ? Difficile de choisir...
Exercice 2.
1. Montrer que on a bienAB×C ,→→ ABC
Exercice 3. Cantor
1. Montrer∀X@f :X →→ P(X)(Cantor fort) 2. En déduire∀X@f :P(X),→X(Cantor faible) 3. Dans le même style :∀A∃x, x /∈A
Exercice 4.
Montrer que6 ∃g:N→→R
Exercice 5. Cantor-Bernstein-Schröder
On suppose (jusqu’à ce qu’on l’ait montré) le Théorème de Cantor-Bernstein-Schröder : Théorème (Cantor-Bernstein-Schröder). S’ils existentf : A ,→ B etg : B ,→ A, alors il existeh:A ,→→B
1. Montrer que sif :X ,→→X×X, avecXinfini, alors∃g:P(X),→→ P(X)× P(X) 2. Montrer que∃f :R,→→ P(N)
3. En déduire que∃g:R,→→R×R
Maintenant on le démontre, deux fois !
4. Lemme : SiB ⊆Aet sif :A ,→B, alors∃g:A ,→→B (utiliserC=∪n∈N{fn(A\B)}).
En déduire le théorème de Cantor-Bernstein-Schröder.
5. Lemme : siG :P(A) → P(A)est telle que∀X, Y ∈ P(A), X ⊆Y ⇒ G(X) ⊆G(Y), alors∃M, G(M) = M. En déduire le théorème de Cantor-Bernstein-Schröder avec G : X7→A\g(B\f(X))
1
