D.Malka – MPSI 2021-2022 – Lycée Jeanne d’Albret 04.12.2021
Durée de l’épreuve : 4h00 L’usage de la calculatrice est autorisé.
L’énoncé de ce devoir comporte 8 pages.
â La numérotation des exercices doit être respectée.
â Les résultats doivent être systématiquement encadrés.
â Les pages doivent être numérotées de la façon suivante : n˚page courante/nombre total de pages.
â Il ne faudra pas hésiter à formuler des commentaires. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
â Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amené à prendre.
Problème 1 – Modèle de Winkessel du système cardiovasculaire
On cherche à décrire de manière globale le système artériel du corps humain par analogie avec un circuit électrique.
Modèle électrique du système artériel
Le cœur joue le rôle de pompe permettant au sang de s’écouler à travers le réseau de vaisseaux sanguins. Il communique avec le réseau artériel via la valve systolique.
Les premières théories, modélisant le débit sanguin dans le système artériel, considèrent les parois de l’aorte et des grosses artères élastiques, comme une « capacité » apte à stocker transitoirement une certaine quantité sanguine. Le réseau artériel est également caractérisé par sa résistance à l’écoulement dont l’on rend compte par sa résistance hydraulique équivalenteR.
Ces modèles globaux de la circulation sanguine permettent d’opérer une analogie avec un circuit électrique moyennant les analogies explicitées fig.1.
Modèle hydraulique Modèle électrique Volume du sangV Charge électriqueq Débit volumiqueD= dV
dt Intensité électriquei= dq dt Pression p Potentiel électriqueφ
Figure1 – Analogies entre système cardiovasculaire et circuit électrique
On peut alors représenter le système artériel par le circuit fig.2.
R C K
P(t)-P∞ D
DC DR
Figure2 – Modèle de Winkessel du système artériel.P(t) est la pression de l’aorte,P∞ est la pression asymp- totique au bout du système artériel.D est le débit volumique sanguin, supposé stationnaire, en provenance du ventricule gauche (ce débit est nul lorsqueK est ouvert).
Dans tout le problème, les équations sont à écrire sur les variables hydrauliques c’est-à-dire D, DC, DR, P, P∞. . .
1. Sur le schéma fig.2, que modélise le générateur de courant ? L’interrupteur ? 2. Par une analogie à expliciter, proposer une relation entre R,DRet ∆P =P−P∞. 3. Justifier la relation suivante :
DC=CdP dt
Battements du cœur
Grossièrement, le cycle cardiaque se divise en deux grandes phases : la systole et la diastole.
— Durant la systole, la valve aortique est ouverte : en se contractant, le ventricule gauche du coeur expulse du sang dans l’aorte plus vite qu’il ne peut s’écouler en raison des résistances périphériques. Il en résulte une augmentation de pression jusqu’à un maximum appelépression systolique. On notets la durée de la systole.
— Durant la diastole, le ventricule gauche du cœur se relâche. La valve aortique se referme et l’aorte se vide du sang qu’elle a emmagasiné vers le reste du réseau. La pression diminue et atteint un minimum appelé pression diastolique juste avant une nouvelle contraction. On notetd la durée de la diastole.
Diastole
À t=ts, c’est le début de la diastole. On notePm=P(ts).
4. Quel est l’état de l’interrupteurK pendant la diastole ?
5. Écrire l’équation différentielle vérifiée par la pressionP(t). On poseraτ=RC.
6. Déterminer l’expression deP(t) durant la diastole en fonction de Pm,P∞ etτ. Systole
On poset= 0 au début de la systole. On poseP(t= 0) =P0. 7. Quel est l’état de l’interrupteurK durant la systole ?
8. Écrire l’équation différentielle vérifiée par la pressionP(t). On poseraτ=RC.
9. En déduire l’expression deP(t) en fonction de P0,P∞,D,R etτ durant la systole.
Évolution de la pression artérielle
10. Représenter la pression artérielle P(t) en fonction du temps durant deux battements cardiaques. Faire apparaître les durées ts,td etT respectivement de la systole, de la diastole et d’un battement cardiaque ainsi que les pressionsP0et Pm.
11. Exprimer la pression systolique Pm et la pression la pression diastolique P0 en fonction des paramètres du modèle.
12. Calculer Pm et P0 en mm Hg pour C = 6,03×10−9m3·Pa−1, R = 1,265×10−8Pa·s·m−3, une fré- quence cardiaque de 70 batt/min, ts = 0,33 s, D = 260×10−6m3·s−1 et P∞ = 7 mm Hg. On rappelle que 1 mm Hg = 136 Pa.
13. En moyenne les pressions systolique et diastolique normales en cm Hg sontPm/P0= 12/8. Commenter.
14. L’expérience donne des résultats ayant l’allure des courbes fig.3. Commenter.
Figure3 – Variations normales de la pression artérielle et du débit sanguin aortiques au cours d’un battement cardique. En pointillé le modèle de Winkessel, en gras la courbe expérimentale.
Problème 2 – Suivi de la décomposition du bleu brillant en présence d’hypochlorite de sodium
L’eau de Javel est une solution à base d’ions hypochlorite capable de décomposer de nombreuses substances organiques comme le bleu brillant (E133), colorant alimentaire fréquemment rencontré dans les boissons et les sucreries de couleur bleue.
La cinétique de la décomposition du bleu brillant en présence d’ions hypochlorite d’équation : E133(aq) + ClO−(aq) = Produits incolores
est suivie par spectrophotométrie en mesurant l’absorbanceAde la solution au cours du temps à une longueur d’onde donnée. On suppose que la vitesse de la réactionv peut se mettre sous la forme :
v=k[E133]α[ClO−]β
oùαest l’ordre partiel par rapport au bleu brillant (E133),βl’ordre partiel par rapport aux ions hypochlorite ClO− et kla constante de vitesse de la réaction. Cette réaction, qui admet un ordre global entier, est réalisée dans les conditions suivantes : température constante et égale à 298 K, milieu réactionnel homogène, réaction quantitative et volume constant.
Absorbance A du bleu brillant en fonction de la longueur d’ondeλexprimée en nm.
Doc.1 – Spectre d’absorption du bleu brillant
Une gamme étalon est réalisée de la façon suivante : à partir d’une solution mère de bleu brillant commercial de concentration molaire volumique connue c0 = 4,72×10−6mol·L−1 , des solutions filles sont préparées en utilisant une verrerie adaptée. On obtient alors une série de solutions de bleu brillant de concentrations cconnues. L’absorbance A de chaque solution est mesurée dans une cuve en plastique de 1 cm d’épaisseur à une longueur d’ondeλadaptée. Les valeurs obtenues sont reportées dans le tableau ci-dessous :
A 0 0,234 0,347 0,456 0,582
c(10−6mol·L−1) 0 1,89 2,83 3,78 4,72 Absorbances et concentrations des solutions.
Doc.2 – Préparation de la gamme de la solution étalon de bleu brillant
Lorsqu’une solution est traversée par un rayonnement polychromatique, elle peut atténuer l’intensité des radiations à certaines longueurs d’onde : on dit qu’elle absorbe ces radiations.
Représentation d’une cuve traversée par un faisceau incident d’intensitéI0,λ . Un faisceau transmis IT ,λ en émerge. La longueur de la cuvel traversée est de 1 cm. L’absorbanceA de la solution est définie par :
A= log IT ,λ
I0,λ
Doc.3 – Absorbance d’une solution
Un faisceau de lumière monochromatique (de longueur d’onde λ) d’intensité incidente I0,λ traverse une longueur l de solution limpide (phénomène de diffusion négligeable) placée dans une cuve. Une partie de la radiation est absorbée par la solution, l’autre est transmise et son intensité est notéeIT ,λ.
Suivi spectrophotométrique de la réaction
On travaille à la longueur d’onde λ = 614 nm, correspondant au maximum d’absorption du bleu brillant, pour réaliser les mesures d’absorbance lors de la réalisation de la gamme de solutions étalons.
1. A quelle couleur correspond le maximum d’absorption du bleu brillant ?
2. Sachant que la longueur d’onde de travail peut fluctuer légèrement dans l’appareil, quel peut-être l’intérêt de travailler au maximum d’absorption ?
3. Détailler le protocole expérimental à mettre en place pour préparer, à partir de la solution mère de bleu brillant, un volume V = 25,0 mL d’une solution de bleu brillant de concentration molaire volumique c= 1,89×10−6mol·L−1.
On rappelle la loi de Beer-Lambert :
A=ε(λ, T)l[E133]
oùl est la longueur de solution traversée par la lumière monochromatique.
4. Cette loi est-elle vérifiée ici ? Si oui, en déduire la valeur du cœfficient d’extinction molaire ε(λ, T) pour T = 298 K etλ= 614 nm.
5. En quoi la spectrophotométrie est une technique de choix pour le suivi cinétique de la réaction de décom- position du colorant E133 ?
Étude cinétique
Protocole expérimental
À l’instant t = 0 min, on place dans un bécher de 50 mL un volumeV1 = 25,0 mL d’une solution aqueuse de bleu brillant de concentration molaire volumique c1 = 4,54×10−6mol·L−1 et un volume V2 = 1,00 mL d’une solution aqueuse d’hypochlorite de sodium (ClO−(aq) + Na+(aq)) de concentration molaire volumique c2= 1,33×10−2mol·L−1.
6. Montrer que les conditions initiales utilisées vont permettre de déterminer la valeur de l’ordre partiel par rapport au bleu brillant (E133). Dans quelle situation cinétique se trouve-t-on ?
7. Montrer alors que la vitesse de réaction v peut se mettre sous une forme simplifiée. On notera kapp la constante apparente de vitesse.
Étude expérimentale
Les résultats de l’étude expérimentale menée à 298 K sont rassemblés dans le tableau ci-dessous.
t (min) 0 2,5 5 7,5 10 15
A 0,582 0,275 0,138 0,069 0,034 0,009 AbsorbanceA mesurée à divers instantst.
8. Montrer que si la réaction est d’ordre 1 par rapport au bleu brillant (E133), l’équation ci-dessous est vérifiée :
ln
A
A0
=−kapp×t
où A et A0 représentent respectivement les valeurs de l’absorbance à l’instant t et à l’instant initial t= 0 min.kappest la constante apparente de vitesse de la réaction.
On admet que :
— si l’ordreα= 0, alorsA=A0−kappεl×t,
— si l’ordreα= 2, alors 1 A = 1
A0
−kapp εl ×t.
9. A partir des graphes fig.4, déterminer l’ordre partiel par rapport à E133 puis déterminer la valeur dekapp
à 298 K.
Afin de déterminer l’ordre partiel β , supposé non nul, par rapport aux ions hypochlorite ClO− , on réalise le même protocole expérimental que précédemment en utilisant toutefois une solution aqueuse d’hypochlorite de sodium (ClO−(aq) + Na+(aq)) de concentration molaire volumiquec3= 6,65×10−3mol·L−1. Les résultats de l’étude expérimentale menée à 298 K sont rassemblés dans le tableau ci-dessous.
t (min) 0 2,5 5 7,5 10 15 A 0,389 0,275 0,195 0,138 0,097 0,069
AbsorbanceA mesurée à divers instantst.
10. Montrer alors que ces nouvelles conditions initiales s’avèrent suffisantes pour déterminer la valeur de l’ordre partiel β par rapport aux ions hypochlorite.
11. En déduire la valeur de la constante de vitesse k de la réaction de décomposition du bleu brillant en présence d’ions hypochlorite.
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t (min)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
A
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t (min)
4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0
ln ( A /A 0 )
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t (min)
0 20 40 60 80 100 120
1 /A
Figure4 – Résultats expérimentaux
Problème 3 – Détecteur de choc d’un airbag
À bord d’un véhicule, l’airbag est aujourd’hui un des éléments essentiels permettant d’assurer la protection des passagers lors d’un accident. Le détecteur de chocs qui déclenche l’ouverture de l’airbag est, par exemple, constitué d’une masse mobile aimantée M retenue par un ressort (fig.5). Au cours d’un choc, plus la décélération est importante, plus la masse se déplace. Si le déplacement est suffisamment important, la masse aimantée met en contact électrique deux lames métalliques, ce qui permet ainsi de déclencher l’ouverture de l’airbag.
Figure5 – Détecteur de choc sur son circuit électrique
On note le référentiel terrestreRT (T,~uX,~uY,~uZ) supposé galiléen.T est un point de la route et (~uX,~uY,~uZ) une base fixe par rapport à la route.
On associe au véhicule étudié un référentiel mobile Rv (O,~ux,~uy,~uz). Le véhicule se déplace à la vitesse
~vv(t) =vv(t)~uX (vv(t)<0) par rapport au référentiel terrestre (fig.6).
Figure 6 – Modélisation du dispositif de détection des chocs installé dans le véhicule. La longueur à vide du ressort vautl0= 2 cm
Le véhicule est équipé d’un système de détection de chocs dont la masse mobile M(m) peut se déplacer suivant la direction Ox. On note m sa masse et OM(t) =x(t)~ux son vecteur position dans le référentiel de la voitureRv. On se place dans la suite dans le référentiel mobile Rv lié au véhicule pour étudier le mouvement de la masse mobileM.
Dans ce référentiel, le pointM subit la force du ressortT~ =−k(x−l0)~ex, une force de frottementF~ =−α~v avec α >0 et~v la vitesse de la masse par rapport à la voiture et la force d’entraînement F~e =−m~ae où~ae
est l’accélération de la voiture par rapport au référentiel de la route. Le poids est compensé par la réaction du support.
Le véhicule roule initialement à la vitesse v~0 =−v0~uX,v0 >0, avant de subir un choc frontal à l’instant t= 0. L’évolution de la vitessevv(t) est représentée fig.7.
1. Justifier qu’à t = 0−, la position de la masse par rapport au véhicule vaut x(0−) =l0 et que sa vitesse rapport au véhicule vaut ˙x(0−) = 0.
2. Au moment du choc, justifier, qu’initialement, la masse se déplace vers lesxdécroissants.
3. ∀t≥0, exprimer l’accélération aede la voiture par rapport à la route. Par la suite, on note a0 la valeur deae sur [0, tc].
4. Montrer que pour t∈[0, tc], le mouvement deM par rapport au véhicule est régi par l’équation : d2x
dt2 + 2ξω0dx
dt +ω02x=ω02xe On exprimera ω0,ξetxeen fonction dem,k,l0,a0et α.
5. Donner les sens physiques de xe, ω0 etξ.
Figure7 – Évolution de la vitessevv(t) du véhicule. Au cours du choc, la vitesse passe de−v0à 0 en une durée tc.
6. On suppose ξ <1, montrer que,∀t∈[0, tc] :
x(t) =e−t/τ(Acos(ωt) +Bsin(ωt)) +xe où on exprimeraω etτ 7. Déterminer les valeurs deAet B.
8. En déduire que la vitesse s’écrit :
v(t) =−A
1 +τ2ω2 τ2ω
e−t/τsin(ωt)
9. Représenter les évolutions temporelles de x(t) et v(t) en concordance des temps pour t ∈ [0, tc]. On supposeratc T =2π
ω .
10. À quel instanttd, la masseM est-elle le plus proche du pointO? Exprimer alors la distancedqui sépare M deO en fonction des paramètres du problème.
11. Si la distance minimale d devient inférieure à l0/2, la masse mobile aimantée se trouve alors sur le contact électrique qui déclenche l’ouverture de l’airbag. Les caractéristiques du capteur sont les suivantes : m = 10 g, ξ = 0,5,k = 55 N/m. Le capteur peut-il déceler des décélérations de 5g (oùg est l’intensité moyenne du champ de pesanteur) ?
