Devoir surveillé de physique-chimie 5

D.Malka – MPSI 2021-2022 – Lycée Jeanne d’Albret 08.01.2022

Durée de l’épreuve : 2h00 L’usage de la calculatrice est autorisé.

L’énoncé de ce devoir comporte 5 pages.

â La numérotation des exercices doit être respectée.

â Les résultats doivent être systématiquement encadrés.

â Les pages doivent être numérotées de la façon suivante : n˚page courante/nombre total de pages.

â Il ne faudra pas hésiter à formuler des commentaires. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

â Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amené à prendre.

Problème 1 – Capteur de force piezoélectrique

Les matériaux piézoélectriques ont la capacité de voir apparaître une différence de potentiel entre leurs faces lorsqu’on exerce sur elles une contrainte (effet direct) mais également de pouvoir se déformer sous l’action d’une différence de potentiel imposée (effet inverse), ce qui en fait des matériaux très intéressants sur le plan des applications. Les montages ci-après utilisent des amplificateurs linéaires intégrés (ALI) supposés idéaux et fonctionnant en régime linéaire.Les connaissances sur l’ALI sont fournies quand nécessaires.

Mesure de l’intensité d’une force s’exerçant sur une lame piézoélectrique

On suppose qu’une force F~ régulièrement répartie est exercée sur la face de la lame, celle-ci entraînant l’apparition d’une tension Ve à ses bornes et de deux charges opposées +q et −q sur les faces de la lame. La charge q est liée à V_e ainsi qu’à la force F~ exercée de sorte que q =CV_e = KF où C, K et F représentent respectivement une capacité, une constante de proportionnalité et l’intensité de la forceF~.

∞ - +

R₂ R₁

V_s V_e

Lame F

i₊=0

i_-=0 i

ALI

B D C

1. On admet que les potentiels électriquesV⁺ etV⁻ aux bornes + et−de l’ALI sont égaux. Exprimer les potentiels VA,VB,VC etVD aux pointsA,B,C etD en fonction dee1,Ve etVs.

2. Exprimer alors la tension Ve en fonction dee1,Vs,R2et R3. 3. On mesureVs= 6,50 V, en déduireVe.

4. Sachant que C = 8,0×10⁻¹³F et que K = 1,0×10⁻¹²C·N⁻¹, déterminer l’intensité de la force F~ s’exerçant sur la lame.

Mesure de la fréquence d’une force excitatrice sinusoïdale s’exerçant sur une lame

On considère que la lame est soumise à une action mécanique variant sinusoïdalement dans le temps à la fréquencef, fréquence que l’on se propose de déterminer à l’aide du montage de la figure 2.

- ∞ +

R₂ C₂

R₁ C₁

V_e V_s

Figure2 – Filtre

La fonction de transfert de ce filtre s’écrit :

H(jω) = V_s

V_e =−Z₂ Z₁

où Z₁ est l’impédance équivalente à l’association de la résistanceR1 et du condensateur de capacité C1 et oùZ₂ est l’impédance équivalente à l’association de la résistanceR2 et du condensateur de capacitéC2.

5. Montrer que la fonction de transfert du filtre fig.2 peut se mettre sous la forme

H(jω) =− A

1 +j(ω/ω₁−ω₂/ω) en précisant les expressions deA,ω₁ etω₂en fonction deR₁,R₂,C₁ etC₂. 6. Indiquer quelle est la nature de ce filtre.

7. Montrer que le gain passe par un maximum pour une pulsation ω₀ que l’on exprimera en fonction deω₁ et ω₂.

On ajuste à présent la résistanceR1de manière à ce que les signaux d’entrée et de sortie soient en opposition de phase.

8. Comment peut-on vérifier expérimentalement que les deux signaux sont en opposition de phase ? 9. Représenter les signaux en oppositions de phase.

10. Déterminer la fréquence de la contrainte s’exerçant sur la lame.

11. Calculer sa valeur numérique sachant queR2 = 1,0×10²kΩ, C1 = 50 nF, C2 = 5,0 nF et qu’il a fallu réglerR1 à 10 kΩde manière à ce que les deux signaux soient en opposition de phase.

Problème 2 – Le Millennium Bridge

Pour marquer le millénaire, une nouvelle passerelle a été construite au dessus de la Tamise à Londres pour un coût total de plus de 20 millions de Livres Sterling. Quand elle fut ouverte aux piétons on remarqua très vite qu’elle se balançait latéralement et verticalement en cas de forte affluence.

Avec un grand nombre de piétons, son mouvement oblique était tel que la plupart d’entre eux s’arrêtaient et s’accrochaient aux rampes. Des images et des vidéos ont montré que ces mouvements latéraux pouvaient avoir une amplitude moyenne de 75 mm et qu’ils se produisaient avec des fréquences de l’ordre du hertz. Le pont fut donc fermé deux jours après son ouverture au public. Dix-huit mois de recherches furent nécessaire pour résoudre le problème et faire les modifications préconisées par les ingénieurs qui furent donc finalement consultés. L’objectif de ce problème est la modélisation d’une passerelle piétonne et la compréhension de certains problèmes posés par le Millennium Bridge de Londres.

Les vecteurs sont surmontés d’un chapeau s’ils sont unitaires ˆu_xou d’une flèche dans le cas général~v. À l’exception deitel quei²=−1, les grandeurs complexes sont soulignées : z ∈ C. Un point sur une grandeur indique la dérivée par rapport au temps de cette grandeur : ˙x= dx

dt.

Figure3 – Oscillateur Un oscillateur est constitué d’une massemdont le centre d’inertieGest repéré

par la positionxdans le référentiel galiléen (O,uˆx) – voir figure 3. L’origineO se situe au niveau du sol. L’oscillateur est relié à un support fixe par l’intermédiaire d’un ressort linéaire de raideur ket de longueur à vide l0, exerçant la forceT~ =

−k(l−l0)ˆux ainsi que d’un amortisseur linéaire de viscosité α, exerçant sur m une force de frottementF~f =−αxˆ˙ux, avecα >0. À tout instantt, on assimile la distanceOGà la longueurl(t) du ressort. L’ensemble est soumis à l’accélération de la pesanteur~g=−guˆ_x avecg= 9,81 m·s⁻².

1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique établir l’équation différentielle ¨X+2ξω0X+ω˙ ₀²X= 0 dans laquelle on a introduit la fonctionX(t) =x(t)−x˜où ˜xest une constante que l’on déterminera en fonction deg,ω0 etl0. On précisera les expressions et significations de ω0 etξ.

2. Dans le régime libre, le système est mis en vibration uniquement par des conditions initiales non nulles X(0) =X06= 0 et ˙X(0) =V06= 0. Déterminer les solutions du régime libre (en fonction deω0, ξ,X0,V0

et t) pour les casξ= 0 et 0< ξ <1 et préciser leur comportement.

Différents cas peuvent être examinés pour l’excitation (ou forçage) F(t) de l’oscillateur étudié lors des deux premières questions. Nous nous placerons dans l’optique d’une passerelle piétonne.

L’action de la marche d’un piéton est caractérisée par un contact continu sur la surface du sol puisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendrée comprend une composante verticale et une composante horizontale non prise en compte dans cette partie.

fréquence f correspond à celle d’une marche normale. Nous considérerons queF~1 = 0,4F~0. Ces deux vecteurs seront supposés constants et orientés comme−ˆux.

On noteF₀=kF~₀kle module de la force statique,Y =X+ F₀

mω₀² la réponse en déplacement de l’oscillateur etY =Y_me^iωt sa représentation complexe.Y vérifie l’équation différentielle :

Y¨ + 2ξω0Y˙ +ω²₀Y =−F1

m cos(2πf t)

3. Déterminer la fonction de transfertH(ω), rapport de la représentation complexe de la réponse en dépla- cement Y sur la représentation complexe de l’excitationE= 1

mF₁. On exprimera H =Y /E en fonction deξ,ω0 et Ω = ω

ω₀.

4. Sous quelle condition portant surξ, un phénomène de résonance peut-il se produire ? Pour quelle pulsation ω_r obtient-on alors ce phénomène ? Exprimer le gain en amplitude à la résonance|H|(ωr) dans la limite ξ²1.

5. En se plaçant dans l’hypothèseξ²1 et à partir d’une analyse de la courbe la figure 5 déterminer un ordre de grandeur de ξ ainsi que la valeur de la pulsation propre ω₀ de l’oscillateur modélisant le Millennium Bridge avant la mise en place des amortisseurs harmoniques.

Figure 5 – Schéma et réponse d’un amortisseur harmonique appliqué au modèle du Millennium Bridge.

6. Pourquoi est-il important de déterminer les fréquences de résonance d’une structure soumise à une action périodique ?

Afin d’étudier précisément les propriétés du forçage que constitue la marche d’un piéton, on réalise l’acqui- sition en laboratoire du signal figure 4 correspondant à cette sollicitation et on en construit le spectre (fig.6)

7. Commenter et interpréter aussi précisément que possible le spectre fig.6.

8. À partir d’une exploitation des données fournies dans le sujet, expliquer l’origine du problème concernant le Millennium Bridge et justifier que l’installation d’amortisseurs harmoniques ait pu le résoudre.

Figure6 – Spectre du signal correspondant à la marche d’un piéton.

FIN